工程电磁场高斯定律重点讲解
电磁学中的高斯定律的推导
电磁学中的高斯定律的推导电磁学是物理学的一个重要分支，研究电荷与电磁场之间的相互作用。
在电磁学中，高斯定律是一个基本原理，用于描述电场与电荷分布之间的关系。
本文将对电磁学中的高斯定律进行推导，并详细讨论其应用。
1. 高斯定律的基本原理高斯定律是由德国物理学家高斯提出的。
它表明电场通过一个封闭曲面的总通量与这个曲面所包围的电荷量成正比。
数学表达式如下：∯E·dA = 1/ε₀ * ∮ρdV其中，∯E·dA表示电场E通过曲面的通量，dA为曲面上的微小面积元素，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为电荷密度，∮ρdV表示曲面所包围的电荷量。
2. 推导高斯定律为了推导高斯定律，首先考虑一个任意形状的闭合曲面S，并在曲面内选择一个微小面元dA。
根据电场的定义，可知电场矢量E在微小面元dA上的投影为E·dA。
由于电场的矢量性质，E·dA有连续的变化。
考虑以微小面元dA为底面，垂直于该面的一小段体积元dV。
在这个体积元内存在电荷密度ρ。
由于ρ对应的电荷是由电场产生的，因此可以得到E·dA在dV体积元内对应的电荷元素dq的大小为E·dA =ρdV。
对于整个闭合曲面S上的所有微小面元dA，根据高斯定律的定义，电场E通过曲面S的通量为∯E·dA。
根据前面推导的式子，将微小面元上的电场投影代入上式，得到：∯E·dA = ∮(E·dA) = ∮(ρdV) = ∮ρdV这就是高斯定律的推导过程。
3. 高斯定律的应用高斯定律在电磁学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 电荷分布的计算通过高斯定律，我们可以计算给定电荷分布所产生的电场。
选择一个适当的闭合曲面，计算通过该曲面的电场通量，并根据高斯定律的表达式，求解所包围电荷的分布。
3.2 电场对称性分析高斯定律对于分析具有一定对称性的电场分布非常有用。
例如，当电场具有球对称性、圆柱对称性或平面对称性时，可以选择相应的闭合曲面，从而简化计算，并得到更直观的结果。
电磁场理论中的高斯定律及其应用
电磁场理论中的高斯定律及其应用电磁场是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论是家庭用电、通信设备还是电子产品，都离不开电磁场的作用。
而电磁场的行为和性质则由一系列的物理定律来描述和解释。
其中，高斯定律是电磁场理论中的重要定律之一，它揭示了电荷分布对电场的影响，并在许多实际应用中发挥着重要作用。
高斯定律是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末提出的。
该定律表明，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内的总电荷成正比。
通量是指电场通过曲面的电场线数目，是描述电场强度分布的重要参量。
高斯定律的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示电场E通过闭合曲面的通量，Q为该曲面内的总电荷，ε0为真空介电常数。
高斯定律的应用非常广泛，下面我们将从几个方面来讨论它的具体应用。
首先，高斯定律在电场分布的计算中起着重要作用。
通过高斯定律，我们可以根据已知的电荷分布来计算电场的强度。
例如，对于一个球对称的电荷分布，我们可以通过选择一个球面作为高斯面，利用高斯定律计算球心处的电场强度。
这种方法简化了计算过程，使得我们能够更方便地研究电场的分布规律。
其次，高斯定律在电场中的电势分布的研究中也有重要应用。
电势是描述电场能量分布的物理量，通过电势的梯度可以获得电场的强度。
而高斯定律可以帮助我们计算出电势分布。
例如，对于一个球壳上的电荷分布，我们可以选择一个球面作为高斯面，利用高斯定律计算球面上的电势分布。
这样，我们可以得到球壳内外电势的关系，进而研究电场的特性。
此外，高斯定律还在静电场的应用中发挥着重要作用。
静电场是指电荷分布不随时间变化的电场，它是电磁场的一种特殊情况。
通过高斯定律，我们可以计算出电荷在空间中产生的电场分布，从而研究电荷的相互作用和电场的效应。
例如，在电容器的设计中，我们可以利用高斯定律来计算电场的分布，从而确定电容器的性能和参数。
最后，高斯定律还在电场的边界条件研究中发挥着重要作用。
高斯定理内容总结
高斯定理内容总结1. 高斯定理的概念高斯定理，也称为“散度定理”或“高斯-奥斯特罗格拉茨基定理”，是一个基本的数学定理，用来描述矢量场在一个闭合曲面上的整体特性。
它是物理中应用广泛的定理之一，可以用来求解电场、磁场和流体力学问题。
2. 高斯定理的表述高斯定理可以表述为：对于一个闭合曲面S，其向外法向量为n，矢量场F，高斯定理给出了矢量场在S上的通量与该矢量场在S包围的体积的关系。
