MATLAB实现非线性曲线拟合最小二乘法
matlab最小二乘法求参数
matlab最小二乘法求参数一、引言最小二乘法是数学中常见的一个工具，它用于寻找最适合一组数据的函数参数。
在非线性回回归和多元线性回归中，最小二乘法是非常有用的一种工具。
MATLAB是一种流行的计算机解释型编程语言，广泛应用于科学、工程、财务等领域。
Matlab中有许多内置的函数，支持最小二乘法。
本文介绍如何在Matlab中使用最小二乘法函数lsqcurvefit或lsqnonlin求解函数参数。
二、最小二乘法最小二乘法是用于寻找数据点到拟合函数直线或曲线之间的最小平方距离的方法，通常用于回归分析中。
它是一种优化问题，可以通过优化算法来解决。
最小二乘法通常用于线性和非线性回归分析。
在线性回归中，拟合的函数是线性函数; 而在非线性回归中，拟合的函数也可以是任意函数。
在这种情况下，最小二乘法可以通过非线性优化方法来解决。
假设有N个数据点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)，我们想要找到一个函数f(x,θ)来逼近这些数据点，其中θ是函数的参数。
最小二乘法的目标是使f(x,θ)与y尽可能接近。
误差函数可以定义为:E(θ)=∑i=1^N[f(xi,θ)-yi]^2最小二乘法的目标是最小化误差函数θ*=argmin(E(θ))为了寻找θ，我们可以使用最小二乘法优化算法。
有两种方法可以解决这个问题：线性最小二乘法（LLS）和非线性最小二乘法（NLS）。
三、线性最小二乘法在线性最小二乘法中，函数f(x,θ)是线性的，可以表示为:f(x,θ)=θ1x1+θ2x2+...+θmxm 其中θ=(θ1,θ2,...,θm)是待定的函数参数。
在这种情况下，误差函数可以写成E(θ)=∑i=1^N(θ1x1i+θ2x2i+...+θmxmi-yi)^2我们可以将误差函数写成矩阵形式。
假设我们有一个m×N的矩阵X，它由输入数据点(x1i,x2i,..,xmi)构成，我们还有长度为N的y向量。
随着m的增加参数数量增加，此时，我们的优化问题变成了θ*=argmin||Xθ-y||^2此处||.||表示二范数，即向量各分量的平方和的平方根。
基于MATLAB的非线性曲线拟合
基于MATLAB的非线性曲线拟合一、本文概述随着科技的不断进步，数据分析和处理在各个领域中都发挥着越来越重要的作用。
非线性曲线拟合作为一种重要的数据处理方法，被广泛应用于科学研究、工程实践以及日常生活等多个领域。
MATLAB作为一款强大的数学计算和数据分析软件，为非线性曲线拟合提供了便捷的工具和丰富的函数库。
本文旨在介绍基于MATLAB的非线性曲线拟合方法，包括非线性模型的建立、参数估计、模型验证等步骤，并通过具体实例展示MATLAB在非线性曲线拟合中的应用。
本文首先简要介绍了非线性曲线拟合的基本概念和研究背景，阐述了非线性曲线拟合在实际应用中的重要性。
接着，详细介绍了MATLAB 中非线性曲线拟合的实现过程，包括非线性模型的构建、数据预处理、参数估计方法的选择、模型拟合和评估等方面。
在此基础上，通过实例分析，展示了MATLAB在非线性曲线拟合中的实际应用，并对拟合结果进行了分析和讨论。
对全文进行了总结，指出了非线性曲线拟合在实际应用中的潜在价值和未来研究方向。
通过本文的学习，读者可以了解非线性曲线拟合的基本原理和方法，掌握MATLAB在非线性曲线拟合中的应用技巧，提高数据处理和分析能力，为相关领域的研究和实践提供有力支持。
二、非线性曲线拟合基础在数据分析和科学研究中，我们经常遇到需要通过一组离散的数据点来寻找其潜在的非线性关系。
非线性曲线拟合就是这样一个过程，它旨在找到最能描述数据点之间关系的非线性函数。
与线性拟合不同，非线性拟合的模型函数通常包含非线性参数，这些参数需要通过一定的优化算法来求解。
MATLAB作为一款强大的数学软件，提供了多种非线性曲线拟合的工具和函数。
在MATLAB中，非线性曲线拟合通常通过lsqcurvefit、lsqnonlin或fit等函数实现。
这些函数允许用户定义自己的非线性模型函数，并通过迭代优化算法来寻找最佳拟合参数。
在进行非线性曲线拟合时，选择合适的模型函数至关重要。
用MATLAB作线性和非线性最小二乘法拟合
通过实验掌握拟合函数，非线性拟合函数对于三维曲面函数拟合有点困难。
1916 2.09 3.61 1.86
1917 1.96 4.10 1.93
1918 2.20 4.36 1.96
1919 2.12 4.77 1.95
1920 2.16 4.75 1.90
1921 2.08 4.54 1.58
1922 2.24 4.54 1.67
1923 2.56 4.58 1.82
1.分析问题
用lsqcorvefit作非线性最小二乘法拟合
2.问题求解
a=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63...
