最小二乘法线性拟合
最小二乘法线性拟合
—26 n 基本概念与数据处理4.最小二乘法线性拟合(非常好)我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分 散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据 处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时 ，任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1)求回归直线设直线方程的表达式为： y 二 a bx(2-6-1)要根据测量数据求出最佳的 a 和b o 对满足线性关系的一组等精度测量数据 (X i ，y i )， 假定自变量X i 的误差可以忽略，则在同一 X i 下，测量点y i 和直线上的点 a+bx i 的偏差d i 如下：d i = y i - a - bx-id^ — y 2~ a - bx 2d n = yn ~a ~ bx n显然最好测量点都在直线上(即 d i =d 2=,, =d n =0),求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑d i 、d 2、”、 d n 为最小，也就是考虑d i +d 2+,, +d n 为最小，但因d i 、d 2、，，、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d i | + |d 2|+ ,,+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在米取一种等效方法：当d^+d/ + ,,+d n 2222对a 和b 为最小时，d i 、d 2、，，、 d n 也为最小。
取(d i +d 2 +,, +d n )为最小值，求 a和b 的方法叫最小二乘法。
nD 八 d i 2i JD 对a 和b 分别求一阶偏导数为:n-na -b ' X i ]i T nnD 八 d i 2 = i ±(2-6-2)-=D-=b:D-a n 一2「y ii 3 n一2[、X i y i i 』n基本概念与数据处理—27 - -b' X j2]i d—28 - n 基本概念与数据处理2 ' x -x将a 、b 值带入线性方程y = a bx ，即得到回归直线方程。
最小二乘法excel拟合
在Excel中进行最小二乘法线性拟合的步骤如下：
1.在Excel中输入或打开要进行最小二乘法拟合的数据。
2.按住“shift”键的同时，用鼠标左键单击以选择数据。
3.单击菜单栏上的“插入”》“图表”》“散点图”图标。
4.弹出下拉列表，单击“散点图”》“仅带数据标记的散点图”图标。
5.此时，在窗口中间弹出散点图窗口。
6.鼠标左键单击其上的散点，单击鼠标右键，弹出列表式对话框，
再单击“添加趋势线(R)”。
7.弹出“设置趋势线格式”对话框。
8.勾选“设置截距(S)”、“显示公式(E)和“显示R平均值(R)”前的
方框，此时，在原散点图中增加了一条趋势线及其公式、R平均值。
以上步骤仅供参考，具体操作可能会因Excel版本的不同而略有差异。
如果需要更详细的信息，建议查看Excel的帮助文档或相关教程。
最小二乘法 线性与非线性拟合
最小二乘法线性与非线性拟合最小二乘法实现数据拟合最小二乘法原理函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f( ) (i=0,1,2,3……,n)，而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点( )，也就是说拟合函数在处的偏差=不都严格地等于零。
但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求| |按某种度量标准最小。
即=为最小。
这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。
(一)线性最小二乘拟合根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A＝R\Y。
例题假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为y(x)=c1+c2*e^(-3*x)+c3*cos(-2*x)*exp(-4*x)+c4*x^2试用已知数据求出待定系数的值。
在Matlab中输入以下程序x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]';y=[2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052];A=[ones(size(x)) exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.^2];c=A\y;c'运行结果为ans =1.22002.3397 -0.6797 0.8700下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图x1=[0:0.01:1.5]';A1=[ones(size(x1)) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.^2];y1=A1*c;plot(x1,y1,x,y,'o')事实上，上面给出的数据就是由已知曲线y(x)= 0.8700-0.6797*e^(-3*x)+ 2.3397*cos(-2*x)*exp(-4*x)+ 1.2200*x^2产生的，由上图可见拟合效果较好。
最小二乘法的线性拟合
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4.3 数表与线图的公式化处理
前面介绍的数表与线图的程序化处理方法，这种方法虽然 解决了数表和线图在CAD作业中的存储和检索问题，但还存 在下述一些缺点：
1)占用大量计算机内存。数表和线图的程序化处理，要将 数表中的全部数据编进计算程序中，实现数据的自动检索。 当数表很庞大时，所占内存很大。一般情况下，一个设计计 算程序常常需要使用多个数表，则所占内存更加庞大，严重 时甚至会影响程序的正常运行。