具体表述如下：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV其中，∮代表闭合曲面S上的曲面积分，∭代表闭合曲面S包围的体积积分，F为矢量场，n为曲面S的向外法向量，·表示内积运算，∇表示梯度运算，∇·F表示矢量场的散度。
3. 高斯定理的推导与理解高斯定理可以通过对体积积分进行数学推导得到。
假设有一个闭合曲面S，体积为V，如下图所示：________/ // //_______ /根据高斯定理的表述，我们需要计算矢量场F在曲面S上的通量。
我们将曲面S分成许多小面元，每个小面元上的通量为F·n，其中n为该小面元的法向量。
当我们把曲面S分割为无数个小面元时，可以将曲面S视为由这些小面元组成的连续曲面。
在极限情况下，当每个小面元的面积无限接近于0时，我们可以将曲面S视为无限小的曲面。
此时，我们可以对矢量场F在曲面S上的通量进行积分，得到：∮S F·n dS = lim(S→0) ∑(F·n)dS通过将曲面S分割为无数个小面元，并将每个小面元的通量求和，我们可以得到矢量场F在整个曲面S上的通量。
同时，根据散度的定义，我们知道散度可以表示为矢量场的微分运算。
因此，我们可以将散度运算应用到上述积分中，得到：∮S F·n dS = ∑(∇·F)dV其中，∇·F表示矢量场F的散度，∑表示对整个体积V进行求和。
为了获得正确的结果，我们需要取极限，将小面元的面积趋近于0，体积元的体积趋近于0，从而得到公式的最终形式：∮S F·n dS = ∭V ∇·F dV这就是高斯定理的推导过程。
简述高斯定理
高斯定理1. 介绍高斯定理是电磁学中的一个基本定理，描述了电场的流量和电荷之间的关系。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
高斯定理也被称为Gauss定律或Gauss-奥姆定律。
在电磁学中，电场是指由电荷产生的力场。
而高斯定理则是描述电场如何通过一个闭合曲面的总通量与该闭合曲面内的总电荷之间的关系。
2. 数学表达在数学上，高斯定理可以使用以下公式来表示：∮E S ⋅n dS=1ϵ0∭ρV dV其中：•∮ES⋅n dS表示电场E通过闭合曲面S的总通量。
•E是电场矢量。
•n是曲面元素的单位法向量。
•dS是曲面元素的面积。
•ϵ0是真空中的电介质常数，约为8.854×10−12 C2/(Nm2)。
•∭ρV dV表示闭合曲面内的总电荷量，其中ρ是电荷密度。
这个公式可以用来计算闭合曲面内的总电荷量，只要我们能够计算出电场通过该曲面的总通量。
3. 物理解释高斯定理的物理解释非常简单直观。
它告诉我们，电场通过一个闭合曲面的总通量与该曲面内的总电荷量成正比。
这是因为电场的起源是电荷，而电场的流动通过电场线来表示。
对于一个点电荷，电场是呈球对称的，其电场线由该点电荷发出，并以径向分布。
如果我们选取一个包围该点电荷的闭合曲面，根据高斯定理，通过该曲面的电场线总数与曲面上的面积成正比。
这可以通过一个简单的比喻来理解。
假设有一个喷泉，每秒喷出一定数量的水，水以喷泉为中心向四周扩散。
我们观察到每秒通过一个球面的水流量是相同的，而这个球面的面积是不同的。
换句话说，水流通过球面的总量与该球面的面积成正比。
类似地，电场线也是呈球对称的，通过一个闭合曲面的电场总通量与该曲面的面积成正比。
综上所述，高斯定理提供了电场流量和电荷之间的定量关系，为我们理解和计算电场提供了重要的工具。
4. 应用高斯定理在电磁学中有广泛的应用。
下面介绍几个重要的应用：4.1. 计算电场根据高斯定理，如果我们知道一个闭合曲面内的电荷分布情况，就可以通过计算电场通过该曲面的总通量来确定该闭合曲面内的电场分布。
电磁场——高斯定理PPT课件
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点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
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例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
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3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
【电磁学】高斯定理
【电磁学】高斯定理在高中物竞以及高考物理中经常出现高斯定理（高考物理中一般可以用对称法，填补法等等解出），建议阅读时间：7分钟一、高斯定理简介高斯定理（Gauss' law）也称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem），或称作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况的高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
