非参数统计__秩相关分析和秩回归
非参数统计讲义
绪论
§1.1 非参数统计
在初等统计学中，最基本的概念是什么 在初等统计学中，最基本的概念是什么? 总体， 如:总体，样本，随机变量，分布，估计 总体 样本，随机变量，分布， 和假设检验等 和假设检验等． 其很大一部分内容是和正态理论相关的。 正态理论相关的 其很大一部分内容是和正态理论相关的。 在那里，总体的分布形式或分布族 分布形式或分布族往往是 在那里，总体的分布形式或分布族往往是 给定的或者是假定了的， 给定的或者是假定了的，所不知道的仅仅 是一些参数的值或他们的范围。 主要工 是一些参数的值或他们的范围。(主要工 作是什么?) 作是什么
然而，在实际生活中，那种对总体的分布 的假定并不是能随便做出的。 数据并不是来自所假定分布的总体；或者， 数据根本不是来自一个总体；还有可能， 数据因为种种原因被严重污染。这样，在 假定总体分布的情况下进行推断的做法就 可能产生错误的结论。 于是，人们希望在不假定总体分布的情况 下，尽量从数据本身来获得所需要的信息。 这就是非参数统计的宗旨。
注意：非参数统计的名字中的“ 注意：非参数统计的名字中的“非参数 (nonparametric)” (nonparametric) 意味着其方法不涉及描述总 体分布的有关参数；它被称为和分布无关 体分布的有关参数；它被称为和分布无关 (distribution—free) free)， (distribution free)，是因为其推断方法和 总体分布无关；不应理解为与所有分布( 总体分布无关；不应理解为与所有分布(例如有 关秩的分布)无关． 关秩的分布)无关． 什么是非参数统计? 什么是非参数统计? 不假定总体分布的具体形式， 不假定总体分布的具体形式，从数据本身获得 所需要的信息， 所需要的信息，通过推断方法得到相关结论的 一种分析方法。 一种分析方法。
非参数统计
例外
例外
有的统计问题，从不同的角度，可以理解为参数性的，也可以理解为非参数性的。例如线性回归（见回归分 析）问题，若关心的是估计回归系数，它只是有限个实参数，因而可以看成是参数性的。但是，如果对随机误差 的分布类型没有作任何假定，则从问题的总体分布这个角度看，也可以看成是非参数性的。
统计方法
统计方法
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重要的非参数统计方法秩方法是基于秩统计量（见统计量）的一类重要的非参数统计方法。设有样本 X1,X2，…，Xn，把它们由小到大排列，若Xi在这个次序中占第Ri个位置（最小的占第1个位置），则称Xi的秩为 Ri(i=1,2，…，n）。1945年F.威尔科克森提出的"两样本秩和检验"是一个有代表性的例子。设X1,X2，…，Xm 和Y1,Y2，…，Yn分别是从分布为 F(x）和 F(x-θ）的总体中抽出的样本，F连续但未知，θ也未知，检验假设 H：θ=0，备择假设为θ>0（见假设检验）。记Yi在混合样本（X1,X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn）中的秩为Ri， 且为诸秩的和，当W >C时，否定假设H，这里C决定于检验的水平。这是一个性能良好的检验。秩方法的一个早期 结果是C.斯皮尔曼于1904年提出的秩相关系数。设（X1，Y1),(X2，Y2），…，（Xn,Yn）是从二维总体（X，Y） 中抽出的样本，Ri为Xi在（X1,X2，…，Xn）中的秩，Qi为Yi在（Y1,Y2，…，Yn）中的秩，定义秩相关系数为 （Ri,Qi)(i=1,2，…n）的通常的相关系数（见相关分析）。它可以作为X、Y之间相关程度的度量，也可用于检 验关于X、Y独立性的假设。
次序统计量和U统计量在非参数统计中也有重要应用。前者可用于估计总体分布的分位数（见概率分布）、 检验两总体有相同的分布及构造连续总体分布的容忍限和容忍区间（见区间估计）等。后者主要用于构造总体分 布的数字特征的一致最小方差无偏估计（见点估计）及基于这种估计的假设检验。
非参数统计学讲义(第五章)相关与回归
非参数统计学讲义主讲：统计系 袁靖第五章 相关和回归§1 引言所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。