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4.2.2 直线图的公式化处理
1、直角坐标直线图的公式化处理
（a）直齿轮
（b）斜齿轮
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2、对数坐标直线图的公式化处理
对数坐标中的直线方程可写为：
注意：一般程序语言中，只有lnx （自然对数）无十进制对数 lgx ，所以编程时，要进行换底运算。
lg x ln x ln10
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3、区域图的公式化处理
2)效率低，占机时间长。通常设计所使用到的仅是数表中 的一小部分数据，有时甚至只是其中的一、二个。但数表程 序化处理对数表中的每个数据，无论在当时的计算程序中
是否被用到，都必须顺序地将全部数据读入内存。
检索时，一般又得顺序地从头检索至所需的那个
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数据为止。
4.3.1 曲线拟合
数表程序化处理一般只适用于数表较小(数据 量较小)、计算程序使用数表个数不多的情况。对 于比较大型的计算程序，常常需使用很多的数表， 数据量很大，在这种情况下数表的处理就要采用其 它的方法。其中一种方法就是本节所要介绍的曲线 拟合。
常用的处理方法有三种：
1
（1）线图所表示的各参数之间本来就有计算公 式，只是由于计算公式复杂．为了便于手工计算 将公式绘成线图，以供设计时查用。对于这类线 图处理的方法为：找到线图原有公式，将公式编 写成程序。这是最精确的程序化处理方法，但难 以找到。
最小二乘法求出直线拟合公式
最小二乘法求出直线拟合公式最小二乘法是一种常用的线性回归方法，用于求出最佳的拟合直线公式。
其基本思想是通过最小化观测数据与拟合直线之间的误差来确定最佳的直线参数。
假设我们有一组观测数据(xi, yi)，其中xi表示自变量的取值，yi表示因变量的取值。
我们的目标是找到一条直线y = mx + c，使得观测数据点到这条直线之间的误差最小。
首先，我们定义观测数据点到拟合直线的误差为：ei = yi - (mx + c)。
我们的目标是最小化所有观测数据点的误差之和：min Σ(ei^2) = min Σ(yi - (mx + c))^2为了求解上述最小化问题，我们需要对误差函数关于参数m和c进行求导，并令导数等于零。
这样可以得到参数的最优解。
对于参数m的求解，我们有以下等式：d/dm Σ(ei^2) = d/dm Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi^2) + c * Σ(xi) = Σ(xi * yi)类似地，对于参数c的求解，我们有以下等式：d/dc Σ(ei^2) = d/dc Σ(yi - (mx + c))^2 = 0通过对上述等式进行求导和化简，我们得到以下方程：m * Σ(xi) + c * n = Σ(yi)其中，n表示观测数据点的数量。
最终，我们可以通过解上述方程组，求得最佳的直线参数m和c，从而得到直线的拟合公式。
拓展：最小二乘法不仅可以应用在线性回归问题中，还可以拓展到非线性回归问题。
例如，如果观测数据点遵循多项式分布，则可以使用多项式回归来拟合数据。
此时，最小二乘法的基本原理是相同的，只是拟合的模型变为多项式函数。
此外，最小二乘法还可以应用于其他问题，例如数据平滑、参数估计等。
它是一种常用的统计学方法，可以在各种实际问题中得到广泛的应用。
最小二乘法线性拟合和二次多项式拟合
最小二乘法多项式拟合对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即∑==+++=nk k k x a x a x a a x f 02210)(为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差|)(|||i i i y x f -=δ都较小。
为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即min ])([)(2121=-=∑∑==iiNi iN i y x f δ称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即min ])([)(),,,(212110=-==∑∑==i i Ni i N i n y x f a a a S δ为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂Ni i N i i i i N i i i N i y x f y x f y x f a S11110)(0])([0])([2 ∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i i N i i i i i N i i i i N i i y x x f x y x f x y x f x a S11111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i k i N i i ki i i N i k i i i N i k i k y x x f x y x f x y x f kx a S 1111)(0])([0])([2∑∑∑∑=====⇒=-⇒=-=∂∂N i i n i N i i ni i i N i n i i i N i n i n y x x f x y x f x y x f nx a S 1111)(0])([0])([2 将上面各等式写成方程组的形式可有∑∑∑∑∑∑=======++++⇒=Ni i N i n in N i iN i i Ni iN i iy x a x a x a N a yx f 1112211011)(∑∑∑∑∑∑==+=====++++⇒=Ni i i Ni n in Ni iNi ii Ni iiNi iiy x xa x a x a x a yx x f x 111132121011)(∑∑∑∑∑∑==+=+=+===++++⇒=Ni i k i Ni k n in Ni k iNi k ik iNi i k i Ni i k iy x