在静电学中，表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。
高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分布与产生的电场之间的关系。
高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。
因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
在麦克斯韦方程组中也有麦克斯韦方程组对麦克斯韦方程组有兴趣的同学可以看看这篇文章，不过以后我也会讲的给一个百度百科的解释[1]好，我们开始了二、电场线电场线密度：经过电场中任一点，作一面积元 dS 并使它与该点的场强垂直，若通过 dS 面的电场线条数为 dN ,则电场线密度为 E=\frac{dN}{dS}可见，电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小电场强度通量：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过该面的电通量，用 \phi_{c} 表示.匀强电场： \phi_{e}=EScos\theta ;非匀强电场：d\phi_{e}=EdS \Rightarrow \phi_{e}=\int_{S}^{}E·dS（哈哈，打不来矢量，看着有点恼火）3.电通量的正负在电磁学中是这样规定:1.对于不闭合的曲面(平面)S,可以任意选取电场线穿进S产生的电通量为正或为负，也就是说完全取决于 dS 与 E 的夹角.\theta<\frac{π}{2}时， \phi_{e}>0 ；\theta>\frac{π}{2}时， \phi_{e}<02.对于闭合的曲面(如球面),规定选取电场线穿出时的电通量为正.\phi_{e}=\iint_{S}EdS三、高斯定理内容穿过一封闭曲面的电通量与封闭曲面所包围的du电荷量成正比。
高斯定律电场分布的奇妙规律
高斯定律电场分布的奇妙规律高斯定律是电磁学中重要的基本定律之一，它描述了电场分布的一种奇妙规律。
通过理解和应用高斯定律，我们可以更好地理解电场的性质和行为。
本文将介绍高斯定律以及它所揭示的电场分布规律。
1. 高斯定律的原理高斯定律是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
它表明，闭合曲面上电场通量的总和与该曲面内电荷的代数和成正比，与曲面形状无关。
数学表示为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示闭合曲面S上的电场E的通量，Q表示该曲面内的总电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定律的应用高斯定律被广泛应用于求解不规则形状的电场分布。
通过选择适当的高斯面和高斯曲面，可以简化电场计算过程。
2.1 高斯球面对于球对称分布的电荷，我们可以选择球面作为高斯面。
由于球面对称性，电场在球面上的方向始终垂直于球面。
因此，球面上的电场积分可以简化为E乘以球面积，即E·4πR^2，其中R为球面半径。
2.2 高斯柱面对于无限长直线上的均匀线性电荷分布，我们可以选择柱面作为高斯面。
由于对称性，电场在柱面上的方向始终垂直于柱面。
因此，柱面上的电场积分可以简化为E乘以柱面的侧面积，即E·2πRh，其中R为柱面半径，h为柱面的高度。
3. 高斯定律的电场分布规律根据高斯定律，电场分布与电荷的分布有密切关系。
通过选择不同的高斯面，可以得出以下几种常见的电场分布规律。
3.1 点电荷的电场分布对于一个点电荷，其电场分布具有球对称性，即在该点电荷周围的任意位置，电场大小与距离该点电荷的距离成反比。
这符合库仑定律。
3.2 均匀带电球壳的电场分布对于一个均匀带电球壳，其内部不存在自由电荷，外部电场与距离球心的距离无关，大小与球壳上的电荷量成正比。
3.3 均匀带电球体的电场分布对于一个均匀带电球体，其电场分布与球心的距离有关，电场大小随着距离的增加而减小。
4. 总结高斯定律是电场分布的重要规律，通过选择适当的高斯面，可以简化电场的计算过程。
电磁场的高斯定律
电磁场的高斯定律高斯定律是电磁学中非常重要的一个定律，它描述了与电荷和电场在空间分布有关的关系。
高斯定律由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初发现和发表，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
高斯定律的表述是：电场通过一个闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