换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。
如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X 和文盲率Y 之间的关系等等。
在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。
前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。
相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。
在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量Y 之间的相关性。
)var()var(),cov(),(Y X Y X Y X corr ==ρ1(0.1)对于样本),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 来说，Pearson 相关系数为∑∑∑∑∑∑----=----=222211)()())(()()())((Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r i i i i i i ni i n (0.2)如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是ρ的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是ρ的ML 估计。
为了检验0:0=ρH ，0:1≠ρH ，可以选取统计量)2(~122---=n t r n rt结论：Pearson 相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman 秩相关系数s r 和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。
因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。
§2 两个样本的相关分析一、等级相关等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1ρ度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。
非参数统计中的秩和检验方法详解(五)
在统计学中，秩和检验是一种非参数检验方法，它不需要对总体的分布做出假设，因此在样本容量较小或者总体分布未知的情况下非常有用。
本文将对秩和检验方法进行详细的介绍和解释，帮助读者更好地理解和应用这一统计方法。
一、秩和检验的基本概念秩和检验是基于样本数据的秩次来进行假设检验的方法。
首先，对样本数据进行排序，然后用秩次代替原始观测值，接下来根据秩次之和的大小来进行假设检验。
秩和检验方法通常用于两个独立样本的比较，例如检验两个群体的中位数是否相等。
二、秩和检验的原理秩和检验的原理基于总体中位数的假设。
在进行秩和检验时，首先要建立一个原假设和备择假设，通常原假设是总体中位数相等，备择假设是总体中位数不相等。
然后计算样本数据的秩和，根据秩和的大小和样本容量的大小来查找临界值，从而判断原假设的接受或拒绝。
三、秩和检验的步骤进行秩和检验时，首先要对样本数据进行排序，然后计算秩次，接着将秩次之和代入秩和分布表中查找临界值，最后比较计算得到的P值与显著性水平来进行假设检验的判断。
在进行秩和检验时，需要注意样本容量的大小和秩和分布表的选择，不同的样本容量和显著性水平对应着不同的临界值和P值的判断标准。
四、秩和检验的优缺点秩和检验方法的优点是不需要对总体分布做出假设，因此适用于各种类型的数据，特别是对于非正态分布的数据和小样本数据。
另外，秩和检验方法对异常值的影响较小，相对稳健。
但是秩和检验方法也有一些缺点，例如在样本容量较大时计算量较大，另外对于多样本比较和重复测量数据的处理相对复杂。
五、秩和检验的应用秩和检验方法在实际应用中有着广泛的用途，特别是在医学、生物学和社会科学领域。
例如在医学研究中，秩和检验方法常常用于比较不同治疗方法的疗效，或者比较不同群体的生存期分布。
在社会科学领域，秩和检验方法常常用于比较不同群体的得分分布，或者比较不同时间点的调查结果。
