坐标系和参数方程(知识点 选题)

第一节 坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．3．极坐标与直角坐标的互化4.(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．第二节 参数方程1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离． 重点1 坐标系与参数方程1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是： （1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x 轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P 的直角坐标为(,)x y ，它的极坐标为(,)ρθ，则互化公式是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中,x y 含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性. 3．参数方程的用途主要有以下几个方面：（1）求动点(,)x y 的轨迹，如果,x y 的关系不好找，我们引入参变量t 后，很容易找到x 与t 和y 与t 的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．（3）有些曲线参数方程的参变量t 有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中t 的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.[高考常考角度]角度1 若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.解读：关键是记住两点：1、cos ,sin x y ρθρθ==，2、222y x +=ρ即可.由已知22sin 4cos 2sin 4cos ρθθρρθρθ=+=>=+2224,x y y x =>+=+22420x y x y ∴+--=为所求.角度2在极坐标系中，点 (,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）解读：极坐标(,)π23化为直角坐标为(2cos,2sin )33ππ，即.圆的极坐标方程2cos ρθ=可化为22cos ρρθ=，化为直角坐标方程为222x y x +=，即22(1)1x y -+=，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式d ==故选D.角度3已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 .解：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(0)y ≥，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =联立得222215450145x y x x x y x ⎧+=⎪⎪=>+-==>=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去）， 又因为0y ≥，所以它们的交点坐标为角度4 直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为．点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．解读：曲线1C 的方程是22(3)(4)1x y -+-=，曲线2C 的方程是221x y +=，两圆外离，所以||AB113-=．角度 5 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θα=与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明12,C C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； （Ⅱ）设当α=4π时，l 与12,C C 的交点分别为11,A B ，当α=4π-时，l 与12,C C 的交点为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积．解读：（Ⅰ）12,C C 的普通方程分别为221x y +=和22221x y a b+=，故1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(1,0),(,0)a ，因为这两点间的距离为2，所以3a =. 当2πα=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为(0,1),(0,)b ，因为这两点重合，所以1b =.（Ⅱ）12,C C 的普通方程分别为221x y +=和22 1.9x y += 当4πα=时，射线l 与1C 交点A 1的横坐标为x =，与2C 交点B 1的横坐标为x '=当4πα=-时，射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因此，四边形1221A A B B 为梯形.故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=易失分点1 参数的几何意义不明典例 已知直线l 的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），若以平面直角坐标系xOy中的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos().4πρθ=-（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||AB ．易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误．解读：（1）直线的参数方程可以化为cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，根据直线参数方程的意义，直线l经过点(0,2，倾斜角为3π.（2）l的直角坐标方程为2y =+20y -= 曲线C 2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为22((122x y -+-=，所以圆心到直线l的距离|2d -⨯+== 所以||2AB ==易失分点2 极坐标表达不准典例 已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos ,0,ρθρθρ==≥则曲线1C 与2C 交点的极坐标为_________________易失分提示: 本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程组cos 34cos cos 66ρρρθππρθθθ⎧⎧===⎧⎪⎪=>=>⎨⎨⎨==-⎩=⎪⎪⎩⎩或即两曲线的交点为6π（)或6π-（)正解解读：由方程组cos 34cos 2cos 6k ρρρθπρθθπθ⎧⎧===⎧⎪⎪=>=>⎨⎨⎨==-⎩=⎪⎪⎩⎩或26k ρπθπ⎧=⎪⎨=+⎪⎩即两曲线的交点为2)6k ππ-或2),6k k Z ππ+∈在极坐标系中，有序实数对的集合{(,)|,}R ρθρθ∈与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对(,)ρθ，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点M 不是极点，(,)ρθ是它的一个掇坐标，那么M 有无穷多个极坐标(,2)k ρθπ+与(,(21)),k k Z ρθπ-++∈各类题型展现：1. （本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程.（2）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。

解读：（1）由已知得椭圆的普通方程为221,4259x y c +=∴=，右焦点为(4,0)，直线的普通方程为220x y -+=，所以12k =,于是所求直线方程为1(4)2y x =-即240x y --=. （2）4||60sin cos 30sin S xy ϕϕ===2ϕ， 当22πϕ=时，面积最大为30.2. （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C 的圆心)4C π，半径3=r .（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若[0,)4πα∈，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦长AB 的取值范围.解读：（Ⅰ）方法一：∵圆心)4C π的直角坐标为(1,1)，∴圆C 的直角坐标方程为()()31122=-+-y x .化为极坐标方程是()01sin cos 22=-+-θθρρ.方法二：如图，设圆C上任意一点()θρ,M ，则2222c o s C M O M O CO M O C C O M=+-⋅∠2222)4πρρθ=+--化简得()01sin cos 22=-+-θθρρ.．．．．．．．．4分（Ⅱ）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()1122-+-y x 得()()3sin 1cos 122=+++ααt t 即()01cos sin 22=-++ααt t所以 ()1,cos sin 22121-=⋅+-=+t t t t αα. 故()()ααα2sin 224cos sin 4422122121+=++=-+=-=t t t t t t AB ，∵[0,)2[0,)42ππαα∈=>∈，∴3222<≤AB ， 即弦长AB 的取值范围是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 3. （本小题满分10分）已知直线l 的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值。