2015考研数学二真题及答案
2015考研数二真题与解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰,则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==,0x ≠,故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时,()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时,()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->,答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ,则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2- 【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=,则,11u uv x y v v ==++,从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+, 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,3y x =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()1sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以1n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =,故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)n f =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续,()()2x x x f t dt ϕ=⎰,若()()11,15ϕϕ'==,则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰,求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰,故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解,且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =,()00y '=,由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =,()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定,则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =,则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-,2B A A E =-+,其中E 为3阶单位阵,则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,33sin ()3!x x x o x =-+, 那么,23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===, 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩,所以,11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ,得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ,求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203cos )1(sin )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ,得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ,求得21-=b ； 进一步,b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=,求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0,D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =,2x π=所围成的平面区域,1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积,若12V V =,求A 的值. 【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式,得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2cos 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+,'(,0)(1)xx f x x e =+,2(0,)2f y y y =+,求(,)f x y 的极值.【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分,得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=, 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ, 求得)1()(+=x e x x ϕ,故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++=',两边关于x 积分,得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=xx xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=,求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ,求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2, x xye yf )1(2+='',xyy e f 2='', 当1,0-==y x 时,(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC , 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰,其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰,求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞,所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点,所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却,30min 后该物体降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒,还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ,比例常数为(0)k >,介质温度为m ,则()dxk x m dt=--,从而()kt x t Ce m -=+, (0)120,20x m ==,所以100C =,即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =,所以11()20100t x t -=+ 当21x =时,t =１,所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数,()0f a =,()0f x '>,()''0f x >,设b a >,曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，,证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =,得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增,又因为(a)0f = 所以(b)0f >,又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--',而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->,即0x a >,所以0a x b <<,结论得证. (22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=,E 为3阶单位阵,求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭,011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ,使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P , 1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP。