六、秩和检验的进一步发展随着统计学的不断发展，秩和检验方法也在不断完善和发展。
非参数统计中的秩和检验方法详解(十)
非参数统计中的秩和检验方法详解统计学是一门研究数据收集、分析、解释和呈现的学科。
在统计学中，参数统计和非参数统计是两种不同的方法。
参数统计依赖于总体参数的假设，而非参数统计则不依赖于总体参数的假设。
在本文中，我们将详细介绍非参数统计中的秩和检验方法。
一、秩和检验的概念秩和检验是一种常用的非参数统计方法，用于比较两个或多个总体的位置参数。
在进行秩和检验时，首先要对样本数据进行排序，然后用秩次替换原始观测值，最后对秩和进行比较，以得出结论。
二、秩和检验的原理秩和检验的原理基于总体分布的位置参数。
当我们无法对总体分布做出具体的假设时，可以使用秩和检验方法来比较两个或多个总体的位置参数。
在进行秩和检验时，我们需要计算每个样本的秩次和，然后根据秩和的大小来进行假设检验。
三、Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是一种常用的秩和检验方法，用于比较两个相关样本或者两个独立样本的位置参数。
在进行Wilcoxon秩和检验时，首先要对样本数据进行排序，然后用秩次替换原始观测值，最后对秩和进行比较，以得出结论。
Wilcoxon秩和检验是一种非参数检验方法，不依赖于总体分布的假设，因此在实际应用中具有较广泛的适用性。
四、Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种常用的秩和检验方法，用于比较两个独立样本的位置参数。
在进行Mann-Whitney U检验时，首先要对两个样本数据进行合并并进行排序，然后用秩次替换原始观测值，最后根据秩和的大小来进行假设检验。
Mann-Whitney U检验也是一种非参数检验方法，适用于总体分布未知或不满足正态分布假设的情况。
五、Kruskal-Wallis H检验Kruskal-Wallis H检验是一种常用的秩和检验方法，用于比较多个独立样本的位置参数。
在进行Kruskal-Wallis H检验时，首先要对多个样本数据进行合并并进行排序，然后用秩次替换原始观测值，最后根据秩和的大小来进行假设检验。
非参数统计中的秩和检验方法详解(Ⅰ)
非参数统计中的秩和检验方法详解统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。
而在统计学中，参数统计和非参数统计是两种常见的方法。
参数统计是根据总体的参数进行推断，而非参数统计则是不对总体参数做出假设的一种统计方法。
在非参数统计中，秩和检验方法是一种常用且重要的方法。
本文将详细介绍非参数统计中的秩和检验方法。
一、秩和检验简介秩和检验是一种基于秩次的非参数检验方法，它主要用于对两个独立样本或多个相关样本的总体分布进行比较。
这种方法的优势在于对数据的分布形状没有要求，适用于各种类型的数据。
在进行秩和检验时，首先需要将样本数据进行排序，然后根据排序后的秩次进行计算。
接下来，通过比较秩和的大小来进行假设检验，从而得出结论。
二、秩和检验的应用场景秩和检验方法可以应用于诸多实际场景中。
比如，在医学研究中，可以用秩和检验方法来比较两种不同治疗方法的疗效；在工程领域，可以用秩和检验方法来比较不同生产工艺的产品质量；在市场营销中，可以用秩和检验方法来比较不同促销策略的效果等等。
总之，秩和检验方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。
三、秩和检验的类型秩和检验包括了许多不同类型，其中最常见的包括Mann-Whitney U检验、Wilcoxon秩和检验和Kruskal-Wallis H检验。
下面将分别对这些检验进行详细介绍。
1. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数检验方法。
它基于两组数据的秩次进行比较，通过计算秩和来判断两组数据是否来自同一总体分布。
Mann-Whitney U检验的原假设是两组样本来自同一总体分布，备择假设是两组样本来自不同总体分布。
通过计算U统计量和p值来进行假设检验，从而得出结论。
2. Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是一种用于比较两个相关样本的非参数检验方法。
