一种简单高效的有限元网络优化算法及应用
有限元单元法程序设计
有限元单元法程序设计是有限元分析（FEA）中的重要环节，它通过将连续的物理问题离散化为大量的、相互之间仅按特定方式相互联系的有限个单元的组合，从而进行求解。
以下是一个简单的有限元单元法程序设计的例子：
1.定义节点和单元：首先，我们需要定义模型的节点（nodes）和单元（elements）。
节点是空间中的点，而单元是由节点连接而成的物理实体。
2.建立网格：然后，我们需要根据模型的形状和大小，建立起一个合适的网格。
这个网格应该能够捕捉到模型的主要特征，并且足够细以捕捉到细节。
3.定义材料属性：接下来，我们需要为每个单元定义材料属性，比如弹性模量、泊松比、密度等。
4.施加载荷和约束：然后，我们需要根据问题的要求，对模型施加载荷和约束。
例如，我们可能需要施加压力、重力等载荷，以及位移、转动等约束。
5.进行有限元分析：最后，我们使用有限元方法进行求解。
这包括计算每个节点的位移和应力，以及根据这些结果进行后处理，比如生成报告、生成可视化图像等。
以上就是一个简单的有限元单元法程序设计的过程。
在实际应用
中，还需要考虑很多其他的因素，比如模型的复杂性、计算资源的限制等。
因此，编写一个有效的有限元程序需要深入理解有限元方法、计算机科学和工程知识。
一种用于流固耦合分析的有限元网格简捷更新方法
一种用于流固耦合分析的有限元网格简捷更新方法苏波;钱若军;韩向科【摘要】针对流固耦合分析中的移动边界问题,在拟固体二步法的基础上,提出一种新的有限元网格更新方法:第一步(预测步),将流体网格作为指定位移边界条件下的拟固体,进行线弹性分析;第二步(校正步),根据第一步计算得到的应变场,采用主剪应变方法,赋予主剪应变较大的单元以较大的杨氏模量,对所构造的非均质固体进行运动分析,得到理想的更新网格.采用不同算法对不同运动类型(包括平动、转动、变形)和不同运动幅度下的二维、三维网格运动进行计算,结果表明:与一步法和ChiandUssi法相比,文中提出的方法具有较强的适用性,能显著地减小单元的畸变,使网格保持优良的计算性能,适用于大变形流固耦合问题中的网格更新计算.%Based on the pseudo-solid two-step (PSTS) model, a new mesh update method-PSS-PSTS method is proposed to solve moving boundary problems for fluid-structure interaction analysis. In the first step (predictor), a linear pseudo-solid model is first conducted to the fluid mesh subjected to prescribed displacement boundary. In the second step (corrector), based on the strain field computed in the first step, PSS (principal shear strain) method endows the element with greater Young modulus due to its larger principal shear strain, then the motion of the established non-homogeneous solid model is computed and taken as the desired fluid update mesh.Some examples of 2D/3D FEM mesh update under different motion types (translation, rotation and deformation) and different motion scale computed by PSS-PSTS method are studied. The results show that the PSS-PSTS method is highly effective in preventing extremely distortedelements and makes the mesh maintain high computation quality compared with the one-step method and the two-step methods proposed by Chiandussi. It can be used for mesh update computation for fluid-structure interaction problems with large deformation.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2011(045)003【总页数】9页(P16-24)【关键词】流固耦合;有限元;网格更新;拟固体【作者】苏波;钱若军;韩向科【作者单位】江苏大学理学院,212013,江苏镇江;同济大学土木工程学院,200092,上海;同济大学土木工程学院,200092,上海【正文语种】中文【中图分类】O242.2;TU311.3对于具有明显耦合界面的流固耦合问题，如土木工程领域中膜结构的风振破坏现象，根据运动学协调条件，当结构发生大位移变形时，必然会改变流场（风场）的边界，因此在进行耦合分析时，需要有效的算法来计算流体域的网格运动，使更新后的网格既能跟踪流固耦合边界，同时又能避免单元的畸变，以保持优良的计算性能.