绝对值相反数平方根立方根相关知识点和练习题
中考数学《平方根和立方根》知识点及练习题
平方根和立方根一.知识梳理：1.平方根定义1：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开方数。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
定义2：正数a 的正的平方根叫做a a ”， 性质1：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质2：算术平方根a 的双重非负性：①a ≥0 ； ②0≥a定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根定义1：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
即如果x 3=a ，那么x 叫做a 3a x =。
性质1：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
性质2：33a a -=-，三次根号内的负号可以移到根号外面。
定义2：求一个数的立方根的运算，叫做开立方3. 实数大小的比较（1）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
（2）实数大小比较的几种常用方法①作差法：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=-b a b a <⇔<-0.②作商法：设a 、b 是两正实数，;1;1;1b a b a b a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔> ③平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>22④近似值法：记住这些数值：236.25732.13414.12≈≈≈；；二.课后作业1.9的算术平方根是 ；4的平方根是 。
2.-8的立方根是 ；立方根是它本身的数是______3.25的算术平方根是_____，64的立方根是5.比较大小：-3.14 π-；23。
6. 22(3)0y z -+-=，则xyz 的立方根是________7.23-的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
平方根立方根练习题
平方根立方根练习题平方根和立方根练题一、填空题1.如果x=9，那么x=9；如果x=9，那么x=9.2.如果x的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是-7.12.3.-2的相反数是2，3-1的相反数是-1/3.4.一个正数的两个平方根的和是它的两倍，一个正数的两个平方根的商是1.5.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是1.6.算术平方根等于它本身的数有1，立方根等于本身的数有1.7.81的平方根是9，4的算术平方根是2，10-2的算术平方根是2.8.若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是±4.9.当m≠3时，3-m有意义；当m≠1时，3m-3有意义。
10.若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，则a=1，这个正数是9.11.已知2a-1+(b+3)2=3，则2ab/3=1.12.a+1+2的最小值是3，此时a的取值是1.13.2x+1的算术平方根是2，则x=3/4.二、选择题14.下列说法错误的是（B）。
A。
(-1)2=1B。
3(-1)3=-3C。
2的平方根是±√215.(-3)2的值是（D）。
A。
-3B。
3C。
-9D。
916.设x、y为实数，且y=4+5-x+x-5，则x-y的值是（A）。
A。
1B。
9C。
4D。
517.下列各数没有平方根的是（A）。
A。
-√2B。
(-3)3C。
(-1)2D。
11.118.计算25-38的结果是（D）。
A。
3B。
7C。
-3D。
-719.若a=-32，b=-2，c=-12，则a、b、c的大小关系是（B）。
A。
a>b>cB。
c>a>bC。
b>a>cD。
c>b>a20.如果3x-5有意义，则x可以取的最小整数为（C）。
A。
0B。
1C。
2D。
321.一个等腰三角形的两边长分别为52和23，则这个三角形的周长是多少？A、102+23B、52+43C、102+23或52+43D、无法确定解：由等腰三角形的性质可知，这个三角形的底边长为23，而两腰长相等，设为x，则有x+x=52，解得x=26.因此，这个三角形的周长为23+26+26=75，所以选B。
七年级下册数学期末考复习专题01平方根及立方根(知识点串讲)【含答案】
专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。
(完整版)平方根立方根知识点归纳及常见题型
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.23(2)0y z -++=，求xyz 的值。
立方根知识点及练习题
立方根知识点及练习题一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。
这就是说，如果\（x³＝ a\），那么 x 叫做 a 的立方根。
记作：＼（＼sqrt3{a}＼），读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3 是根指数。
例如：＼（2³＝ 8\），所以 2 是 8 的立方根，即\（＼sqrt3{8} ＝2\）；＼（（－2)³＝－8\），所以－2 是－8 的立方根，即\（＼sqrt3{－8} ＝－2\）。
二、立方根的性质1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0。
2、立方根等于它本身的数有 0，1，－1。
3、＼（＼sqrt3{a} ＝＼sqrt3{a}＼）4、＼（（＼sqrt3{a}）＾｛3} ＝ a\）5、＼（＼sqrt3{a^｛3}｝＝ a\）三、开立方求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
例如：求\（＼sqrt3{27}＼），因为\（3³＝ 27\），所以\（＼sqrt3{27} ＝ 3\）。
四、立方根与平方根的区别1、定义不同平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
2、表示方法不同平方根：正数 a 的平方根记为\（＼pm\sqrt{a}＼）。
立方根：数 a 的立方根记为\（＼sqrt3{a}＼）。
3、个数不同一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
任何数都只有一个立方根。
4、被开方数的取值范围不同平方根中被开方数 a 是非负数，即\（a\geq 0\）。
立方根中被开方数 a 可以是任何数。
五、练习题（一）选择题1、下列说法正确的是（）A －64 的立方根是－4B 0064 的立方根是 04C ＼（＼sqrt3{－9}＼）没有意义D ＼（＼sqrt3{64}＼）的平方根是 22、若\（＼sqrt3{x}＼）＝－2，则 x 的值是（）A －8B 8C ＼（＼pm 8\）D －643、下列说法中，错误的是（）A 一个数的立方根与这个数同号B 负数没有立方根C 0 的立方根是 0D 立方根等于它本身的数有 3 个（二）填空题1、＼（＼sqrt3{－27} ＝＼）＿____。
【精品】初中数学 05平方根与立方根 讲义+练习题
