切线的判定和性质2
圆的切线的三种判定方法
圆的切线的三种判定方法
三种判定方法如下：1、圆心到直线的距离为半径，就是切线。
2、可以判定直线和圆的交点与圆心的连线和直线垂直也可以证明是切线。
3、也可以是判定直线和圆只有一个交点，也就是切线。
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切。
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
切线定理是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
(完整)圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。
2切线的性质和判定
∴∠BAC＝∠C＝45°.
(2)证明：∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD.
方法点析 “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接
切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的
常用方法．
考点聚焦
归类探究
┃归类探究
探究二、圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这 条直线是圆的切线； 2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径， 判定这条直线是圆的切线．
图30－3
┃归类探究
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由 圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数， 易得直线PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求 得AD与OD的长．
解析
(1)∵PA、PB 分别为⊙O 的切线，
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。21.5.421.5.412:33:0312:33:03May 4, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年5月 4日星 期二下 午12时33分3秒 12:33:0321.5.4
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午12时33分3秒 下午12时33分 12:33:0321.5.4
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
考点聚焦
归类探究
┃归类探究
例 2、[2013·湖州] 如图 30－2 所示，已知 P 是⊙O 外一点，PO 交
圆的切线判定与性质
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切 点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?
切线的性质
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理 切 线 判 定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线 又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
圆的切线与切点的性质与判定
圆的切线与切点的性质与判定圆是几何学中的重要概念之一，它有很多特性和性质。
其中一个重要的性质是切线与切点的关系。
本文将介绍切线与切点的性质以及判定方法。
一、切线与切点的定义在几何学中，我们定义一个几何图形与另一个图形的一点相切时，这个点是该图形的切点，而与该图形相切的直线称为切线。
对于圆来说，切点是与圆相交于一点的直线，这条直线同时也是圆的切线。
二、切线与切点的性质1. 切点与圆心连线垂直于切线假设有一个圆，它的圆心是O，切点是A，切线是l。
根据性质，可以得出结论：切点与圆心连线AO垂直于切线l。
这一性质可以通过几何推理或使用垂直性质证明得出。
2. 切线与半径的夹角切线与半径的夹角等于90度。
对于任意一条半径OA和切线l，我们可以推导出∠OAL=90°。
这个性质也可以通过几何证明得出。
3. 切点在切线上的唯一性每条切线与圆只有一个切点。
这个切点是在圆上与切线相切的点，其他点不与切线相切。
也就是说，对于一条切线l和圆O，它们的切点A是唯一的。
4. 切线在切点处切分弦切线在切点处将切点外的弦分为两段，其中一个是切点外的弧。
三、切点的判定方法如何判断一条直线是否是圆的切线？下面是两种判定方法：1. 切线定理给定一个圆，如果一个直线与圆相交，在交点处的切角为90度，则这条直线是圆的切线。
换句话说，如果一个线段与圆相交于一点，并与半径的延长线构成90度的夹角，那么这条线段就是圆的切线。
2. 切线的斜率圆的切线的斜率与切点处圆的切线相切。
通过计算待判定的直线与给定圆的相切点的斜率，如果该斜率等于切点切线的斜率，那么这条直线就是圆的切线。
四、实际应用切线和切点的性质在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在求解圆的切线问题时，可以利用切点与圆心连线垂直于切线的性质，来确定切线方程的斜率。
在实际生活中，切线和切点的性质也用于计算机图形学、光学等领域，例如，用于光线的反射和折射的计算。
总结：本文介绍了圆的切线与切点的性质与判定方法。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
切线的判定方法三种
切线的判定方法三种
三种判定方法：
1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切线的判定和性质
切线是数学中一个重要的概念，尤其在微积分和几何学中使用得非常广泛。
本文将讨论如何判定一条直线是否为曲线的切线以及切线的一些性质。
切线的判定
判定一条直线是否为曲线的切线，有以下两种常见的方法：
1. 函数导数法
设曲线的方程为 y = f(x)，如果某一点 (a, f(a)) 处的函数导数f’(a) 存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
2. 函数极限法
设曲线的方程为 y = f(x)，如果点 (a, f(a)) 处的函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且等于切线的斜率 k，则直线 y = kx + b 是曲线在点 (a, f(a)) 处的切线。
需要注意的是，以上两种方法得到的切线方程并不一定相同，因为函数在某一点处的导数和极限不一定相等。
但是当函数是可导的时候，两种方法能得到相同的结果。
切线的性质
切线作为曲线的一条特殊直线，具有以下一些性质：
1. 切点
切点是切线与曲线相交的点，切线与曲线通常只有一个交点。
切点坐标为 (a, f(a))，其中 a 是曲线上的一点，f(a) 是曲线在点 a 处的函数值。
2. 切线的斜率
切线与曲线在切点处的斜率是相等的。
切线的斜率可以通过上述判定切线的两种方法得到。
3. 切线方程
切线方程可以使用点斜式或一般式表示。
点斜式为 y - f(a) = k(x - a)，其中 k 是切线的斜率。
一般式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是切线方程的系数。
4. 切线与曲线的关系
切线与曲线在切点处相切，因此切线方程所表示的直线与曲线在切点处重合。
切线与曲线在切点处的函数值相等，即切线方程与曲线方程在切点处相等。
5. 切线的几何意义
切线可以看作曲线在切点处的局部近似，切线的斜率表示曲线在切点处的变化速率。
当切线的斜率为正时，曲线在切点处向上增长；当切线的斜率为负时，曲线在切点处向下增长；当切线的斜率为零时，曲线在切点处取极值。
6. 切线的切向量
切向量是与切线方向一致且模长为1的向量，可以用来表示切线的方向。
切向量的方向是曲线在切点处的切线方向，模长为1表示单位长度。
结论
本文介绍了切线的判定方法和一些常见性质。
切线在微积分和几何学中有着重要的应用，对于理解曲线的变化趋势和局部特征具有重要意义。
通过切线的斜率和方程，可以确定曲线在给定点的局部特性，并对曲线进行近似计算和分析。