高中数学选修一第3章 导数及其应用课件ppt3.4
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(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.3.3
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个， 而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大 值一定不小于它的最小值．
函数在闭区间上的最值可在端点处取 ③×
得，也可以在内部取得 ④ × 单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
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第三章 导数及其应用
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2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为
10，则其最小值为( )
A．－10
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第三章 导数及其应用
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(2)若 a<0，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[－1,0)
0
(0,2]
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当 x＝0 时，f(x)取得最小值， 所以 f(0)＝b＝－29.
数学 选修1-1
x
－3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1)
f′(x)
＋
0
－
0＋
f(x)
－60
极大 值4
极小 极大 值3 值4
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
1 (1,2) 2 0－
－ 5
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.1.3
切线方程为y－__f_(_x0_)_＝__f′_(_x_0)_(_x－__x_0_)_____．
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
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第三章 导数及其应用
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答案： x＋y－2＝0
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第三章 导数及其应用
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
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第三章 导数及其应用
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第三章 导数及其应用
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函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
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第三章 导数及其应用
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答案： x＋y－2＝0
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过点P的切线
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第三章 导数及其应用
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(1)求曲线在点P处的切线的斜率； (2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
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第三章 导数及其应用
标．
(3)求切线的斜率f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0； (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐
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2020版高中数学第三章导数及其应用3.2.3导数的四则运算法则(第2课时)课件新人教B版
题目类型二、求导法则的灵活运用
求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝x－sin2x·cos2x.
解：由函数的和(或差)与积的求导法则，可得 (1)解法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝ 4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 ＝18x2－8x＋9. 解法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)∵y＝x－sin2x·cos2x＝x－12sinx， ∴y′＝1－12cosx.
(2)∵y＝
x·1x－
x＋
1x－1＝－
1
x2
＋
1
x2
，
∴y′＝－12
1
x2
－12
3
x2
＝－ 1 2
x(1＋1x)．
题目类型三、求导法则的综合应用
求曲线 y＝x＋ x在点(1,2)处的切线在 x 轴上的
截距．
1
解：∵y＝f(x)＝x＋ x＝x＋ x 2 ，
∴f′(x)＝1＋12
x
1 2
＝1＋21 x，∴f′(1)＝32，
[点评] 熟练掌握导数运算法则，再结合给定函数本 身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决问 题时才能做到举一反三，触类旁通．
求下列函数的导数： (1)y＝x22＋x33； (2)y＝x3·10x； (3)y＝cosx·lnx； (4)y＝sixn2x.
解：(1)y＝x22＋x33＝2x－2＋3x－3， y′＝－4x－3－9x－4. (2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′ ＝3x2·10x＋x3·10x·ln10. (3)y′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′ ＝－sinx·lnx＋coxsx. (4)y′＝x2′·sinsxi－n2xx2·sinx′ ＝2x·sinsxi－n2xx2cosx.
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.1
又∵x>0，∴0<x< 33.
∴f(x)的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，
3 3 ).
解析答案
(4) f(x)＝x3－3tx. 解 f′(x)＝3x2－3t. 令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t， ∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，解 x2＞t 得 x＞ t或 x＜－ t；
导数
单调递_增__
f′(x) ≥0
单调递_减__
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？ 答案 必要不充分条件.
答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 求可导函数单调区间的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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题型探究
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明
证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数.
12345
解析答案
12345
2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数； 当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.2
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第三章 导数及其应用
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(1) 区 分 公 式 的 结 构 特 征 ， 既 要 从 纵 的 方 面 (ln x)′ 与 (logax)′，(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′ 区分，找出差异，记忆公式．
1．会应用导数的定义推导四种常见函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x的导数公式．
2．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 3．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 4．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝_n_x_n_－_1__
f′(x)＝__c_o_s_x _
f′(x)＝_－__s_in_x_ f′(x)＝_a_x_ln_a__(a>0且a≠1)
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
数学 选修1-1
a－b＝0， b－2c＝0， c－1＝0，
高中数学 3.1.1《导数及其应用》课件 新人教版A选修1-1
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
应用：
• 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h) 时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x27x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由 温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x 3 x f 再求出lim x 0 x
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下降； 在第6（h)附近，原油温度大 约以5 0C/H的速度上升。
：
瞬时速度?
