专题对勾函数
对勾函数
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a ≠0，b ≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。
当x<0时，错误！未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
换元法之对勾函数(双飘函数)模型
再次换元 （注意范围）
t
x
4
1
,
S
3 2
( x2
2x x
1)
3 2
(x
1 x
2)
Hale Waihona Puke 8y= x 1 在（3，+∞)为增函数，
x
头重脚轻分式，
S 8
对勾模型
三、高考真题
3 1
三、高考真题
43
四、课堂小结与作业布置
（一）课堂小结
1.对勾函数和飘带函数模型是高考的热门考点，一般这种题型用换元法来处理，再进一步转化用对勾函数图像性 质或基本不等式处理.
复合型
y
ax
1 ax
(
y
ax
ax
)
为偶函数）
③单调区间：当a>0,b>0时单调递增区间： ,
b a
，
b a
,
，单调递减区间：
ba，0
，
0，
b a
；
当a<0,b<0时单调递增区间： ba，0
④值域：, 2 ab 2 ab,
，当且仅当
ax
b x
，即
，0，ba
x b a
，单调递减区间： ,
微专题：
双飘函数
一、对勾函数的性质与图像
对 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“对勾函数”、“耐克函数”；
对勾函数是形如
f (x) ax b x
（ ab 0 ）的函数，常见
y
x
4 x
，
y 2x 3 x
；
对勾函数考点：①定义域： ，0，0， ； ②奇偶性：奇函数；（
应用题专题训练函数（对勾函数）
应用题专题训练函数（对勾函数）应用题综合复习----对勾函数1、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
①把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出函数的定义域；②为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？2、某森林出现火灾，火势正以每分钟2m100的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m50，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立t 与x的函数关系式；（2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？123、某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场。
如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成。
跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮。
已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元(1) 设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S(r )(2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时,运动场造价最低?（精确到元）4、已知某种稀有矿石的价值y （单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元。
⑴写出y （单位：元）关于ω（单位：克）的函数关系式；⑵若把一块该种矿石切割成重量比为1:3的两块矿石，求价值损失的百分率；⑶把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大。
（注：价值损失的百分率100%-=?原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）5、国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为060，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为63平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，⑴．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；⑵．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值⑶.如果水渠的深限制在3,3范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？6、因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即EF=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB的眼睛B到地面的距离(cm) x在区间[140,180]内. 设支架FG高为(090)h h<<㎝, 100AG=㎝, 顾客可视的镜像范围为CD(如图所示), 记CD的长度为y （y GD GC=-）.(1) 当40h=㎝时, 试求y关于x的函数关系式和y的最大值；(2) 当顾客的鞋A在镜中的像1A满足不等关系1GC GA GD<≤（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h的取值范围.第6题ABC DEFG A1·347、某城市坐落在一个三角形海域的顶点O 处（如图），一条海岸线AO 在城市O 的正东方向，另一条海岸线OB 在城市O 北偏东)3 1(tan =θθ方向，位于城市O 北偏东3(cos )25παα-=方向15km 的P 处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O 出发沿海岸线OA 到达C 处，再从海面直线航行，途经小岛P 到达海岸线OB 的D 处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C 处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.8、某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离()x km 的关系为：(08)35kp x x =≤≤+，若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和．（I ）求()f x 的表达式；（II ）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．APB D北（第7题图）59、在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为;③返回水面时,平均速度为2v(米/单位时间), 单位时间用氧量为.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<="" p="" ≤5,试确定下潜速度v="">10、某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（Ⅰ）求该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用y （万元）；（Ⅱ）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？11、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈*N)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500xa-万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？12、为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：()()01035C x xx=≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及()f x的表达式；6（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x达到最小，并求最小值．13、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