流体域网格更新主要有2种基本方法［1］.第一种是以获得网格节点运动速度为目标的节点速度更新方法：对于形状简单的流体域，可以采用代数方法，如拉格朗日—欧拉矩阵方法［2］；对于复杂的流体域，可利用势流原理直接获得网格节点的速度，如变形梯度法［3］.但是，上述方法的计算公式比较抽象，难以理解和应用.第二种是以更新网格位置为目标的节点位移更新方法，目前广泛应用于流固耦合问题的有限元数值解法中［4—7］.最通常的做法是将任意拉格朗日—欧拉（ALE）描述下的流体网格看成“拟固体”，将网格点的变形看作是拟固体产生弹性变形的结果.本文在文献的基础上，总结和归纳了已有的拟固体法，并由此提出了根据单元最大主剪应变修正单元杨氏模量的拟固体二步法，简称“PSS—PSTS法”，通过编制有限元程序对不同运动类型（包括平动、转动和变形）及不同运动幅度下的网格变形进行计算分析，研究了PSS—PSTS法作为网格更新算法应用于大变形流固耦合分析的有效性.1 衡量网格质量的指标网格移动的最终目的是获得满足指定结构位移的高质量的有限单元网格，因此为评价方法的优劣，应该给出衡量网格质量的指标.对于平面三角形单元，网格质量可以根据单元的内接圆和外接圆半径之比来衡量［8］式中：为单元的外接圆半径；为单元的内接圆半径.对于三维四面体单元，也可以用He来衡量，此时为四面体单元的外接球半径，为四面体单元的内接球半径.网格整体质量可以用所有单元的平均值来衡量式中：Havg为单元平均内外径比；Ne为网格的单元数.可以用所有单元中的最大值来衡量更新的网格是否有效限制了单元最大内外径比一种有效的网格移动方法应该不仅能维持网格的整体质量，还能限制或完全避免出现极大内外径比的单元，这可以通过Havg和Hmax的值来衡量.2 拟固体法如果把网格域简单作为各向同性的线弹固体来求解，则变形后的网格会产生较大的扭曲.为得到具有良好计算性能的有限元网格，实际计算时往往根据影响网格性态的主要因素（如单元杨氏模量、单元内外径比、单元到移动边界的距离等）对单元刚度矩阵进行直接或间接的修正.根据处理方法的不同，拟固体法可分为一步法和二步法两大类［6］.2.1 一步法一步法是指在计算网格运动时，根据网格的初始几何形状和运动边界条件，对单元的杨氏模量直接进行一次性修正.修正一般采用下式进行［9—10］其中的取值原则是提高较小单元的刚度，使较小单元产生较小的位移，较大单元产生较大的位移，以有助于得到较好的计算网格.杨氏模量还可以根据几何准则进行修正，如使离移动边界越近的单元的杨氏模量越大［7］.此外，为使变形后的单元具有良好的几何形态，可根据计算确定合适的泊松比［6］.2.2 二步法二步法的核心是根据预测—校正理论，采用以下2个步骤计算网格运动.（1）第1步为预测步，在给定边界位移的条件下，假定拟固体是均质弹性体模型，并对此拟弹性体进行线性结构分析，从而求得单元应变.第1步有限元格式为式中表示t＋Δt时刻第1步中的整体刚度矩阵，由单元刚度集成而得；t＋ΔtΔUg1表示t＋Δt时刻第1步ALE网格的增量位移.在具体计算单元刚度时，杨氏模量取常数.（2）第2步为校正步，假定拟固体为非均质固体模型，根据第1步计算得到的应变场，修正单元的杨氏模量.第2步的有限元格式为式中表示t＋Δt时刻第2步中的整体刚度矩阵，由单元刚度集成而得；t＋ΔtΔUg2表示t＋Δt时刻第2步的ALE网格的增量位移.在具体计算单元刚度时，单元杨氏模量根据第1步计算得到的应变场t＋ΔtΔUg1进行修正.2.3 二步法中单元杨氏模量的计算二步法的核心是：根据第1步计算得到的应变场，采用有效的方法对第2步中的单元刚度进行修正，从而构造出理想的非均质拟固体材料，使更新后的网格满足计算性能的要求.2.3.1 Chiandussi法 Chiandussi［7］根据一维杆件产生常应变的原理，提出3种修正杨氏模量的方法，即分别根据单元应变场、单元畸变能密度和单元主应变来修正单元杨氏模量.（1）根据单元应变场修正单元杨氏模量.当单元杨氏模量Ei采用式（7）时，结构将产生一个常应变场式中：为均质弹性体的杨氏模量.当不考虑泊松比，并将式（7）作平均化处理后，单元的杨氏模量可用以下2种简化形式表示（2）根据单元应变能密度修正单元杨氏模量.根据二步法第1步的计算结果，可以计算出单元应变能密度在二步法的第2步中修正单元杨式模量，使之与单元应变能成正比，或直接采用U值（3）根据单元畸变能密度修正单元杨氏模量.根据二步法第1步的计算结果，可以计算出单元畸变能密度2.3.2 PSS—PSTS法笔者提出根据单元最大主剪应变修正单元杨氏模量的拟固体二步法，简称PSS—PSTS法.根据弹性力学知识可知，剪切应变表示2个微分线段间夹角的变化，因此，单元最大主剪应变的大小能反映出单元的畸变程度.根据二步法第1步的应变计算结果，可以计算出每个单元的最大主剪应变，然后在第2步中根据单元的最大主剪应变修正单元杨氏模量，使主剪应变较大的单元具有较大的杨氏模量，即式中：γmax为单元的最大主剪应变.