圆周角与圆心角复习讲义

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知识框架
圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①∟AOB=∟DOE ；②AB=DE ；
③OC=OF ；④ 弧BA =弧BD
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵∟AOB 和∟ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴∟AOB=2∟ACB
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵∟C 、∟D 都是所对的圆周角 ∴∟C=∟D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∟C=90° ∴∟C=90°∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB ∴△ABC 是直角三角形或∟C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

【典型例题】
考点一：圆心角，弧，弦的位置关系
例1、如图，BE 是半径为6的圆D 的四分之一圆周，C 点是BE 上的任意一点，
△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ） 例2、下列语句中正确的是（ ）
A 、相等的圆心角所对的弧相等
B 、平分弦的直径垂直于弦
C 、长度相等的两条弧是等弧 D\经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例3、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） 例4、（2007•重庆）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点
D ，AC 交⊙O 于点
E ，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧AE 是劣孤DE 的2倍；⑤AE=BC ．其中正确结论的序号是
考点二：圆周角定理
例1 如图， ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（ ） 例2、（2011•衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ） 例3、 （2010•荆门）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠
AMN=30°，B 为 AN^的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）
、
F
E D C
B
A
O
D
C
B A
O
C
B
A
O
C
B
A
O
2 / 2
D C B
E A O A C
B E
D
O
A
C
B
考点三：内接圆的四边形的性质
例1、（2006•宁德）如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD 为（ ）
例2、（2008•济宁）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，若∠CAD=76°，则∠CBD=度． 例3、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD 交BD 于点E ，⊙O 的半径为4， ∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=
【课堂练习】
1、（2004•南宁）如图，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD=CE ，则 AC^与 CB^弧长的大小关系是
2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，PA=PB ，∠P=60°， 则弧CD 所对的圆心角等于度．
3、（2009•哈尔滨）如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，
且AD=BE ．点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC=∠BOC ．求证：CD=CE ．
4、 （2011•重庆）如图，⊙O
是△ABC 的外接圆，∠OCB=40°，则∠A 的度数等
于
（ ）
5、（2011•福建）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（ ）
6、（2005•镇江）如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，D 、E 是⊙O 上两点，则∠D=度，∠E=度
7、在△ABC 中，∠A=150°，BC=6cm ，则△ABC 的外接圆的半径为cm ．
8、如图，点A 、B 、C 、D 、E 将圆五等分，则∠CAD ＝度。

9、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠C ＝150°，则∠AOB ＝。

10、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是直径，AD 、BC 相交于点E ，若∠ABC ＝50°，通过计算，请
再写出其他两个角的度数（不添加新的字母或线段）：。

第8题 第9题 第
10题
11.如图所示，已知：AB 和DE 是⊙O 的直径，弦A C ∥DE ，
求证：CE=BE 12．如图所示，△ABC 为圆内接三角形，A B ＞AC ，∠A 的平分线AD 交圆于D ，作D E ⊥AB 于E ，D F ⊥AC 于F ，求证：BE=CF
☆ 13．如图所示，在△ABC 中，∠BAC 与∠ABC 的平分线AE 、BE 相交于
点E ，延长AE 交△ABC 的外接圆于D 点，连接BD 、CD 、CE ，且∠BDA=60° （1） 求证△BDE 是等边三角形；
（2） 若∠BDC=120°，猜想BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。

O
E
D
A
B
C
A
B
C D E F
A
B
C
D
E。