例谈反例教学在数学学习中的作用
例谈数学反例的四种用途
解疑”的教学程序 ，让学生从错误 中生疑
问。从疑问中来思考，从思考中明算理。
四、反 例 用在 纠正错 误 时
请看 下面Байду номын сангаас“ 三角形 面积公式 ”教学
否定错误的认识。另外 “ 等腰 ” “ 首尾相 片断 ：
反例是 纠正错误 的有 力工具 。反例 等突出特点 ．所以举反例揭露错误有特殊 认识到 ：通过反例教学 ，不但可以使学生 修补 。从而获得正确结论或命题。
生 ．抑制概念的泛化 ．老师出了一道错误 盖上 方 格 纸 ．说 ：“ 中每 个 方 格 的 面 积 图 整除的条件 不单是余数为 ０ ，除数和商应 是 多 少 ？ ”
生 ：（ 观察 后 说 ）面 积是 ４ 方 分米 。 平
是１ 平方分米 ．数一下这个三角形的面积 做 的：９ ０ （６ ３＝ ６ ÷ ２ ８ （ ６ ÷３ ÷ ）９ ０ １ ＝ ０ 时间 ） 。 很显然 ，单位名称用错了。下面是运
二 、反例 用 在 打破 思维 定 势 时
师：这个结果对不对？
生 ：对 。
个宇 宙飞船 ３秒钟 航行 ３ ６千米 。
照这样计算 ，如果要航行 ９ ０ ６ 千米 ，需要
批 改 作 业 时 ．发 现 不 少 学 生 是 这 样 答 ：需 要 ８ 间 。 ０时
教 师 不 加 评 述 ．课 件 在 三 角 形 上 覆 多少 时 间？
师 ：通过计算你懂得 了什么？ 生 ：我懂得 了要把 三角形的底 与对
。才能求出三角形的 例从 另 外一 个 侧 面抓 住概 念 的本 质 ，弥 补 再人 为强 调 “ 时 要 加 了” 多 。在 对 比教 学 应的高相乘再除 以 ２
正 面教 学 的不 足 ．从 而加 深 学生 对 知 识 的 中 ．我们 可 以是 实 物或 画 示 意 图进 行 深入 面积 。 “ 运用 三角形 的底 与对应 的高相乘 理解 ，给他们留下深刻的印象。 分析 ：为什么要加 ，为什么要减 。这样学
例谈小学数学课堂教学中“反例”的运用
几 个数 字依 次 不断 地重 复 出现 ， 这样 的 小数 叫做 循环 小数 。 依次 不 断地 反复 出现 ， 这 两个条 件缺 一 不可 ， 在 帮 助学 生理
解循 环 小数 的概 念 时 ， 可 以出示 这样 的反 例 ： ０ ． １ ９ １ ９ １ ９ １ ９和 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ …， ０ ． １ ９ １ ９ １ ９ １ ９虽 然 重 复 出现 了 四次 ，但 不 符 合 依次 不 断 这 个 条 件 ，而 ３ ． １ ４ １ ５ ９ ２ ６ …符 合 了依 次 不断 的条 件， 可不 符合 重 复 出现这 个条 件 ， 所 以这 两 个小 数都 不是 循 环 小数 。 通 过 举这 样 的两 个反例 就 能使 学生 很好 地理 解 循环 小 数 这个 概 念 ， 知道 作 为循 环小 数 ， 依次 不 断和 反复 出现 这 两
教苑 时 空 ・ 教法探讨
例 谈小学数学课 堂教 学 中∞ 厨锄∞ 的运用
浙
珍
本文 的 “ 反例” 是 指 教 师 在 教 育 实 践 中收 集 的 例题 的典 型误 解 、 重 要 知 识 点的 典型错 误 认 识 。 所 谓典 型 是 指 它 有丰 富 的教 学价 值 ， 通过 分析 对 例 题 的错 解 、知 识点 的 错误 认 识 ， 能 够 揭 示出 解题 的 规律 和 方法 ， 从 而帮
很 多学生 在 做这 样 的两道 判断题 时 ，很 容易 都把 它们
当作 是正 确 的命题 ， 这 时教师 就可 以及 时 出示反 例 ： 当另 一 个因 数为 ０时 ， ０乘 以任何 数 都为 ０， 显然 第 （ １ ） 个命题 是 错误的 ； 当 被除 数为 ０时 ， 得 到 的数 为 Ｏ ， 显然 小 于除 数 。 第 （ ２ ） 个命题 也 是错 的 。 通过 举反例 很 容 易就把 这样 的谬 论否 定 了 ，不 但学 生