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C)；；，(2)函数在(A) (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)(若(A) (B)(C) (D)再有于是，存在此时当，，=因此，在连续。
选A综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【解析】在外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。
点两侧恒正，对应的点不是拐，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是(5)设函数满足则与(A)(B)(C)(D)【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)是第一象限中由曲线与直线区域，作极坐标变换，将化为累次积分。
D综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
(7)设矩阵A=,b=。
若集合，则线性方程有无穷多解的充分必要条件为(A) (B)(C) (D)【解析】是一个范德蒙德行列式，值为,如果，则，此时类似的，若当时，，(8)设二次型在正交变换下的标准形为,,=在正交变换下的标准形为(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】设二次型矩阵为A,则可见都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-也是A的特征向量，特征值为-1，因此因此在正交变换下的标准二次型为(9)设则=,综上所述，本题正确答案是48。
考研数学二真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题,每小题4分,共32分;下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的;1下列反常积分中收敛的是A ∫√x 2B ∫lnx x +∞2dxC ∫1xlnx +∞2dxD ∫x e x +∞2dx答案D;解析题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案;∫√x2=2√x|2+∞=+∞； ∫lnx x +∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫xe x +∞2dx =−∫x +∞2de −x =−xe −x |2+∞+∫e −x +∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2, 因此D 是收敛的;综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学—一元函数积分学—反常积分2函数f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t在-∞,+∞内 A 连续 B 有可去间断点C 有跳跃间断点D 有无穷间断点答案B解析这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+sin t x −1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义,且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点,选B; 综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限3设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0α>0,β>0.若f ′(x )在x =0处连续，则 A α−β>1 B 0<α−β≤1C α−β>2D 0<α−β≤2答案A解析易求出f′(x )={αx α−1cos 1x β+βx α−β−1sin 1x β,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x =lim x→0+x α−1cos 1x β={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0 于是,f ′(0)存在α>1，此时f ′(0)=0.当α>1时,lim x→0x α−1cos 1x β=0,lim x→0βx α−β−1sin 1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0， 因此,f′(x )在x =0连续α−β>1;选A综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限4设函数f(x)在-∞,+∞内连续,其二阶导函数f ′′(x)的图形如右图所示,则曲线y =f(x)的拐点个数为A OB x A 0 B 1C 2D 3答案C解析f(x)在-∞,+∞内连续,除点x =0外处处二阶可导; y =f(x)的可疑拐点是f ′′(x )=0的点及f ′′(x)不存在的点;f ′′(x )的零点有两个,如上图所示,A 点两侧f ′′(x)恒正,对应的点不是y =f (x )拐点,B 点两侧f ′′(x )异号,对应的点就是y =f (x )的拐点;虽然f ′′(0)不存在,但点x =0两侧f ′′(x)异号,因而0,f(0) 是y =f (x )的拐点;综上所述,本题正确答案是C;考点高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点5设函数f(μ,ν)满足f (x +y,y x )=x 2−y 2，则f μ|μ=1ν=1与f ν|μ=1ν=1依次是 A 12,0 B 0,12C −12,0D 0,−12答案D解析先求出f (μ,ν)令{μ=x +y,ν=y x ,{x =μ1+ν,y =μν1+ν, 于是 f (μ,ν)=μ2(1+ν)2−μ2ν2(1+ν)2=μ2(1−ν)1+ν=μ2(21+ν−1) 因此f μ|μ=1ν=1=2μ(21+ν−1)|(1,1)=0 f ν|μ=1ν=1=−2μ2(1+ν)2|(1,1)=−12 综上所述,本题正确答案是D;考点高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分6设D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,函数f(x,y)在D 上连续,则∬f (x,y )dxdy =DA ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θrdr B ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)√sin 2θ1√2sin 2θrdr C ∫dθπ3π4∫f(r cos θ,r sin θ)1sin 2θ12sin 2θdr D ∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θdr答案 B 解析D 是第一象限中由曲线2xy =1,4xy =1与直线y =x,y =√3x 围成的平面区域,作极坐标变换,将∬f (x,y )dxdy D化为累次积分; D 的极坐标表示为π3≤θ≤π4√sin 2θ≤θ≤√2sin 2θ因此 ∬f (x,y )dxdy D =∫dθπ3π4∫cos θ,r sin θ)1√sin 2θ√2sin 2θrdr综上所述,本题正确答案是B;考点高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算;7设矩阵A=[11112a 14a 2],b =[1d d 2];若集合Ω={1,2},则线性方程 Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为A aΩ,dΩB aΩ,d ∈ΩC a ∈Ω,dΩD a ∈Ω,d ∈Ω答案D解析Ax =b 有无穷多解?r (A |b )=r (A )<3|A |是一个范德蒙德行列式,值为(a −1)(a −2),如果a?Ω,则|A |≠0，r (A )=3,此时Ax =b 有唯一解,排除A,B类似的,若d?Ω,则r (A |b )=3,排除C当a ∈Ω,d ∈Ω时,r (A |b )=r (A )=2,Ax =b 有无穷多解综上所述,本题正确答案是D;考点线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值,矩阵的秩,线性方程组求解;8设二次型f(x 1,x 2,x 3)在正交变换x =Py 下的标准形为2y 12+y 22−y 32,其中P =(e 1,e 2,e 3),若Q =(e 1,−e 3,e 2)在正交变换x =Qy 下的标准形为A 2y 12−y 22+y 32B 2y 12+y 22−y 32C 2y 12−y 22−y 32D 2y 12+y 22+y 32答案A解析设二次型矩阵为A ,则P −1AP =P TAP =[20001000−1]可见e 1,e 2,e 3都是A 的特征向量,特征值依次为2,1,-1,于是-e 3也是A 的特征向量,特征值为-1,因此Q T AQ =Q −1AQ =[2000−10001]因此在正交变换x =Qy 下的标准二次型为2y 12−y 22+y 32综上所述,本题正确答案是A;考点线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量,正交变换化二次型为标准形;二、填空题：9~14小题,每小题4分,共24分;9设{x =acr tan t ,y =3t +t 3,则d 2y dx 2|t=1=解析由参数式求导法dy dx =y t ′x t ′=3+3t 211+t 2=3(1+t 2)2再由复合函数求导法则得d 2ydx 2=d dx [3(1+t 2)2]=d dt [3(1+t 2)2]dt dx =6(1+t 2)2t1x t ′ =12t(1+t 2)2, d 2y dx 2|t=1=48综上所述,本题正确答案是48;考点高等数学-一元函数微分学-复合函数求导10函数f (x )=x 22x 在x =0处的n 阶导数f (n )(0)=答案n (n −1)(ln2)n−2(n =1,2,3,)解析解法1 用求函数乘积的n 阶导数的莱布尼茨公式在此处键入公式。
