公式法和十字相乘法
因式分解公式法、十字相乘法教师版
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()()μ 补充：欧拉公式：特别地：（1）当a b c ++=0时，有ab c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。
解：根据已知条件，设221322xx m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()()由此可得21112023a a b m b +=-+==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()由（1）得a =-1 把a =-1代入（2），得b =12把b =12代入（3），得m =123. 在几何题中的应用。
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
因式分解公式法、十字相乘法-教师版
2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()()完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++=（2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把分解因式a a b b 2222+--的结果是（ ）A. ()()()a b a b -++22B. ()()a b a b -++2C. ()()a b a b -++2D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。
再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
公式法和十字相乘法
公式法和十字相乘法概念回顾：1.公式法因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2－2ab+b2=(a－b)22．十字相乘法定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).用十字交叉线表示: x +ax +bax + bx = (a + b)x由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).x +3x +13x + x = 4x把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。
例题精讲：基础训练：1. 用完全平方公式分解因式：2.用完全平方公式分解因式：3.用十字相乘法分解因式4.用十字相乘法分解因式5.用十字相乘法分解因式6.分解因式7.能力提高：1. 分解因式2.分解因式3. 分解因式4．解答题5.解答题6.解答题思维拓展：练习：一、选择题二．填空题。
十字相乘法分解因式
五、选择题：
以下多项式中分解因式为
x 6x 4
B
的多项式是（ c ）
A
x 2 2 x 24
x 2 2 x 24
x 6x 4
C
x 2 x 24
2
D
x 2 2 x 24
试将
x 6 x 16 分解因式
分解因式
提取公因式:2x y+4xy 2 xy( x 2 y)
2 2
公式法:平方差公式、完全平方公式
十字相乘法 求根法
高中：分组分解法
待定系数法
一、计算：
(1)
( x 5)(x 9) x 14x 45
2
(2) ( x 12)(x 5) (3) (4)
x 2 7 x 60
（其中绝对值较大的因数符号）与p符号相同
练习：在 横线上 填
2
、 符号
__ + __ +
1） 1）
__ + 3）（x = （ x x 4x 3
x 2 x 3 =（x __ 3）（x
2
-
y 2 9 y 20 =（y __ 4）（y __ 5）
-
-
t 2 10t 56 =（t
(2).(x+y) 2+8(x+y)-48；
例2 分解因式 3x2 －10x＋3 解：3x2 －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 例3 分解因式 5x2－17xy－12y
x
－3
3x －1 －9x－x=－10x
5x
＋3y
解：5x2 －17xy－12y2
=(5x＋3y)(x－4y)
2公式法,十字相乘法
一元二次解法：（1）公式法【知识要点】1．计算方法一，先将方程变为标准形式)0(02≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。
如何变：① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。
如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c ,△代入公式，即得：2--4=2b b ac x a±。
【典型例题】领练：例一例①4722=-x x 例②02122412=+-x x例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(22++=--+例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212≠=+++-m m mx x m测试：例二1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x3，(2)(3)56x x --= 4，02222=-+-n m mx x二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。
方程有两个实数根→△≥0方程有两个相等的实数根→△＝0方程有两个不相等的实数根→△＞0方程没有实数根→△＜0例三，变式训练①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2）216924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ;②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ;③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;⑤已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0,且12x =是方程的根，则a b +的值为 ______________.⑥若m =______ （m 为整数），方程22x m x mx m +=-+有整数解.（2）分解因式法，十字相乘法【知识要点】1，分解因式法：将一元二次方程利用因式分解把其变成因式乘积的形式。
因式分解题型提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法
1.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的 的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。
2．常用的因式分解方法：（1）提公因式法：对于ma mb mc ++， 叫做公因式， 叫做提公因式法。
①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
②公因式的构成：系数：各项系数的 ；字母：各项都含有的相同字母； 指数：相同字母的最低次幂。
（2）公式法：①常用公式平方差： 完全平方：立方和：3322a b (a+b)(a -ab+b )+= 立方差：②常见的两个二项式幂的变号规律： 22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）（3）十字相乘法①二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。
（4）分组分解法①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式或利用公式法，即可达到分解因式的目的。
例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。
公式法3,十字相乘法
第三课时
公式法
十字相乘法
执教：桐林中学曾志谋
学习目标
1、会用十字相乘公式将多项式因式分 解
2、能灵活选择适当的方法将多项式因 式分解
学习重点
用十字相乘公式将多项式因式分解
公式拨
把 x px q 分解因式时： 1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两 个同号因数，它们的符号与一次项系数P的 符号相同 2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两 个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次 项系数P的符号相同 3、对于分解的两个因数，还要看它们的和 是不是等于一次项的系数P
2
实例讲解
（1） x 2 3x 2
1 1 1 2 1×2=2 1×1=1
分解因式 （2）
x 7x 6
2
解原式=(x+2)(x+1) 1+2=3
（3） x 2 x 15
2
解原式=(x-1)(x-6)
2
（4） x 4 x 21
解原式=(x+3)(x-7)
解原式=(x-3)(x+5)
十字相乘公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 口诀：首尾拆，交叉乘，凑中间。
变式练习
（1）x 4
6x 8
2
（2） x2 3xy 2 y 2
解原式=(x-y)(x-2y)
解原式=(x2)2+6x2+8 =(x2+2)(x2+4)
（3） x4 3x3 28x 2
解原式=x2(x2-3x-28) =x2(x+4)(x-7)
拓展训练
1、若把代数式 x 2 x 3 化为 (x+m)(x+k) 的形式，其中m,k为常数，求m+k的值
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公式法和十字相乘法
概念回顾：
1.公式法
因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2－2ab+b2=(a－b)2
2．十字相乘法
定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x
由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.
将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:
x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
x +3
x +1
3x + x = 4x
把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p
符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。
例题精讲：
基础训练：
1. 用完全平方公式分解因式：
2.用完全平方公式分解因式：
3.用十字相乘法分解因式
4.用十字相乘法分解因式
5.用十字相乘法分解因式
6.分解因式
7.
能力提高：
1. 分解因式
2.分解因式
3. 分解因式
4．解答题
5.解答题
6.解答题
思维拓展：
练习：一、选择题
二．填空题。