反例在高中数学教学中的应用
反例在高中数学教学中的应用
在高中数学教学中，反例一般用于证明一个结论的时候。
例如，在证明一个命题时，如果能找到一个反例，则该命题就被证明为不
成立。
这种方法非常有用，因为一个反例可以直接反驳一个命题，
从而省去了繁琐的证明过程。
举一个具体的例子，假设我们想证明命题“任何正整数都能被
表示为两个平方数之和”。
如果我们使用反例法，则可以找到一个
正整数，例如3，它无法被表示为两个平方数之和。
因此，命题
“任何正整数都能被表示为两个平方数之和”不成立。
反例方法在高中数学教学中还有其他应用，例如证明函数不是
单调递增或递减的，证明两个图形不全等或不相似等等。
它是一种
非常直观的证明方法，让学生能够更好地理解和掌握一些数学概念
和定理。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
随着数学教学的进步，反例的重要性正在被认识到。
反例是数学中的一种基本概念，它能够帮助学生构建准确的概念，而不是盲目地相信法则。
因此，在中学数学教学中应用反例是一个非常重要的概念。
首先，可以帮助学生理解数学概念。
反例可以帮助学生更准确地掌握概念，而不是把它们当作陈述的基础。
反例是一个能够支持学生理解的可视化图形，给学生一个证明数学概念的可见性，而不是把它们当作一个不透明的基础。
学生可以使用这些反例来更好地理解习题。
其次，反例可以帮助学生掌握技巧。
反例是一个能够给学生一个真实案例，让他们能够更准确地掌握数学技巧和方法的方法。
学生可以利用这些反例来更好地掌握技巧，而无需一味地靠自己思考而失去把握。
另外，反例也可以帮助学生思考深层次的问题。
反例能够帮助学生深入了解数学模式，同时能够帮助他们探索其中的复杂关系。
反例能够帮助学生进行更多的探索，并将探索的结果拓展到更复杂的关系中，从而使学生更加深入地理解数学概念。
最后，反例可以帮助学生构建精确的概念。
学生在使用反例时，可以更加准确地构建出精确的概念，而不是把它们当作一种模糊的概念。
反例能够给学生一个更全面的视角，从而帮助他们建立准确的概念，而不会陷入盲从的观念。
综上所述，反例在中学数学教学中具有重要的作用。
反例可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握技巧，思考深层次的问题，并构建
准确的概念。
因此，中学数学教学中应更加重视反例的应用，以帮助学生更加准确有效地学习数学。
举反例在初中数学教学中的作用与实施
举反例在初中数学教学中的作用与实施晋元中学赖国献引言：一个正确的数学命题需要严密的证明，谬误则靠反例即可否定。
因此，在数学的教学中，反例也有着极为重要的意义，它在发现和认识数学真理，强化数学基础知识的理解和掌握，培养学生的思维能力和创造能力，以及提高学生解题速度等方面的意义和作用是不可低估的。
但在实际教学中，很多教师对数学思想教学的重视程度不够，原因在于其不了解数学思想对学生思维及分析能力发展的重要性，导致数学课堂出现诸多数学思想教学误区。
下面结合自己实习中的课堂实例，对反例的作用进行探讨。
一、反例的定义与实质数学中的反例，是指使某个数学命题不成立的例子。
具体地说它满足命题的题设但不具有命题的结论，从而成为推翻命题的例子。
反例的产生与命题的结构密切相关，因此，反例又可以分为3类：简单命题的反例，充分条件的反例和必要条件的反例。
在具体的课堂教学中，反例的使用揭示了数学上“失之毫厘差之千里”的特点，是学生不断理清思维的脉络，从中掌握相应的数学思想方法。
