人教新课标版数学高一-人教数学B版必修二 圆的标准方程
人教高中数学B版必修2 圆的标准方程 精讲精析
2·3 圆的方程2·3·1.圆的标准方程圆的定义①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径.②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合.其中定点叫做圆心，定长等于半径.现在求以C(a,b)为圆心，r 为半径的圆的方程.设M （x,y ）是圆C 上的任意一点.点M 在圆C 上的条件是r CM =||也就是说，如果点M 在圆C 上，则r CM =||.反之，如果r CM =||，则点M 在圆C 上. 由两点间的距离公式，所说条件可转化为方程表示：r b y a x =-+-22)(）（.两边平方，得1）显然，圆C 上任意一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1）；如果平面上一点M 的坐标（x,y ）适合方程（1），可得r CM =||，则点M 在圆C 上.所以方程（1）就是以点C （a,b ）为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,圆的标准方程就是222r y x =+容易看出，如果点),(111y x M 在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r ，即22121)()(r b y a x >-+-如果点),(222yx M 在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r ，即22222)()(r b y a x <-+-1. 设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【解析】设动点P 的坐标为（x ，y ），由=a （a >0）得=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0. 当a ≠1时，方程化为（x －c ）2+y 2=（）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（c ，0）为圆心，||为半径的圆.说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程.主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.2. 已知圆心在x 轴上，半径是5，且以A （5，4）为中点的弦长是2，求这个圆的方程.【解析】设圆心坐标为B （a ，0)，以A 为中点的弦的一个端点为C ，则圆的方程为(x －a)2+y 2=25由于|AB|2+|AC|2=|BC|2从而，（a －5)2+16+5=25得a=7或a=3.故这个圆的方程为(x 2222=25 说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a ，根据题给条件求出即可3. 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的方程.【解析】设圆方程为（x －a ）2＋（y －b ）2 ＝r2依题意得||||PB PA 2222)()(y c x y c x +-++1122-+a a 122-a ac1122-+a a 122-a ac5解之得a ＝2，b ＝1，r2＝10，∴所求的圆方程为 （x －2）2 ＋（y －1）2 ＝104. 下列方程表示什么图形？（1）x 2 ＋ y 2 ＋ 5x - 3y ＋ 1 ＝ 0（2）x 2 ＋ y 2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 0（3）x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0（4）x 2 ＋ y 2＋2by ＝0【解析】（1）表示以为圆心，以为半径的一个圆（2）表示一个点（ -2，0 ）（3）不表示任何图形（4）圆心为（0，－b ），半径为|b|，注意半径不为b.2a －b －3＝0（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2（3－a ）2＋（－2b ）2＝r 253(,)22-2。
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
人教B版高中数学必修二课件圆的标准方程
拓展练习:
1、的三AB个C 顶点的坐标分别A(5,1),B(7,3),C(2,8)求它的外接圆的方程. 2.求过点C(1, 4)，圆心在直线3x y 0 上且与
y 轴相切的圆的方程.
3、证明：一个圆的直径的端点是A（x1,y1）, B （x2,y2） 则圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
y
C
Ao
•
Bx
因此，圆拱桥的 750.21
课堂练习（四）
讨论下列方程分别表示什么图形
(1)x2 y2 9
(3)(x 1)2 9 ( y 2)2
(5)y 9 x2
(2)x2 y2 0 (4) y2 9 x2
32 (4)2
5
因此，所求的圆的方程 是
(x 1)2 ( y 3)2 256 25
实际应用：
赵州桥的跨度是37.02m,圆拱高约为7.2m， 求这座圆拱桥的拱圆方程（精确到0.01m）.