2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.1 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58...
用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系 。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
（*）
式中 要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数 。
表2
t Q K L
x=lsqcurvefit('fun3',x0,a,z)
m=linspace(0,2.7,27);
n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
z=x(1)*(M.^x(2)).*(N.^x(3));
surf(M,N,z);
3.结果
4.结论及分析
经多次试验可知分析无误
Matlab最小二乘法曲线拟合
之阳早格格创做最小两乘法正在直线拟合中比较一致.拟合的模型主要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对付数线性型6.下斯函数型......普遍对付于LS问题，常常利用反斜杠运算“\”、fminsearch或者劣化工具箱提供的极小化函数供解.正在Matlab中，直线拟合工具箱也提供了直线拟合的图形界里支配.正在下令提示符后键进：cftool，即可根据数据，采用适合的拟合模型.“\”下令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.最先修坐安排矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2];实止：para=X\ypara中包罗了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;那种要领对付于系数是线性的模型也符合.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2)安排矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)];para=X\y3.多沉返回(乘积返回)设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x战t是预测变量，y是赞同变量.安排矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %注意x,t大小相等！para=X\y polyfit函数polyfit函数没有需要输进安排矩阵，正在参数预计中，polyfit会根据输进的数据死成安排矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2p=polyfit(x,y,2)而后不妨使用polyval正在t 处预测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数不妨给出置疑区间.[p S]=polyfit(x,y,2) %S中包罗了尺度好[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %依照拟合模型正在t处预测正在每个t处的95%CI为：(y_fit-1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也符合假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是劣化工具箱的极小化函数.LS问题的基础思维便是残好的仄圆战(一种范数，由此，LS爆收了许多应用)最小，果此不妨利用fminsearch函数举止直线拟合.假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2)最先修坐函数，不妨通过m文献或者函数句柄修坐：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %注理念量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%不妨根据需要采用是可劣化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (y-f(p,x)).^2,p0) %不妨输出Hessian矩阵res=y-f(para,x)%拟合残好直线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对付大样本场合比较灵验！非线性拟合nlinfit函数clear all;x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]';x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]';x=[x1 x2];y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]';f=@(p,x) 2.350176*p(1)*(1-1/p(2))*(1-(1-x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(-1/p(2))-1).^(-p(2)).*x(:,1).^(-1/p(2)-0.5).*x(:,2);p0=[80.5]';opt=optimset('TolFun',1e-3,'TolX',1e-3);%[pR]=nlinfit(x,y,f,p0,opt) 例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子的一个例子1900-2000年的总人心情况的直线拟合clear all;close all;%cftool提供了可视化的直线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]';y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]';%t太大，以t的幂动做基函数会引导安排矩阵尺度太好，列变量险些线性相依.