MATLAB教学视频：详解数据拟合的MATLAB实现(非线性拟合)
实验二讲稿：MATLAB拟合
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汇报人：XX
汇报时间：20XX/01/01
拟合过程中要关注参数的取 值范围和物理意义
拟合结果的评价与验证
拟合效果的评估
残差分析：计算残差平方和， 评估拟合效果
诊断图：绘制诊断图，检查异 常值和拟合趋势
拟合统计量：计算拟合优度统 计量，评估拟合效果
预测误差：预测未来数据，评 估预测误差
异常值的处理
识别：通过图形或统计方法识别异常值 处理：根据实际情况选择删除或保留异常值 重新拟合：在处理异常值后重新进行拟合 验证：验证拟合结果是否符合预期
MATLAB拟合的注意事项
04
数据的预处理
数据清洗：去除异常值、缺失值和重复值 数据转换：将数据转换为适合拟合的形式，如对数转换、多项式转换等 数据缩放：将数据缩放到合适的范围，以提高拟合精度 数据分割：将数据分成训练集和测试集，以评估模型的泛化能力
拟合参数的选择
参数初始值的设定要合理
根据数据特点选择合适的拟 合函数
适用场景：当标准拟合函数无法满足需求时，可以使用自定义函数拟合
步骤：编写自定义函数，并使用MATL AB的fminsearch或fminunc等优化 函数进行拟合 注意事项：自定义函数需要符合数学函数的规范，且需要能够计算函数的 导数
MATLAB拟合的实例
03
一元线性拟合
实例数据：一元线性数据集
拟合的步骤
导入数据
设定拟合模型
执行拟合操作
评估拟合结果
MATLAB拟合的常用方法
02
多项式拟合
定义：多项式拟合是一种通过多项式逼近数据的方法，通过最小化误差平方和来求解最 佳拟合多项式
实现方式：使用MATLAB中的polyfit函数进行多项式拟合，该函数可以求解一元或多 元多项式拟合
MATLAB教学视频：非线性方程(组)在MATLAB中的求解方法
0.6
0.8
1 t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
二元方程组的图解法
用图解法，求二元方程组的解，其中 x 和 y 的范围均为 [-5, 5]
2 − xy x =5 e 3 2 2 x+ y x cos x + y + y e = 10 ( )
2
将方程组移项，改写成 f(x, y) = 0 的形式
f(t)
0 -0.1 -0.2
对于非多项式方程，只能求出一个解
-0.3 -0.4 -0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 t
1.2
1.4
1.6
1.8
2
solve 函数的局限性
求解一元非线性方程 (超越方程)
f ( x ) = sin ( x ) + cos ( x x ) − 10
对于稍许复杂的方程，求解结果出现很大误差
一元方程的图解法
一个有阻尼的振动系统，振动方程如下，求出 x (t) = 0.1 对应的时刻 t
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t )
根据振动方程，有
x ( t ) = 0.8 e −6t sin ( 30t ) = 0.1
移项，可得
0.8 e −6t sin ( 30t ) − 0.1 = 0
初值 x0 分别设定为0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 等，求解方程 F 的根，并观察结果
非线性方程 (组) 数值解的一般求法
◼ 使用 fsolve 函数的第二种调用格式，求解方程 F 的根 [x,fval,exitflag] = fsolve(fun,x0,options) ◼ 使用 optimset 函数，设置 options
用MATLAB进行数据拟合
k1 e k2
式中, 表示应力, 单位是 N/m2; 表示应变.
已知应力-应变关系可以用一条指数曲线来描述, 即假设
k1 e k2
式中, 表示应力, 单位是 N/m2; 表示应变.
解 选取指数函数作拟合时, 在拟合前需作变量代换,
化为 k1, k2 的线性函数.
