第12章动能定理-2-BW (1)
动能定理
第十二章动能定理12-1 功和功率2、变力在曲线运动中的功Mvr Fr dsM ′rr ∆rr r r ′为弧的路程上所作的总功在力21M M F r∫=21M M W W δ∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx rd F M M rr ∫⋅=21F W r ⋅δrd F W M M rr ∫⋅=21∫++=21)(M M Zdz Ydy Xdx W ds F W M M ϕcos 21∫=dtv F W M M ∫⋅=21rr影为重力在三坐标轴上的投运动到沿曲线轨迹设质点,21M M M mgG Z Y X −=−===,0δδk F F =成正比。
弹簧变形的大小与在弹性极限内，弹性力r)(212221δ−δ=k W 上式表明，当初始变形大于末变形时，弹性力作功为正。
反之为负。
的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr AB B r d F ⋅=的无限小增量。
点的距离点相对于为AB A B r d AB τr221ii V m T ∑=1、刚体平动的动能221k k V m T ∑=设瞬心在P点2)(21ωk k r m ∑=2221kk r m ∑=ω221ωz J =均质圆柱体作纯滚动时的动能RCCV r r得到两边同乘以,dt V r d r r =2121由动力学基本方程有FdtVd mr r=W r d F δ=⋅r r FdtV m d r r=)(或r d F dt V dtV m d rr r r⋅=⋅)()21()(2)(2mV d V V d m dt V dt V m d =⋅=⋅r r r r W mV d δ=⇒)21(2力的元功。
用于质点上微分等于作质点动能的W mV d δ=)21(2δ二、质点的动能定理的积分形式质点动能在某一路程上的改变量，等于作用于质点上力在同一路程上所作的功。
§12-5 质点系的动能定理)21(2i i V m d ∑∑=)21(2i i V m d *ii W W δδ∑+∑=质点系动能的微分等于作用在该质点系的全部外力和内力的元功的总和。
第十二章 动能定理
10
动能定理
10.1 力的功 10.2 质点和质点系的动能 10.3 动能定理
10.4 功率 功率方程 机械效率 10.5 势力场 势能 机械能守恒定律 10.6 普遍定理的综合应用举例
10.1 力的功 10.1.1 常力在直线运动中的功
W F cos s
上式也可以写成
W F s
2 1
W12
2 k 2 ( 12 2 ) 2
10.1 力的功 3．万有引力的功 质量为m2的质点M受到另一质量为m1的固定点O的引 力F的作用。由牛顿万有引力定律知 M
F f m1m2 m1m2 r f r 0 2 3 r r
M1
r1
M2
F
r0 o
式中f 为万有引力常数 f =6.667×10-11m3/（kg· s2） 当质点从M1运动到M2时，引力F作的功为
10.2 质点和质点系的动能 平面运动刚体的动能
点C ——质心，
点P ——某瞬时的瞬心，
ω ——角速度 1 2 T J P 2 J P J C mr C 2
1 1 1 2 2 2 2 T ( J C mr ) J m ( r ) C 2 2 C 2 C
10.3 动能定理
dT δWi 10.3.2 质点系的动能定理 质点系内任一质点，质量 上式称为质点系动能定理的微 为mi，速度为vi，有 分形式：质点系动能的增量等 1 d( mi vi2 ) δWi 于作用于质点系全部力所作的 2 式中δWi 为作用于这个 元功的和。 质点上的力Fi作的元功。 上式积分，得：T T W
功是代数量，在国际单位制中，功的单位为 J（焦耳）。
10.1 力的功 10.1.2 变力在曲线运动中的功 力在无限小位移dr中作的功称为 元功： W F cos d s 力在全路程上作的功等 于元功之和： s W 0 F cos d s M 上两式也可写成以下矢量点乘形式： W F d r W M F d r
理论力学第12章动能定理
合力之功定理
合力所作的元功等于各分力的元功的代数和；合力在质点
任一段路程中所作的功，等于各分力在同一路段中所作的功的 代数和。
W
M2 M1
FR
dr
M2 M1
Fi
dr
Wi
5
四、几种常见力的功
1、重力的功
Fx Fy 0
W12
z2 z1
mgdz
mg(z1
z2 )
Fz mg
W 12 mgh
即: dT Wi 质点系动能定理的微分形式
T2 T1
W 12
质点系动能定理的积分形式
质点系动能的改变量，等于作用于质点系上的所有力在同一运 动过程中所作的功的代数和。——质点系积分形式动能定理
16
关于功的讨论
1．质点系内力的功
W
F drA F'drB
F drA F drB