变更为[-1 1]上s=(t-1950)/50;%plot(s,y,'ro');%返回线：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y );b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2])plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合');set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%holdon;n=4;PreYear=[2010 2015 2020];%预测年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(si ze(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(Pre Po));for i=1:n [p S(i)]=polyfit(s,y,i); [Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%预测res(:,i)=y-Y(:,i);%残好end% plot(s,Y);%2009a自动增加分歧颜色% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>');% hold off% plot(Y,res,'o');%残好图r=corr(s,Y).^2 %R^2%拟合缺点预计CIYearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','两阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'};for col=1:n subplot(3,2,col+2); plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g-');%本初数据战拟合数据legend('Original','Fitted',2); hold on; plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CI plot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),'r:'); plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%预测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%预测95% CI plot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col)); axis([-1.2 1.8 0 400]); set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',Ye arAdd)); title(CFtit{col}); hold off;endfigure;%残好图for col=1:n subplot(2,2,col); plot(Y(:,i),res(:,i),'o');end一个非线性的应用例子(多元情况)正在百度知讲中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：不过动做应用，模型纷歧定精确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6);p0=ones(6,1); p=fminsearch(@(p)sum(y-f(p,x)).^2,p0) res=y-f(p,x); res2=res.^2 %波折的模型。
matlab最小二乘法拟合曲线
matlab最小二乘法拟合曲线Matlab最小二乘法拟合曲线是一种应用于数据拟合的有效的工具，它的作用是使用最小二乘法来估计未知参数并获得适合拟合的最优拟合曲线，以下是Matlab最小二乘法拟合曲线的具体用法：一、Matlab最小二乘法拟合模型：1、首先，根据需要拟合的数据，定义未知参数的类型、数量和频率；2、接下来，定义未知参数的初始值，以及用于确定参数最优拟合曲线的搜索算法；3、然后，调用最小二乘法函数，使用最小二乘法函数计算拟合参数θ；4、最后，用优化到的θ值生成最优曲线，即得到拟合曲线。
二、Matlab最小二乘法拟合曲线的特点：1、精度高：最小二乘法在误差估计上是最佳的，能控制估计偏差，通过求解思维运算完成最小二乘拟合；2、可以处理多元数据：最小二乘法可以处理多个变量进行统计拟合，有多个自变量时，仍然能生成反映变量之间关系的拟合曲线；3、计算量小：最小二乘法只需计算发生一次，消耗计算量较小，计算正确率高；4、反应速度快：最小二乘法反应速度快，可以很好的拟合多项式，某一特定点的拟合能力强，它具有很高的拟合度。
三、Matlab最小二乘法拟合曲线的应用：1、最小二乘法拟合曲线可以用于多元统计拟合，研究变量之间的关系，可用于实验数据处理和建模；2、最小二乘法拟合曲线也可以用于经济学，可以通过估计最小二乘回归系数进行广义线性模型的预测；3、最小二乘法拟合曲线可以用于工程曲线拟合，如机械设计的几何拟合等，以及测量仪器的校正等；4、最小二乘法拟合曲线也可以用于生物学研究，可以通过进化分类树及类群的状态估计其特征变化趋势；5、最小二乘法拟合曲线还可以用于物理和化学实验中，以及天气、气候等领域。
四、Matlab最小二乘法拟合曲线的优缺点：优点：1、计算量小，计算消耗较小；2、可对多元数据进行拟合，处理变量之间的关系；3、拟合精度高，控制估计偏差；4、反应速度快，容错性强。
缺点：1、处理误差较大的数据时，拟合效果不佳；2、对曲线的凸性要求，不能处理异常数据；3、无法处理变量间的非线性关系，拟合结果也会出现偏差。
MATLAB实现非线性曲线拟合最小二乘法
非线性曲线拟合最小二乘法、问题提出设数据(Xj,yJ 3(i=0,1,2,3,4).由表给出，表中第四行为lnyZl«，可以看出数学模型为y二aebx,用最小二乘法确定a及b。
、理论基础根据最小二乘拟合的定义：在函数的最佳平方逼近中f(x). C[a,b]，如果f(x)只在一组离散点集｛Xi,i=O,1,…,m｝，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据｛ ( Xj,%),i=O,1,・・・,m｝的曲线拟合，这里yi二f(xj，i=O,1,・・・,n% 要求一个函数y二S(x)与所给数据｛ ( Xi, yi) m｝拟合，若记误差i 二 S*(xJ-% ,i=O,1m,、=(O,1, ，、m)T，设\(x), \(x)/,:n(x)是C[a,b]上线性无尖函数族，在」-spar( A(X), : l(x), (x)｝中找一函数S(x)，使误差平方和m m m2、2八、F 八[s(Xi)・y_2 =min,目凶呦2,i=0 i=0 S(x)邯im这里S(x)二a。
o(x) 4 !(x) ann(x) (n<m)这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
在建模的过程中应用到了求和命令(sum)、求偏导命令(diff)、化简函数命令(simple)〉用迭代方法解二元非线性方程组的命令(fsolve)，画图命令(plot)等。
三、实验内容用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得观测数据( Xi,% )有尖；通常要从问题的运动规律及给定数据描图，确定s(x)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