于是,
ln
ln k1 k2
y
+
+
+
+
+ (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
x i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
拟合与插值的关系
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
线性最小二乘法的求解：预备知识
超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1
r12a2
r1m am
y1
(n m)
rn1a1 rn2a2 rnmam yn
即 Ra=y
r11 r12 r1m
a1
y1
其中 R
,
a
,
y
rn1 rn2 rnm
am
yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x1 2 4
数据拟合matlab
数据拟合matlab【最新版】目录1.数据拟合的意义和方法2.MATLAB 在数据拟合中的应用3.多项式拟合和非线性模型拟合的实例4.MATLAB 曲线拟合工具箱的使用5.在 MATLAB 中进行数据拟合的注意事项正文一、数据拟合的意义和方法数据拟合是一种通过已知数据点来推测出一条函数曲线，从而描述数据点之间的关系的方法。
在实际应用中，数据拟合可以帮助我们挖掘数据背后的规律，为后续的预测和决策提供支持。
常见的数据拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、线性拟合等。
二、MATLAB 在数据拟合中的应用MATLAB 是一种强大的数学软件，它提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地进行数据拟合。
在 MATLAB 中，可以使用曲线拟合工具箱（cftool）进行多项式拟合、非线性模型拟合等。
三、多项式拟合和非线性模型拟合的实例1.多项式拟合：假设我们有一组数据点，我们可以通过多项式拟合来找到一个函数，使得这个函数能够尽可能地表示这些数据点。
例如，我们可以用 polyfit 函数来进行多项式拟合。
2.非线性模型拟合：在一些情况下，线性模型可能无法很好地描述数据点之间的关系，这时我们可以考虑使用非线性模型拟合。
在 MATLAB 中，可以使用 nlinfit 函数进行非线性最小二乘拟合。
四、MATLAB 曲线拟合工具箱的使用MATLAB 的曲线拟合工具箱（cftool）提供了一种图形化界面，用户可以在其中创建数据集、选择拟合函数、调整拟合参数等。
以下是使用cftool 进行数据拟合的基本步骤：1.创建数据集：在 MATLAB 命令窗口中输入命令“cftool（a,b）”，其中 a，b 为 x、y 坐标的向量。
2.打开曲线拟合工具箱：在 MATLAB 命令窗口中输入“cftool”命令，打开曲线拟合工具箱。
3.选择拟合函数：在工具箱的 GUI 中选择拟合函数，如“polyfit”或“nlinfit”。
4.调整拟合参数：根据需要调整拟合参数，如多项式的阶数、非线性模型的初始参数等。
数学建模Matlab数据拟合详解
第十八页，共43页。
插值问题
已知 n+1个节点 (xj,yj)(j0,1, n,其中 x j
使用MATLAB进行数据拟合的步骤与技巧
使用MATLAB进行数据拟合的步骤与技巧概述：数据拟合是一种重要的数学方法，用于确定给定数据集的数学模型，并使用所选模型来预测未知数据点的值。
MATLAB是一种广泛用于科学和工程领域的高级计算机语言和数值计算环境。
它提供了强大的工具和函数，可用于数据处理和拟合。
本文将介绍使用MATLAB进行数据拟合的基本步骤，并分享一些技巧和注意事项。
数据拟合步骤：1. 数据导入和可视化：首先，将数据导入MATLAB环境中。
可以从文件、数据库或其他源获取数据，并使用MATLAB的数据导入工具将其加载到工作空间中。
然后，使用plot函数将数据绘制为散点图，以获得对数据的初步了解。
2. 选择拟合模型：根据数据的特点和目标，选择适当的拟合模型。
主要有线性拟合、多项式拟合和非线性拟合等。
线性拟合适用于大多数简单数据集，多项式拟合可用于具有曲线特征的数据集，非线性拟合则可以更精确地拟合复杂数据。
3. 创建拟合函数：在MATLAB中，可以使用fittype函数创建自定义的拟合函数。
该函数定义了拟合模型的形式，并且需要选择适当的方程类型和参数。
可以根据所选模型的特性和拟合需求，添加必要的参数和约束。
4. 拟合数据：使用cfit函数对数据进行拟合。
cfit函数接受拟合函数、数据和初始参数值作为输入，并根据最小二乘拟合准则计算出最优拟合参数。