对于三维问题，γmax＝max（γ1，γ2，γ3），其中γ1、γ2、γ3为单元的3个主剪应变，计算公式如下对于二维问题，可以直接采用主剪应变修正单元杨氏模量在二步法第2步中修正单元杨式模量，使之与单元畸变能密度成正比，或直接采用Ud值3 网格更新算例分析3.1 二维算例分析图1为一用三角形单元剖分后的正方形有限元网格，区域大小为｜x｜≤20，｜y｜≤20.内部正方形区域大小为｜x｜≤5，｜y｜≤5.初始网格中单元最大内外径比Hmax＝2.399 6，平均内外径比Havg＝2.06.图1 二维正方形初始有限元网格指定内部正方形产生3种不同的运动类型——平动、转动和变形，如图2所示，每种运动类型对应由小到大的3种运动幅度，见表1.表1 二维网格的不同运动类型和运动幅度注：b为内部正方形的边长.运动类型运动幅度平动 d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b转动θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π变形δ＝0.1b δ＝0.2b δ＝0.5b根据前述理论进行编程，采用4种不同的拟固体方法对表1所列的不同类型及幅度下的网格运动进行计算：方法1为一步法，杨氏模量取任意常数；方法2为根据单元应变场修正单元杨氏模量的Chiandussi法；方法3为根据单元畸变能密度修正单元杨氏模量的Chiandussi法；方法4为本文提出的PSS—PSTS法，按公式（16）修正杨氏模量.3.1.1 二维网格运动类型Ⅰ——平动当内部正方形分别沿x、y方向均产生0.5b 位移时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图3.图2 内部正方形的3种不同运动类型图3 平动后的二维有限元网格（方法4，d＝0.5b）采用不同方法计算得到更新后网格的单元最大内外径比Hmax和单元平均内外径比Havg，见表2.根据表2的计算结果，绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图4、图5.表2 更新后二维网格的质量指标（平动）计算方法 d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 2.498 2.077 2.954 2.132 50.627 2.725方法2 2.723 2.068 3.134 2.093 103.040 2.798方法3 2.741 2.068 3.627 2.094 162.730 3.132方法4 2.702 2.067 3.150 2.090 24.635 2.398图4 二维网格平动后的Hmax—运动幅度关系图图5 二维网格平动后的Havg—运动幅度关系图根据表2及图4、图5可以看出：当平动尺度较小时（对应于d＝0.1b和d＝0.2b），4种方法的计算结果相差不大；当平动尺度较大时（对应于d＝0.5b），方法4计算得到的 Hmax、Havg均优于其他3种方法的计算结果；方法2、方法3所计算的Hmax、Havg值虽然大于方法1的计算值，但更新后的网格单元没有发生纠缠在一起的现象，而方法1由于更新后的网格单元出现纠缠现象而使计算失效.3.1.2 二维网格运动类型Ⅱ——转动当内部正方形产生绕中心的旋转运动（θ＝0.5π）时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图6.图6 转动后的二维有限元网格（方法4，θ＝0.5π）采用不同方法计算得到更新后网格的Hmax和Havg值，见表3.根据表3的计算结果绘制相应的Hmax—运动幅度、Havg—运动幅度关系图，见图7、图8.表3 更新后二维网格的质量指标（转动）计算方法θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 4.538 2.192 86.867 3.203 6.440 15 103方法2 6.525 2.244 61.781 3.195 2.663 42.515方法3 6.291 2.254 1 191.6 4.916 1 094.7 15.783方法4 4.335 2.166 9.730 2.530 215.64 5.638图7 二维网格转动后的Hmax—运动幅度关系图图8 二维网格转动后的Havg—运动幅度关系图根据表3及图7、图8可以看出：当内部正方形发生转动时，方法4的计算结果要明显优于其他3种方法的计算结果，计算得到的网格质量指标Hmax、Havg均最小；当转动尺度较大时（对应于θ＝0.5π），采用方法4更新后的网格单元没有发生纠缠在一起的现象（见图7），而采用另3种方法得到的计算网格则发生了明显的单元纠缠，使计算失效.3.1.3 二维网格运动类型Ⅲ——变形当内部正方形上、下表面产生变形时，采用方法4计算得到更新后的有限元网格，见图9.图9 变形后的二维有限元网格（方法4，δ＝0.5b）采用不同方法计算得到更新后网格的Hmax和Havg值，列于表4.根据表4的计算结果，绘制出相应的Hmax—运动幅度、Havg—运动幅度关系图，见图10、图11.