这个定律用数学形式可以表示为：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在某一个闭合曲面上的通量，Q表示该闭合曲面内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。
高斯定律有着广泛的应用，下面将从静电场和静磁场两个方面来介绍高斯定律的应用。
一、静电场中的高斯定律静电场是指电荷不随时间变化的电场。
在静电场中，高斯定律可以简化为以下形式：一个闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面内的电荷除以真空介电常数。
利用高斯定律，我们可以推导出一些重要的结论。
比如，如果闭合曲面内没有电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为零。
这是因为没有电荷产生的电场通过闭合曲面。
另外，如果闭合曲面内存在正电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为正值；如果闭合曲面内存在负电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为负值。
二、静磁场中的高斯定律在静磁场中，没有磁荷（单极子），因此高斯定律在磁场中不成立。
高斯定律只适用于描述与电荷和电场有关的情况。
但是在一些特殊情况下，我们可以利用高斯定律来计算磁场。
例如，考虑一个闭合的曲面，通过该曲面的磁场通量为Φ,那么根据高斯定律，磁场的通量Φ等于零。
这意味着，在静磁场中，磁场的通量是守恒的，即从一个闭合曲面的内部流出的磁场通量等于从该闭合曲面的外部流入的磁场通量。
结论高斯定律是描述电磁场中电荷和电场关系的重要定律。
它在静电场中的形式是电场通过闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
它在静磁场中的形式可以用来说明磁场通量的守恒性质。
高斯定律的应用广泛，不仅可以用于解决静电场和静磁场中的问题，还可以扩展到动态的电磁场中。
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的另一种表述
二、电介质及其极化 polarization
1.极化介质所产生的电位
无外场时： +-
有电场时: +
-
p ql
电偶极子排列的有序程度反映了介质被极化的程度,排列愈 有序说明极化愈烈
单个电偶极子电位：
V '内多个电偶极子电位：
qd cos p 4π 0R2
p eR 4π 0R2
p eR 4π 0R2
1-2高斯定律
根据物体的静电表现，可分为三类：导电体（ 导体）、绝缘体（电介质）、半导体。
1.导体 存在大量的可自由移动的电荷 conductor
2.绝缘体 理论上认为一个自由移动的 电荷也没有 也称电介质 dielectric
3.半导体 介于上述两者之间 semiconductor
一.导体的静电平衡条件 1.静电平衡 electrostatic equilibrium 导体内部和表面无自由电荷的定向移动， 说导体处于静电平衡状态。 2.导体静电平衡的条件 E内 0
dq2
方向 如图 方向 如图
补充：立体角的概念
平面角：
r 由一点发出的两条射线之间的夹角
取 r1为半径的弧长 dl1 d r1
dlr1 0dl0
dl
da = dl1 = dl0
r1
r0
r 射线长为
一般的定义：线段元dl 对某点所张的平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角
d
dl0
dl
cos
1 4π 0
V'
P(r') R2
eR dV
'
(uF ) u F F u
3.极化强度 P与极化电荷的关系
极化电介质所产生的电位等于电荷面密度为 p 的
面积电荷与电荷体密度为 p 的体积电荷共同产生 的电位。
p P en
p P
电荷守恒定律：
(qp )t PdV P dS 0
E
E ds>0
电力线穿出
dS
S
dS
四、静电场的高斯定理 Gauss theorem
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi内
E dS i
S
0
静电平衡条件导体上电荷的分布
由导体的静电平衡条件和静电场的基本性质，
可以得出导体上的电荷分布。
dV
导体体内处处不带电
E内 0
证明：在导体内任取体积元
E dS 0
由高斯定理
dV
qi
dV 0
S
i
V
பைடு நூலகம்
体积元任取
0 证毕
导体带电只能在表面！
例1 均匀带电球面 总电量为 Q 半径为 R 求：电场强度分布
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
Q
Ro