S(x)的一般表达式为线性形式，若\(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式，为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中2都考虑为加权平方和m：2八(X讥S(Xj) - f(xj]2.i=0这里r(x)_o是[a,b]上的权函数，它表示不同点(Xi, f(xj)处的数据比重不同。
最小二乘法拟合matlab
最小二乘法拟合matlab
最小二乘法拟合MATLAB
最小二乘法是一种有效地估计未知参数值的统计学方法，它假定误差服从正态分布，然后进行极大似然估计。
下面我们就来介绍一下如何使用MATLAB来拟合最小二乘法。
1.第一步：绘制出要拟合的数据，这里我们绘制出了一个简单的抛物线数据：
x=[-3 -2 -1 0 1 2 3];
y=[6 3 1 0 -2 -4 -7];
plot(x,y);
2.第二步：根据你要拟合的函数，构建出你所要拟合的模型。
这里，我们想拟合一条抛物线：y=ax2+bx+c ;
3.第三步：定义拟合函数：
fun=@(x,xdata)x(1)*xdata.^2+x(2)*xdata+x(3);
4.第四步：调用最小二乘法函数：
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcur vefit(fun,[1 1 1],x,y);
现在你已经可以看到拟合函数的参数了：
x的值为[1.7, 0.3, -1.5]，
而拟合函数为： y=1.7x2+0.3x-1.5
因此，使用MATLAB调用最小二乘法可以很方便地拟合出任意复
杂的函数，并且可以得到准确的参数值。
Matlab最小二乘法曲线拟合
之杨若古兰创作最小二乘法在曲线拟合中比较普遍.拟合的模型次要有1.直线型2.多项式型3.分数函数型4.指数函数型5.对数线性型6.高斯函数型......普通对于LS成绩，通常利用反斜杠运算“\”、fminsearch 或优化工具箱提供的极小化函数求解.在Matlab中，曲线拟合工具箱也提供了曲线拟合的图形界面操纵.在命令提示符后键入：cftool，即可根据数据，选择适当的拟合模型.“\”命令1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2.首先建立设计矩阵X：X=[ones(size(x)) x x^2]; 履行：para=X\ypara中包含了三个参数：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c; 这类方法对于系数是线性的模型也适应.2.假设要拟合：y=a+b*exp(x)+cx*exp(x^2) 设计矩阵X为X=[ones(size(x)) exp(x) x.*exp(x.^2)]; para=X\y3.多重回归(乘积回归) 设要拟合：y=a+b*x+c*t，其中x和t是猜测变量，y是呼应变量.设计矩阵为X=[ones(size(x)) x t] %留意x,t大小相等！para=X\ypolyfit函数polyfit函数不须要输入设计矩阵，在参数估计中，polyfit会根据输入的数据生成设计矩阵.1.假设要拟合的多项式是：y=a+b*x+c*x^2 p=polyfit(x,y,2)然后可以使用polyval在t处猜测：y_hat=polyval(p,t)polyfit函数可以给出相信区间. [p S]=polyfit(x,y,2) %S中包含了尺度差[y_fit,delta] = polyval(p,t,S) %按照拟合模型在t处猜测在每个t处的95%CI为：(y_fit1.96*delta, y_fit+1.96*delta)2.指数模型也适应假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch函数fminsearch是优化工具箱的极小化函数.LS成绩的基本思想就是残差的平方和(一种范数，由此，LS发生了很多利用)最小，是以可以利用fminsearch函数进行曲线拟合. 假设要拟合：y = a+b*exp(x)+c*exp(x.?2) 首先建立函数，可以通过m文件或函数句柄建立：x=[......]';y=[......]';f=@(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.?2) %留意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c; %可以根据须要选择是否优化参数%opt=options()p0=ones(3,1);%初值para=fminsearch(@(p) (yf(p,x)).^2,p0) %可以输出Hessian矩阵res=yf(para,x)%拟合残差曲线拟合工具箱提供了很多拟合函数，对大样本场合比较无效！非线性拟合nlinfit函数clear all; x1=[0.4292 0.4269 0.381 0.4015 0.4117 0.3017]'; x2=[0.00014 0.00059 0.0126 0.0061 0.00425 0.0443]'; x=[x1 x2]; y=[0.517 0.509 0.44 0.466 0.479 0.309]'; f=@(p,x)2.350176*p(1)*(11/p(2))*(1(1x(:,1).^(1/p(2))).^p(2)).^2.*(x(:,1).^(1 /p(2))1).^(p(2)).*x(:,1).^(1/p(2)0.5).*x(:,2);p0=[8 0.5]'; opt=optimset('TolFun',1e3,'TolX',1e3);%[p R]=nlinfit(x,y,f,p0,opt)例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直线型例子2.多项式型的一个例子19002000年的总人口情况的曲线拟合clear all;close all; %cftool提供了可视化的曲线拟合！t=[1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]'; y=[75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633 281.4220]'; %t太大，以t的幂作为基函数会导致设计矩阵尺度太差，列变量几乎线性相依.