对勾函数知识点总结
对勾函数知识点总结对勾函数是一种常见的数学函数，也被称为Kronecker delta函数。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将对对勾函数的定义、性质和应用进行总结。
一、对勾函数的定义对勾函数是一个二元函数，通常用符号δ(i,j)表示。
它的定义如下：当i=j时，δ(i,j)=1；当i≠j时，δ(i,j)=0。
简单来说，对勾函数在i=j时取值为1，在i≠j时取值为0。
这个函数的定义看起来很简单，但它在实际应用中有着重要的作用。
二、对勾函数的性质1. 对勾函数是对称的，即δ(i,j)=δ(j,i)。
2. 对勾函数满足线性性质，即对于任意的实数a和b，有δ(i,j)=aδ(i,j)+bδ(i,j)。
3. 对勾函数在矩阵运算中有着重要的作用。
例如，对于一个n阶方阵A，可以定义一个n阶单位矩阵I，其中I(i,j)=δ(i,j)。
这样，矩阵A和I的乘积就等于A本身。
三、对勾函数的应用1. 矩阵运算对勾函数在矩阵运算中有着广泛的应用。
例如，在线性代数中，可以使用对勾函数来定义矩阵的转置、逆矩阵等运算。
2. 离散信号处理对勾函数在离散信号处理中也有着重要的应用。
例如，在数字信号处理中，可以使用对勾函数来表示离散时间信号的采样。
3. 物理学对勾函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，可以使用对勾函数来表示量子态之间的内积。
对勾函数是一种非常重要的数学函数，它在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
对勾函数的定义、性质和应用都需要我们深入学习和掌握。
(完整word版)专题：对勾函数
基本不等式与对勾函数一、 对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a =， 即)(x f 在x=ab时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=ab-时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，ab ），（a b-,0）一、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 此函数与对勾函数xb x a y )()(-+-=关于原点对称，故函数图像为性质：类型二：斜勾函数by ax x=+)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下性质：②0,0><b a 作图如下：类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 此类函数可变形为b x c ax x f ++=)(，则)(x f 可由对勾函数xcax y +=上下平移得到 例1作函数xx x x f 1)(2++=的草图解：11)(1)(2++=⇒++=xx x f x x x x f 作图如下：类型四：函数)0,0()(≠>++=k a kx ax x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数xax y +=左右平移，上下平移得到 例2作函数21)(-+=x x x f 的草图 解：2212)(21)(+-+-=⇒-+=x x x f x x x f 作图如下：例3作函数x x x x f +++=23)(的作图： 解：1212211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=x x x x x x x x f x x x x f练习： 1.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标2. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中心类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f 此类函数定义域为R ，且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数xbx y +=的单调性相反，图像如下：性质：1．定义域：),(+∞-∞ 2. 值域：)21,21(ba ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4. 图像在一、三象限当0x >时，由基本不等式知ba xb x a x f 22)(=⋅≤（当且仅当b x =取等号），即)(x f 在b x =时，取最大值ba 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=b -时，取最小值ba 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）增区间是],[b b -例4作函数1)(2+=x xx f 的草图 解：x x xx x f x xx f 1111)(1)(22+=+=⇒+=b. 若0<a ，作出函数图像： 例5作函数42)(2+-=x xx f 的草图类型六：函数)0()(2≠+++=a mx cbx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s mx tm x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数xtax y +=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=如何变换而来解： 111111)1()1()(2-+++=+++-+=x x x x x x f 故 此函数)(x f 可由对勾函数xx y 1+=向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位.草图如下：练习：1.已知1->x ，求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值2.已知1<x ，求函数1109)(2--+=x x x x f 的最大值类型七：函数)0()(2≠+++=a cbx ax mx x f 例7求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时，3141114)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=x x x x x x x x x f问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为练习：1.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f例8求函数13)(-+=x x x f 的最小值解： 141141)(-+-=-+-=x x x x x f练习： 1．求函数15)(++=x x x f 的值域2.求函数32)(++=x x x f 的值域类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f此类函数可变形为标准形式：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=例9求函数45)(22++=x x x f 的最小值解：45)(22++=x x x f 414414)(2222+++=+++=⇒x x x x x f练习：1. 求函数171)(22++=x x x f 的值域例10已知20,a >求函数的最小值。
对勾函数绝对经典
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数324222++++=x x x x y 的最小值。
yXOy=ax解：令322++=x x t ，则22)1(2≥++=x ttt t t y 112+=+= 根据对号函数tt y 1+=在（1，+∞）上是增函数及t 的取值范围，当2=t 时y 有最小值223。
专题：“对勾函数”及其运用
的 最 小 值 为__4____
B 2.(2018全国卷3理)已知a log 0.2 0.3, b log 2 0.3，则( )
A. a b ab 0 B. ab a b 0 C. ab 0 a b D. a b 0 ab 3.(2018江苏理)已知a、b、c是ABC的三边，ABC 1200 ,ABC的角平分线BD
a
a
思考： 求函数f ( x) x 4 (x 3)的最小值.
x
分析：y x与y 4 在3， 上均为增函数.
x
f ( x) x 4 在3， 上为增函数.