表4 更新后二维网格的质量指标（变形）计算方法δ＝0.1bδ＝0.2bδ＝0.5b Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 2.522 2.068 4.188 2.094 11.920 2.366方法2 2.528 2.069 2.922 2.099 29.222 2.784方法3 2.511 2.070 2.851 2.108 347.580 3.769方法4 2.480 2.067 2.767 2.092 7.221 2.357从表4及图10、图11可以看出：当内部正方形发生较小变形时（对应于δ＝0.1b，δ＝0.2b），4种方法的计算结果区别不大；当变形尺度较大时（对应于δ＝0.5b），采用方法3计算得到的网格质量指标Hmax、Havg值明显大于其他3种方法的计算值.4种方法计算得到的变形后的网格单元均没有发生纠缠在一起的现象，而方法4的结果最优.3.2 三维算例分析图10 二维网格变形后的Hmax—运动幅度关系图图11 二维网格变形后的Havg—运动幅度关系图图12 三维初始有限元网格图12为一用四面体单元剖分后的正方体有限元网格，区域大小为｜x｜≤20，｜y｜≤20，｜z｜≤20.内部正四面体（中空部分）大小为｜x｜≤5，｜y｜≤5，｜z｜≤5.初始网格中Hmax＝15.10，Hevg＝4.42.指定内部正四面体产生3种不同的运动类型——平动、转动和变形，每种运动类型对应由小到大的3种运动幅度，参见表1（注意，此时b变为正四面体底边长）.下面采用与二维算例一致的4种拟固体方法对三维网格运动进行计算分析.3.2.1 三维网格运动类型Ⅰ——平动当内部正四面体在xy平面内分别沿x、y、z 方向产生0.5b位移时，采用方法4计算的更新后的有限元网格如图13所示，采用不同方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值列于表5.根据表5的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图14、图15. 图13 平动后的三维有限元网格（方法4，d＝0.5b）表5 更新后三维网格的质量指标（平动）d＝0.1bd＝0.2bd＝0.5b计算方法Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 15.103 4.478 30.124 4.684 53 630 19.514方法2 14.973 4.437 14.992 4.499 1 169 6.038方法3 14.9734.437 14.992 4.499 58 050 11.293方法4 14.448 4.442 15.311 4.518 4 2195.540图14 三维网格平动后的Hmax—运动幅度关系图图15 三维网格平动后的Havg—运动幅度关系图从表5及图14、图15可以看出：由方法2、方法4计算得到的Hmax、Havg值均优于方法1的计算结果；方法3的计算结果较差，当d＝0.5b时，其Hmax值反而略大于方法1的值；方法4和方法2相比，计算结果相差不大，然而在细节上，方法4的Hmax值略大于方法2的计算结果，但同时其Havg值低于方法2的，整体网格性能有所提高.3.2.2 三维网格运动类型Ⅱ——转动当内部正四面体依次产生绕z轴、x轴、y轴的旋转运动时（旋转角θz＝θx＝θy＝π/6，以代数和θ＝0.5π表征旋转程度.θ＝0.1π和θ＝0.2π时类似处理），采用方法4计算得到的更新后的有限元网格如图16所示，采用4种方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值列于表6.图16 转动后的三维有限元网格（方法4，θ＝0.5π）表6 更新后三维网格的质量指标（转动）计算方法θ＝0.1π θ＝0.2π θ＝0.5π Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 13.37 4.463 177.7 4.673 10 230 8.534方法2 16.70 4.470 27.79 4.637 3 883 7.970方法3 16.83 4.470 28.63 4.639 10 790 8.386方法4 14.75 4.447 16.09 4.536 5 054 5.929根据表6的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，见图17、图18.由表6及图17、图18可以看出，当转动尺度增大时（对应于θ＝0.2π和θ＝0.5π），采用二步法（方法2～方法4）计算的Hmax、Havg值均优于一步法（方法1）的计算结果.对比不同的二步法，方法2、方法4的计算结果要明显优于方法3的计算结果；方法4的Hmax值虽略大于方法2的计算结果，但其Havg值却明显小于方法2的.3.2.3 三维网格运动类型Ⅲ——变形当内部正四面体上、下表面产生变形时（网格点沿球面布置），用方法4算得的更新后的有限元网格见图19.图17 三维网格转动后的Hmax—运动幅度关系图图18 三维网格转动后的Havg—运动幅度关系图图19 变形后的三维有限元网格（方法4，δ＝0.5b）采用4种不同方法计算得到的更新后网格的Hmax和Havg值见表7，根据表7的计算结果绘制出相应的Hmax—运动幅度和Havg—运动幅度关系图，如图20、图21所示.