2015年考研数学真题答案(数二 )
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、下列反常积分中收敛的是（）（A）2+∞⎰（B ）2ln xdx x+∞⎰(C)21ln dx x x+∞⎰(D)2xx dx e +∞⎰【答案】(D)【考点】反常积分的收敛性 【难易度】★★ 【详解】（A）2+∞==+∞⎰，发散，（B ）222ln 1(ln )2x dx x x +∞+∞==+∞⎰，发散（C ）221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞⎰，发散 （D ）当x 足够大时，21x x e x <，221dx x +∞⎰收敛，2x x dx e+∞⎰收敛 2、函数20sin ()lim(1)x tt tf x x→=+在(,)-∞+∞内（）（A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】(B)【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】当0x ≠时，22sin sin 0sin sin ()=lim(1)lim(1)x x t x x tt x tt t ttf x e xx→→+=+=3、设函数1cos ,0()0,0x x f x xx αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【考点】导数的定义、连续的定义 【难易度】★★★【详解】100()(0)1(0)=limlim cos x x f x f f x x xαβ-→→-'=存在 所以10α->，且(0)=0f '1111()=cossin f x x x x x ααβββαβ---'+ 由0lim ()(0)0x f x f →''==，得10αβ-->，1αβ->4、设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C【考点】拐点的定义 【难易度】★★★【详解】由图易知，拐点为原点和与x 正半轴的交点，所以拐点数为2 5、设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x+=-，则11u v f u ==∂∂与11u v fv ==∂∂依次是（） （A ）12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12【答案】(C)【考点】链式求导法则 【难易度】★★【详解】法一：,y u x y v x =+=，所以,11u uvx y v v ==++所以222222(1)(,)(1)(1)1u u v u v f u v v v v -=-=+++ 2(1)1f u v u v ∂-=∂+，222(1)fu v v ∂-=∂+ 110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 法二：22(,)x f x y x y y+=-（1）（1）式对x 求导得，22f y f x u x v ∂∂-=∂∂（2） （1）式对y 求导得，12f f y u x v∂∂+=-∂∂（3） 由1,1u v ==，得12x y ==，代入（2）（3）解得110u v f u ==∂=∂，1112u v fv==∂=-∂ 6、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y =围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）（A ）12sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（B）24(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰（C ）13sin 2142sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（D）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4πθ=由y =得，3πθ=由21xy =得，22cos sin 1,r r θθ==由41xy =得，24cos sin 1,r r θθ==所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰7、设矩阵A=211112a 14a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b=21d d ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为（）（A ）,a d ∉Ω∉Ω (B),a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解⇔R(A)=R(A,b)<31212a a d d ⇔====或且或.8、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、设2231arctan ,3t x t d y dx y t t==⎧=⎨=+⎩则 【答案】48【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★【详解】2222333(1)11dy dy dt t t dx dx dtt +===++， 22222212(1)12(1)11d dy d y t t dt dx t t dx dx t ⎛⎫⎪+⎝⎭===++， 因此，212121448t d y dx==⋅⋅=.10、函数2()2xf x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =【答案】2(1)(ln 2)n n n --【考点】高阶导数；莱布尼兹公式：()()0()()nn kn k k n k uv C u v -==∑ 【难易度】★★ 【详解】()()()2()2n n x fx x =⋅()(0)n f ⇒()()(2)222(1)222(ln 2)2n x x n n x x n n C x --==-''==⋅⋅⋅2(1)(ln2)n n n -=-.11、设函数()f x 连续，2()(),x x xf t dt ϕ=⎰若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】2220()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰1(1)()2(1)(1)2(1)5(1)2f t dt f f f ϕϕ'=+=+=⇒=⎰.12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = 【答案】【考点】【难易度】★★【详解】微分方程的通解是212x x y c e c e -=+则12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=，121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+.13、若函数(,)z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导法则 【难易度】★★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导23(31)0x y zz zeyz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--.14、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★【详解】A 的特征值为2，-2,1，又由于2B A A E =-+，因此矩阵B 的特征值为3,7,1，因此矩阵B 的行列式的值为21三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。
2015考研数学二真题及解析
f
与
依次是
x
u u1 v u1
v1
v1
1 (A) ,0
2
1 (B) 0,
2
(C) 1 , 0 2
【答】应选(D). 【解】方法一:(代入法)
(D) 0, 1 2
令 u x y , v y ,则 x u , y uv ,从而 f (x y, y) x2 y2 变为
x
1 v 1vபைடு நூலகம்
x
f
2015 考研数学二真题及解析
2015 年考研数学二真题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定的位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是
1
(A)
dx
2x
ln x
(B)
dx
2x
1
f (x, y) 在 D 上连续,则 f (x, y)dxdy
D
1
1
(A)
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
(B)
3
d
sin 2 1
f (r cos , r sin )rdr
4
2 sin 2
4
2 sin 2
2015 考研数学二真题及解析
1
(C)
3
d
sin 2 1
0,
x0
(A) 1
(B) 0 1
(C) 2
(D) 0 2
【答】应选(A).