二、反例的来源以及如何构造反例2.1反例的来源证明一个命题是真实的，必须经过严格的推理论证；证明一个命题是假命题就只需找到一个反例。
在数学的学习中，为了向学生说明一个命题为假命题，就要举出一个例子，它虽然满足命题的题设但却没有命题的结论。
反例的强大的说服力能使学生豁然开朗，与获得证明的方法一样，反例来源于一系列深层次的思维活动包括观察、归纳、分析与综合。
2.2如何构造反例在具体的课堂教学中，反例并不是可以信手拈来的，有的反例的寻找十分困难。
因此要善于引导学生去寻找反例，同时，寻找反例的过程也是加深理解、发散思维、巩固知识的过程，也能提高学生的思维能力，为后继知识的学习做好铺垫。
以下介绍构造反例常用的几种方法：（1）通过对一般命题特殊化，发现反例。
有时候，遇到一个一般命题，可以用其某一特殊情况下不真来进行否定，以特殊情况为反例，是我们构造反例最先考虑的一种方法。
浅谈初中数学教学中反例教学的重要性
挥 和训 练 过 程 。
在这个 问题 中 ， 面的反例 的列举 难度 显然增 后 加 了， 而学 生却可 以通 过此题更 加加 深对 多边形 然 性质正反两方面 的理解 ， 另外列举 反例 的过 程也是 学 生 发 散 性 思 维 充 分 发 挥 和 展 示 的一 个 过 程 。 总 之 ， 学 反 例 是 数 学 课 堂 教 学 中一 个 调 节 器 ， 数 在数学教学中 ， 时地 引进 一些 反例或 适 当地引导 适 学生构建反例 ， 往能使学 生在认 识上 产生 质的飞 往 跃， 帮助他们 巩固和掌握 定理 、 式和法 则 ， 公 培养他 们思维 的缜密性 、 灵活性 、 发散性 、 深刻性 、 创新性和
经 不 是 质 数 了
反例教学还是一种很好 的培养学生发散思维 的 教学方式。 在学完正多边形 以后 ， 生们 都知 道 了正 多边 学 形的一些性 质 ， 如 ： 多边形 的所 有 的边都相 等 ， 例 正 所有 的内角都相等 。为 了加 深对这 一性质 的理 解 ， 教 师 可 以 从反 面 进 行 巩 固。 判 断 ：１所 有 边 都 相 等 的多 边 形 一 定 是 正 多 边 （） 形 ；２ 所有角都相等 的多边形一定是 正多边形 。 （） （） （） 是错误 的， 如菱 形和 矩形 。这 两 １和 ２ 都 例 个反 例学 生都 比较 容易能想到。但是 ， 除此之外 ， 还 有没有其余 的反 例 呢？教 师还 可 以做 进 ～ 步 的提 问。显然这时难度 就增 加 了。其 实 ， 所有边 都 相等 的多边形都是正 多边形 的反例 有无数 多个 ， 例如 我 们可 以先做一 个正 多边 形 （ 不是正 三角形 ） 利 用这 ， 些正 多边形具有 的不稳 定性 ， 它们 的 内角在变化 的 过程 中就会 出现边 都保持 相等 ， 但是 角度 却会 出现 不等 的情形 。对于所有 角都相等 的多边形是正 多边 形 的反 例 ， 实 也 是 有 无 数 个 。 其 对此正 五边形 下 面 的一 条边 进行 某 种平 行 移 动， 在移 动的 过程 中 ， 始终 可 以保 持 内角 都是 相 等 的 ， 而 却 会 出 现 不 是 正 多 边 形 的情 形 。 然
反例在中学数学教学中的作用
反例在中学数学教学中的作用首先，反例可以帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
在数学中，许多概念是抽象的，不容易直接理解。
通过引入反例，学生可以看到具体的例子，帮助他们形象地理解概念。
例如，在学习数列的收敛性时，引入一个反例可以让学生观察到一个不收敛的数列，从而理解收敛的概念。
其次，反例可以帮助学生发现和理解数学规律和定理。
数学中有许多规律和定理，它们的证明往往需要使用严谨的逻辑推理。
通过引入反例，学生可以发现一些规律不总是成立，从而激发他们思考为什么这些规律不成立，以及真实的规律是什么。
