单位圆解题
圆的直径式方程在解题中的应用
提 高每位学生的科学素养是科学课程 的基本理 念， 我通过“ 以学定教 ， 小组合作” 充分 的面 向了全体 学生 ，无论在授新课还是复习课我都能够 以学生为 主体 ， 充分调动学生 的学 习积极性 ， 尤其是在组问答 疑 展示 环 节 ， 也 是一 节 课 最 精 彩 的 环节 ， 答 疑 的 同学 讲 得头头是道 ， 可还是经常能够被质疑 ， 有时也会 出 现答 疑 同学 被 问 得 哑 口无 言 的情 况 ，这 时 很 多 同学 就将 目光转移到 了我这里 ， 看我这个裁判如何是好 ？ 这 正是 锻 炼 孩 子 思 维 的地 方 ，既能 够 发 散 孩 子 的思 维， 也能够让孩 子们思维严密起来 ， 有很多时候在这 里 会利 用 很 多 时 间 ， 导致后面课堂检测无法完成 ， 为 了 能够 彻 底 地 解 决 学 生 提 出 的相 关 问题 ，我 就 只 能 将课 堂检测变成课后检测 了 ，这里也是我将研究和 探索的方 面。 伟 大 的人 民教 育 家 、我 国创 造 教 育 的开 拓 者 陶 行 知指 出“ 创造教育就是行动的教育” 。有行动才能 得到知识 ，有知识才能创造 ，有创造才有热烈 的兴 趣 。在试卷讲评 的课堂上我们也应该本着 以学生为 主体 ， 让 学生行动起来 ， 得到 自己想要 的知识 ， 激发 学生的兴趣 ， 让课堂时时刻刻都是学生的 ， 这样 的课 堂才最具有生命力。
２
一
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在解题 中灵活使用圆的直径式方程 ，可 以开 阔 解题思路 ， 丰富解题技巧 。
（ 作者单位 ： 江西 省 新 干 县 第二 中 学）
Ｉ ） ２ Ａ Ｂ 为直径 的圆方程 为 ： （ — ） （ 。 ） ＋ （
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（ ２ ） 双基落实得更到位 了
２ ． 自 我 反 恩
初三数学圆的知识点
初三数学圆的知识点1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。
（如右图中的CD）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。
直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4．过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
5．垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质AB①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆（或直径）所对的圆周角相等；⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
中考数学常考的圆的六种题型
中考题中常考的圆的六种解题策略第一种场景：遇到弦。
轴对称性是圆的基本性质，垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的，它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据．遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线．当圆的题目中出现弦的知识点的时候，我们需要迅速联想到弦相关的定理和一些性质，比如垂径定理、弦心距、勾股定理等．例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴弧PC＝弧BD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r²＝（r﹣8）²+12²，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．当出现直径的条件时，我们也要快速联想圆心角、圆周角等性质，进而构造等腰三角形、直角三角形等图形，从而求解后面的问题。
例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD．（1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °；（2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可；（2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答．【解答】（1）∵由折叠可知：∠OBC＝∠CBD，∵点D恰好与点O重合，∴∠COD＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝12∠COD＝30°；故答案为：30；（2）∠ABM＝2∠ABC，理由如下：作点D关于BC的对称点D'，连接CD'，BD'，∵对称，∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C，连接CO，D'O，AC，∴∠AOC＝2∠ABC，∠D'OC＝2∠D'BC，∴∠AOC＝∠D'OC，∴AC＝D'C，∵DC＝D'C，∴AC＝DC，∴∠CAD＝∠CDA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ABC＝90°，设∠ABC＝α，则∠CAD＝∠CDA＝90°-α，∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC，∵∠ABM＝∠ACD，∴∠ABM＝2∠ABC．切线的定义是：一直线若与一圆有且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
圆的判定和相关计算
圆的判定和相关计算一、圆的定义与特性1.圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2.圆心：圆的中心点，用符号“O”表示。