变换为[1 1]上s=(t1950)/50;%plot(s,y,'ro');%回归线：y=a+bx mx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=myb*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,[1 2]) plot(s,y,'ro',s,rline,'k');%title('多项式拟合'); set(gca,'XTick',s,'XTickLabel',sprintf('%d|',t));%hold on; n=4;PreYear=[ ];%猜测年份tPreYear=(PreYear1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y));delta=zeros(size(Y));PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(PrePo));for i=1:n[p S(i)]=polyfit(s,y,i);[Y(:,i) delta(:,i)]=polyval(p,s,S(i));%拟合的Y [PrePo(:,i) Predelta(:,i)]=polyval(p,tPreYear,S(i));%猜测res(:,i)=yY(:,i);%残差end% plot(s,Y);%a主动添加分歧色彩% legend('data','regression line','1st poly','2nd poly','3rd poly','4th poly',2)% plot(tPreYear,PrePo,'>'); % hold off % plot(Y,res,'o');%残差图r=corr(s,Y).^2 %R^2 %拟合误差估计CI YearAdd=[t;PreYear'];tYearAdd=[s;tPreYear'];CFtit={'一阶拟合','二阶拟合','三阶拟合','四阶拟合'}; for col=1:nsubplot(3,2,col+2);plot(s,y,'ro',s,Y(:,col),'g');%原始数据和拟合数据legend('Original','Fitted',2);hold on;plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),'r:');%95% CIplot(s,Y(:,col)2*delta(:,col),'r:');plot(tPreYear,PrePo(:,col),'>');%猜测值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col));%猜测95% CIplot(tPreYear,PrePo(:,col)2*Predelta(:,col));axis([1.2 1.8 0 400]);set(gca,'XTick',tYearAdd,'XTickLabel',sprintf('%d|',YearAdd));title(CFtit{col});hold off; endfigure;%残差图for col=1:nsubplot(2,2,col);plot(Y(:,i),res(:,i),'o'); end一个非线性的利用例子(多元情况)在百度晓得中，要拟合y=a*x1^n1+b*x2^n2+c*x3^n3%注：只是作为利用，模型纷歧定准确！！！%x2=x3!!!y=[1080.94 1083.03 1162.80 1155.61 1092.82 1099.26 1161.06 1258.05 1299.03 1298.30 1440.22 1641.30 1672.21 1612.73 1658.64 1752.42 1837.99 2099.29 2675.47 2786.33 2881.07]'; x1=[1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2]'; x2=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x3=[1 1.025 1.05 1.075 1.1 1.125 1.15 1.175 1.2 1.225 1.250 1.275 1.3 1.325 1.350 1.375 1.4 1.425 1.45 1.475 1.5]'; x=[x1 x2 x3]; f=@(p,x) p(1)*x(:,1).^p(2)+p(3)*x(:,2).^p(4)+p(5)*x(:,3).^p(6); p0=ones(6,1);p=fminsearch(@(p)sum(yf(p,x)).^2,p0)res=yf(p,x);res2=res.^2 %失败的模型。
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非线性曲线拟合最小二乘法
一、问题提出
设数据（i i y x ,）,(i=0,1,2,3,4).由表3-1给出，表中第四行为i i y y =ln ,可以看出数学模型为bx ae y =,用最小二乘法确定a 及b 。
二、理论基础
根据最小二乘拟合的定义:在函数的最佳平方逼近中],[)(b a C x f ∈，如果f(x)只在一组离散点集{i x ,i=0,1,…,m}，上给定，这就是科学实验中经常见到的实验数据{（i i y x ,）, i=0,1,…,m}的曲线拟合，这里)(i i x f y =，i=0,1,…,m,要求一个函数)(*x S y =与所给数据{（i i y x ,）,i=0,1,…,m}拟合，若记误差
i i i y x S -=)(*δ,i=0,1,…,m,T m ),,(10δδδδ， =,设)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ 是],[b a C 上线性无关函数族，在)}(,),(),({10x x x span n ϕϕϕϕ =中找一函数)(*x S ，使误差平方和
∑∑∑===∈-=-==m i m i m
i i i x S i i i
y x S y x S 0
2)(2
*
2
22
])([])([min ϕδδ
,
这里
)()()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++= (n<m)
这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言来说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
在建模的过程中应用到了求和命令（sum ）、求偏导命令(diff)、化简函数命令（simple ）、用迭代方法解二元非线性方程组的命令（fsolve ），画图命令（plot ）等。
三、实验内容
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式。
这不单纯是数学问题，
还与所研究问题的运动规律及所得观测数据（i i y x ,）有关；通常要从问题的运动规律及给定数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
S(x)的一般表达式为线性形式，若)(x k ϕ是k 次多项式，S(x)就是n 次多项式，为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中2
2δ都考虑为加权平方和
∑=-=m
i i i i x f x S x 0
222)]()()[(ωδ
.