解：如图所示，以AB的中点为原点，
y
x轴通过AB建立直角坐标系。
C
根据已知条件，B,C的坐标分别为
例2.求过两点A(0, 4), B(4, 6) 且圆心在直线 x 2y 2 0
上的圆的标准方程。
课堂练习三：
3、求以C(1，3)为圆心，并且和直线3x-4y7=0相切的圆的方程。
解：因为圆和直线相切，所以半径等于圆心到这 条直线的距离。 由点到直线的距离公式，得
r | 31 4 3 7 | 16
与圆有关的最值问题：
已知实数x,y满足方程(x-2)2 y2 3 (1)在圆上求一点P使P点到A(2,4)的距离最小； (2)求x2 +y2的最大值和最小值。
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二圆的方程知识点
数学人教版必修二中关于圆的方程的内容主要涉及以下几个知识点：
1. 圆的标准方程：圆的标准方程为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
一般方程推导出标准方程的方法是完成平方并合并同类项。
3. 圆的参数方程：若圆的圆心为(a, b)，半径为r，则圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中θ为参数。
4. 圆的切线方程：过圆上的一点M(x₁, y₁)的切线方程为xx₁ + yy₁ = r²，其中r为圆的半径。
5. 过圆心的直线方程：过圆心的直线方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别为圆心的横纵坐标。
6. 圆与直线的位置关系：可以利用圆的一般方程和直线的方程，通过解方程组来判断
圆与直线的位置关系。
以上是数学人教版必修二中有关圆的方程的主要知识点。
希望对你有所帮助！。
人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
人教课标版(B版)高中数学必修2《圆的标准方程》教学课件2
(2) (x-1)2+(y-3)2 = 9
(3) (x-1)2+(y+1)2 = 5 或 (x-1)2+(y-3)2 = 5
圆的标准方程
练习1
求满足下列条件的圆的方程：
(1)已知点A（2，3），B（4，9）, 圆以线段AB为直径；
(2)圆心为(0,-3)，过(3,1);
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
(3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。
圆切 x 轴 ]
圆切 y 轴
圆切两坐标轴
方程 （x a)2 （y b)2 b2 （x a)2 （y b)2 a2 （x a)2 （y a)2 a2
圆的标准方程 例题1、根据下列条件，求圆的方程。 （1）圆心在点C（-2,1），并过点A（2，-2）； （2）圆心在点C（1，3），并与直线3x-4y-6=0相切; （3）过点 (0,1) 和点 (2,1) , 半径为 5 。
答案： (x-3)2+(y-2)2 = 13
练习2、回答下列圆的圆心坐标和半径：
C1 : x 2 y 2 5 (0,0)
5
C 2 : ( x 3)2 y 2 4 (3,0) r = 2
C 3 : x 2 ( y 1)2 2 (0,-1) , r = 2
C4 : ( x 2)2 ( y 1)2 3
的内部，则实数a的取值范围是（ D ）
(A) | a | 1
(B) a 1 13
人教B版高中数学必修二2.3.1圆的标准方程
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）2.3.1圆的标准方程【目标要求】（1）了解圆标准方程的概念．（2）理解公式的推导过程，掌握过圆的标准方程的求法．（3）通过圆标准方程推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 【巩固教材——稳扎马步】1． 圆心为坐标原点，半径为最小的完全平方数，则圆的方程为（ ）A ．()()22111x y -+-=B ． 221x y += C ．()2214x y -+= D ． 224x y +=2．已知圆的方程为()()22229x y -++=，点()2,3和该圆的位置关系是（ ）A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法确定 3． 圆过点()2,3A -和点()4,5B ，并且直径是AB 那么圆的方程为（ ）A ． ()()221217x y -+-= B ． ()()222134x y -+-= C ．()()222117x y -+-= D ． ()()222117x y -+-= 4．集合(){},1,1A x y x y =≤≤，()()(){22,B x y x a y a =-+-＜}1，若AB =Φ，则实数a 的取值范围是____________。
A ． 212a ≥+B ． a ＞212+ C ． 12a ≥+ D ．a ＞12+ 【重难突破——重拳出击】5．若直线过点(0,2)，且被圆224x y +=截得的弦长等于2，则此直线的斜率等于：（ ）A ．32±B.33± C.3± D.2±6. 圆22(1)(1)8x y +++=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有：（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ，的坐标都使不等式0≥++c y x 成立，则c 的取值范围是（ ）．A.(]0，∞- B. [21,)++∞ C.[21,)-+∞ D.[12,)-+∞ 8．已知111222(,),(,)P x y P x y ，则下列方程中不是以线段12P P 为直径的圆的方程的是：（ ） A.1212()()()()0y y y y x x x x --+--=B.222212121212()()()()2222x x y y x x y yx y ++---+-=+ C.12121y y y y x x x x --⋅=--- D.2212121212()()0x y x x x y y y x x y y +-+-+++=9．已知圆心在x 轴上，半径为5，且以(5,4)A 为中点的弦长是25，则这个圆的方程为：（ ）A.22(3)25x y -+= B.22(7)25x y -+=C.22(3)25x y ±+= D.22(3)25x y -+=或22(7)25x y -+=10．设直线 230x y --=与y 轴交点为P ，点P 把圆()22125x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为（ ）A ．73或37 B ． 47或 74 C ． 75或 57 D ．67或 7611．若实数x y 、满足22240x y x y +-+=，则2x y -的最大值是（ ） A ．5 B ．9 C ．10 D ．525+12．一束光线从点A （-1，1）出发经x 轴反射到圆C ：()()22231x y -+-=的最短路程是（ ）A ．4B ．5C ． 321-D ． 26 【巩固提高——登峰揽月】13．已知过(0,1)A 和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值，及此时圆的方程。
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一、选择题
1．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3平分，则a＝() A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
解析：当直线过圆心时直线才将圆平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0，解得a＝7.
