高中数学选修2-1曲线与方程 同步练习

曲线与方程 同步练习

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

1. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则

点M 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

2. 圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）

A ．221

204

x y x y +---

= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．04

1

222=+--+y x y x

3. 抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 （ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

4. 若直线1-=kx y 与椭圆142

2=+a y x 有且只有一公共点，那么 （ ） Ａ．(]⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a Ｂ．()⎪⎭⎫

⎝⎛-∈∈21,21,1,0k a

Ｃ．(]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a Ｄ．()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-∈∈21,21,1,0k a

5. 平面内有一线段ＡＢ，其长为33，动点Ｐ满足3=-PB PA ，Ｏ为ＡＢ的中点，则OP

的最小值（ ）

Ａ．23

Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

二、填写题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

6. 直线l 是双曲线22

22b

y a x -=1(a>0，b>0)的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆，

被直线l 分成弧长为2∶1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 .

7. 过原点的直线l ，如果它与双曲线14

32

2=-x y 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围

是 ．

8. 过抛物线()142+=x y 的焦点作倾斜角为θ的直线交抛物线于Ａ．Ｂ两点，若3

16

=

AB ，则θ＝ ．

三、解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. 已知三点A(－2－a ，0)，P(－2－a ，t)，F(a ，0)，其中a 为大于零的常数，t 为变数，

平面内动点M 满足⋅=0，且∣∣=∣∣＋2．

（1）求动点M 的轨迹；

（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a ＋4，0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．

10. 已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为9

1

-．

（1）求动点P 的轨迹方程；

（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．

11. 点P 在双曲线

=1上，F 1、F 2是左、右焦点，O 为原点，求 的取值

范围．

12. A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA

于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系． （Ⅰ）试求P 点的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）直线mx －y －4m=0(m ∈R )与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的面积的最大值．

13*.设椭圆

11

22

=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0,(2c F (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP 1与直线PF 2垂直．

(Ⅰ)求实数m 的取值范围;

(Ⅱ)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q ．若,322

2

-=PF QF 求直线PF 2的方程．

14*.已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题： 1. A 2. D 3. C 4. A 5. A 二、填空题：

6．【 答案】

3

23

π

π

或

7．【 答案】⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,23

23, 8．【 答案】

3

23

ππ

或

三、解答题：

9. 【 解析】由已知动点P 到定点(－3，0)的距离等于到定直线的距离，根据抛物线定

义，P 点的轨迹是以(－3，0)为焦点，

为准线的抛物线．

∴P 点轨迹方程为：

5． (1)∵AP PM ⋅=0 ∴AP PM ⊥ 又∣PM ∣=∣MF ∣+2

∴M 在以F 为焦点,x=－a 为准线的抛物线上 ∴动点M 的轨迹方程：y 2=4ax

（2）证明：过S 、T 分别作准线x=－a 的垂线，垂足分别为S 1、T 1，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2) 则∣SF ∣+∣TF ∣=∣SS 1∣+∣TT 1∣= x 1+x 2+2a

由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=4

)4(42

22y a x ax y 得x 2+(2a －8)x+a(a+8)=0 ∴x 1+x 2=8－2a ∴∣SF ∣+∣TF ∣=8

即∣SF ∣+∣TF ∣=∣CS ∣+∣CT ∣ ∴C 落在以S 、T 为焦点，且过F 的椭圆上． 10. 【 解析】 (1)由题意52=c ，设a PF PF 2||||21=+（5>a ），由余弦定理

得1|

|||10

2||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=

∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ． 又||1PF ·22

212)2

||||(

||a PF PF PF =+≤，

当且仅当||||21PF PF =时，||1PF ·||2PF 取最大值，

此时21cos PF F ∠取最小值11022

2--a a ，令91

110222-=--a a ，解得

92=a ，5=c ，∴42

=b ，故所求P 的轨迹方程为14

922=+y x ．