vi vC vir
于是有：
T
1 2
mvC2
12mivi2r
质点系的动能等于质点系随同质心C的平动的动能与质点系相对于 质心C运动的动能之和。——柯尼希定理。
13
三．刚体的动能
1．平动刚体
T
1 2
mi
vi
2
1M 2
vC 2
2．定轴转动刚体
T
1 2
mi vi 2
1 2
(
miri2 ) 2
V k 2 δ 为质点在位置M时的弹簧的变形量。
2
三. 机械能守恒定律
T1 V1 T2 V2 机械能守恒.T+V称为机械能
质点系在仅有势力作用下运动时，其机械能保持不变。
质点系在非有势力作用下运动，机械能不守恒。在质点系的 运动过程中，机械能和其他形式的能量之和仍保持不变，这 就是能量守恒定律。
第十二章 动能定理1
(2) 定轴转动刚体的动能
z
T
1 2
mivi2
1 2
miri2 2
1 2
(mi ri 2
)
2
T
1 2
J z2
ri
vi
mi
(3) 平面运动刚体的动能
T
1 2
J P 2
(P 为瞬心)
1 2
(JC
md T
2 )2
1 2
mvC2
1 2
J C 2
d
C P
平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能与绕质心转
动的动能的和。
23
1 (1 ml2 )2
29
1 m( 3 v)2 1 1 ml 2 ( v )2
23
2 12 l sin 60
1 ml 2 2
6
1 ml22
18
2 mv2 9
y
45º 2a
a
x
R
v R
a
T 1 J 2
2
5 ma2 2
12
T 1 J 2
2
1 ( 3 mR2 ) 2
22
3 mR22
2. 弹性力的功
F k(r l0 ) er
W12
A2
F
d
r
A1
A2 A1
k
(r
l0
)
er
d
r
erd r
r
d
r
r
1
d(r r)
2r
dr2 2r
dr
W12
r2 r1
k
(r
l0
)dr
k 2
[(r1
l0
)2
第十二章 动能定理
2. 受力分析 只有重力做功。
3. 建立动力学方程 用动能定理。
v C
A
c
θ
R
★理论力学电子教案
vC (R r) vC / r (R r)/ r
第12章 动能定理
T1 0
T2
1 2
m vC2
1 2
JC2
3 4
m(R
r )22
W12 mg (R r)(1 cos )
力功之和可以不为零。如引力。
2. 刚体间的理想约束做功之和为零。
为什么？
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
12
五、功率
单位时间内力（或力偶）所做的功。
P
W
F
dr
F
v
dt dt
力做功之功率
或P W M d M 力偶(力矩)做功之功率
dt
dt
功率的单位：瓦(W)
1.重力功
F FW k
W12
M 2 F
dr
z2
FW
dz FW
z1 z2
M1
z1
2.弹F性力k功r l0 r0
其中r0为r方向的单位矢量，l0为原长
W
F
dr
kr
l0 r0 dr
kr l0 r dr kr l0 dr r
1W 1N 1m / s
★理论力学电子教案
第12章 动能定理
13
例题 鼓轮内半径为r，外半径为R，在常力F作用下作 纯滚动。试求F在s上所作的功。
12第十二章动能定理
ri
mi
vi ri
vC d
15
例．摆：杆m1, l,圆盘：m2 , R，杆与圆轮均质。 求：摆的动能。 解： 组合刚体作定轴转动
1 T J O 2 2
JO JO杆 JO盘
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R ) 2 3 2
2) D 物速度与 B 轮角速度关系：
v 2 r B v C r B
T TA TB TD
2v C v
22
３、运动分析： 2 1 P r v 2 1 2 ( ) Ａ：TA J O A 2 2g r 2 1 2 1 2 Ｂ：TB mvC J C B 2 2
8
5．平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代数和。 平面运动刚体上力系的功，也等于力系向质心简化所得的力与力
偶作功之和。
A
c1
F
c2
C
A
W12 W12 ( F '.R ) W12 ( M C )
FR 'drC M C d
C1 C2
2
r r0 r
单位矢量
2
M1 r 1 1 F r0 dr dr d (r r ) d (r 2 ) dr. 2r r 2r r2 r2 k W12 k ( r l0 ) dr d ( r l0 ) 2 2 r1 r1 k 令 1 r1 l0 , 2 r2 l0 [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] 2 k 2 2 即 W12 ( 1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