表7 更新后三维网格的质量指标（变形）δ＝0.1bδ＝0.2bδ＝0.5b计算方法Hmax Havg Hmax Havg Hmax Havg方法1 16.059 4.415 18.428 4.488 125 000 19.359方法2 16.586 4.428 17.008 4.504 18 450 7.570方法3 16.7194.428 17.227 4.502 3 078 6.425方法4 16.587 4.421 17.470 4.485 1 5405.737图20 三维网格变形后的Hmax—运动幅度关系图图21 三维网格变形后的Havg—运动幅度关系图由表7及图20、图21可以看出：当网格变形较小时（对应于δ＝0.1b和δ＝0.2b），4种方法的计算结果相差不大；当网格变形较大时（对应于δ＝0.5b），由方法2～方法4计算得到的 Hmax、Havg值均优于方法1的计算结果；对比不同的二步法，方法4的计算结果要明显优于方法2和方法3的计算结果，计算得到的网格质量指标Hmax、Havg均最小.4 结论算例分析结果表明：对于二维问题，当网格发生不同类型和不同幅度的运动时，采用本文提出的PSS—PSTS法（即方法4）进行网格更新后计算得到的网格质量指标Hmax、Havg值均较小，即该方法不仅能维持网格的整体质量，还能有效限制或者完全避免出现极大内外径比的单元；对于三维问题，在各种运动形式下，采用方法2和方法4均能有效地控制具有极大内外径比单元的产生，同时采用方法4计算得到的Havg值较小，即整体网格计算性能最优.总之，与一步法和Chiandussi方法相比，PSS—PSTS法具有更强的适用性，能显著地减小单元的畸变，使网格保持优良的计算性能，适用于大变形流固耦合问题中的网格更新计算.（编辑葛赵青）【相关文献】［1］张雄，陆明万，王建军.任意拉格朗日—欧拉描述法研究进展［J］.计算力学学报，1997，14（1）：91—102.ZHANG Xiong，LU Mingwan，WANG Jianjun.Re—search progress in arbitrary Lagrangian—Eulerian meth—od［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，1997，14（1）：91—102.［2］ HUGHES T J R，LIU W K，ZIMMEMRANN T grangian—Eulerian finite element formulation for in—compressible viscous flows［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and 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有限元综述.(优选)
有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法。
1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
如今，有限元在工程上得到广泛应用。
本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。
关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。
经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。
1.研究背景和意义有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。
其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。
以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
28
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
0
-0.001
-0.002
-0.003 0.054
-0.1 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
0.12
X
0.056
0.058
X
0.06
29
30
y
dy zy
1 2
zy
z
dz
0
略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元方法及软件应用
有限元方法及软件应用有限元方法是一种在工程领域广泛应用的数值计算方法，用于求解结构力学、固体力学、流体力学等问题。
它将复杂连续介质问题离散为离散的有限个简单子问题，通过对这些子问题的求解，得到整体问题的近似解。
有限元方法的核心思想是将求解区域划分为有限个小的区域，称为有限元。
每个有限元都是由节点和单元组成的，节点是有限元的顶点，单元是有限元的边或面。
在有限元分析中，首先需要选择合适的有限元模型，然后建立有限元模型的数学模型，进而对其进行计算求解。
1.离散化：将求解区域划分为有限个小的有限元。
2.建立数学模型：利用数学方程建立有限元模型的数学模型。
3.求解：使用数值方法求解有限元模型的数学模型，得到近似解。
4.后处理：对求解结果进行分析和处理，评估模型的准确性。
在结构工程中，有限元方法可以用于分析和设计各种结构的强度、刚度和稳定性。
例如，在建筑设计中，可以通过有限元方法来评估建筑物的受力情况，提高结构的安全性和可靠性。
在机械工程中，有限元方法可以用于分析机械零件的变形和应力分布，优化结构设计，提高机械设备的可靠性和性能。
