高等数学函数极限
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就有
那么我们就收哦： 时函数 的极限为 .记为
（左极限）设 ，并设函数 在 有定义，如果对任意的 ，存在 ，使得只要
就有
那么我们就收哦： 时函数 的极限为 .记为
例6、讨论函数 在 处的单侧极限
IV、单侧极限与双侧极限的关系
定理 ，并设函数 在 点的去心邻域有定义，则极限 存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：
1> 2>
3、求极限
1> 2>
3> 4>
5>
III、设 ，则存在 ，使得函数 在 的 去心邻域内有界.（局部有界性）
证明取 ，存在 ，使得， 时 ，
现取 时，当 时，
因此 有界.
IV、 ，有
1、
2、
3、
4、
5、
例111、
2、
3、
4、
*5、
VI、 ，则存在 使得，当 属于 的 去心邻域的时候
有 .（保序性）（注意 为常数函数的情形）
系如果则存在 使得，当 属于 的 去心邻域的时候有 且有
几何解释 （图形）
例1、设 求证
分析
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
函数 时是没有定义，但并不影响在 处有极限.
例2、试证
证明 ，取 ，当 时
即证.
*例3、 利用定义证明
分析 ，欲使 使得 即可，即去 亦即 ，但是 需要开根号，因此要使得 ，所以取值的时候， .
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
例4、试证
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
（ 的情形），设函数 在无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
例5试证
证明 ，取 时，当 时
即证.
III、单侧极限
（右极限）设 ，并设函数 在 有定义，如果对任意的 ，存在 ，使得只要
有
VII、复合函数的求极限
定理设 其存在 的一个去心邻域，当 在此邻域内时 ，则 .
证明 ，由 可知，存在 使得当 时恒有
由于 ，可知存在 ，使得当 时有
因此有
按照定义 .
例12
解令 ，则当 时， ，上式化为
例13求证
证明令 ，当 时 则
例14求证
证明令
三、练习
1、利用定义证明下列极限
1> 2>
2、利用极限的运算计算下列极限
一、函数的极限的定义
I、在某一点处函数极限的定义
1、 点 的 邻域是指区间 ，点 的去心邻域则指 .
2、 设 ，且函数 在 的去心邻域内有定义，如果对于任给 ，存在 使得只要 ，就有
那么我们说： 时函数 的极限是 ，记为 . 可以为 .
定义解释1、 可以保证 ，极限存在与函数在 点是否有定义无关.
2、 关系，实质就是 与 的关系，处理过程当中主要用缩放原则来联系二者.
这个条件满足的时候我们有
证明设 ，则 ，存在 ，使得 时
而此时 并且 因此
反之由 知道， ，存在 使得
时 ，并且 时，
因此只要去 就有 ，得证.
类似：
例7、证明 在 Baidu Nhomakorabea不存在极限
当0< 时，
当 时，
左右极限不相等，因此极限不存在.
二、基本性质
I、函数的极限是唯一的，即 ，则 .(证明略)
II、夹挤定理在 的去心邻域内，如果有
分析
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
II、函数在无穷远处的定义
（ 的情形）设函数 在正无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
类似
（ 的情形），设函数 在无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
且
则
证明略
推论,若 ，则 .
上面推论可以这样来利用，在按照定义证明的过程中 ，可以用
小于等于一个极限为0的函数来代替
例8、求证
证明当 时，有
利用夹挤定理，可证
*例9求证
证明设 ，则知道， ，则 ， 上式依然成立，当 时
利用夹挤定理，可证.
*例10求证
证明当 时
因此有
其中 为整数，利用
利用夹挤定理可知
那么我们就收哦： 时函数 的极限为 .记为
（左极限）设 ，并设函数 在 有定义，如果对任意的 ，存在 ，使得只要
就有
那么我们就收哦： 时函数 的极限为 .记为
例6、讨论函数 在 处的单侧极限
IV、单侧极限与双侧极限的关系
定理 ，并设函数 在 点的去心邻域有定义，则极限 存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：
1> 2>
3、求极限
1> 2>
3> 4>
5>
III、设 ，则存在 ，使得函数 在 的 去心邻域内有界.（局部有界性）
证明取 ，存在 ，使得， 时 ，
现取 时，当 时，
因此 有界.
IV、 ，有
1、
2、
3、
4、
5、
例111、
2、
3、
4、
*5、
VI、 ，则存在 使得，当 属于 的 去心邻域的时候
有 .（保序性）（注意 为常数函数的情形）
系如果则存在 使得，当 属于 的 去心邻域的时候有 且有
几何解释 （图形）
例1、设 求证
分析
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
函数 时是没有定义，但并不影响在 处有极限.
例2、试证
证明 ，取 ，当 时
即证.
*例3、 利用定义证明
分析 ，欲使 使得 即可，即去 亦即 ，但是 需要开根号，因此要使得 ，所以取值的时候， .
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
例4、试证
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
（ 的情形），设函数 在无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
例5试证
证明 ，取 时，当 时
即证.
III、单侧极限
（右极限）设 ，并设函数 在 有定义，如果对任意的 ，存在 ，使得只要
有
VII、复合函数的求极限
定理设 其存在 的一个去心邻域，当 在此邻域内时 ，则 .
证明 ，由 可知，存在 使得当 时恒有
由于 ，可知存在 ，使得当 时有
因此有
按照定义 .
例12
解令 ，则当 时， ，上式化为
例13求证
证明令 ，当 时 则
例14求证
证明令
三、练习
1、利用定义证明下列极限
1> 2>
2、利用极限的运算计算下列极限
一、函数的极限的定义
I、在某一点处函数极限的定义
1、 点 的 邻域是指区间 ，点 的去心邻域则指 .
2、 设 ，且函数 在 的去心邻域内有定义，如果对于任给 ，存在 使得只要 ，就有
那么我们说： 时函数 的极限是 ，记为 . 可以为 .
定义解释1、 可以保证 ，极限存在与函数在 点是否有定义无关.
2、 关系，实质就是 与 的关系，处理过程当中主要用缩放原则来联系二者.
这个条件满足的时候我们有
证明设 ，则 ，存在 ，使得 时
而此时 并且 因此
反之由 知道， ，存在 使得
时 ，并且 时，
因此只要去 就有 ，得证.
类似：
例7、证明 在 Baidu Nhomakorabea不存在极限
当0< 时，
当 时，
左右极限不相等，因此极限不存在.
二、基本性质
I、函数的极限是唯一的，即 ，则 .(证明略)
II、夹挤定理在 的去心邻域内，如果有
分析
证明任给 ，取 ，则当 时
证完.
II、函数在无穷远处的定义
（ 的情形）设函数 在正无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
我们就说：当 时函数 的极限是 ，记为 .
类似
（ 的情形），设函数 在无穷远处有定义（即，存在 ，使得 函数都有定义），如果对于任意的 ，存在 ，使得 就有
且
则
证明略
推论,若 ，则 .
上面推论可以这样来利用，在按照定义证明的过程中 ，可以用
小于等于一个极限为0的函数来代替
例8、求证
证明当 时，有
利用夹挤定理，可证
*例9求证
证明设 ，则知道， ，则 ， 上式依然成立，当 时
利用夹挤定理，可证.
*例10求证
证明当 时
因此有
其中 为整数，利用
利用夹挤定理可知