3.半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用符号“r”表示。
4.直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，用符号“d”表示。
5.圆周：圆的边界，即圆上所有点的集合。
6.圆弧：圆上任意两点间的部分。
7.圆周率（π）：圆的周长与其直径的比值，约等于3.14159。
二、圆的判定1.定理1：如果一个多边形的所有边都相等，那么这个多边形是圆。
2.定理2：到定点的距离等于到定直线的距离的点轨迹是圆。
3.定理3：圆心角相等的两条弧所对的圆周角相等。
4.定理4：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆的计算1.圆的周长（C）：圆的周长等于圆周率乘以直径，即C = πd。
2.圆的面积（A）：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方，即A = πr²。
3.圆弧的长度（l）：圆弧的长度等于圆周率乘以圆心角（以弧度为单位）再乘以半径，即l = θr（θ为圆心角的弧度数）。
4.圆的内接多边形面积：圆的内接正多边形面积可以通过半径和边长计算得出，公式为A = (s² * n) / (4 * tan(π/n))，其中s为边长，n为边数。
四、圆与直线的关系1.定理5：直线与圆相交，当且仅当直线的距离小于圆的半径。
2.定理6：直线与圆相切，当且仅当直线的距离等于圆的半径。
3.定理7：直线与圆相离，当且仅当直线的距离大于圆的半径。
五、圆的位置关系1.外切：两个圆的外部边界相切。
2.内切：两个圆的内部边界相切。
3.相离：两个圆的边界没有交点。
4.相交：两个圆的边界有交点。
5.包含：一个圆完全包含在另一个圆内部。
六、圆的特殊性质1.等圆：半径相等的两个圆。
2.同心圆：圆心重合的两个或多个圆。
3.直角圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
4.四边形内切圆：一个四边形的四个顶点都在圆上，这个圆称为四边形的内切圆。
关于圆的题型归纳和解题技巧
关于圆的题型归纳和解题技巧
一、关于圆形的题型归纳
1. 圆的概念：一种特殊的平面图形，具有圆心、半径和圆周的性质，由起点和终点构成的曲线，其形状和位置完全由圆心和半径控制。
2. 圆的性质：圆的面积等于圆的半径的平方乘以π，即S=πr2；圆的周长等于圆的半径乘以2π，即C=2πr。
3. 圆的分类：根据圆的形状可分为完全圆形，半圆形，四分圆形，椭圆形等。
4. 关于圆的极角：圆的极角为起点和终点之间的夹角；对任意一点在圆上，该点到圆心的距离称为该点的弦长，而连接该点和圆心的射线称为该点的极角，极角单位为度（°）。
5. 关于圆的直径、弦、弧、圆心角：直径是圆的最长的一条线段，其中任意两点到圆心的距离相等；弦是圆的一部分，由圆的两个端点和圆心连接而成的线段；弧是圆的一部分，由圆的两个端点和圆周连接而成的曲线；圆心角是两个弦的夹角，其角度值等于圆周长除以圆的直径所得到的结果。
二、解题技巧
1. 关于圆的题目一般都是关于坐标图形的，因此，解题的步骤就应当是确定坐标，然后根据坐标去求圆的性质，比如求圆心、半径、圆周等。
2. 在求解圆的性质时，可以利用两点定理、勾股定理等几何知
识，先求出圆上的点与点之间的距离，然后求出圆的半径，再根据圆的性质求其他的信息。
3. 在处理相关问题时，要掌握好圆的各项性质，不要忘记极角、直径、弦以及圆心角的概念，以免出现误解圆的基本性质，从而出现差错。
4. 针对求圆面积或圆周长的题目，要熟悉圆的性质，圆面积为πr2，圆周长为2πr，因此，只要计算出圆的半径，就可以得出答案。
圆的面积应用题
圆的面积应用题本文将介绍如何应用圆的面积解决实际问题。
首先，让我们回顾一下圆的面积公式：S = πr²，其中r为圆的半径。
在许多实际问题中，圆的面积被用来计算各种不同的对象和结构，例如圆形花园、圆形桌子、井盖等等。
通过应用圆的面积公式，我们可以计算出这些物品所需要的材料数量，从而为实际制作提供准确的数据支持。
让我们通过一个具体的例子来说明如何应用圆的面积。
假设我们想要计算一个井盖所需要的材料数量。
我们知道井口的直径为1米，那么我们需要先计算出井口的半径，然后应用圆的面积公式计算出井盖所需要的材料数量。
首先，我们可以通过井口的直径计算出井口的半径。
根据直径和半径的关系，我们知道半径是直径的一半，因此井口的半径为0.5米。
接下来，我们可以应用圆的面积公式计算出井盖所需要的材料数量。
将半径0.5米代入公式S = πr²中，我们可以得到井盖所需要的材料数量为0.785平方米。
通过这个例子，我们可以看到如何应用圆的面积解决实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和场景选择合适的方法和公式，从而准确地计算出所需要的材料数量。
总之，圆的面积是一个非常重要的数学概念，它被广泛应用于各种不同的领域。
通过应用圆的面积公式，我们可以解决许多实际问题，并且为实际制作提供准确的数据支持。
圆的面积练习题本文将通过一系列练习题来帮助读者加深对圆的面积的理解和应用。
首先，我们来回顾一下圆的面积的基本概念。
圆的面积是指圆在平面上的大小，通常用平方单位来衡量。
圆的面积公式是：S = πr²，其中r是圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。
让我们通过一些练习题来熟练掌握这个公式。
练习1：计算半径为5厘米的圆的面积。
解：S = πr² = 3.14159 × 5² = 78.5398平方厘米练习2：计算直径为10厘米的圆的面积。
解：直径等于两个半径之和，因此可以先计算半径，然后使用圆的面积公式。
数学素材：为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数
