运筹学模拟题

运筹学练习题一、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示． 1. 表、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 二 使用图解法求解线性规划（1） ｍａｘ Ｚ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2S.T ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1278212121x x x x x x解：第一步．先在平面直角坐标系ｘ1Ｏｘ2里画出上述线性规划的可行域Ｒ。

事实上在约束条件中，每个线性等式代表平面上一条直线，这直线将坐标平面分成两部分，于是每个线性不等式代表一个半平面。

本例中五个线性不等式代表的五个半平面的交，就是可行域Ｒ，它是一个凸多边形，这个凸多边形有五个顶点，它们分是Ｏ（０，０），Ａ（０， ７），Ｂ（５，７），Ｃ（８，４），Ｄ（８，０），如下图。

图2－１第二步．求解线性规划，就是要在上述凸多边形Ｒ中找一点12(,)x x ，使目标函数 ０.７ｘ1＋０.９ｘ2取最大值。

对任意固定的常数Ｃ，直线０.７ｘ1＋０.９ｘ2＝Ｃ上的每点都有相同的目标函数值Ｃ，故该直线也称为“等值线”。

当Ｃ变化时，得出一族相互平行的等值线，这些等值线中有一部分与可行域相交。

我们要在凸多边形即可行域Ｒ中找这样的点，使它所在的等值线具有最大值Ｃ。

当Ｃ<０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ不相交；当Ｃ＝０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ有唯一交点，即顶点（０，０）；当Ｃ由０增大时，等值线平行向右上方移动，与Ｒ相交于一线段；当Ｃ增至一定程度时，等值线与将不再有交点。

由此可见，顶点（５，７）是使Ｒ中目标函数达到最大值的点，于是线性规划有唯一解7,5*2*1==x x这时Ｚ*＝ｍａｘ Ｚ＝９.８（2）1212121212max 42.2512242,0z x x s tx x x x x x x x =++≤+≤-+≤≥过程同上，略三、某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见下表（1）怎样安排生产，使利润最大．（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少．【解】（1）设 x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为123123123123123max 43212002350026000,0,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥≥≥⎩ （中间过程省略，自己补充）最后得到： 最优单纯形表：最优解X=（20，0，160），Z=560。

工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。

则最优表可知，影子价格为12392,,055y y y ===,故增加利润1.8元。

四、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。

每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：1）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型； 2）用单纯形法求该问题的最优解。

解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =10x 1+6x 2+4x 3s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++03006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 4，x 5，x 6，得到等效的标准模型：max z =10x 1+6x 2+4x 3+0 x 4+0 x 5+0 x 6⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+++=+++=+++6,...,2,1,03006226005410100632153214321j x x x x x x x x x x x x x j 列表计算如下：∴X *=（3100，3200，0，0，0，100）T ∴max z =10×3100+6×3200=32200五 某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：1建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型； 2用单纯形法求该问题的最优解。

六 用表上作业法求下面运输问题使总运费最小。

201186559102101874115331212C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 七、最短路。

（需写出最短路线）解：此为网络分析之“最短路问题”，可用顺向追踪“TP 标号法”解决如下：v 1到v 7的最短路线是：v 1→v 2→v 5→v 9→v 8→v 11，最短距离2+1+1+7+9=20。

八 一个公司经理要分派4个推销员去4个地区推销某种商品。

4个推销员各有不同的经验和能力，因而他们在每一地区能获得的利润不同，其估计值如下表所示：问：公司经理应怎样分派4个推销员才使总利润最大？ 解：用求极大值的“匈牙利法”求解。

效率矩阵表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28253224333224354029342837282735 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121581678165011612312135⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47082311001161209102⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛44)0(82011)0(08612)0(6102**所画（）0元素少于n （n ＝4），未得到最优解，需要继续变换矩阵（求能覆盖所有0元素的最少数直线集合）：未被直线覆盖的最小元素为c ij =2,在未被直线覆盖处减去2，在直线交叉处加上2。

⎪⎪⎪⎭⎝⎛648401106410480 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛64084)0(11006410048)0(**）（）（∴得最优解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010********* ∴使总利润为最大的分配任务方案为：甲→D 1，乙→D 4，丙→D 3，丁→D 2 此时总利润W=35+40+32+32=139九用割平面法求解下面的整数规划（2）12121212max20102513.5424,0Z x xx xs t x xx x=++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数计算过程同上，略十、求下图从顶点ｖ１到ｖ９的最短路．例ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４，ｖ５，ｖ６，ｖ７，ｖ８，ｖ９九个城市间的公路网如图所示，假定有一批货物需要用卡车由ｖ１运到ｖ９，问各走哪条路最短？分析 若从ｖ１到某个顶点ｖｉ的最短路是｛ｖ１，ｖ２，．．．，ｖｉ－１，ｖｉ｝，则｛ｖ１，ｖ２，．．．，ｖｉ－１｝必然是ｖｉ到ｖｉ－１的最短通路，所以要求ｖｉ过ｖｉ－１到ｖｉ的最短路，必须先求出ｖｉ到ｖｉ－１的最短通路．如果用Ｌ１，ｋ表示ｖｉ到ｖｋ点的最短通路的长，则Ｌ１，ｋ＝ｍｉｎ｛Ｌ１，ｋ－１＋ｗｋ－１，ｋ｝ 根据上述原理，我们有如下的标号算法(Dijkstra 算法)：（１） 给每个点ｖｉ一个标号（数）：Ｐ(ｖｉ)或T(ｖｉ)．其中，Ｐ(ｖｉ)表示由ｖ１到 点ｖｉ的最短路长，称为固定标号；T(ｖｉ)表示由ｖ１到点ｖｉ的最短路长尚未找到，其值表示临时可确定的最短路长的上界，称为临时标号，且T(ｖｉ)＝ｗ１ｉ，（如果ｖ１到点ｖｉ没有弧，则ｗ１ｉ＝∞）。