可以通过调用fit函数，使用最小二乘法或其他拟合算法，拟合数据。
拟合结果将生成一个代表最佳拟合曲线的对象。
5. 可视化拟合结果：为了更好地评估拟合结果，使用plot函数在原始数据图上叠加绘制拟合曲线。
比较拟合曲线与实际数据的吻合程度，考虑调整模型或拟合算法以获得更好的拟合效果。
6. 评估拟合效果：使用MATLAB提供的工具和函数评估拟合结果的质量。
例如，可以使用拟合对象的自由度调整的R方值（Adjusted R-squared）来度量模型拟合优度。
除了R方值，还可以计算均方根误差（RMSE）等指标来评估拟合效果。
MATLAB神经网络（2）BP神经网络的非线性系统建模——非线性函数拟合
MATLAB神经⽹络（2）BP神经⽹络的⾮线性系统建模——⾮线性函数拟合2.1 案例背景在⼯程应⽤中经常会遇到⼀些复杂的⾮线性系统，这些系统状态⽅程复杂，难以⽤数学⽅法准确建模。
在这种情况下，可以建⽴BP神经⽹络表达这些⾮线性系统。
该⽅法把未知系统看成是⼀个⿊箱，⾸先⽤系统输⼊输出数据训练BP神经⽹络，使⽹络能够表达该未知函数，然后⽤训练好的BP神经⽹络预测系统输出。
本章拟合的⾮线性函数为y=x12+x22该函数的图形如下图所⽰。
t=-5:0.1:5;[x1,x2] =meshgrid(t);y=x1.^2+x2.^2;surfc(x1,x2,y);shading interpxlabel('x1');ylabel('x2');zlabel('y');title('⾮线性函数');2.2 模型建⽴神经⽹络结构：2-5-1从⾮线性函数中随机得到2000组输⼊输出数据，从中随机选择1900 组作为训练数据，⽤于⽹络训练，100组作为测试数据，⽤于测试⽹络的拟合性能。
2.3 MATLAB实现2.3.1 BP神经⽹络⼯具箱函数newffBP神经⽹络参数设置函数。
net=newff(P, T, S, TF, BTF, BLF, PF, IPF, OPF, DDF)P：输⼊数据矩阵；T：输出数据矩阵；S：隐含层节点数；TF：结点传递函数。
包括硬限幅传递函数hardlim、对称硬限幅传递函数hardlims、线性传递函数purelin、正切型传递函数tansig、对数型传递函数logsig；x=-5:0.1:5;subplot(2,6,[2,3]);y=hardlim(x);plot(x,y,'LineWidth',1.5);title('hardlim');subplot(2,6,[4,5]);y=hardlims(x);plot(x,y,'LineWidth',1.5);title('hardlims');subplot(2,6,[7,8]);y=purelin(x);plot(x,y,'LineWidth',1.5);title('purelin');subplot(2,6,[9,10]);y=tansig(x);plot(x,y,'LineWidth',1.5);title('tansig');subplot(2,6,[11,12]);y=logsig(x);plot(x,y,'LineWidth',1.5);title('logsig');BTF：训练函数。
matlab拟合工具箱拟合方法
matlab拟合工具箱拟合方法Matlab拟合工具箱是Matlab软件中的一个功能强大的工具箱，它提供了多种拟合方法，用于拟合数据集并找到最佳的拟合曲线。
本文将介绍Matlab拟合工具箱的几种常用的拟合方法。
一、线性拟合（Linear Fit）线性拟合是最简单和最常用的拟合方法之一。
线性拟合假设拟合曲线为一条直线，通过最小二乘法求解最佳拟合直线的斜率和截距。
线性拟合可以用于解决一些简单的线性关系问题，例如求解两个变量之间的线性关系、求解直线运动的速度等。
二、多项式拟合（Polynomial Fit）多项式拟合是一种常见的拟合方法，它假设拟合曲线为一个多项式函数。
多项式拟合可以适用于一些非线性的数据集，通过增加多项式的阶数，可以更好地拟合数据。
在Matlab拟合工具箱中，可以通过设置多项式的阶数来进行多项式拟合。
三、指数拟合（Exponential Fit）指数拟合是一种常用的非线性拟合方法，它假设拟合曲线为一个指数函数。
指数拟合可以用于拟合一些呈指数增长或指数衰减的数据集。
在Matlab拟合工具箱中，可以使用指数拟合函数来拟合数据集，并得到最佳的拟合曲线参数。
四、对数拟合（Logarithmic Fit）对数拟合是一种常见的非线性拟合方法，它假设拟合曲线为一个对数函数。
对数拟合可以用于拟合一些呈对数增长或对数衰减的数据集。
在Matlab拟合工具箱中，可以使用对数拟合函数来拟合数据集，并得到最佳的拟合曲线参数。
五、幂函数拟合（Power Fit）幂函数拟合是一种常用的非线性拟合方法，它假设拟合曲线为一个幂函数。