为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A 版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”1．部分教师的疑惑和意见由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．为了解答老师们的疑问，我们首先从回顾三角函数的发展历史开始．2．对三角函数发展历史的简单回顾回顾三角学发展史，可以发现它的起源、发展与天文学密不可分，它是一种对天文观察结果进行推算的方法．1450年以前，三角学主要是球面三角，这是航海、立法推算以及天文观测等人类实践活动的需要，同时也是宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力所至，这种“量天的学问”确实太诱人了．后来，由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角．三角学从天文学中独立出来的标志是德国数学家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436—1476）于1464年出版《论各种三角形》，这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述．其中采用印度人的正弦，即圆弧的半弦，明确使用了正弦函数，讨论了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理．这部著作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础．后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rhaeticus，1514—1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等，并将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题等，这是对三角学的进一步系统化．总之，16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支．不过，值得注意的是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算．任意角的三角函数的研究，与圆周运动的研究有直接关系．17世纪，“数学从运动的研究中引出了一个基本概念．在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数──或变量间的关系──的概念．” “正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映．”任意角的三角函数的系统化是在18世纪的微积分研究中完成的．“微积分的一般工作的结果是：初等函数被充分地认识了，并实际已将它们发展成为我们今天所见到的样子．”“三角函数的数学也系统化了．Newton和Leibniz给出了这些函数的级数展开式．两个角的和与差的三角函数sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的发展应归功于一批人……最后，Euler于1748年在关于木星和土星运动中的不等式的一篇得奖文章中给出了三角函数的一个十分系统的处理．在Euler1748年的《引论》中已经搞清了三角函数的周期性，并引入了角的弧度制．” 3．任意角的三角函数与锐角三角函数的关系从上述简单回顾可以看到，任意角的三角函数虽然与三角学（锐角三角函数）有渊源关系，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题．“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系” ，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”．另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究（其中很重要的是函数的三角级数展开式问题），一个主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量的应用．三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的” ，而这种应用又与当时的数学研究的中心工作──微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式（三角级数）的系数是用定积分表示的．所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的．它们研究的对象不同，表现的性质也不同．我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”．4．用“单位圆定义法”的理由用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点．（1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角a，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角a（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦，角a（弧度）对应于点P的横坐标x──余弦，可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cosa，y= sina是单位圆的自然的动态（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”，其中，单位圆上点的坐标随着角a每隔2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰；“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．（2）有利于构建任意角的三角函数的知识结构．