它与Mann-Whitney U检验类似，同样是基于秩次进行比较。
非参数统计结课总结
非参数统计结课论文姓名：姚文锋班级：2011157学号：201115726专业：统计学非参数统计检验方法的总结引言：非参数统计作为数理统计学的分支，是解决很多不知道数据分布的问题的主要方法，通过运用非参数方法可以对事物起建立统计模型和数学描述。
摘要：本文主论述了非参数估计的符号检验、秩检验和ridit检验法等多种检验方法。
关键字：符号检验、秩检验、ridit检验1、非参数估计的理解对计量资料进行统计分析，常对计量资料进行统计分析，常用用方法有两类——参数统计和非参数统计。
t检验、方差分析和直线相关回归分析都属于参数统计方法。
参数统计方法要求的前提条件是，资料应服从或近似服从正态分布，t检验、方差分析还要求方差具有齐性。
当前提条件不满足时，就不应选用参数统计方法。
符号检验、秩和检验属于非参数统计方法。
非参数统计方法对资料不要求必须是正态分布，也不要求方差必须具有齐性。
当对资料的分布情况及方差情况不清楚或没把握，或者经过检验不满足正态分布或方差齐性的要求时，就应当选用非参数统计方法对资料进行统计分析。
2非参数检验的方法非参数检验不仅对资料分布没有特殊要求，除了用连续数量表示的的资料外，它还可以对样本数据的符号、等级程度、大小顺序等进行比较，加上方法简便，易于掌握，不要求复杂的计算工具，还可查表判断，能处理一些参数法处理不了的问题，因而应用更广泛，值得学习和推广。
常用的非参数统计方法有：符号检验、秩和检验、秩检验、等级相关检验以及Ridit分析等。
符号检验是指通过符号“ +”和“-”的个数来进行统计推断的，它所关心的信息只与两类观测值有关。
Wilcox on 符号秩检验、wile on-mann-whit ney 秩和检验、spearma n 秩相关检验、方差检验。
秩检验统计量定义：设样本X1, X2, X3,…，Xn是取自总体X的简单随机样本，该组数据中不超过Xi的数据个数Ri,称Ri为Xi的秩，Xi是第Ri个顺序统计量，R是由样本产生的统计量，称为秩统计量。
非参数统计中的秩和检验方法详解(Ⅲ)
非参数统计中的秩和检验方法详解在统计学中，非参数统计是一种不依赖于总体分布的统计方法。
与参数统计相比，非参数统计更加灵活，适用范围更广。
秩和检验方法是非参数统计中的一种重要方法，本文将对秩和检验方法进行详细的介绍。
一、秩和检验的基本原理秩和检验的基本原理是将样本数据转化为秩次，然后通过比较样本秩和的大小来进行假设检验。
秩和检验方法不要求总体分布的形式，适用于不满足正态分布假设的情况。
秩和检验方法主要应用于两组样本比较或者相关性分析。
二、秩和检验的应用场景秩和检验方法适用于样本数据不满足正态分布假设的情况，例如小样本数据、偏态数据或者离群值较多的情况。
此外，秩和检验方法还适用于等级数据或者序数数据的分析。
三、秩和检验的常用方法1. Wilcoxon秩和检验Wilcoxon秩和检验是一种常用的秩和检验方法，用于比较两组独立样本的中位数是否有显著差异。
对于小样本数据，Wilcoxon秩和检验是一个比较有效的非参数检验方法。
2. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是Wilcoxon秩和检验的一种特例，适用于两组独立样本的比较。
与t检验相比，Mann-Whitney U检验不要求数据满足正态分布假设，适用范围更广。
3. Wilcoxon符号秩检验Wilcoxon符号秩检验适用于配对样本的比较，用于检验配对样本中位数是否有显著差异。
对于配对设计的实验研究，Wilcoxon符号秩检验是一种常用的非参数检验方法。
四、秩和检验的步骤进行秩和检验时，通常需要经历以下几个步骤：1. 数据处理：对样本数据进行秩次转换，得到秩和。
2. 假设检验：根据具体情况选择合适的秩和检验方法，进行假设检验。
3. 结果解释：根据检验结果进行统计推断，对研究问题给出合理的结论。
五、秩和检验的优缺点秩和检验方法具有一定的优点和局限性：优点：不依赖于总体分布的形式，适用范围广泛；对偏态数据和离群值不敏感；适用于小样本数据的比较。
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第二节 Kendall相关检验