讲义主题： 平方根与立方根一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）···二、课程内容讲解与课堂练习题模一：平方根例1.1.1±3是9的（ ）A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 例1.1.2的平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ． D ．±例1.1.3若12-a 和5-a 是一个正数m 的两个平方根，则a ＝__________，m ＝__________．【讲透例题】题模一：平方根例1.1.1【答案】A【解析】∵（±3）2=9，∴±3是9的平方根，故选；A ．例1.1.2【答案】D【解析】∵=2，∴的平方根是±．例1.1.3【答案】2；9【解析】该题考查的是平方根的性质．∵一个数的平方根互为相反数∴2150a a -+-=，解得：2a =∴()()22212219m a =-=⨯-=【讲透考点】平方根平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．平方根的表示方法：若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示 为“a ±”．平方根的特征：1．正数有两个平方根，且互为相反数；2．0的平方根是它本身；3．负数没有平方根．【相似题练习】随练81________．随练1.2若225a =，9b =a b +=（ ）A ．8B ．8±C ．8或2-D ．2或8-题模二：算术平方根例1.2.14的算术平方根是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D 2例1.2.229的算术平方根是__________．例1.2.3下列说法正确的是（ ）A 42B ．0和1的相反数都是它本身C ．将5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是4D 2是分数例1.2.4一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A ．a+1B ．a 2+1C 2a 1+D a 1+例1.2.5 若12-x 有意义，则x 的取值范围是__________．【讲透例题】题模二：算术平方根例1.2.1【答案】A【解析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． ∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A ．例1.2.2 29【解析】2929例1.2.3【答案】C【解析】A 42B 、1的相反数不是它本身，故本选项错误；C 、5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是（5×2+4×2+3×2）÷6=4，故本选项正确；D 2是无理数，不是分数，故本选项错误． 故选C ．例1.2.4【答案】B【解析】∵一个自然数的算术平方根为a ，∴这个自然数是a 2．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a 2+1．故选B ．例1.2.5 【答案】12x ≥【解析】双重非负性可得210x -≥，解得12x ≥【讲透考点】二．算术平方根算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．算术平方根的表示方法：a a a叫做被开方数．算术平方根的性质：双重非负性，在x a=0x≥，0a≥．【相似题练习】随练1.3一个数的算术平方根是2，则这个数是____．随练()28-）A．8-B．8C．8±D．8±题模三：开平方例()22-的平方根为( )A．2-B．2C．2±D．2±例1.3.2如果a是121的平方根，那么24a的算术平方根的相反数的倒数的是__________．例1.3.37例1.3.4 1.718721 1.31117.197609 4.147，那么0.0001718721-，1719760900=__________．【讲透例题】题模三：开平方例1.3.1【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()222-=，2的平方根有两个，2所以本题的答案是D．例1.3.2 【答案】211-【解析】2212111442a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭,24a 的算术平方根为112，112的相反数的倒数的是211-例1.3.3【答案】2和3之间 479273<<例1.3.4【答案】0.0311-，41470【解析】被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．【讲透考点】开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．开平方运算的性质：1．当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若0a ≥，则2(a a =；（2）不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系． 【相似题练习】随练1.5已知实数x 、y 231220x y x y ---+=，求85x y +的平方根．随练1.6已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是(___)(___)．题模四：立方根例2.1.127的立方根是__________．例2.1.2338的立方根是__________． 例2.1.36427-的立方根是__________． 例2.1.49的立方根是__________．例2.1.5下列说法正确的是（ ）A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3-【讲透例题】题模四：立方根例2.1.1【答案】3【解析】3273=例2.1.2 【答案】32 【解析】332733882⎛⎫== ⎪⎝⎭ 例2.1.3 【答案】43-【解析】3644273⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 例2.1.4 39 39例2.1.5【答案】D【解析】该题考查的是平方根和立方根的概念．A ：错误，16的算术平方根为4；B ：错误，25的平方根为5±；C ：错误，1的立方根为1；D ：正确，所以本题的答案是D ．【讲透考点】立方根立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略．立方根的特点：1．任意一个数都有立方根；2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．【相似题练习】随练2.1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A ．0B ．正整数C ．0和1D ．1随练2.2下列说法正确的是（ ）A ．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零随练2.3下列各式中，正确的是（ ）A ．93=±B ()222-=-C 393-=-D ．233-= 随练2.4()255--255±42=382-=-A ．3B ．2C ．1D ．0题模五：开立方例2.2.1求符合下列各条件中的x 的值．（1）2104x -=（2）31108x +=例2.2.2已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．例2.2.3324a -343b -ab ． 例2.2.42n m -+是4322m +8的立方根，求1mn +的平方根【讲透例题】题模五：开立方例2.2.1【答案】（1）12x =±（2）2-=x 【解析】该题考查的是解高次方程．（1）2104x -=214x = 14x =±12x = （2）31108x +=38x =-2x =- 例2.2.2【答案】70．【解析】70．例2.2.3【答案】16【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴2443230a b a b -+-=-=， ∴32a b =．例2.2.4【答案】16【解析】该题考察的是代数式求值．算术平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，则这个正数x 为a 的算术平方根 立方根：若一个数x 的立方等于a ，即3x a =，则这个数x 为a 的立方根．∵224=，∴2是424n m -+，即24n m -+=∵328=，∴2是833228m +228m +=∴5n =，3m =∴116mn +=【讲透考点】开立方开立方的概念：求一个数的立方根的运算．开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．开立方运算的性质：1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 233a a =，33a a =． 【相似题练习】随练2.533(4)4k k -=－，则k 的取值范围为（ ）A ．4k ≥B ．4k ≤C ．4k =D ．k 为任意数随练2.6 求符合下列各条件中的x 的值．（1）3343x = （2）()3364x -=-随练2.733560x y -+-=，求x y +的值．三、课后练习（写出各题的主要解答过程。