xa xa xa x a y x x f x11122111011)(∑∑∑∑∑∑===+=+===++++⇒=Ni i n i Ni n in Ni n iNi n in iNi i n i Ni i n iy x xa xa xa x a y x x f x112122111011)(写成矩阵形式有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑======+=+==+==+===+=====N i i n i Ni ik i N i i i N i i n k N i ni Ni k n iNi n iNi ni N i k n i N i k iNi k iN i kiN i n i Ni k iNi i N i i Ni niNi k iNi iy x y x y x y a a a a x xxx x xxx x xxx x x x N 111110121111112111111121111上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
线性最小二乘法拟合
– Busi ness fi nancial indicat ors: t otal profits of 255 million Yua n, beyond the a nnual budget of 207 million Yuan, beyond the Datang compa ny i ndex 41 .89 million Yuan, a n increase of 1.76 million Y uan, FCM ass essme nt at grade four.
Major achievement s: first, we s hould a dher e to the tw o "managem ent system" basi s, stre ngthe ning t e chnologi cal res earch, stre ngthe n hidde n hazar ds control and intri nsi c safety Enterpri se constructi on t ook new ste ps. -The tw o "management system" for improveme nt. Focus on pr omoting t he power of the com pany manag ement system a nd the applicati on a nd implementation of the s afety loop five-star manag ement syst em, improve the safety manageme nt system, reali ze the sy stem of safety control. F urther reg ulate se curity routine s, safety s upervi sion and ma nagement network r ole to play to achieve closed -loop. Stre ngthe ning the supervisi on a nd management of ha bitual vi olation of, stre ngthe ning the safety supervisi on of outs our cing contractor s. Carrie d out
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4.最小二乘法线性拟合（非常好）我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂n i i n i i n i i i x b x a y x b D再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂ni i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
(2) y 、a 、b 的标准差在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y 、a 、b 的标准差(n ≥6)如下：2)(21212---=-=∑∑==n a bx yn dni i ini iy σ (2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)y y ni i n i i ni i a x x n x x x n xσσσ)()(222211212-=-=∑∑∑=== (2-6-9)y y ni i ni i b x x n x x n nσσσ)(1)(222112-=-=∑∑== (2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据x i 、y i 线性相关程度的参量，其定义为： ))((2222y y x x y x xy r ---=（2-6-11）r 值在0<|r|≤1中。
|r|越接近于1，x 、y 之间线性好；r 为正，直线斜率为正，称为正相关；r 为负，直线斜率为负，称为负相关。
|r|接近于0，则测量数据点分散或x i 、y i 之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a 和b ，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|<r 0时，测量数据是非线性的．r 0称为相关系数的起码值，与测量次数n 有关，如下表2-６-2表2-6-2 相关系数起码值r 000在进行一元线性回归之前应先求出r 值，再与r 0比较，若|r|> r 0，则x 和y 具有线性关系，可求回归直线；否则反之。
例9：灵敏电流计的电流常数K i 和内阻R g 的测量公式为g i sR U dR K R R -=12测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K i 和R g ，并写出回归方程的表达式。