显然，除起点ｖ１可标以Ｐ(ｖ１)＝０外，其它各点只能标以临时标号： T(ｖｉ)＝ｗ１ｉ（其中≠ｉ１）。

当时，一般在图上可略去不写。

如图（Ｐ(ｖｉ)其中用（）中数字表示；T(ｖｉ)用横线上数字表示）。

（２）考察刚刚标上T标号的点，以此为基础重新标号。

首先找出全部临时标号最小的点。

因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛ｗ１ｊ｝＝ｗ１２＝３显然这就是ｖ１到点ｖ２的最短路长。

所以得到ｖ２点的固定标号：Ｐ(ｖ２)＝３。

然后以ｖ２为基础再修改其它各点的临时标号（注意：以下我们总以T＇(ｖｉ)表示原临时标号，以T(ｖ３)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ３)，Ｐ（２）＋ｗ２３｝＝ｍｉｎ｛∞，３＋３｝＝６表示修改后的临时标号）T(ｖ３)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ３)，Ｐ（２）＋ｗ２３｝＝ｍｉｎ｛∞，３＋３｝＝６T(ｖ５)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ５)，Ｐ（２）＋ｗ２５｝＝ｍｉｎ｛∞，３＋２｝＝５T(ｖ６)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ６)，Ｐ（２）＋ｗ２６｝＝ｍｉｎ｛∞，３＋３｝＝６其余各点对应的T(ｖｉ)＝∞以下重复（２）中的步骤，直到图上全部没有T标号为止。

（３）找出所有临时标号最小的点，因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛T(ｖ３)，T(ｖ４)，T(ｖ５)，T(ｖ６)｝＝４所以P(ｖ４)＝４，以ｖ４为基础修改其它临时标号：T(ｖ７)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ７)，Ｐ（４）＋ｗ４７｝＝ｍｉｎ｛ ，４＋３｝＝７其它点的临时标号不变。

如图。

（４）找出所有临时标号最小的点，因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛T(ｖ３)，T(ｖ５)，T(ｖ６)，T(ｖ７)｝＝５所以P(ｖ５)＝５，以ｖ５为基础修改其它临时标号：T(ｖ７)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ７)，Ｐ（５）＋ｗ５７｝＝ｍｉｎ｛７，５＋３｝＝７T(ｖ６)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ６)，Ｐ（５）＋ｗ５６｝＝ｍｉｎ｛６，５＋３｝＝６其它点的临时标号不变。

如图。

（５）找出所有临时标号最小的点，因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛T(ｖ３)，T(ｖ６)，T(ｖ７)｝＝６所以P(ｖ３)＝T(ｖ６)＝６，以ｖ６或以ｖ３为基础修改其它临时标号：（在此以ｖ６来进行）T(ｖ７)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ７)，Ｐ（６）＋ｗ６７｝＝ｍｉｎ｛７，６＋3｝＝７T(ｖ９)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ９)，Ｐ（６）＋ｗ６９｝＝ｍｉｎ｛ ，６＋2.5｝＝8.5其它点的临时标号不变。

如图。

（６）找出所有临时标号最小的点，因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛T(ｖ７)，T(ｖ９)｝＝７所以P(ｖ７)＝７，以ｖ７为基础修改其它临时标号：T(ｖ８)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ８)，Ｐ（７）＋ｗ７８｝＝ｍｉｎ｛ ，7＋2｝＝9T(ｖ９)＝ｍｉｎ｛T＇(ｖ９)，Ｐ（７）＋ｗ７９｝＝ｍｉｎ｛8.5，7＋2｝＝8.5 其它点的临时标号不变。

如图。

（７）（７）找出所有临时标号最小的点，因为ｍｉｎ｛T(ｖｊ)｝＝ｍｉｎ｛T(ｖ８)，T(ｖ９)｝＝8.5所以P(ｖ9)＝8.5，以ｖ9为基础修改其它临时标号。

由于ｖ9到ｖ８已没有弧，故P(ｖ８)＝９。

由于图中已无临时标号，标号结束。