【解】因 f ( x) 在 x 0 处连续,故 f ( x) 在 x 0 处可导,于是有 f(0) f(0) ,即
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
2015年考研数学真题及答案解析(数二)
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f (r cos θ , r sin θ )dr （D） ∫ dθ ∫
1
π 3 π 4
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
1 1 1 1 (7)．设矩阵 A= 1 2 a ，b= d ,若集合 Ω= {1, 2} ，则线性方程组 Ax = b 有无穷多个解的 1 4 a 2 d2
（1）式对 x 求导得， 解得
∂f ∂f = 0， ∂u u =1 ∂v
v =1
u =1 v =1
=−
1 2
（6）选 B 由 y = x 得， θ = 由y=
π 4
3 x 得， θ =
2
π 3
1 sin 2θ 1 2sin 2θ
由 2 xy = 1 得， 2r cos θ sin θ = 1, r =
D
（A）
∫ ∫
π 2 π 4
dθ ∫ sin12θ f (r cos θ , r sin θ )dr （B） ∫π2 dθ ∫
2 sin 2θ 4
1
π
1 sin 2θ 1 2sin 2θ 1 sin 2θ 1 2sin 2θ
f ( r cos θ , r sin θ ) dr
（C）
π 3 π 4
dθ ∫
(0) =
∫
x2
0
xf (t ) dt , 若 ϕ (1) = 1 ， ϕ ' (1) = 5 ，则 f (1) =
（12）设函数 y = y ( x ) 是微分方程 y '' + y ' − 2 y = 0 的解，且在 x = 0 处 y ( x) 取值 3，则 y ( x) = （13）若函数 z = z ( x, y ) 由方程 e
2015考研数学二真题及解析
2015年考研数学二真题及解析一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 下列反常积分收敛的是(A)2x +∞⎰(B)2ln d xx x +∞⎰(C)21d ln x x x+∞⎰(D) 2d x x xe +∞⎰【答】应选(D). 【解】因d (1)xxx x x e e -=-+⎰,则2222(1)3lim d (1)3x x x x x e e x e e xx e+∞----→++∞∞=-+=-+=⎰,故选(D).(2) 函数20sin ()lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 (A) 连续 (B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答】应选(B).【解】显然0x =时,()f x 无定义,故()f x 有间断点.又在0x ≠时,有222000sin sin sin ln lim(1)limln(1)lim()x tt t t tx t x tx xt x t x f x eeee →→→++⋅====(0x ≠),因此0x =是()f x 的可去间断点,故选(B).11,0p p a >>,1,1,1p p a >>收敛发散;,0,0kλλ>收敛;11p p <,10111d p p p x x <⎛⎫⎧⎨ ⎪⎩⎝⎭⎰收敛发散.(3) 设函数1cos ,0()(0,0)0,0x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪⎩,若()f x '在0x =处连续,则 (A) 1αβ-> (B) 01αβ<- (C) 2αβ-> (D) 02αβ<- 【答】应选(A).【解】因()f x '在0x =处连续,故()f x 在0x =处可导,于是有(0)(0)f f +-''=,即001cos000limlim x x x x x x αβ+-→→--=,亦即101lim cos 0x x x αβ+-→=,因此10α->.又因为()f x '在0x =处连续,所以0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→'''==,即0lim ()x f x +→'1111lim(cos sin )0x x x x xααβββαβ+---→=+=.由此可见10αβ-->.故选(A). (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,其中二阶导数()f x ''的图形如图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为( )(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3 【答】应选(C).【解】拐点须出现在二阶导数为零的点处或二阶导数不存在的点处,且在该点的左右两侧二阶导数异号.于是由的图形可见,曲线存在两个拐点.故应选(C).(5) 设函数(,)f u v 满足22(,)y f x y x y x +=-,则11u v f u ==∂∂与11u v f v ==∂∂依次是(A) 1,02 (B) 10,2(C) 1,02- (D) 10,2- 【答】应选(D).【解】方法一:(代入法) 令u x y =+,y v x =,则1u x v =+,1uv y v=+,从而22(,)y f x y x y x +=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.于是2(1)1f u v u v ∂-=∂+,222(1)f u v v ∂=-∂+,110u v f u ==∂=∂,1112u v f v ==∂=-∂.故选(D). 方法二:(全微分形式不变性) 将(,)f u v 分别对x ,y 求偏导,得f f u f vx u x v x∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂, f f u f v y u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂, 由于u x y =+,yv x=,故上述两式化为 21()f f f y x u v x∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂, 11()f f f y u v x∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂, 又由于22f x y =-,可得2f x x ∂=∂,2fy x ∂=-∂, 已知1u x y ==+,1y v x ==,可得12x =,12y =, 则可将前述式子化为1(2)f fu v ∂∂=+-∂∂, 12f fu v∂∂-=+∂∂, 联立两式可解得110u v f u ==∂=∂,1112u v f v ==∂=-∂.故选(D). (6) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,y =围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则(,)d d Df x y x y =⎰⎰(A)13sin 2142sin 2d (cos ,sin )d f r r r r πθπθθθθ⎰⎰(B) 34d (cos ,sin )d f r r r r ππθθθ⎰(C)13sin 2142sin 2d (cos ,sin )d f r r r πθπθθθθ⎰⎰(D)34d (cos ,sin )d f r r rππθθθ⎰【答】应选(B).