答案：B
2．方程y＝－25－x2表示的曲线是() A．一条射线B．一个圆
C．两条射线D．半个圆
解析：由已知得曲线的方程为x2＋y2＝25(y≤0)表示x轴下面的半个圆．
答案：D
3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
解析：法一：∵圆心在y轴上，半径为1，
∴可设圆的标准方程x2＋(y－b)2＝1，
又过点(1,2)，∴12＋(2－b)2＝1，
解得b＝2.∴圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝1.
法二：设圆的圆心C(0，b)，则(1－0)2＋(2－b)2＝1，
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
4．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是() A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：设直径的两端点分别为(a,0)，(0，b)，
则a＝4，b＝－6，
∴半径r＝(4－2)2＋(－3)2＝13，
∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.
答案：A
二、填空题
5．若点A (3,2)在圆(x －1)2＋(y －m )2＝11－2m 上，则m ＝________.
解析：由(3－1)2＋(2－m )2＝11－2m ，
得m 2－2m －3＝0，解得m ＝3或m ＝－1.
答案：－1或3
6．以A (－1,2)，B (5,6)为直径端点的圆的方程是__________________．
解析：因为圆是以AB 为直径，所以圆心C (2,4)，
半径r ＝12|AB |＝12(5＋1)2＋(6－2)2＝13，
因此圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝13.
答案：(x －2)2＋(y －4)2＝13
7．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________．
解析：(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )与点(1,1)之间的距离．
∵圆心(0，－4)到点(1,1)的距离为
(0－1)2＋(－4－1)2＝26，
∴(x －1)2＋(y －1)2的最大值为26＋2.
答案：26＋2
8．直线3x ＋4y －12＝0和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是__________________．
解析：易知直线3x ＋4y －12＝0与x 轴，y 轴交点分别为(4,0)，(0,3) ∴圆心坐标为(2，32)，半径为52
. 由圆的标准方程得三角形外接圆的方程为
(x －2)2＋(y －32)2＝254
. 答案：(x －2)2＋(y －32)2＝254
三、解答题
9．已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)、B (－2,3)、C (4，－5)．求△ABC 的外接圆方程、外心坐标、外接圆半径．
解：法一：设△ABC 的外接圆方程为
(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，
有⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(4－b )2＝r 2(－2－a )2＋(3－b )2＝r
2(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，
解得a ＝1，b ＝－1，r ＝5.
所以△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二：AB 的垂直平分线方程为3x ＋y －2＝0，
AC 的垂直平分线方程为x －3y －4＝0，
解⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋y －2＝0x －3y －4＝0
得圆心(1，－1)， 又r ＝(1－1)2＋(4＋1)2＝5， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.
圆心坐标为(1，－1)，半径为5.
10．如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面
宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，
则由已知得A (6，－2)．
设圆的半径为r ，
则C (0，－r )，
即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①得
36＋(r－2)2＝r2，
∴r＝10.
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100②
当水面下降1米后，
可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，
将A′的坐标(x0，－3)代入方程②得x0＝51，
∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝251≈14.28(米)．。