同时，有限元方法还可以应用于流体力学领域，如分析流体的流动和传热问题，优化流体系统的设计，提高流体设备的效率。
有限元方法的应用还离不开与之相配套的计算软件。
目前市场上存在着多种用于有限元分析的软件，如ANSYS、ABAQUS、Nastran、LS-DYNA等。
这些软件不仅提供了建立、求解和后处理有限元模型的功能，还提供了多种不同的分析类型和求解算法，以满足不同工程问题的需求。
利用这些软件，工程师可以方便地进行参数化设计、灵敏度分析、可靠性分析等工作，加快产品开发和优化的速度。
然而，有限元方法并非完全没有缺点。
首先，有限元方法需要对求解区域进行离散化，划分合适的有限元，这涉及到网格生成和边界条件的处理，对于复杂几何形状的问题可能会比较困难。
其次，由于有限元方法是一种近似解法，所以求解结果可能存在误差，需要通过适当的网格剖分和模型验证来提高结果的准确性。
有限元法在框架优化设计中的应用
有限元法在框架优化设计中的应用【摘要】钢筋混凝土框架结构是我国目前各种建筑类型中使用最普遍的结构形式之一。
本文就结构优化理论的发展进程，利用有限元法的分析功能对框架结构进行优化设计，为结构优化分析在实际工程中的应用，节省建筑材料和降低造价，探索一条新的解决问题的途径。
【关键词】有限元；框架；优化设计有限元法是利用计算机进行运算的一种数值分析方法，它的主要内容包括两部分：一是结构单元分析，即分析杆件单元的力学特性，其二是结构分析，也就是将众多离散的单元集合成全结构单元计算模型，再根据计算模型列出全结构模型的矩阵方程。
建筑框架结构形式主要采用梁柱杆件等刚接组合而成为空间体系，它的主要特点是：①约束条件多：从杆件局部尺寸约束到全结构强度刚度约束，从构件单元约束到全结构体系约束，从正常使用状态下的弹性约束到极限状态下弹塑性约束等多特点、多种类的约束条件大大增加了优化方法的难度；②变量参数多：框架结构的构件尺寸、截面类型、受力特征等都可能成为优化设计的变量，再加上框架结构构件超静定受力条件复杂，且相互影响较多，一定程度上导致优化工作量的大量增加。
本文利用框架结构杆件截面尺寸作为离散变量，把数学规划法和有限元结构分析法相结合，对框架结构进行优化设计。
1.实体结构的简化要求正常使用情况下框架结构的受力变形是以弯曲变形为主，本文以框架结构的体积作为目标函数，把结构的截面尺寸做为变量参数。
通过施加内外作用力求得各个构件的内力，随后对构件截面进行优化设计。
为了详细说明优化方法的特点，先要对框架结构做一些简化：（1）设定适宜的配筋率：在框架结构中，钢筋的影响是非常大的，因此在目标函数中一定要考虑钢筋的影响，为了简化工作量，我们把构件截面设定适宜的配筋率。
本文中结构截面均取2.5%的配筋率。
（2）调整参数变量的优化步幅：优化的步幅决定了离散变量最优解偏离精确度的程度，参数变量寻优的速度也和优化步幅的大小有关，因此在寻优过程中各参数步幅必须可调。
有限元模型中自由度层次的带宽优化算法
有限元模型中自由度层次的带宽优化算法王家林【摘要】为提高有限元分析的计算速度,针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况,建立了自由度层次的带宽优化算法.根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵,由邻接矩阵建立树层次结构,并利用顶点可移动判据对树宽进行优化,对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号.该方法无需人工干预也能获得Burgess算法的最优带宽,能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题.【期刊名称】《西南交通大学学报》【年(卷),期】2009(044)002【总页数】4页(P186-189)【关键词】有限元法;自由度;带宽优化【作者】王家林【作者单位】重庆交通大学土木建筑学院,重庆,400074【正文语种】中文【中图分类】工业技术第 44 卷第 2 期2009年 4 月西南交通大学学报JOURNAL OFSOUTHWESTJIAOTONG UNIVERSITY Vol.44No.2Apr.2009文章编号: 0258-2724(2009)02 -0186-04 DOI:10.3969/j.issn.0258-2724.2009.02.008有限元模型中自由度层次的带宽优化算法王家林（重庆交通大学土木建筑学院，重庆 400074 ）摘要：为提高有限元分析的计算速度，针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况，建立了自由度层次的带宽优化算法，根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵，由邻接矩阵建立树层次结构，并利用顶点可移动判据对树宽进行优化，对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号．该方法无需人工干预也能获得 Burgess 算法的最优带宽，能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题．