【解】通过画出D 的图形,可见(,)d d Df x y x y =⎰⎰34(cos ,sin )d d f r r r r ππθθθ⎰,故应选(B).(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答】应选(D).【解】因=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为()()r r =A A <3,而22111111111201111400(1)(2)(1)(2)a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A,于是有1a =或2a =,同时1d =或2d =.故选(D).(8) 设二次型或123(,,)f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为2221232y y y +-,其中123(,,)=P e e e ,若132(,,)=-Q e e e ,则123(,,)f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准形为(A) 2221232y y y -+(B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y --(D) 2221232y y y ++【答】应选(A). 【解】方法一:由题意, f 的标准型中平方项的系数2,1,-1是二次型的矩阵A 的特征值,矩阵P中列向量123,,e e e 分别是A 属于特征值2,1,-1的特征向量,于是,矩阵Q 中列向量132,,-e e e 分别是A 属于特征值2,-1,1的特征向量.又由P 为正交矩阵易见, Q也是正交矩阵,因此f 在正交变换=x Qy 下的标准形为2221232y y y -+.故选(A).方法二:因在正交变换=x Py 下,有222123()2T T T f y y y ===+-x Ax y P AP y .故200010001T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭P AP .而100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭Q P PC ,于是有200()010001T T T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭Q AQ C P AP C ,因此在正交变换=x Qy 下,有222123()2T T T f y y y ===-+x Ax y Q AQ y .故选(A).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 已知3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩,则221d d t yx == . 【答】应填48.【解】因2222d d 33d 3(1)d 1d d 1yy t t t x xt t +===++, 222222d d d[3(1t )]d()d()d d d d d 12(1)d(arctant)d d d d d y y t y x x t t t x x t xt+====+, 故221d 48d t y x ==. (10) 函数2()2xf x x =⋅在0x =处的n 阶导数()(0)n f= .【答】应填2(1)(ln 2)n n n --.【解】据莱布尼兹公式有()2122()2(ln 2)22(ln 2)22(ln 2)n x n x n x n n n f x x C x C -=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,故()2220(0)22(ln 2)(1)(ln 2)n x n n n x f C n n --==⋅⋅⋅=-.(11) 设()f x 连续,()()d xx xf t t ϕ=⎰,若(1)1ϕ=,(1)5ϕ'=,则(1)f = .【答】应填2.【解】因为()f x 连续,所以()x ϕ可导,且2220()()d 2()x x f t t x f x ϕ'=+⎰;又因为10(1)()d 1f t t ϕ==⎰,1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰,故(1)2f =.(12) 函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解,且在0x =处取得极值3,则()y x = .【答】应填22x x e e -+.【解】依题意,有(0)3y =,(0)0y '=.又由特征方程220λλ+-=解得11λ=,22λ=-.所以微分方程的通解为:212x x y C e C e -=+.将(0)3y =,(0)0y '=代入,可得12C =,21C =.于是()y x =22x x e e -+.(13) 若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定,则(0,0)d z = .【答】应填12d d 33x y --. 【解】易见当0x =,0y =时,有0z =.又对方程两边求偏导可得2323(3)x y z x y z z e xy yz e x++++∂+=--∂,2323()2x y z x y z z e xy xz e y ++++∂+=--∂.将(0,0,0)点的值代入,即有(0,0)13z x ∂=-∂,(0,0)23zy ∂=-∂.因此(0,0)d z =12d d 33x y --. (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,-2,1, 2=-+B A A E 其中E 为3阶单位阵,则行列式=|B | .【答】应填21.【解】因A 的所有特征值为2,-2,1,故B 的所有特征值为3,7,1,因此=|B |21.三、解答题：（15～23小题，共94分.）(15) （本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++,3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小,求,,a b k 的值.【解】方法一: 因0lim ()lim[1(sin cos )]11x x af x b x x x a x→→'=+++=++, 20lim ()lim30x x g x kx →→'==,故当10a +≠时, 00()()limlim ()()x x f x f x g x g x →→'==∞'.与题设矛盾. 于是有10a +=,即1a =-. 又2lim ()lim[(2cos sin )]212(1)x x af x b x x x a b b x →→''=-+-=-+=++, 00lim ()lim60x x g x kx →→''==.故同理可知120b +=,即12b =-. 