这里0)(≥x ω是[a,b]上的权函数，它表示不同点))(,(i i x f x 处的数据比重不同。
用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是求形如S(x)的一个函数)(*x S y =，使∑=-=m
i i i i x f x S x 0
222
)]()()[(ωδ
取得最小。
它转化为求多元函数
20
10)]()([)(),,,(i n
j i j j m i i n x f x a x a a a I -=∑∑==ϕω
的极小点),,,(*
*1*0
n a a a 问题。
再由求多元函数极值的必要条件，有 ∑∑===-=∂∂m i i k n j i i j j i k x x f x a x a I
00
0)(])()()[(2ϕϕω (k=0,1,…,n) 此题中假设1)(=x ω，由已知所给数据点（i i y x ,）画出图形，根据离散点的位置观察出它们所拟合的曲线图形应类似于指数函数的曲线图形，故设拟合曲线的函数为bx ae y =。
本题编程过程中，令f=y,z1=a,z2=b,
令拟合曲线中对应i x 的函数值与i y 的差的平方和为J,即J=sum(fy.^2);分别求J 关于z1,z2的偏导，简化后并令其分别为0得一关于z1,z2的二元非线性方程组，
最后利用fsolve 命令求得z1,z2的值分别为
z1=3.0751 z2=0.5052
故得到拟合曲线为
x e y 5052.00751.3=
为证明曲线拟合的正确性，我们将离散点（i i y x ,）与所得的拟合曲线
x e y 5052.00751.3=
画于同一图形中，图形如下：
1 1.1 1.
2 1.
3 1.4
1.5 1.6 1.7 1.8 1.92
x 轴
y 轴
例8的数据点(x(i),y(i))和拟合曲线y=f(x)的图形
四、结果分析
根据实验内容求得拟合曲线bx ae y =中未知数a,b 分别为
a=3.0751 b=0.5052
即拟合曲线为
x e y 5052.00751.3=。
由图形知拟合成功！
参考文献
1·《数值分析》，李庆扬，王能超，易大义，2001，清华大学出版社（第
四版）。
2·《数值方法》，关治，陆金甫，2006，清华大学出版社。
3·《数值分析与实验学习指导》，蔡大用，2001，清华大学出版社。
4·《数值分析与实验》，薛毅，2005，北京工业大学出版社.
附录
程序1：syms z1 z2
x=1.00:0.25:2.00;
y=[5.10,5.79,6.53,7.45,8.46];
f=z1*exp(z2.*x)
fy=f-y;
J=sum(fy.^2);
Ja=diff(J,z1);
Jb=diff(J,z2);
Ja1=simple(Ja),
Jb1=simple(Jb),
程序2：function [y1,y2]=fun(z)
y1=2*z(1)*exp(2*z(2))-51/5*exp(z(2))+2*z(1)*exp(5/2*z(2))-579/50*exp(
5/4*z(2))+2*z(1)*exp(3*z(2))-653/50*exp(3/2*z(2))+2*z(1)*exp(7/2*z(2))
-149/10*exp(7/4*z(2))+2*exp(4*z(2))*z(1)-423/25*exp(2*z(2));
y2=-1/200*z(1)*(-400*z(1)*exp(2*z(2))+2040*exp(z(2))-500*z(1)*exp(5/2
*z(2))+2895*exp(5/4*z(2))-600*z(1)*exp(3*z(2))+3918*exp(3/2*z(2))-700
*z(1)*exp(7/2*z(2))+5215*exp(7/4*z(2))-800*z(1)*exp(4*z(2))+6768*exp
(2*z(2)));
作图程序：x=1.00:0.25:2.00;
y=[5.10,5.79,6.53,7.45,8.46];
f=3.0751*exp(0.5052*x);
plot(x,y,'r*',x,f,'b-');
xlabel('x轴'),ylabel('y轴'),
legend('数据点(x(i),y(i))','拟合曲线y=f(x)'),
title('例8的数据点(x(i),y(i))和拟合曲线y=f(x)的图形')。