r
P E
S
dS
d E dS
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
d E dS 取决于面元的法
S
线方向的选取
如面元正方向向上 知 若如红色虚线箭头所示
则
E
E
ds
ds
>0 <0
通过闭合面的电通量
S
SE dS
规定：面元方向
由闭合面内指向面外
E dS 确定的值 S
E
ds
<0
电力线穿入
r2
0
解得： E 20
一般形式的高斯定理
已知真空中： E dS S
q0i
i
0
证：
E dS
S
qi
i
0
qpi qoi
i
i
0
已知： qp
( P)dV 高斯公式
P dS
S
v
0E dS P dS (0E P) dS qoi dV
p eR V ' 4π 0R2
V'
2.描述极化强弱的物理量--极化强度 P
定义
P lim
i
pi
V
V
宏观上无限小微观上 无限大的体积元 V
其中：
pi
每个分子的 电偶极矩
单位
c m2
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P e0E e —电介质的极化率
体积 V 内电偶极子产生的电位
矢量恒等式：
取过场点的 以球心 o 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手
先计算高斯面的电通量
E dS
EdS E dS E4 r 2
S
S
S
E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
qi
E4r i 0
Q
Ro
r
P E
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点的高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
l
lr
r l0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
d
S
S
dS0 r02
4
球面度
例2 均匀带电的无限长的直线 线密度
对称性的分析
取合适的高斯面
计E 算ds电 通量 E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl
利用高斯定理解出E
E2rl l 0
E 2 0r
r P
dE
ds r
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
Q
E 40r 2
如何理解面内场强为0 ?
P
过P点作圆锥
dq1
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
d
4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d
4 0
dE1 dE2
v
S
电介质对电场的影响可归结为极化化后极化电荷或 电偶极子在真空中所产生的作用。
dS 三、电通量 (electric
藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数
匀强电场
flux)
E
dS
dsE
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量怎么计算？
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0
求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
例4 真空中无限大的带电平面，
面密度为 ，求距平面x处的
电场强度。
解: 真空中的高斯定律
P
E ds Q
0
积分得： 2E r2
3.导体为一等位体，导体表面必为等位面。 4.导体表面上的E必垂直于表面。 5.导体如带电，电荷只能分布于其表面。
导体静电平衡时，导体各点电势相等，
即导体是等势体，表面是等势面。
c
dl b
a
证：在导体上任取两点 a 和 b
b
a
b
E dl 0
a
a
b
导体等势是导体体内电场强 静电平衡条件
度处处为零的必然结果
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张的立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体的“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
r0
球面面元 ds1
定义式
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r 2 cos
单位 球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl0 2 弧度