非线性拟合
基于MATLAB的非线性曲线拟合
基于MATLAB的非线性曲线拟合一、本文概述随着科技的不断进步，数据分析和处理在各个领域中都发挥着越来越重要的作用。
非线性曲线拟合作为一种重要的数据处理方法，被广泛应用于科学研究、工程实践以及日常生活等多个领域。
MATLAB作为一款强大的数学计算和数据分析软件，为非线性曲线拟合提供了便捷的工具和丰富的函数库。
本文旨在介绍基于MATLAB的非线性曲线拟合方法，包括非线性模型的建立、参数估计、模型验证等步骤，并通过具体实例展示MATLAB在非线性曲线拟合中的应用。
本文首先简要介绍了非线性曲线拟合的基本概念和研究背景，阐述了非线性曲线拟合在实际应用中的重要性。
接着，详细介绍了MATLAB 中非线性曲线拟合的实现过程，包括非线性模型的构建、数据预处理、参数估计方法的选择、模型拟合和评估等方面。
在此基础上，通过实例分析，展示了MATLAB在非线性曲线拟合中的实际应用，并对拟合结果进行了分析和讨论。
对全文进行了总结，指出了非线性曲线拟合在实际应用中的潜在价值和未来研究方向。
通过本文的学习，读者可以了解非线性曲线拟合的基本原理和方法，掌握MATLAB在非线性曲线拟合中的应用技巧，提高数据处理和分析能力，为相关领域的研究和实践提供有力支持。
二、非线性曲线拟合基础在数据分析和科学研究中，我们经常遇到需要通过一组离散的数据点来寻找其潜在的非线性关系。
非线性曲线拟合就是这样一个过程，它旨在找到最能描述数据点之间关系的非线性函数。
与线性拟合不同，非线性拟合的模型函数通常包含非线性参数，这些参数需要通过一定的优化算法来求解。
MATLAB作为一款强大的数学软件，提供了多种非线性曲线拟合的工具和函数。
在MATLAB中，非线性曲线拟合通常通过lsqcurvefit、lsqnonlin或fit等函数实现。
这些函数允许用户定义自己的非线性模型函数，并通过迭代优化算法来寻找最佳拟合参数。
在进行非线性曲线拟合时，选择合适的模型函数至关重要。
非线性拟合方法范文
非线性拟合方法范文非线性拟合方法是一种用于寻找数据中的模式或趋势的技术。
与线性拟合方法不同，非线性拟合方法可以适用于更复杂的数据集，并且可以更好地描述数据中的非线性关系。
在本文中，我们将讨论几种常见的非线性拟合方法，并介绍它们的优点和限制。
1.最小二乘法拟合最小二乘法拟合是一种常见的非线性拟合方法。
这种方法通过最小化观测值与拟合模型之间的残差平方和来确定最佳拟合参数。
可以使用各种最优化算法，如梯度下降或牛顿法，来找到最小二乘法拟合的参数。
最小二乘法拟合在实现简单和效果良好的同时，也具有很高的稳定性。
2.曲线拟合曲线拟合是一种常见的非线性拟合方法，用于拟合数据点形成的曲线。
曲线拟合可以使用多项式，指数，对数，三角函数等形式，以适应不同类型的数据。
对于复杂的数据集，可以使用高阶多项式来拟合数据。
曲线拟合的优点是可以很好地描述数据中的非线性关系，但在选择拟合模型时需要一定的经验和领域知识。
3.非线性回归非线性回归是一种常见的非线性拟合方法，用于建立观测值和预测变量之间的非线性关系。
非线性回归可以采用多种拟合函数，如幂函数，指数函数，对数函数等。
在非线性回归中，需要通过最小化拟合函数和观测值之间的残差来确定最佳拟合参数。
非线性回归的优点是可以灵活地适应各种非线性关系，并可以得到较好的拟合结果。
4.动态系统拟合动态系统拟合是一种用于拟合时间序列数据的非线性拟合方法。
在动态系统拟合中，可以通过建立预测变量之间的微分方程来描述数据的演化过程。
通过最小化预测变量和观测值之间的误差，可以确定微分方程的参数。
动态系统拟合的优点是可以考虑数据的动态性，适用于描述具有时间相关性的非线性关系。
5.遗传算法拟合遗传算法拟合是一种利用遗传算法进行优化的非线性拟合方法。
在遗传算法拟合中，通过建立适应度函数来评估拟合的质量，并使用遗传算法最佳拟合参数。
遗传算法拟合的优点是可以在参数空间中进行全局，并能够适应复杂的非线性关系。
尽管非线性拟合方法在捕捉数据中的非线性关系方面表现出色，但它们也存在一些限制。
非线性拟合
非线性拟合
非线性拟合是一种比线性拟合更具实用性的数据拟合技术。
非线
性拟合中，数学模型可以更加准确地拟合被测量或推断出来的数据。
它同时可以使用多种不同的曲线，而不局限于直线。
这种技术的优势
在于可以解决一些未知函数的问题，同时也可以分析复杂的模式和变化。
非线性拟合通常可以分为静态和动态两种。
静态拟合是指拟合有
限数据点，模型由拟合所得的函数得到，但可以对不同情况进行调节，以拟合更好的模型。
而动态拟合则是由拟合过程中获得的模型指标确定，代表不同的变量状态，以拟合最佳模型。
非线性拟合的方法很多，如多项式拟合、样条拟合、最小二乘拟