幂函数拟合可以用于拟合一些呈幂函数增长或幂函数衰减的数据集。
在Matlab拟合工具箱中，可以使用幂函数拟合函数来拟合数据集，并得到最佳的拟合曲线参数。
六、指数幂函数拟合（Exponential Power Fit）指数幂函数拟合是一种常见的非线性拟合方法，它假设拟合曲线为一个指数幂函数。
指数幂函数拟合可以用于拟合一些呈指数幂函数增长或指数幂函数衰减的数据集。
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待定参数初值 param0
MATLAB 内部求解器 计算出新的待定参数
新的待定参数 param 否 满足结束计算的条件？
是 结束计算
lsqcurvefit 内部迭代计算过程
MATLAB 实现非线性拟合 —— lsqcurvefit
◼ 使用 lsqcurvefit 实现非线性拟合的基本步骤
✓ 给定已知的数据 (x, y) 以及 x y 之间满足的函数关系 y = f(x) ✓ 确定 y = f(x) 中的待定参数 param = [r, ym] ✓ 定义拟合函数 y = f(x) ： function y = curvefun (param, x) ✓ 给定参数的初值 param0 → 调用 lsqcurvefit 求解
人口呈指数无限增长
人口 爆炸
人口不可能无限制地增长
人口阻滞增长模型 —— Logistics 模型
◼ 由于资源和环境的阻滞作用，人口越多，人口的增长率越低
◼ 人口增长率不再是常数，而是人口数量 y 的函数 r(y) → r(y) 是 y 的减函数 ◼ 设有限的资源和环境，能够供养的最大人口数量为 ym → 人口阻滞增长模型
◼ 待定参数初值的确定 param0 = [0.15, 400]
✓ 当人口总数较少时，近似成指数增长，令 x = 5
y = erx y1975 = 20.3 e5r r 0.15
y0
y1970 9.7
✓ 人口数量的极限为 ym → ym > 2015 年人口数量 (330.7)
y=
ym
◼ 初值的选取
✓ 根据函数的形式，使用一部分数据，预估参数的值 → 人口模型的分析 ✓ 根据参数的物理意义和建模所用的专业知识，合理确定参数的范围 → 土壤含水率问题
指数增长
阻滞增长
案例一：人口预测问题
◼ 已知某地区在 1970 - 2015 年的人口数据 (万人) 如下，预测该地区在 2040 年前的人口数量
年份 第x 年 人口 y
1970 0 9.7
1975 5 20.3
1980 10 34.2
1985 15 55.7
1990 20 95.3
1995 25 168.5
◼ 输入参数解读
◼ 输出参数解读
✓ fun : 定义拟合函数 ✓ param0 : 拟合函数待定参数的初值 ✓ xdata / ydata : 已知的横 / 纵坐标数据点 ✓ lb / ub : 待定参数的下边界和上边界 ✓ options : 拟合函数的优化选项 → help
✓ param : 待定参数的求解结果 ✓ resnorm : 拟合残差的平方和 ✓ residual : 拟合残差 ✓ exitflag : 结束标记，大于 0 → 局部最优 param ✓ output : 有关拟合计算过程的信息 → help
✓ 线性拟合
➢ 通用方法：求解线性超定方程组 → 第 14 期教学视频 ➢ 求解线性拟合问题，无需给出参数的初值，算法稳定可靠 → 全局最优解
✓ 非线性拟合
➢ MATLAB 函数：lsqcurvefit / lsqnonlin / nlinfit / fsolve → 局部最优解 ➢ 拟合问题 → 也可以转化成优化问题 → MATLAB 的优化函数求解 ➢ 求解非线性拟合问题，需要给出待定参数的初值，可能会出现迭代不收敛
案例二：土壤含水率问题
◼ 设置待定参数的初值 param0 = [1, 3, 0.5, 0.5]
✓ 设定 MaxFunctionEvaluations 的值为 1000 ✓ 设定 Algorithm 为 levenberg-marquardt
✓ 设定参数的上下边界
结束语 —— 拟合问题总结
◼ 拟合问题：能转化成线性拟合问题的，绝不使用非线性拟合
◼ 输入 / 输出参数解读
✓ fun : 定义拟合函数 y = f(x) ✓ param0 : 拟合函数待定参数的初值 ✓ xdata / ydata : 已知的横 / 纵坐标数据点 (测量数据) ✓ param : 待定参数的求解结果
◼ lsqcurvefit 结束计算
✓ 求解失败，例如，超出最大迭代次数 (默认 400) 等 ✓ 求解成功，得到局部最优的待定参数
dy
dx
=
r( y) y
=
r 1−
y ym
y