第十二章动能定理
2
1
( k ) d
1 2
k ( 1 2 )
2 2
Part A 动能和功
8 作用在平移刚体上的力做功
W
FR
F dr
2
M
M1
i
C
M
2
M1
F R d rC
力系的主矢
Part A 动能和功
9 作用在定轴转动刚体上的力做功
z
F
d ' W F d s F r d
Байду номын сангаас
M
2
M1
( F1 F 2 F n ) d r
W1 W 2 W n
汇交力系合力作功等于各个分力的功的代数和。
Part A 动能和功
6 重力做功
z
F x 0 F y 0 F z mg
M1
W
M2
z2
z1
Fz dz
z2
( mg ) d z
第十二章 动能定理
PART B 动能定理
Part B 动能定理
1 质点的动能定理 质点的动能定理建立起了质点的动能和作用力之间的关系
v M a M1 F
ma F
m dv dt F
ma F
ds vdt
mv d v F d s
得到
1 2 d E k d mv d W 2
Part A 动能和功
10 平面运动刚体上力系的功
Fi
d W i F i d r F i d rC F i d riC F i d riC Fi cos q M i C d M C F i d
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
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§12-6动力学普遍定理综合应用
动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理（质心运动定理）、动量矩定理和动能定理。
它们由不同的侧面建立了运动的变化与力的关系，各自有其应用范围。
动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式的能量转化问题。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。
有的问题只能用某一个定理求解，有的问题既可用这个定理又可用另一定理求解，有的问题要同时用几个定理联合求解。
求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。
[综1]已知两均质轮：m ,R，轮C纯滚动; 物块：m ；弹簧：k；于弹簧原长处无初速释放。
求：重物下降h时的速度、加速度及轮C 与地面的摩擦力。
解：（1
）以系统为研究对象，求重物的速度、加速度
h
当重物下降h 时，设其速度为v
：
w O
w C
视h为变量，将式（*）对t求导：
a
C
（2）以轮C 为研究对象
由刚体平面运动微分方程：
[*综2]重150N 的均质圆盘B 与重60N 、长24cm 的均质杆AB 铰接。
系统由图示位置无初速地释放。
求系统经过最低位置B '点时B '点的速度及支座A 的约束反力。
解：（1
）取圆盘为研究对象
，圆盘平移。
又开始系统静止，
60o
A B
B'
B
（2）用动能定理求速度。
取系统研究：T 1=0
，
代入数据，得
60o A
B
B'
w
C
（3）用动量矩定理求杆的角加速度a 。
杆质心C 的加速度：盘质心B
'的加速度：
（4
）由质心运动定理求支座反力。
研究整个系统。
代入数据，得
A B'
w C
a
M
O
D r r R
C
B A
[综3]图示系统中，鼓轮B 和轮C 固结，共重Q ，对水平轴O 的回转半径为r ；轮C 只滚不滑；重物A 重G ；定滑轮D 重W ，其上作用一常力偶M ，可视为均质圆盘。
各轮半径如图，不计轮C 的滚动摩擦及轮D 轴承处的摩擦，求轮D 轴承的反力。
问题：①能否用动能定理求解？
②求反力常用动量定理或质心运动定理，能否以整体为研究对象？
解：（1）以整体为研究对象，用动能定理求a A 。
M O
D r r R C
B A
设任意位置时物A 的速度为v A ，则
w O
w D
其中：
当物A 下降d s A 时：
其中：
两边同除以d t
，得：
M O
D r r R
C
B A
w O
w D
M
D
r
A
其中：于是得：
方向向下
（2）以轮D 和物A 为研究对象，用动量矩定理求绳的拉力。
w D
M
D r A
（3）以轮D 和物A 为研究对象，用质心运动定理求轮D 轴承反力。
x
y
由质心运动定理：
a D
另解：（
1）以轮O 为研究对象，
由动量矩定理：
M
D r
A
x
y
a
D
O
r R
C
B a O
P
（2）以轮D 和物A 为研究对象，由动量矩定理：
（3）以轮D 和物A 为研究对象，由质心运动定理求轮D 轴承反力。
由以上两式即可求得F T 、a A （包括a O 、a O 、a D ）。