关键词：有限元法；自由度；带宽优化中图分类号：0242.21文献标识码： A Bandwidth OptimizationAlgorithmofFiniteElementModelsatLevelofDegreeofFreedom WANGJialin( Schoolof Civil Eng. andArchitecture,ChongqingJiaolong University,Chongqing400074,China) Abstract: Basedonthe fact that the numbersof degreeof freedom(DOF)of nodesparticipatingin theDOF vectorof structuresare notthe same,an algorithmwasproposedtooptimizethe bandwidthof finiteelementmodelsatthe level of DOFtoraisethe calculationspeedof finiteelementanalyses. In this algorithm,thetreelevelstructureis establishedfromanabuttingmatrixbasedontheabuttingrelationshipamongD OFs.Whenthe widthof the treestructureis optimized,criterions areputforwardtojudgewhetheravertexis movable.Thevertices atthe samelevel arenumberedbytheir unnumbereddegreesatthenextlevel.Intwoinvestigatedexamples,theproposedoptimizationalgorithmgetsthesame bandwidthsasBurgess'sbandwidthswithoutmanualintervention.Thepropose dalgorithmatthe level of DOFcanbeusedtosolve theproblemsinducedbyvarioustypesof'elements, host-subordinate nodesornon-nodalconnec.tionmethod.Keywords:riniteelementmethod;degreeof freedom;bandwidthoptimization有限元分析涉及到求解大型线性方程组Kr=b ，其中凡阶方阵K 通常具有对称、正定和稀疏的特点，一般采用 L1或 LDL'r 等三角分解方法求解，恰当地对方程中自由度进行排序，可以大幅度减少分解后三角矩阵 L 中非零元素的数目，既有助于节省存储空间，更能够有效地减少对零元素的运算，提高计算速霞．将方阵 K 按等带宽或变带宽的方式进行存储和分解是一种常见的方案．在这种情况下，分解后 L 中的非零元素将限制在方阵 K 的带宽内，只要减小方阵 K 的带宽，就能提高求解方程组的速度．传统的有限元法按节点编号进行带宽优化是基于这样一个前提：每个节点在结构整体自由度向量中参与的自由度个数相同，带宽与节点编号差成正比．收稿日期：2008-07-03基金项目：重庆市教委科研项目( 243-111)作者简介：王家林（ 1968- ），男，教授，博士，研究方向为加筋结构有限元分析，电话：135******** ， E-mail:jialinwang@163． com第44卷2期 2009年4月西南交通大学报JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG Vol.44 No.2 Apr.文章编号: 0258-2724(2009)02 -0186-04 DOI: 10.3969/j. issn.0258-2724.2009.02.008要：为提高有限元分析的计算速度，针对有限元模型中节点在整体结构自由度向量中参与自由度个数不等的情况，建立了自由度层次的带宽优化算法，根据自由度的邻接关系设置邻接矩阵，由邻接矩阵建立树层次结构，并利用顶点可移动判据对树宽进行优化，对树层次结构中的同层顶点按照未编号下层度的升序编号．该方法无需人工干预也能获得 Burgess 算法的最优带宽，能解决有限元模型中同时使用多种单元、主从节点或非节点连接技术引起的带宽优化问题． OptimizationAlgorithmofFiniteElementModelsatLevelofDegreeofFreedom WANG Jialin ( Schoolof Civil Eng. andArchitecture,ChongqingJiaolong University,Chongqing400074,China) Basedonthe fact that the numbersof degreeof freedom(DOF)of nodesparticipatingin theDOF vector of structures are not the same, an algorithmwasproposedtooptimizethe bandwidthof finiteelementmodelsatthe level of DOFtoraisethe calculationspeedof finiteelementanalyses. this algorithm,thetreelevelstructureis