• 我们用
h (2 t ) h (2) lim 13.1 t 0 t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值 -13.1”. • 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
ht( 0 t) ht( 0) lim t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.3
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解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
最新高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.4
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其 体积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
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(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引 入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定 义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
第三章 导数及其应用
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1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1 ＝17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为 使利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数 得y′＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
解决优化问题的一般步骤 (1) 审 题 ： 阅 读 理 解 文 字 表 达 的 题 意 ， 分 清 问 题 和 结 论，找出问题的主要关系． (2) 建 模 ： 将 文 字 语 言 转 化 为 数 学 语 言 ， 利 用 数 学 知 识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变 量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1
sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
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第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3.4 生活中的优化问题举例
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(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
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[提示] 设容积为 V，圆柱体的底面半径为 x，则高为πVx2， 总造价 y＝2πx2·am＋2πx×πVx2·m＝2πmax2＋πVx，
通过求导，令 y′＝0，求得 x.
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第三章 导数及其应用
解析： 设船速为 x(x>0)，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3. 由 6＝k×103，得 k＝5300.∴Q＝5300x3. ∴总费用 y＝5300·x3＋96·1x＝5300x2＋9x6.
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y′＝5060x－9x62 ，令 y′＝0，得 x＝20. 当 x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减； 当 x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增． ∴当 x＝20 时，y 取得最小值． ∴此轮船以 20 千米/时的速度行驶，每千米的费用总和最小.
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面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体， 则圆柱体的半径r为多大时：
(1)圆柱体的体积最大？ (2)圆柱体的表面积最大？ [思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导 数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．
V′＝13π(400－3x2)，令 V′＝0， 解得 x1＝230 3，x2＝－230 3(舍去)．
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当
20 0<x< 3
3时，V′>0;0，
∴当 x＝230 3时，V 取最大值．
答案： C
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2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，
则分法为( )
A．2与6
B．4与4
C．3与5
D．以上均错
解析： 设一段长为x，则另一段为8－x，其中0<x<8.
设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)．
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最优化问题
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解决优化问题的基本思路
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解决优化问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找 出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待 求最值的对象表示为该变量的函数．
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1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤． 2．会利用导数解决某些实际问题．
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2012春，我国云南遭遇特大旱灾， 为确保农业生产用水，某市及时下拨资 金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体， 其上、下底的单位面积造价是侧面单位 面积造价的a倍．当其容积为常量时， 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最 低？
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设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为 V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．
则 V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh. H－H h＝Rr ，∴h＝H1－Rr ， ∴V＝πr2H1－Rr ＝πHr2－π·HRr3(0<r<R)， S＝2πr2＋2πrH1－Rr ＝2πr2－2π·HRr2＋2πHr(0<r<R)．
答案：
20 3 3 cm
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4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正 比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而 其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航 行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
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1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝ 17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使 利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′ ＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
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3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体 积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，
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(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
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[提示] 设容积为 V，圆柱体的底面半径为 x，则高为πVx2， 总造价 y＝2πx2·am＋2πx×πVx2·m＝2πmax2＋πVx，
通过求导，令 y′＝0，求得 x.
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解析： 设船速为 x(x>0)，燃料费用为 Q 元，则 Q＝kx3. 由 6＝k×103，得 k＝5300.∴Q＝5300x3. ∴总费用 y＝5300·x3＋96·1x＝5300x2＋9x6.
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y′＝5060x－9x62 ，令 y′＝0，得 x＝20. 当 x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减； 当 x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增． ∴当 x＝20 时，y 取得最小值． ∴此轮船以 20 千米/时的速度行驶，每千米的费用总和最小.
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面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体， 则圆柱体的半径r为多大时：
(1)圆柱体的体积最大？ (2)圆柱体的表面积最大？ [思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导 数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．
V′＝13π(400－3x2)，令 V′＝0， 解得 x1＝230 3，x2＝－230 3(舍去)．
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当
20 0<x< 3
3时，V′>0;0，
∴当 x＝230 3时，V 取最大值．
答案： C
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2．将长度是8的均匀直钢条截成两段，使其立方和最小，
则分法为( )
A．2与6
B．4与4
C．3与5
D．以上均错
解析： 设一段长为x，则另一段为8－x，其中0<x<8.
设y＝x3＋(8－x)3，则y′＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)．
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1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤． 2．会利用导数解决某些实际问题．
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2012春，我国云南遭遇特大旱灾， 为确保农业生产用水，某市及时下拨资 金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体， 其上、下底的单位面积造价是侧面单位 面积造价的a倍．当其容积为常量时， 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最 低？
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设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为 V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．
则 V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh. H－H h＝Rr ，∴h＝H1－Rr ， ∴V＝πr2H1－Rr ＝πHr2－π·HRr3(0<r<R)， S＝2πr2＋2πrH1－Rr ＝2πr2－2π·HRr2＋2πHr(0<r<R)．
答案：
20 3 3 cm
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4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正 比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而 其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航 行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
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1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝ 17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使 利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′ ＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
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3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体 积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，