合等。
多项式拟合可以对不同方程的函数进行拟合，比如二次多项式、三次多项式等，这种方式可以解决单变量或者多变量函数的拟合，而
样条拟合则可以使用曲线或曲面近似拟合一组离散数据，最小二乘拟
合则可以为拟合数据点选择一个最佳的模型，生成最优的曲线。
非线性拟合是一种经常被用于科学和工程分析中的有用技术，其中，可以用来求解各种参数的样本状态和估计精度。
它可以预测函数
的行为，可以帮助研究人员做出更快更准确的决策。
非线性拟合也可
以用来推断模型及其变量之间的关系，从而帮助研究人员更容易地理
解函数的行为及其在不同状态下的变化。
报告中非线性数据分析和拟合的方法
报告中非线性数据分析和拟合的方法一、引言非线性数据分析和拟合是数据科学中的重要任务，它广泛应用于各个领域，包括经济学、生物学、工程学等。
在这些领域中，许多现象都不能用简单的线性模型进行描述，因此需要采用更为复杂的非线性模型进行分析和拟合。
本篇报告将着重介绍几种常用的非线性数据分析和拟合的方法。
二、多项式拟合法多项式拟合是一种简单但有效的非线性数据拟合方法。
该方法通过采用多项式函数来对数据进行拟合，其中函数的系数可由最小二乘法来确定。
多项式拟合的优点在于简单易用，在任何编程环境下都可以轻松实现。
然而，多项式拟合也存在一些问题，比如过度拟合、局部最小和数据不平滑等。
针对这些问题，可以通过选择适当的多项式阶数、引入正则化项或将数据进行平滑处理来解决。
三、非线性回归法非线性回归是一种更为灵活多样的非线性数据分析方法。
与多项式拟合不同，非线性回归不仅考虑多项式函数，还可以使用各种其他非线性函数。
对于给定的数据集，非线性回归的目标是找到最佳拟合函数，使其能够最好地解释数据中的变化。
非线性回归通常需要一些数值优化算法来确定最佳参数估计。
这些算法包括梯度下降法、Levenberg-Marquardt算法等。
四、局部加权回归法局部加权回归是一种基于样本点周围信息的非线性数据拟合方法。
它利用距离加权来对不同样本点进行不同程度的拟合权重，从而在拟合过程中更加关注靠近目标点的数据。
这种方法克服了全局模型的刚性问题，并能够更好地适应数据中的局部变化。
局部加权回归方法相对简单，但在处理大规模数据集时会面临一定的挑战，需要采用一些高效的近似算法来提高计算速度。
五、神经网络方法神经网络是一种强大的非线性数据建模和拟合工具。
它通过构建多层神经元网络来学习数据之间的复杂非线性关系。
神经网络可以包含多个隐藏层和大量的参数，可以应对各种复杂的数据模式。
神经网络的训练通常使用反向传播算法，该算法可以通过最小化误差函数来调整网络参数，使其拟合数据。
指南4非线性曲线拟合
指南4，非线性曲线拟合（Nonlinear Curve Fitting）说明origin提供了几种直接拟合功能在分析菜单中。
要用菜单操作拟合你的数据，确定你想要拟合的数据块是激活了，然后从分子菜单中选择你想要那种拟合类型。
菜单中大多数命令没有参数说明，你可以执行自动拟合。
有一些告诉你参数说明，但它将建议基于你的数据的默认值。
在图表窗口分析菜单的拟合命令图例：当已经执行了拟合后，origin在图表窗口显示拟合曲线和结果（基于拟合选择），并在结果对话框中输出全部结果。
用分析菜单命令拟合图例：用工具拟合(Fitting Using the Tools)为了比菜单命令更好控制拟合度，origin提供了三个拟合工具：线性拟合，多项式拟合 ，独立拟合。
当工作表或者图表被激活的时候，这些工具从工具菜单里可以找到。
拟合工具：要用拟合工具，选择你想要拟合的数据设置或者数据快。
打开工具和常规选项，然后点击拟合选项标签。
拟合比较(Fitting Comparison)比较拟合工具是可用来决定两个数据设置是否是来自于同样人口的典型性例子。
这个工具通过对数据拟合同样功能比较数据设置。
然后用拟合测试去决定时候数据设置是单独不同于其他的人一个。
当一个工作表或者图表被激活的时候，要打开拟合比较，选择工具(Tools)菜单下的拟合比较（Fitting Comparison）子菜单。
拟合比较工具图例：工具输出结果到结果对话框。
拟合比较结果：拟合向导（The Fitting Wizard）origin提供了NLSF向导和更高级拟合工具来执行非线性小块拟合。
向导让你一步步地拟合，比NLSF更容易操作。
然而，向导不提供所在在NLSF里可用的拟合选项。
例如，如果你想定义一个新的拟合功能，拟合多个数据设置到一个功能，用多个可靠的和不可靠的不同数据拟合拟合，或者在固定触发器运行脚本（例如，在一个拟合被执行后），然后你必须用NLSF拟合。