例如，学习三角形的内角和时，学生可能会发现一个反例，一个三角形的内角和大于180度，这有助于他们理解三角形内角和定理的真实含义。
此外，反例可以帮助学生培养他们的逻辑思维和推理能力。
在引入反例时，学生需要运用逻辑思维来找到一个合适的例子，并用推理来解释为何这个例子是一个反例。
通过这个过程，学生可以加深他们对逻辑思维和推理的理解，并且能够更好地运用这些技能解决数学问题。
这对他们在解决其他问题时也非常有用。
此外，引入反例还能帮助学生识别和纠正他们的错误。
在学习数学中，学生可能会犯错误或产生误解。
通过引入一个反例，学生可以发现自己的错误，并更好地理解正确的概念、规律和定理。
这有助于他们避免类似的错误，并帮助他们在学习和应用数学时更准确地思考。
在教学中，教师可以灵活运用反例。
他们可以在讲解新概念时引入反例，以便更好地帮助学生理解和记忆概念。
同时，在复习和巩固知识时，教师也可以通过让学生寻找和讨论反例来检验他们对知识的掌握程度。
这不仅能够加深学生对数学的理解，还能够激发学生的学习兴趣和思维能力。
然而，引入反例也需要一定的谨慎。
教师应该选择合适的反例，避免过于复杂或抽象的例子，以免给学生带来混淆。
此外，教师还应该确保学生充分理解反例的含义和作用，并与他们讨论为何这个例子是一个反例。
只有这样，学生才能真正受益于反例。
总的来说，反例在中学数学教学中具有非常重要的作用。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一种系统性的思维方式，它受到严格的证明和定理来保证其准确性、可靠性以及有效性。
反例在数学教学中发挥着重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学的概念，而且能够帮助学生正确地解决数学问题。
反例是一种有助于学生深入理解数学的概念的方法。
它是用来反驳一个先前在数学领域中所推断或推断出来的理论的例子，学生需要在一定范围内构建一个反驳理论的例子。
反例可以帮助学生更加深刻地理解数学的原理，让学生比较之前被认为是正确的推理和实际情况之间的差异，从而更好地理解数学的概念和原理。
此外，反例在数学教学中可以帮助学生正确地解决数学问题。
学生在解决数学问题时，往往容易迷失在无意义的思考和推断中。
有时他们可能会在错误的假设或推理上花费大量的时间，从而无法正确解决问题。
而反例可以帮助学生辨别错误推理和正确推理，从而更轻松地解决数学问题。
另外，反例不仅可以帮助学生深入理解数学概念，而且可以培养学生的创新思维、发现能力以及解决问题的能力。
通过反例的训练，学生可以学会在解决问题的过程中去思考，并从广泛的视角出发去发现问题的解决方案。
这样一来，学生不仅可以更加深刻地理解数学的原理，而且可以培养自己的创新思维、发现能力和解决问题的能力。
综上所述，反例在数学教学中发挥了重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学概念，而且可以帮助学生正确地解决数学问题，同
时还可以培养学生的创新能力、发现能力和解决问题的能力。
数学老师应该加强培养学生利用反例学习数学的能力，从而提高学生的数学思维和加深学生对数学原理的理解。
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例谈反例教学在数学学习中的作用从逻辑学上讲，若说明一个命题是正确的，必须经过严密的推证；而要说明一个命题是错误的，却只须举出一个“反例”，即举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论（或与某一已经证实的正确结论）的示例就可以了，这种与命题相矛盾的示例即称为反例.
