文科数学解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题练习
1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ?
?=- ??
?，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小；
（II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。
2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；
（II ）若2=?BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.
3、在ABC ?中，cos 5A =
，cos 10
B =. （Ⅰ）求角
C ；
（Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积.
4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，
(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足
（I ）求A 的大小；
（II ）求)sin(6π
+B 的值.
5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 2
3
A B ==，且最长边的边长为l.求：
（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.
7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且
c o s c o s B C b
a c
=-+2. （I ）求角B 的大小；
（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积.
8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B.
9、（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4
2sin(π
-A 的值。
1、 (1)解：m ∥n ? 2sinB(2cos2B
2－1)＝－3cos2B
?2sinBcosB ＝－3cos2B ? tan2B ＝－ 3 ……4分
∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π
3 ……2分
(2)由tan2B ＝－ 3 ? B ＝π3或5π
6
①当B ＝
π
3
时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分
∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3
4ac ≤ 3
∴△ABC 的面积最大值为 3
……1分
②当B ＝5π
6
时，已知b ＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)
……1分
∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1
4ac ≤2－ 3
∴△ABC 的面积最大值为2－ 3
……1分
2、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，
,
0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则
因此
.
31
cos =B …………6分
（II ）解：由2cos ,2==?B a BC BA 可得，
,,0)(,
12,cos 2,
6,3
1
cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 6
3、
（Ⅰ）解：由
cos 5A =
，cos 10B =，得02A B π??∈ ?
??、，
，所以sin sin A B =
= …… 3分
因为
cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=
…6分
且0C π<< 故.
4C π
=
………… 7分
（Ⅱ）解：
根据正弦定理得
sin sin sin sin AB AC AB B AC C B C ?=?== ………….. 10分
所以ABC ?的面积为16
sin .
2
5AB AC A ??= 4、解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22
=--A A
……2分
即01cos cos 22
=-+A A
1cos 21
cos -==
∴A A 或 ………………4分
1cos ,-=?A ABC A 的内角是 舍去 3π
=∴A ………………6分
（2）a c b 3=+ 由正弦定理，
23
sin 3sin sin =
=+A C B (8)
分
π
32
=+C B
23)32sin(sin =-+∴B B π ………………10分
23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴
πB B B 即
5、解：由π=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin
有
23
sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=
==-C C C C C 或所以 ……6分
由
3,23sin ,,13,4π==
<==C C a c c a 则所以只能有， ……8分
由余弦定理
31,034cos 22
222===+-?-+=b b b b C ab b a c 或解得有 当
.3sin 21
,133sin 2
1
,3=?=
==?=
=C ab S b C ab S b 时当时
6、解：（I ）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）11
tan tan 231
111tan tan 123A B A B +
+=-=-=---?
∵0C π<<， ∴
34C π
=
……………………5分
（II ）∵0 由1tan 3B = ，解得sin B = ……………………9分 由sin sin b c B C = ，∴ 1sin sin c B b C ?= = ………………12分 7、解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B c C R s i n s i n s i n ===2得 a R A b R B cR C ===222s i n s i n s i n ，， 将上式代入已知c o s c o s c o s c o s s i n s i n s i n B C b a c B C B A C =-+=-+22得 即20s i n c o s s i n c o s c o s s i n A B C B C B ++= 即20s i n c o s s i n ()A B B C ++= ∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵ s i n c o s A B ≠，∴， 012=- ∵B 为三角形的角，∴ B = 2 3π. 解法二：由余弦定理得 c o s c o s B a c b a c C a b c a b =+-= +-22222222， 将上式代入c o s c o s B C b a c a c b a c a b a b c b a c =-++-+-=-+2222222 222 得× 整理得a c b a c 222 +-=- ∴c o s B a c b a c a c a c =+-=-=- 222221 2 ∵B 为三角形角，∴ B = 2 3π （II ）将b a c B =+==1342 3，，π代入余弦定理b a c a c B 222 2=+-c o s 得 b a c a c a c B 22 22=+--()c o s ， ∴131621123 =--=a c a c ()，∴ ∴S a c B A B C △==123 43s i n . 8、解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的围对角的三角函 得到sinB=23 (负值舍掉)，从而求出B=3π。 数值的制约，并利用正弦定理 解：由 cos （A -C ）+cosB=及B=π-（A+C ）得 3 2 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3 2， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3 2, sinAsinC=3 4. 又由2 b =a c 及正弦定理得 2sin sin sin ,B A C = 故 23 sin 4B = ， 3sin B = 或 3 sin B =（舍去）， 于是 B=3π 或 B=23π . 又由 2 b a c =知a b ≤或c b ≤ 所以 B=3π 。 9、【解析】（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，A BC C AB sin sin = ，于是 522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+= 2cos 2 22 于是 A A 2 cos 1sin -==55 ， 从而 53 sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 102 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A