x
45
fmin ( x)
f (3) 3
3
. 3
函数f ( x) ax b (a 0, b 0)在( ,0)和(0， )单调递增. x
典型例题
1.已知x 4，则f ( x) x 4 的最小值为_____ x1
2.已知x 1，则f ( x) 2x 1 的最大值为_____ x
3.已知x 1，则f ( x) 2x 1 的最大值为_____ x
过关斩将
1
1.(2018天 津 理)已 知a、b
R且a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3b
6
0，
则2a
1 8b
2.函数f ( x) ax b (a 0, b 0)在(, 0)和(0， )单调递增. x
第三章 不等式 专题 “对勾函数”及其运用
温故知新
积定和最小
(1) ab a b a b 2 ab(a, b 0) 当且仅当a b时取“”
2
定值
和定积最大
定值
(2) ab a b ab ( a b )2(a, b 0) 当且仅当a b时取“”
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不
等式与对勾函数
一、 对勾函数b
y ax x
=+
)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义
域：
),0()0,(+∞⋃-∞
2. 值域：),2()2,(+∞⋃--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，
即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知
b
y ax x
=+
≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x=
a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（
∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，
a
b ），（a b -,0）
一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b
y
ax x
=+
)0,0(<<b a 的图像与性质
此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+
-=关于原点对称，故函数图像为 性质：
类型二：斜勾函数b
y
ax x
=+
)0(<ab ①0,0<>b a 作图如下
性质： ②0,0><b a 作图如下： 类型三：函数
)0()(2>++=ac x
c bx ax x f
此类函数可变形为
b x
c ax x f ++
=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c
ax y +=上下平移得到 例1作函数x
x x x f 1
)(2++=的草图
解：11
)(1)(2++=⇒++=
x
x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数
)0,0()(≠>++
=k a k
x a
x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x
a
x y +=左右平移，
上下平移得到 例2作函数2
1
)(-+
=x x x f 的草图 解：
221
2)(21)(+-+-=⇒-+
=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=
23
)(的作图： 解：12
1
2211212)(23)(-+++=+++=++++=⇒+++=
x x x x x x x x f x x x x f
练习：1.求函数4
21
)(-+
=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
2.求函数
1)(-+
=x x
x x f 的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b
x ax
x f
此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a
x
b
x a x f +
=+=
2
)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数x
b
x y +
=的单调性相反，图像如下：性质：
1．定义域：),(+∞-∞
2.值域：)21,21(b
a b
a ⋅
⋅
-
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4.图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
a x
b x a x f 22)(=
⋅
≤
（当且仅当b x =取等号），
即)(x f 在b x =时，取最大值
b
a 2
由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=b -
时，取最小值b
a 2-
5.单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）
增区间是],[b b -
例4作函数
1
)(2+=
x x
x f 的草图 解：x x x
x x f x x
x f 111
1)(1)(2
2+
=+=⇒+=
b.若0<a
，作出函数图像：
例5作函数4
2)(2+-=x x
x f 的草图
类型六：函数)0()(2≠+++=
a m
x c
bx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=
at s m
x t
m x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数
x
t
ax y +
=左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1
+=如何变换而来
解：11
1
111)1()1()(2-+++=+++-+=
x x x x x x f 故此函数)(x f 可由对勾函数x
x y 1
+
=向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.草图如下：
练习：1.已知1->x ，求函数110
7)(2+++=x x x x f 的最小值
2.已知1<x ，求函数1
10
9)(2--+=x x x x f 的最大值
类型七：函数)0()(2
≠+++=
a c
bx ax m
x x f 例7求函数2
1
)(2
++-=
x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f
当1≠x 时，
3
1411
1
4
)1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--=
x x x x x x x x x f
问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为
练习：1.求函数2
3
2)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值
类型八：函数
a
x b x x f ++=
)(
此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-+
+=+-++=
a b a
x a b a x a
x a
b a x x f
例8求函数1
3)(-+=
x x x f 的最小值
解：1
411
41)(-+-=-+-=
x x x x x f
练习：1．求函数1
5)(++=
x x x f 的值域
2.求函数3
2
)(++=
x x x f 的值域 类型九：函数
)0()(2
2>++=
a a
x b x x f
此类函数可变形为标准形式：
)()()(2
22
22o a b a
x a b a x a
x a
b a x x f >-+-+
+=+-++=
例9求函数
4
5)(2
2++=
x x x f 的最小值
解：4
5
)(2
2++=
x x x f 4
144
14)(2
22
2++
+=+++=
⇒x x x x x f
练习：1.求函数17
1
)(22++=x x x f 的值域
例10
已知20,a >求函数的最小值。
解：2=令
t ≥则1t t
+y=
1≥即1a ≥
时，min y
<即01
1
<<时，2
a
y=
min。