对于一个命题来说，反例是简明有力的否定方法；而对于学生的学习过程来说，它又是加深对概念、定理等数学对象理解的重要手段，更是我们认识一个新问题（或新数学对象）过程中的认知规律之一. 在数学教学中教师若能通过反例的教学，对学生所犯的错误加以剖析，让学生从分析中认识到“错误”产生的原因，这对学生准确而深刻地把握概念，掌握知识与方法，预防知识性或方法性的错误，乃至提高学习数学的兴趣，形成严谨的思维品质，都将会起到积极的作用.
一、运用反例，深入概念内涵，拓展概念外延
教育心理学研究表明：“概念或规则的正例传递了最有利于辨别的信息. ”即人们在获得一个正确认识的过程中，往往要经过正反两方面的比较和鉴别，才能完整地将新的认知“同化”于原有的认知结构之中. 因为正面示例，只是回答了什么情况下“是”的问题，而“反例”显然通过另一个侧面抓住该概念的本质，回答了什么情况下“不是”的问题，即从认知的反方向，帮助学生加深对概念的认识.
例1 在学习定理“两边极其夹角对应相等的两个三角形全等”时，同学们自然想到结论“有两边及其中一边的对角对应相等”，教师可以引导学生动手画图，寻找是否会出现“例外”的情况，结果会出现这样的反例：如图，在△abc和△abd中，ab = ab，bc = bd，∠a = ∠a，但△abc与△abd不全等. 由此可以引导学生思考：需要再添加什么条件两个三角形就全等了，由画图可知，只要两个三角形都是锐角三角形，它们就全等了.
二、引入反例，深刻理解定理，全面掌握性质
学生在学习一个新的定理、性质时，往往会因为种种原因而忽略定理、性质中关键词语的理解与挖掘，从而造成认知“缺陷”，导致问题解决时的错误运用. 若在教学中恰当引入反例，可以帮助学生牢记定理的关键词语，并从“认知策略”上全面认识和掌握新知识，继而形成良好的思维习惯与方式.
三、构造反例，准确把握法则，灵活运用公式
新课程要求变革传统、单一的课堂，让学生有机会在产生知识的过程中学习. 心理学家对人类认知活动的研究表明：对一个新事物的理解与运用，只有建立成功的经验和失败的教训的互相作用之下，有了一定的过程，才能真正地正确理解及灵活运用. 数学中的很多性质、法则都是以公式的形式出现的，它们也一般都有一定的适用范围. 运用过程中，学生出一点错误本属正常现象. 但是，教师应该让这种“正常”现象，尽快地在学生的认知过程中“自觉”消失. 教学中若有目的地恰当引用一些反例，能加深学生对公式、
法则的适用条件的认识与理解，使他们达到对公式、法则有效的理解与掌握，从而在对比中积累“灵活运用”的机智，让这种“正常”现象化归“不正常”，最终从暂存的记忆中抹去.
四、借助反例，增强防范意识，提高纠错能力
由命题结构可知，中学范畴的数学结论可划分为三类：①充要条件型，②充分条件型，③必要条件型. 特别是②③两种类型，在问题解决的应用时，学生经常会出现差错，并且极不易发现错误所在. 倘若让学生在“反例”和“反问”中探索、讨论，则可增长“策略性知识”，修正原有的“陈述性知识”模块，提升其思维的准确性和防错意识，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法.
例4 已知关于x的方程x2 - mx - m + 3 = 0的两个根都大于-5，求m的取值范围.
错解由题意得， x1 > -5，x2 > -5，δ≥ 0，所以x1 + x2 = m > -10，x1x2 = -m + 3 > 25，δ = m2 - 4（-m + 3）≥ 0，即m > -10，m -5x2 > -5与x1 + x2 > -10x1x2 > 25并不等价. 前者是后者的充分条件，但不是必要条件，其错误的原因是将充分条件当作“充要条件”使用了.
新课程改革要求教师帮助学生设计恰当的学习活动和形成有效的学习方式. 数学教学中，适时地、恰当地引入一些反例，对于巩固和掌握概念、公式、定理和法则，培养和发展学生的思维能力，特别是批判思维、逆向思维和逻辑思维能力，活跃课堂气氛，都有
着不可估量的作用.。