当一个工作表或者图表是激活状态时，要打开NLSF向导，请选择菜单分析（Analysis）下的子菜单非线性曲线拟合(Nonlinear)→拟合向导（Fitting Wizard）。
非线性拟合 原理
非线性拟合原理
非线性拟合是一种用于拟合非线性数据模型的方法，它背后的原理是根据给定的数据集，通过调整模型参数来使计算值与观测值的误差最小化。
与线性拟合不同，非线性拟合可以处理更复杂的数据模型，因为它允许模型的参数不是线性关系。
非线性拟合的原理可以简单概括为以下几个步骤：
1.选择适当的非线性模型：首先，需要根据数据的特点选择适当的非线性模型。
常见的非线性模型包括多项式模型、指数模型、对数模型等。
2.确定初始参数值：为了开始拟合过程，需要给定初始的参数值。
通常可以根据经验或者领域知识来选择初始参数值，这将有助于更快地收敛到最佳解。
3.计算模型预测值：根据当前的参数值，计算模型的预测值。
这些预测值将与实际观测值进行比较以计算误差。
4.调整参数值：利用优化算法（如最小二乘法、梯度下降法等），根据误差的大小调整参数值。
这样可以逐步逼近最佳的参数组合，使误差最小化。
5.重复步骤3和步骤4：重复步骤3和步骤4，直到达到收敛条件。
通常，收敛条件可以通过设置最大迭代次数或者误差的阈值来定义。
非线性拟合方法非常常用，可以用于多个领域的数据建模和预测。
然而，需要注意的是，选择合适的非线性模型和调整参数值的过程可能非常复杂，需要经验和实践的积累。
同时也需要对数据集的特性有一定的了解，以确定是否需要使用非线性拟合方法来提高模型的拟合效果。
非线性拟合GAM
⾮线性拟合GAM从第⼆章开始，主要介绍的重点都是线性模型。
线性模型简单、直观、便于理解，但是现实中，线性假设很可能不能满⾜实际需求，甚⾄直接违背实际情况。
在第6、7章会介绍⼀些⽅法来弥补线性模型的不⾜，通过降低模型的复杂度和估计量的⽅差来改善模型。
但我们还可以通过另⼀种⽅式来改善模型，那就是改变”线性假设”。
接下来，我们介绍⼀些由线性假设下，扩展得到的其他模型。
⼀，多项式回归在了解简单线性模型的基础上，很容易理解多项式回归，形如：yi=β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn+eiyi=β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn+ei为误差项多项式回归的优点是，随着变量的增加，可以拟合出异常极端变化的曲线。
不过通常来说，多项式回归基本都不会超过四项式。
多项式也可以结合logistics进⾏回归，形如：P(yi|xi)=exp(β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn)1+exp(β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn)P(yi|xi)=exp(β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn)1+exp(β0+β1x11+β2x22+...++βnxnn)⼆，分段常值函数(step functions)不论简单线性回归、多项式回归等都是具有全局性的结构。
再不考虑全局性回归时，可以⽤到分段回归。
最简单的分段回归应该就是形如阶跃函数了，阶跃函数也是提供连续变量离散化成有序分类变量的⽅法。
过程如下：对X进⾏分组；每个组拟合出不同的常量；假设对X有K个截点，c1,c2,...,ckc1,c2,...,ck我们⽣成K+1个新变量：这些变量有时候也叫虚拟变量或哑变量，然后对这K+1个变量进⾏拟合，得到形如：三，基底函数(basis functions)前两种回归⽅式，都可以总结为是基底函数的特例。
所谓的基底函数是不直接对X进⾏回归，⽽是⽤函数函数变化后的bi(xi)bi(xi)值进⾏回归，形如：当 bj(xi)=xjibj(xi)=xij时，就变成了分段回归；四，回归(Regression Splines)由基底函数可知，基函数可以是任意的组合形式，不过接下来我们介绍的⼀种基函数是结合了多项式和分段常值函数的”回归样条”.什么是样条呢？样条是⼀个函数，由多项式构造的分段函数，并且在分段节点处要具有⾼度平滑的特性，即在分段结点处连续且有连续的导数。
坐标系拟合
坐标系拟合
坐标系拟合是指将一组给定的数据点拟合到一个坐标系中，以找
出最佳的拟合曲线或拟合函数。
常见的坐标系拟合方法包括线性拟合、多项式拟合、非线性拟合等。
下面分别介绍这些拟合方法：
1. 线性拟合：线性拟合是指通过一条直线来拟合数据点。
这种
拟合方法适用于数据点之间的关系近似为线性关系的情况。
线性拟合