（xi，yi） 63，60 68，64 70，65 71，80 77，76 85，81 86，88 87，72 91，96 （xi，yi）以下的一 致对 8 7 6 3 3 2 1 1 0 Ｎc=31 （xi，yi）以下的非一 致对 0 0 0 2 1 1 1 0 0 Ｎd=5
第七章 秩相关分析和秩回归
相关系数的度量
常用的相关系数有三种:
1. Pearson相关系数
r
( x x )( y y )
i 1 i i
n
( xi x )
2. Spearman秩相关系数
n
n
2
i 1
2 ( y y ) i i 1
n
rs
( R R )(Q Q)
i 1 i i
( Ri R )
i 1
n
2
2 ( Q Q ) i i 1
n
3. Kendall τ相关系数
Nc Nd Nc Nd N c N d n(n 1) / 2 2 sign(( xi x j )( yi y j )) n(n 1) 1i j n
A1 … Ar 行和
r n11 n22 ... nrr 一致性的度量公式： Po pii n i 1
Kappa一致性检验
与一致性相反的是独立性。
Pe pi. p.i
i 1
r
Kappa统计量：
Po Pe K 1 Pe
（Kappa系数）
特别，当Po=1，则K=1，显然非对角线上的元素都为0， 这时，一致性非常好。若Po=Pe，则K=0，则认为一致性较 差。具体一致性程度的划分为三种：
从而Kendall协同相关系数W可以表示为：
1 n Ri. n Ri. i 1 W i 1 SST
n 2 2 2 2 R k n ( n 1) /4 i. i 1 n
k 2 (n3 n) /12
k 时： 实际检验时，可以查零分布表，在n固定，
变量1 样本(秩) x11(R11) x21(R21) … xn1(Rn1) 变量2 …… x12(R12) x22(R22) xn2(Rn2) 变量k x1k(R1k) x2k(R2k) xnk(Rnk) 和 R1. R2. … Rn.
H0 : k个变量不相关 H1 : k个变量相关
每列的秩和为:
n 这样的样本共有 2 n(n 1) / 2 个数对，用
其中 S Nc Nd ，易知 1 1
在 取大值的时候拒绝. H0 具体检验时可以查零分布表, 大样本时可以采用正态近似。打结情况下用正态修正。
另一种转换形式: 将X的数据由小到大排序, 由于协同性考虑Y的秩, 记为: d1,d2,…,dn, 计算
Kappa一致性检验
实际问题:
1) 两家不同医院的专家对同一X光片会诊诊断结果是否 一致?
2) 公司的两个部门领导对一个项目的鉴定意见是否一 致? ……
H0 : 两种方法不一致 H1 : 两种方法一致
Kappa一致性检验
按光洁程度将产品分为三类: 优等品、合格品和不合格
品。两位检验员分别对72件产品进行检验，检验结果如下：
i
i 1
n
n(n 1) 2
分析: 如果各个变量之间具有协和一致性, 会出现某行的行 和Ri.较大或较小。因此各行的秩和可能相差很大。
1 Ri. n Ri. , i 1 i 1
n n 2
1 n kn(n 1) 其中R.. Ri. n i 1 2
第二节 Kendall相关检验
计算Kendall秩相关系数
31 5 0.722 9 *8 / 2
即双胞胎儿童间的智力相关程度为0.722
多变量Kendall协同系数检验
Kendall协同相关系数用于考察多个变量之间的相关性。 例如，歌手大赛中，评委对歌手的评分是否一致？变量 之间的协同系数检验也是以多变量的秩检验为基础的。
pi I{d j di }, P pi
j i n i 1 n
q i I{d j d i }, Q q i
j i i 1
PQ n(n 1) / 2
例7.2
d1,d2,……,
d10
Nc=38, Nd=7
tao=2*31/90=0.6889 结论:
检验员2 检验员1 优等 合格 不合格
优等
17 5 10
合格
4 12 3
不合格
8 0 13
合计 29 17 26
合计
32
19
21
72
问两个检验员检验结果是否一致？
Kappa一致性检验
一般的 r×r联列表： B1 p11 … pr1 p.1 …… … … … Br p1r … prr p.r
列和
p1. … pr. p..