establishedfromanabuttingmatrixbasedontheabutting relationshipamongDOFs.Whenthe widthof the treestructureis optimized,criterions areputforward tojudgewhetheravertexismovable.Thevertices atthe samelevel arenumberedbytheir unnumbered degreesatthe nextlevel.Intwoinvestigatedexamples,theproposedoptimizationalgorithmgetsthe same bandwidthsasBurgess'sbandwidthswithoutmanualintervention.Thepropose dalgorithmatthe level of DOFcanbeusedtosolve the problemsinducedbyvarioustypesof'elements, nodesornon-nodalconnec.tionmethod. Key words: riniteelementmethod;degreeof freedom;bandwidthoptimization有限元分析涉及到求解大型线性方程组Kr=b ，其中凡阶方阵 K 通常具有对称、正定和稀疏的特点，或LDL'r等三角分解方法求解，恰当地对方程中自由度进行排序，可以大幅度减少分解后三将方阵 K按等带宽或变带宽的方式进行存储和分解是一种常见的方案．在这种情况下，分解后 L 中的非零元素将限制在方阵 K 的带宽内，只要减小方阵 K 的带宽，就能提高求解方程组的速度．传统的有限元法按节点编号进行带宽优化是基于这样一个前提：每个节点在结构整体自由度向量中参与的自由度个数相同，带宽与节点编号差成正比．作者简介：王家林（ 1968- ），男，教授，博士，研究方向为加筋结构有限元分析，电话：135******** ， E-mail:jialinwang@163． com 第 2 期王家林：有限元模型中自由度层次的带宽优化算法 187在以下情况中，各节点在整体自由度向量中参与的自由度个数会出现不等： (1)-个有限元模型中可能出现多种不同类型的单元，不同类型单元的节点自由度个数不相等，如空间梁单元、退化壳单元、体元可以出现在一个有限元模型中，但这些单元的节点自由度个数不等．(2) 用主从节点方法处理复杂连接问题时，某些节点之间共用部分自由度，又有各自独立的自由度，主从节点的一个典型应用是模拟梁单元之间的铰接：在同一个位置设置多个节点，节点之间共用平移自由度，但各自拥有独立的转动自由度． (3) 在非节点连接方式【 1'2。
有限元方法的发展及应用
有限元⽅法的发展及应⽤有限元⽅法的发展及应⽤摘要：有限元法是⼀种⾼效能、常⽤的计算⽅法。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它⼴泛地应⽤于以拉普拉斯⽅程和泊松⽅程所描述的各类物理场中。
⾃从1969年以来，某些学者在流体⼒学中应⽤加权余数法中的迦辽⾦法或最⼩⼆乘法等同样获得了有限元⽅程，因⽽有限元法可应⽤于以任何微分⽅程所描述的各类物理场中，⽽不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。
基本思想：由解给定的泊松⽅程化为求解泛函的极值问题。
1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是⽤较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应⽤数学、现代⼒学及计算机科学相互渗透、综合利⽤的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的⼩的互连⼦域组成，对每⼀单元假定⼀个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满⾜条件(如结构的平衡条件），从⽽得到问题的解。
这个解不是准确解，⽽是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于⼤多数实际问题难以得到准确解，⽽有限元不仅计算精度⾼，⽽且能适应各种复杂形状，因⽽成为⾏之有效的⼯程分析⼿段。
有限元法最初应⽤在⼯程科学技术中,⽤于模拟并且解决⼯程⼒学、热学、电磁学等物理问题。
1.2有限元法优缺点有限元⽅法是⽬前解决科学和⼯程问题最有效的数值⽅法，与其它数值⽅法相⽐，它具有适⽤于任意⼏何形状和边界条件、材料和⼏何⾮线性问题、容易编程、成熟的⼤型商⽤软件较多等优点。
（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层⾯上建⽴起对有限元法的理解，既可以通过⾮常直观的物理解释来理解，也可以建⽴基于严格的数学理论分析。
（2）有很强的适⽤性，应⽤范围极其⼴泛。
它不仅能成功地处理线性弹性⼒学问题、费均质材料、各向异性材料、⾮线性应⽴-应变关系、⼤变形问题、动⼒学问题已及复杂⾮线性边界条件等问题，⽽且随着其基本理论和⽅法的逐步完善和改进，能成功地⽤来求解如热传导、流体⼒学、电磁场等领域的各类线性、⾮线性问题。