流体力学例题

如图，横截面为椭圆形的长圆柱体置于风洞中，来流稳定、风速风压均匀并垂直绕过柱体流动。

住体对流体的总阻力可通过测力天平测试柱体受力获得，也可通过测试流场速度分布获得。

现通过后一种方法，确定单位长度的柱体对流体的总阻力F x 。

解：由于柱体很长且来流均匀，可认为流动参数沿z 方向（柱体长度方向）无变化，将绕柱体的流动视为x-y 平面的二维问题。

⒈ 控制体：取表面A 1、A 2、 A 3、 A 4并对应柱体单位长度的流场空间。

⒉
控制面A 1：柱体上游未受干扰，故有：
0p p =，0u v x =，0=y v ，于是控制面上x 方向受力、质量流量和动量流量分别为：
01bp F x =，()b u dA A 01
ρρ-=⋅⎰⎰n v ，()b u dA v A x 2
01
ρρ-=⋅⎰⎰n v
控制面A 2：设在柱体下游一定距离处，与面A 1相距l ，此处压力基本恢复均匀分布，故有
0p p ≈。

()y v v x x =是需要测量的物理量；()y v v y y =通常比x v 小得多，其精确测量较困
难，在计算x 方向受力时用不到，控制面上x 方向受力、质量流量和动量流量分别为：
02bp F x -=，()⎰
⎰
⎰⎰==⋅-2
/0
2
/2
/22
b x b b x A dy v dy v dA ρρρn v ，()⎰
⎰⎰=⋅2
/0
2
21
b x A x dy v dA v ρρn v
控制面A 3：b 应取得足够大，以使得面A 3上的流动受柱体影响较小，故有0p p ≈，0u v x ≈。

控制面上的质量流量由y v 确定，该量精确测定较为困难，计算结果最终不会用到该量，暂设()x v v y y =为已知量。

03≈x F ，()⎰⎰⎰≈⋅l y A dx v dA 0
223
ρρn v ，()⎰⎰⎰=⋅l
y A x dx v u dA v 0
0223
ρρn v
控制面A 4：为柱体横截面包络面，该面上流体所受表面力有正压力和摩擦力。

由于流场相
对于x 轴对称，所以表面力在y 轴方向的合力为零，在x 轴方向的合力F x 即为流体受到的总阻力（形体阻力与摩擦阻力），控制面上无流体输入和输出。

p p ≈0
p p ≈0
p p ≈0u v x ≈0
u v x ≈
x F （待定），()04
=⋅⎰⎰dA A n v ρ，()04
=⋅⎰⎰dA v A x n v ρ
⒊ 将上述各控制面x 方向的受力和动量流量代入动量守恒方程，并考虑到稳态流动条件下控制体内流动的栋梁变化率为零，可得：
()⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
∑++-=+++-=++-→
⋅=l
y b x
x l
y b x
x CS
x x
dx
v u dy v b u F dx v u dy v b u F bp bp dA v F 0
02/0
220
02/0220
00220220ρρρρρρρn v (a)
⒋ 将上述各控制面质量流量代入质量守恒方程，并考虑稳态流动条件，得到;
()()⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰-==++-=⋅→
=⋅+++2/0
00
2
/0
02202204
321b x l
y l
y b x A A A A CS
dy
v b u dx v dx v dy v b u dA dA ρρρρρρρρn v n v (b)
⒌ 将式（b ）代入式（a ），得到：
()⎰
⎰
⎰
--=-++-=2
/0
02
/0
02
02
/0
22
0222b x x b x b x x dy v u v dy v u b u dy v b u F ρρρρρ
解：
1． 控制体：1和2截面之间的管道。

2． 液体的受力： （1） 进出口压力p1和p2 （2） 重力G
β
（3） 弯头内壁对液体的作用力的合力F ，其分量分别是F x 和F y 3． 作用于流体上的力在x 和y 方向的合力为
βcos 2211A p F A p F x x -+=∑ βsin 22A p G F F y y +-=∑
4． x 和y 方向动量在出口面上的输出流量与进口面上的输入流量
之差为
()()1
2112222111122221122cos cos A A A A q q m x m x υρβυρυρυυρβυυυ-=-=-()()βυρυρυρβυυυsin 0sin 222211122221122A A A q q m y m y -=-⨯--=-
5． 由于流动是稳态的，控制体内的动量变化率为0，所以有
1
12212112222121122222211cos cos cos cos A p A p A A F A A A p F A p x x -+-=⇒-=-+βυρβυρυρβυρβββυρβυρβsin sin sin sin 222222222222A p G A F A A p G F y y -+-=⇒-=+-
已知：mm d 501=，mm d 202=，mm d 100=，3−3截面处射流的厚度为mm 4=δ，
045=α，流量h m Q 325=。

求：1. 喷嘴与水管接头处所受拉力。

2. 若水流冲入煤壁后，
沿已切开口均匀向四周分开，则水流沿轴线方向对煤壁的冲击力为多少？ 解：
1. 取包含喷嘴和1−1、2−2截面为控制体。

设接头处所受的拉力为F ，接头对流体的作用力为R ，对于x 方向有：
()x x x
v v Q A p R A p F
122211-=--=∑ρ
R F -=Θ
45
=αF
()221112A p A p v v Q F x x +--=∴ρ
由连续性方程知
()s m d Q
v 54.342
11==
π ()s m d Q
v 1.2242
2
2==
π 取轴心为基准，对1−1、2−2截面列相对压力的伯努利方程，得
()
()Pa 1038.22
20205212210
2
22211
2⨯=-=−−→−++=++=v v p g v p g v p p ργγ
()()N 338221112-=+--=A p A p v v Q F x x ρ
2. 取2−2、3−3截面间射流所占据空间表面为控制面，射流沿轴线方向对煤壁的冲击力，实质是改变射流动量所需的力，设煤壁对射流在x 方向的作用力为T ，则
()()N 180sin 223-=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=-=v d Q Q v v Q T x x δπαρρ。