解：测量公式与线性方程表达式y ＝a+bx 比较：2R y = U x = dR K R b i s1=g R a -=数据处理如表2-6-3：中间过程可多取位：x ＝1.67125 y ＝225.0 2x ＝3.34625 2y ＝6.375×104xy ＝461.5625相关系数998.0))((2222=---=y y x x y x xy r查表得知，当n=8时，r 0=0.834，两者比较r>r 0，说明x 、y(即U 、R 2)之间线性相关，可以求回归直线。
求回归方程的系数22xx y x xy b --=＝154.6192304x b y a -=＝-33.4代换a R g -=＝33.4Ωb dR K R i i s=＝154.6192304K i ＝dbR R i s ＝3.7170×10-9A/mm 计算标准差为：y σ＝2.64561902； a σ＝2.300545589； b σ＝1.257626418计算不确定度： ΔR g ＝a σ＝2Ω； K K i ∆＝bb σ＝0.81％； ΔK ＝0.03×10－9A/mm 测量结果表达式电流计内阻： R g ＝(33±2)Ωgg R R ∆＝6.1％电流常数： K ＝(3.72±0.03)×10－9A/mm KK i∆＝0.81％ 回归方程： R 2＝155U －33 5.计算器在数据处理中的应用在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型计算器为例作以介绍。
（1）计算标准偏差S① 标准偏差S 的计算器运行公式：12)(111211212-+-=--=∑∑∑∑====n xx x x x x n s ni n i i n i i ni i因为 ∑==ni i x n x 11所以 1)(2112--=∑∑==n nx xs ni i ni i（只有为x i 单变量）② 操作步骤和方法(ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示“STAT1”指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。
(ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏幕均会显示数据的个数n 值。
(ⅳ) 数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。
(ⅴ) 取分析结果：[INV][x ]：平均值[INV][∑x ]：数据和 [INV][∑x 2]: 数据平方和[INV][S]：测量列的标准偏差 [INV][n]：数据个数例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，试求x 、∑x 、∑x 2、S 、n 。
解：注：当n ≥6时，认为＝S 。
（2）最小二乘法求回归直线① 求回归直线参量a 、b 、r 的计算器运行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含x i 、y i 两个变量的公式：nx b ya ni ini i∑∑==-=11∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni ii ni ini ix n x y x n yx b 1221111)(])(][)([12122112111∑∑∑∑∑∑∑=======---=n i ni i i n i i n i i ni in i i n i i i y y n x x n y x y x n r② 操作步骤和方法：(ⅰ) 按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示“STAT2”指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键(ⅲ) 双变量数据输入：先键入x 的值、 按[a]键， 然后键入y 的值、 按[b]键，再按[DATA]键，完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数，即n 值。
(ⅳ) 数据修正：同单变量数据输入。
(ⅴ) 取分析结果[INV][a]：回归直线的截距 [INV][b]：回归直线的斜率[INV][r]：相关系数 还可以取以下值：[INV][x ]、[INV][y ]、[INV][Σx]、[INV][Σx 2]、[INV][Σy]、[INV][Σy 2]、[INV][Σxy]， 以便计算y σ、a σ、b σ(计算器没有该三项的计算程序)。
例11： 灵敏电流计实验所测数据如下：要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数K i 和内阻R g 。
解： 测量公式g i sR U dR K R R -=12与线性方程表达式y ＝a+bx 比较y ＝R 2 x ＝U ，则：查表知道，当n ＝8时，r 0＝0.834， r>r 0，说明U 、R 2之间线性相关。
得到： 回归方程 R 2＝154U －32 电流计内阻 R g ＝32Ω电流常数 K ＝3.74×10－9A/mm习 题1．指出下列测量结果的有效数字： (1) I ＝5010mA(2) C ＝2.99792458×108m/s2．按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留3位有效数字：(1) 1.005 (2) 979.499 (3) 980.501 (4) 6.275 (5) 3.134 3．单位变换：(1) m ＝3.162±0.002kg＝ g ＝ mg ＝ T (2) θ＝(59.8±0.1)°＝( )ˊ(3) L ＝98.96±0.04cm＝ m ＝ mm ＝ µm4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：(1) Y ＝(1.96×1011±5.78×109)N/m 2(2) L ＝(160000±100)m5．按有效数字运算规则计算下列各式：(1) 1000-5＝(2) 3.2×103＋3.2＝(3) tg3005ˊ＝(4)125.100325.100125.100325.100 ＋＝(5) R 1＝5.10k Ω，R 2＝5.10×102Ω，R 3＝51Ω。