可以用最小二乘法来求解，即找到一条直线，使得所有数据点到该直
线的距离之和最小。
2. 多项式拟合：多项式拟合是指通过一个多项式函数来拟合数
据点。
多项式拟合可以通过最小二乘法来求解，其中多项式的次数可
以根据数据点之间的关系来确定。
多项式拟合具有更高的灵活性，可
以适应更复杂的数据关系。
3. 非线性拟合：非线性拟合是指通过一个非线性函数来拟合数
据点。
非线性拟合可以通过最小二乘法、最大似然估计等方法来求解。
非线性拟合适用于数据点之间的关系较为复杂的情况，可以拟合出更
加准确的曲线。
在进行坐标系拟合时，需要注意选择合适的拟合方法、确定拟合
函数的参数以及评估拟合的好坏。
常用的评估指标包括均方根误差（RMSE）、决定系数（R-square）等。
拟合结果的好坏也可以通过可
视化数据点与拟合曲线之间的差异来判断，比如通过绘制散点图和拟
合曲线来进行观察。
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其中
定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组
RTRa=RTy
的解：a=(RTR)-1RTy
24
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)； 2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 f(x)： f=a1+a2x + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + + f=a1+a2x+a3x2 + + + + +
线性最小二乘法的求解：预备知识 超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组
r11a1 r12 a2 r1m am y1 ( n m) r a r a r a y nm m n n1 1 n 2 2
r11 R 其中 rn1 r 12 rn 2
14
例
已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
y
11 2.0
12 1.8
13 1.2
14 1.0
15 1.6
机翼下 轮廓线
x
返回
15
二、拟 合
1. 拟合问题引例 2.拟合的基本原理
16
拟 合 问 题 引 例 1
18
10
0
曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y + +
+
+
+ i (x+ i,yi)
+ +
+
y=f(x)
x
i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
‘nearest’ ：最邻近插值 ‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插 值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求 x是单调的，并且 xi不
13
能够超过x的范围。
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温 度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31， 30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度 值。
f=a1+a2/x + + +
f=aebx +
+
-bx f=ae + +
Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中Li(x) 为n次多项式：
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) L i (x) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
si ( xi ) si 1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ), si( xi ) si1 ( xi ) (i 1, , n 1)
4) S ( x0 ) S ( xn ) 0 ( 自然边界条件） 2) 3) 4) ai , bi , ci , di S ( x)
求任一插值点
x ( x j ) 处的插值 y * .
*
节点可视为由
y1 y0
y
*
y g ( x)产生， g表达式复杂,
或无封闭形式, 或未知.。
3