n
检验
在零假设成立时，
n2 T rs 1 rs2
服从自由度为 n 2的t分布。 T t , 时表示正相关。在 存在重复数据的时候，可以采用平均秩，结不多的时候， T仍然可以采用。 在大样本情况下，可以采用正态近似进行检验：
n 1rs N(0,1)
当
n
在出现打结的时候，需要使用修正公式计算。
当Z Z0.025 1.96, 则K 0
例
检验员2 检验员1 优等 合格 不合格 合计
优等 合格
不合格 合计
17 5
10 32
4 12
3 19
8 0
13 21
29 17
26 72
解答
>A [,1] [,2] [,3] [1,] 17 4 8 [2,] 5 12 0 [3,] 10 3 13 > PA<-A/sum(x) > PA [,1] [,2] [,3] [1,] 0.23611111 0.05555556 0.1111111 [2,] 0.06944444 0.16666667 0.0000000 [3,] 0.13888889 0.04166667 0.1805556 > rPA<-rowSums(PA) > cPA<-colSums(PA)
多元线性回归系数估计
例
X1=c(-0.05, 0.25,0.60,0, 0.25,0.20, 0.15,0.05,-0.15, 0.15, 0.20, 0.10,0.40,0.45,0.35,0.30, 0.50,0.50, 0.40,-0.05, -0.05,-0.10,0.20,0.10,0.50,0.60,-0.05,0, 0.05, 0.55) X2=c( 5.50,6.75,7.25,5.50,7.00,6.50,6.75,5.25,5.25,6.00, 6.50,6.25,7.00,6.90,6.80,6.80,7.10,7.00,6.80,6.50, 6.25,6.00,6.50,7.00,6.80,6.80,6.50,5.75,5.80,6.80) Y=c( 7.38,8.51,9.52,7.50,9.33,8.28,8.75,7.87,7.10,8.00, 7.89,8.15,9.10,8.86,8.90,8.87,9.26,9.00,8.75,7.95, 7.65,7.27,8.00,8.50,8.75,9.21,8.27,7.67,7.93,9.26) lm.sol<-lm(Y~X1+X2) summary(lm.sol)
练习: 双胞胎儿童间的智力相关程度分析。 某幼儿园对9对双胞胎的智力进行测验，并按百分制 打分。现将资料列示如表 ：
双胞胎的对数编号 （ i） 先出生的儿童（xi） 后出生的儿童（yi） 1 86 88 2 77 76 3 68 64 4 91 96 5 70 65 6 71 80 7 85 81 8 87 72 9 63
若 (x j xi )(y j yi ) 0 ， j i 则称数对 (x i , yi ) 和 (x i , yi )不协同。
H0 : X与Y不相关 H1 : X与Y正相关.
N c 表示协同的 数对的数目， N d 表示不协同的数对数目。则 Kendall 系数定义为：
Nc Nd Nc Nd 2S N c N d n(n 1) / 2 n(n 1) 2 sign((x i x j )(yi y j )) n(n 1) 1i j n
1 n 1 n R )(Q i1 i i n i1 Qi )] n rs n n 1 n 1 n i1 (R i n i1 R i )2 i1 (Qi n i1 Qi )2
i1[(R i
n
秩相关系数可简化为： rs 1
6 n(n 2 1)
2 (R Q ) i i i 1
例7.1
解答
t 0.01 (10) 3.169
c0.01 (12) 0.727
t 0.01/2 (10) 3.169
Kendall 相关系数及检验
Kendall(1938)提出一种类似于Spearman秩相关的检验方法， (x 从两变量 是否协同 (concordant)来检验变量之间的相关性。 j, yj) 首先引入协同的概念： 若 (x j xi )(y j yi ) 0 ， j i 则称数对 (x i , yi ) 和(x j , y j ) 协同。
拒绝H0, 体重与肺活量有关系.
1 0 38 7
x<-c(75,95,85,70,76,68,60,66,80,88) y<-c(2.62,2.91,2.94,2.11,2.17,1.98,2.04,2.2,2.65,2.69) cor.test(x,y,meth="kendall")