y(0)
=
y0
y=
ym
1+
ym y0
−
1
e−
rx
◼ 时间 x 越大 → 人口数量 y 越大 | x → Inf , y → ym ◼ 当 y 很小时，r(y) → r (常数)，人口呈指数增长 ◼ 当 y 接近 ym 时，r(y) → 0，人口不再增长 (阻滞)
r = y(x + x) − y(x) y(x + x) − y(x) = ry(x)
y ( x)x
x
◼ 当 Δx → 0 时，可得微分方程 → 起始年份的人口数量为 y0 → 微分方程的解析解
dy
=
ry
dx
y = y0erx
y(0) = y0
由于资源和环境容量等的限制
案例二：土壤含水率问题
◼ 已知土壤含水率 θ 与压力水头 h 之间的函数关系，以及 (h, θ) 的测量数据
= r
+
s −r
1 +
h
n
1− 1 n
=
r
+
s
−r
1− 1
An
水头 h 含水率 θ 水头 h 含水率 θ
0.00 0.476 159.12 0.312
27.2 0.434 197.20 0.287
✓ 哪个局部的最优解好？ ✓ 局部最优解 (拟合数据) 与测量数据的“匹配度”如何？
◼ 评价指标
✓ 横向比较不同的局部最优解 → 拟合的定义是使得残差平方和最小 → 直接比较 resnorm ✓ 拟合数据与测量数据的“匹配度”
➢ 计算测量数据与拟合数据之间的标准均方根误差 (NRMSE) → 越接近 1 越好 ➢ 计算测量数据与拟合数据之间的标准均方误差 (NMSE) → 越接近 1 越好 ➢ MATLAB 实现：系统辨识工具箱里的 goodnessOfFit 函数
2000 30 217.8
2005 35 257.6
2010 40 296.1
2015 45 330.7
◼ 根据 Logistics 人口模型 → 待定参数：r & ym
y=
ym
1+
ym y0
−
1
e−
rx
◼ 方程个数 (10) 大于未知数个数 (2) → 拟合问题 → 非线性拟合问题
◼ 求待定参数：α , n , θr , θs ◼ 参数的上下边界： α (0 – 5) , n (1 – 5) , θr (0 – 1) , θs (0 – 1) ◼ 参考文献：彭建平，邵爱军. 用 MATLAB 确定土壤水分特征曲线参数 [J]. 土壤 (Soils), 2007, 39 (3)
1+
ym y0
−
1
e−
rx
MATLAB 实现非线性拟合 —— lsqcurvefit
◼ 计算拟合残差 / 残差平方和
✓ 拟合残差 = 拟合值 – 测量值 ✓ 残差平方和 = Σ 残差平方
◼ 执行结果：得到了局部最小值，lsqcurvefit 内部迭代结束 (收敛)
◼ 拟合的定义 / 目标 → 残差平方和最小 ◼ 局部最小值 → 残差平方和局部最小
y
*
y = f (x)
f (xk )
yk
*
*
**
*
residualk = f (xk ) − yk
n
n
resnorm = f (xk ) − yk 2 = residualk2
k =1
k =1
xk
x
人口指数增长模型 —— Malthus 模型
◼ Malthus 人口模型：假设单位时间内的人口增长率 r 为常数
MATLAB 教学视频 详解数据拟合的 MATLAB 实口增长模型
✓ 人口指数增长模型 —— Malthus 模型 ✓ 人口阻滞增长模型 —— Logistics 模型
◼ MATLAB 实现非线性拟合 —— lsqcurvefit ◼ 寻优算法 —— 局部最优解 ◼ 拟合效果的评价 ◼ 土壤含水率问题的分析 ◼ 结束语 —— 拟合问题总结
MATLAB 实现非线性拟合 —— lsqcurvefit
◼ 设定待定参数的初值 param0 = [30, 600]
◼ 虽然得到了局部最小值，但是拟合的效果非常差
寻优算法 —— 局部最优解
◼ 拟合问题：寻找参数 → 残差平方和最小
◼ 寻找你所在区域内的海拔最低点
◼ 不同的初值 → 可能得到不同的局部最优解 ◼ 不同的出发地点 → 可能找到不同的区域内最低点
53.04 0.406 251.60 0.271
62.56 0.401 262.48 0.261
69.36 0.392 286.96 0.253
81.60 0.382 359.04 0.252
95.20 0.365 452.88 0.236
108.80 0.351 503.20 0.234
126.48 0.335
◼ options 设置示例 → 设置内部最大迭代次数为 1000 | 绘制每次内部迭代后的残差平方和
✓ options = optimoptions ('lsqcurvefit', 'MaxIterations', 1000, 'PlotFcn', @optimplotresnorm)