由于3002(3sin cos )()1(1)lim lim ()633x x ab x x x f x a x g x x k k→→-+'''+===-''',且0()lim 1()x f x g x →=,所以113k -=,即13k =-. 方法二:由于233ln(1)()23x x x x x +=-++,33sin ()6x x x x =-+.所以3323()ln(1)sin []()23x x f x x a x bx x x a x bx x =+++=+-+++233(1)()()23a aa xb x x x =++-++.因()f x 与()g x 在0x →时等价,故10023a a b a k ⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩,解得1a =-,12b =-,13k =-.(16) （本题满分10分）设0A >,D 是由曲线段sin (0)2y A x xπ=及直线0y =,2x π=所围成的平面区域, 1V ,2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转所成旋转体的体积.若12V V =,求A 的值.【解】2222222101cos 2sin d d 24x A V A x x Ax πππππ-===⎰⎰. 由0A >,可得22202sin d 2dcos V xA x x A x x ππππ==-⎰⎰,2202(cos cos d )2A x x x x A ππππ=--=⎰因为12V V =,即2224A A ππ=,所以8A π=.(17) （本题满分10分）已知函数(,)f x y 满足(,)2(1)x xyf x y y e ''=+,(,0)(1)x x f x x e '=+,2(0,)2x f y y y '=+,求(,)f x y 的极值.【解】由(,)2(1)x xyf x y y e ''=+,得2(1)()x x f y e x ϕ'=++. 因为(,0)(1)xx f x x e '=+,所以()(1)x x e x x e ϕ+=+,得()x x xe ϕ=,从而2(,)(1)x xx f x y y e xe '=++.对x 积分得2(,)(1)(1)()x x f x y y e x e y ψ=++-+.因为2(0,)2f y y y =+,所以()0y ψ=,从而2(,)(2)xf x y x y y e =++.于是(,)(22)x y f x y y e '=+,2(,)(22)x xxf x y x y y e ''=+++,(,)2x yy f x y e ''=. 令(,)0x f x y '=,得驻点(0,1)-.所以(0,1)1xxA f ''=-=,(0,1)0yyB f ''=-=,(0,1)2yyC f ''=-=.由于20AC B ->,0A >所以极小值为(0,1)1f -=-. (18) （本题满分10 分）计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰,其中{}222(,)|2,D x y x y y x =+.【解】因为区域D 关于y 轴对称,所以d d Dxy x y ⎰⎰.2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰21202d d xx y =⎰12202)d x x x =⎰ 114022d x x x x =-⎰⎰,令x t =,则1224400014sin cos d (1cos 4)d 28xx t t t t t πππ==-=⎰⎰⎰,又1401d 5x x =⎰,所以2()d d 45Dx x y x y π+=-⎰⎰.(19) （本题满分10分）已知函数21()x f x t t =+⎰⎰,求()f x 零点的个数.【解】()2(2f x x '==-()0f x '=,得驻点为12x =. 当12x <时, ()0f x '<,()f x 单调减少;当12x >时, ()0f x '>,()f x 单调增加;因为(1)0f =,所以()f x 在1(,)2+∞存在唯一零点.又1()(1)02f f <=,lim ()x f x →-∞=+∞,所以()f x 在1(,)2-∞存在唯一零点.综上可知,有且仅有2个零点.(20) （本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却, 30min 后该物体温度降至30C ︒,若要将该物体的温度继续降至21C ︒,还需冷却多长时间?【解】设该物体在t 时刻的温度为()(C)T t ︒,由题意得(20)dTk T dt=--,其中k 为比例系数, 0k >. 解得()20ktT t Ce -=+.将初始条件(0)120T =代入上式,解得100C =.故()10020ktT t e -=+.将30t =,30T =代入上式得ln1030k =,所以10020kt T e -=+. 令21T =,得60t =.因此要降至21C ︒,还需要603030(min)-=.(21) （本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有2阶导数, ()0f a =,()0f x '>,()0f x ''>.设b a >,曲线()f x 在点(,())b f b 处的切线与x 轴的交点是0(,0)x ,证明:0a x b <<.【解】曲线在()y f x =点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-,解得切线与x 轴交点的横坐标0()()f b x b f b =-'. 由于()0f x '>.故()f x 单调递增.由b a >可知()()0f b f a >=. 又()0f b '>,故()0()f b f b >',即有0x b <. 由拉格朗日中值定理得()()()()()f b f b f a f b a ξ'=-=-,a b ξ<<. 因为()0f x ''>,所以()f x '单调递增,从而()()f f b ξ''<,()()()f b b a f b '<-. 由此可知00x a ->,即0x a >.综上0a x b <<.(22) （本题满分11分）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .(Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ,E 为3阶单位矩阵,求X .【解】(Ⅰ)由于3=A O ,所以31011001a a a a=-==A ,于是0a =.(Ⅱ)由于22--+=X XA AX AXA E ,所以2()()--=E A X E A E .由(Ⅰ)知110111011-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E A ,2001010102⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭E A ,, 因为-E A ,2-E A 均可逆,所以121211201312()()111010111110100211-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=--=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X E A E A .2015考研数学二真题及解析(23) （本题满分11分）设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B .