“单位圆定义法”以单位圆为载体，自变量a与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等．例如：● P(x，y)在单位圆上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函数的值域为[－1，1]；● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；●对于圆心的中心对称性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；●对于x轴的轴对称性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；●对于y轴的轴对称性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；●对于直线y=x的轴对称性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；● sina在[－，]内的单调性a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减；……另外，学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了．另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）a被缠绕到单位圆上的点P(cosa，sina)．（3）符合三角函数的发展历史．前述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”．所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．（4）有利于后续学习．前已述及，“单位圆定义法”使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好的直观基础．不仅如此，这一定义还能为“两角和与差的三角函数”的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述．另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便．例如，重要极限=1几乎就是定义的一个“推论”．5．教科书中的任意角的三角函数的引入方式“人教A版”首先通过“思考”，提出用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数的问题，以引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义．教科书在定义任意角的三角函数之前，作了如下铺垫：直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数这样做的目的主要是为了以锐角三角函数为认知基础来学习任意角的三角函数，使学生初步体会用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数所具有的简单、方便并反映本质的好处，从而为“单位圆定义法”做好认知准备．需要注意的是，这样做并不表明任意角的三角函数与锐角三角函数之间有一般与特殊的关系．事实上，用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．6．几点说明（1）“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．例如，由苏联科学院院士、世界著名数学家И.М.维诺格拉多夫主编，苏联百科全书出版社出版，被陈省身先生誉为“对数学的贡献，将无法估计”的、具有世界性权威的《数学百科全书》（中译本在2000年由科学出版社出版）中，采用了“单位圆定义法”；中国大百科全书出版社的《中国大百科全书·数学》（1992年版）中采用了“终边定义法”．应当说，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．值得强调的是正弦、余弦和正切函数在R（正切除a=(k∈Z) 外）上处处有定义，而不是角a的终边上取点的任意性．事实上，在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角a，这三个比值（如果有的话）都不会随点P 在a的终边上的位置的改变而改变……对于确定的角a，上面三个比值都是唯一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角a的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．（2）《高中数学课程标准（实验）》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中，正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算（相除、取倒数等）而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的．这样理解各三角函数的关系，那么“用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义”的担心也就不必要了．（3）“人教A版”在给出三角函数定义后，有如下两个例题：例1 求的正弦、余弦和正切值．例2 已知角a的终边经过点P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．它们的作用主要是让学生熟悉定义．例1的解答要用锐角三角函数知识，例2的解答要用一定的平面几何知识，而许多学生的平面几何基础较差，所以有一定的困难，这是教学中需要注意的．另外，例2还有让学生研究“终边定义法”的意图，教科书“边空”的“小贴士”表明了这一点：“由例2可知，只要知道角a 终边上任意一点的坐标，就可以求出角a的三角函数值．因此，利用角a终边上任意一点的坐标也可以定义三角函数．你能自己给出这种定义吗？”至于类似“已知角a终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角a的三角函数值”的问题，显然是一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关．参考文献：① [美]M. 克莱因. 古今数学思想（第二册）[M]. 上海：上海科学技术出版社，1979，43②项武义. 基础数学讲义丛书?基础几何学[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82③同①，122~123④同②，82⑤同①，182⑥详见②，84~87。