x0 x1 x*
xn
构造一个(相对简单的)函数 y f ( x), 通过全部节点, 即
f ( x j ) y j ( j 0,1,n)
hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); (直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') %作图 xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 。
记
J (a1 , a2 , am ) i2 [ f ( xi ) yi ]2
i 1 n i 1
n
n
[ ak rk ( xi ) yi ]2
i 1 k 1
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
22
问题归结为，求 a1,a2, …am 使 J(a1,a2, …am) 最小。
n
即 Ra=y
r1m a1 y1 , y , a rnm am yn
超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。
2 ( r a r a r a y ) 如果有向量a使得 i1 1 i 2 2 达到最小， im m i i 1
计算量与n无关;
xn
例
用分段线性插值法求插值,并观察插值误差.
1 g ( x) , 6 x 6 2 1 x
1.在[-6,6]中平均选取5个点作插值(xch11)
2.在[-6,6]中平均选取11个点作插值(xch12)
3.在[-6,6]中平均选取21个点作插值(xch13)
4.在[-6,6]中平均选取41个点作插值(xch14)
再用
f ( x) 计算插值，即 y f ( x ).
* *
y1 y0
y
*
x0 x1 x*
xn
返回
4
拉格朗日(Lagrange)插值
已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形
10
2
MATLAB(aa1)
10
1
c(t ) c0 e
kt
c, k为待定系数
0 2 4 6 8
实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
x f 1 1.5 2 3.9 4 6.6 7 11.7 9 15.6 12 13 18.8 19.6 15 20.6 17 21.1
MATLAB(cn)
20
最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：
25
0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 温度 t( 已知热敏电阻数据：
电阻R() 765 求600C时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
826
873
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
17
拟 合 问 题 引 例 2 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
称为拉格朗日插值基函数。
5
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地: 两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 L2 x y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
10
三次样条插值
S ( x) {si ( x), x [ xi 1, xi ],i 1,n}
1) si ( x ) ai x 3 bi x 2 ci x d i (i 1, n) 2) S ( xi ) yi (i 0,1, n) 3) S ( x ) C 2 [ x0 , xn ]
lim S ( x ) g ( x )
n
g(x)为被插值函数。
11
例
1 g ( x) , 6 x 6 2 1 x
用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych)
返回
12
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
ÒÑÖªÊý¾Ýµã 20
5
15
10 ÒÑÖªÊý¾Ýµã
linest Èý´Î¶àÏîÊ ½²åÖµ
10
15 nearest Èý´Î¶àÏîÊ ½²åÖµ