(Ⅰ) 求,a b 的值;(Ⅱ) 求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵.【解】(Ⅰ)由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以()()tr tr =A B ,=A B . 于是32a b +=+,23a b -=,解得4a =,5b =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 023133124-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,120050031-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B .又由于矩阵A 与矩阵B 相似,所以2(1)(5)λλλλ-=-=--E A E B .故A 的特征值121λλ==,35λ=. 当121λλ==时,解方程组()0-=E A x ,得线性无关的特征向量为 1(2,1,0)T =ξ,2(3,0,1)T =-ξ.当35λ=时,解方程组(5)0-=E A x ,得特征向量为3(1,1,1)T =--ξ.令123231(,,)101011--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ξξξ,则1100010005-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ,故P 为所求可逆矩阵.。
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2015考研数学二真题及答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰. (2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cos x x x x f x x xαβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x xααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0(B) 1 (C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。
(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu ==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2(C) 1,02-(D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)yf x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+，因而111110,2u u v v f f uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()sin 23142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,),432sin 2sin 2D r r ππθθθθ⎧=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭所以n 23142sin 2(,)(cos ,sin )si Df x y dxdy d f r r rdr πθπθθθθ=⎰⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为： ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
故选（D ） (8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为：( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且 200010001T P AP ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭. 100001010Q P PC⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭200()010001T T T Q AQ C P AP C ⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+。
选（A ）二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．．纸．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t =⎧⎨=+⎩则 212t d y dx ==【答案】48【解析】2222333(1)11dydy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==.(10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有10(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = 。
【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==-所以微分方程的通解为：212x xy C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C =解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = 。
【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂。
将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=。
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===，可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二：由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→23cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kxx bx x b x x +++-=→ ）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim 20 203cos )1(sin )1(lim kxxx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k 621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值。