六年级上圆知识梳理解题技巧
六年级上圆知识梳理解题技巧在六年级上册的数学学习中，圆这一板块的知识是非常重要的。
圆的相关知识不仅在数学学科中有着广泛的应用，还能为我们解决许多实际生活中的问题提供帮助。
接下来，就让我们一起梳理一下六年级上册圆的知识，并探讨一些解题技巧。
一、圆的基本概念1、圆心圆心是圆的中心，通常用字母“O”表示。
它决定了圆的位置。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母“r”表示。
半径决定了圆的大小。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，通常用字母“d”表示。
直径是圆内最长的线段，且直径等于半径的 2 倍，即 d ＝ 2r 。
4、圆周率圆的周长与直径的比值叫做圆周率，通常用希腊字母“π”表示。
π是一个无限不循环小数，约等于31415926……在实际计算中，我们通常取 314 进行近似计算。
二、圆的周长1、圆的周长公式圆的周长 C ＝πd 或 C ＝2πr 。
2、解题技巧在计算圆的周长时，要先确定已知条件是圆的直径还是半径。
如果已知直径，就用 C ＝πd 计算；如果已知半径，就用 C ＝2πr 计算。
例如：一个圆的直径是 8 厘米，求它的周长。
解法：C ＝πd ＝ 314×8 ＝ 2512（厘米）三、圆的面积1、圆的面积公式圆的面积 S ＝πr² 。
2、解题技巧在计算圆的面积时，关键是要先求出半径。
如果已知直径，要先除以 2 得到半径。
例如：一个圆的半径是 5 分米，求它的面积。
解法：S ＝πr² ＝ 314×5²＝ 785（平方分米）四、圆环的面积1、圆环的面积公式圆环的面积＝外圆面积内圆面积，即 S ＝π（R² r²），其中 R 是外圆半径，r 是内圆半径。
2、解题技巧在计算圆环的面积时，要分别求出外圆和内圆的半径，然后代入公式计算。
例如：一个圆环，外圆半径是 6 厘米，内圆半径是 4 厘米，求圆环的面积。
解法：外圆面积＝ 314×6²＝ 11304（平方厘米）内圆面积＝ 314×4²＝ 5024（平方厘米）圆环面积＝ 11304 5024 ＝ 628（平方厘米）五、与圆有关的组合图形的面积1、解题思路对于与圆有关的组合图形的面积计算，通常需要将图形进行分割或补全，转化为我们熟悉的图形，如圆、三角形、长方形、正方形等，然后分别计算它们的面积，最后相加或相减得到组合图形的面积。
人教版小学六年级上册数学精品讲义第5讲 圆(思维导图 知识梳理 例题精讲 易错专练)(含答案)
第5讲圆（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆心、半径、直径用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。
2.同圆或等圆中半径、之间的关系在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆；圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。
3.用圆规画圆用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。
知识点二：圆的周长1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。
2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。
3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。
C=Πd或2Πr。
已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。
知识点三：圆的面积1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。
2.已知圆的半径为r，S=Πr2已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。
3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。
S=ΠR2-Πr23.圆与正方形组合的面积问题的应用（1）“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。
如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。
如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。
知识点四：扇形1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
注意：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长短决定。
圆的面积练习题大题
圆的面积练习题大题圆的面积练习题大题在数学学科中，圆的面积是一个非常基础的概念。
它是我们在日常生活中经常会遇到的几何形状之一。
在学习圆的面积时，我们需要掌握一些基本的公式和计算方法。
本文将通过一系列练习题来帮助读者更好地理解和应用圆的面积。
练习题1：求圆的面积已知一个圆的半径为5cm，求该圆的面积。
解析：圆的面积公式为S = πr²，其中π取近似值3.14。
将半径r代入公式中，即可求得圆的面积。