平方根和立方根知识点总结及练习
基础知识巩固一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =;2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如=5,=50;4夹值法及估计一个无理数的大小5a x =2x≥0 <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥00≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a a <0 a ≥07平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即()330a a a -=->;5a x =3 <—> 3a x =a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;典型例题分析知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数2、下列语句中,正确的是A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±;其中正确的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 4、()20.7-的平方根是A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2知识点二：计算类题型1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.___________, ___________,___________.2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .3、① 2+32—52 ② 771-7③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 41)2(823--+4、1327-＋2)3(-－31- 233364631125.041027-++---3知识点三：利用平方根和立方根解方程1、12x-12-169=0； 212142=x 3125)2(3=+x知识点四：关于有意义的题a ,有非负性,a 0a a ≥0;要使1a有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是3、当________x 时,式子21--x x 有意义;知识点五：有关平方根的解答题1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;知识点六：非负性的应用1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;4、若a 、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ,求代数式acb -的值;5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －2－27 的值;重点知识巩固考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义1如果一个正数x 的平方等于a,即,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫做a 的平方根;3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果,那么x叫做a的立方根;2、运算名称1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;3、运算符号1正数a的算术平方根,记作“a”;2aa≥0的平方根的符号表达为;3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;4、运算公式4、开方规律小结,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。
(完整版)平方根与立方根知识点小结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。
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一、基础定义
1、实数分为有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。
2、有理数分为正有理数，负无理数和0。
3、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是0。
（-2和2；2-和2）
4、 数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
0的绝对值是0（|-2|=2）
5、乘积是1的两个数互为倒数。
（12 和2；√3和√33，0没有倒数）
6、有理数的乘方：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0.
7、如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。
a 的算术平方根记为√a 。
0的算术平方根是0.正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。
8、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根，求一个数的立方根的运算叫做开立方。
二、定义拓展
1、2≈ √3≈ √5≈
2、20以内的平方运算：112=121 122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361
3、一个正数的两个平方根互为相反数。
4、当a ≥0时，√a 才有意义。
5、|m|+√n =0时，m 和n 都等于0.
三、练习题
1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________
2．如果x 的一个平方根是，那么另一个平方根是________．
3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ；
4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________．
5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；
6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ；
9．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；
10．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
11．已知0)3(122=++-b a ，则=33
2ab ； 12．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．
13．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________．
14．下列说法错误的是（ ）
A 、1)1(2=-
B 、()1133-=-
C 、2的平方根是2±
D 、
81-的平方根是9± 15．2)3(-的值是（ ）．
A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
16．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5
17.下列各数没有平方根的是（ ）．
A ．－﹙－2﹚
B ．3)3(-
C ．2)1(-
D ． 18.9144
14449⋅ 19．494 20．416
13+-
19.已知,m n 为实数，且0m +=，求n m 3+
的值.
20.已知012=-+-y x ,且x y y x -=-,求y x +的值.
21. 已知,m n 为实数，且0m =，求n m 3+
的值.
22. 求下列各式中的x .（1）225x =（2）2(1)9x -=（3）364x =-（4）
2(21)2160x +-=.
23. 求下列各式的值2)3(--。