按照题目中给出的半径5cm，代入公式计算，可得圆的面积为S = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5cm²。
练习题2：求圆的面积与半径的关系已知一个圆的面积为100πcm²，求该圆的半径。
解析：将已知的圆的面积公式S = πr²代入题目中，得到100π = πr²。
两边同时除以π，可得100 = r²，再开方即可得到半径r = √100 = 10cm。
练习题3：求圆的面积比较已知两个圆的半径分别为3cm和5cm，比较它们的面积大小。
解析：根据圆的面积公式S = πr²，将半径分别代入公式中，可得第一个圆的面积为S₁ = π × 3² = 9πcm²，第二个圆的面积为S₂ = π × 5² = 25πcm²。
由于π为正数，所以3² < 5²，即9π < 25π。
因此，第一个圆的面积小于第二个圆的面积。
练习题4：圆的面积应用一个圆形花坛的半径为2m，现在需要在花坛周围修建一条宽度为1m的小径。
求小径的面积。
解析：首先，我们需要计算修建小径后的新花坛的半径。
新花坛的半径等于原花坛的半径加上小径的宽度，即2m + 1m = 3m。
然后，我们可以根据新花坛的半径计算出新花坛的面积。
代入公式S = πr²，可得新花坛的面积为S = π × 3² = 9πm²。
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单位圆解题
1.（2006·重庆）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）
解析：（1）如图所示，单位圆中 AB 的长为x ，()f x 表示弧 AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，当 AB 的长小于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越快，当 AB 的长大于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越慢，所以函数()y f x =的图像是D 。
答案：D
2. （2008·江苏）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
解析：本小题考查古典概型。
如图：区域D 表示边长为4的正方形ABCD
的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此2
144
16
P ππ
⨯==
⨯。
答案：
16
π
3. （2008·江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为
225
10。
（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
思路点拨：先由已知条件得225
cos 10αβ=
=
1）问求tan()αβ+的值，运用正切的和角公式；第（2）问求2αβ+的值，先求出tan(2)αβ+的值，再根据范围确定角的值。
解析：（1）由已知条件即三角函数的定义可知
225
cos αβ=
=
， 因α为锐角，故sin 0α>，从而2
72
sin 1cos 10
αα=-=
同理可得
sin 5β==
，因此1tan 7,tan 2
αβ==. 所以tan()αβ+=17tan tan 231
1tan tan 172αβαβ+
+=
=---⨯ ; （2）132tan(2)tan[()]11
1(3)2
αβαββ-+
+=++=
=---⨯
, 30,0,02,222
πππ
αβαβ<<<<<+<又故
从而由 tan(2)1αβ+=- 得 324
π
αβ+=.
4.（ 2007·全国）（12）函数22
()cos 2cos 2
x
f x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．2()33ππ
，
B ．()62
ππ
，
C ．(0)3
π
，
D ．()66
ππ-，
解析：法一：22
2215
()cos 2cos cos 1cos (cos )224
x f x x x x x =-=--=--，1
()2(cos )sin 2
f x x x '=--
依题意，令()0f x '>，则1cos 02sin 0x x ⎧->⎪⎨⎪<⎩或1cos 0
2
sin 0
x x ⎧
-<⎪⎨⎪>⎩结合单位圆（如图）解得(2,2)3
x k k πππ∈-
或(2,2)3
x k k ππππ∈+
+
∵题目所给选项中，只有2()33
ππ
，是上述区间的子区间，∴选A ． 法二：
222215
()cos 2cos cos 1cos (cos )224
x f x x x x x =-=--=--，令c o s u x =，结合二次函数及余弦
函数图像．
①当1
[,1]2u ∈时，y 随u 的增大而增大，故只需求此时u 关于x 的增区间，即
[2,2]3
x k k π
ππ∈-．
②当1
[1,]2u ∈-时，y 随u 的增大而减小，故只需求此时u 关于x 的减区间，即
[2,2]3
x k k π
πππ∈++．
∵题目所给选项中，只有2()33
ππ
，是上述区间的子区间，∴选A ．
5.（1990·全国）
解法一: 如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有
解法二:由已知得
两式相除得
解法三:由题设得 4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得 sin(α-j)=sin(j-β).
于是α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),
或α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).
若α-j=(2k+1)π-(j-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知α-j=2kπ+(j-β)(k∈Z).
即α+β=2j+2kπ(k∈Z).。