有限元方法理论及其应用

1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）

撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。

1.1 对一维杆单元有限元形式的理解

我对此提出了几点疑问：

1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？

2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？

3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一

个唯一的近似解？

4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？

下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。

对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。

对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出

了四个，显然

这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。

对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。

对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。

1.2 有限元法的思想

有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。

有限元法的基本思想是离散化和分片插值。

即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。

求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

1.3 有限元法的数学基础

有限元法的数学基础是加权余量法和变分原理。

有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。

加权余量法是等效积分的一般形式，它适用于普遍的方程形式。利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值方法。

如果问题的方程具有某些特定的性质，则它等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。相应的近似解实际上是求泛函的驻值问题。里兹法就是属于这一类数值解法。

1.4 有限元法的力学基础

一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。一个“系统”是指一个结构加上作用其上的力。对于保守系统，系统总势能定义为：

总势能 = 应变能－外力做功

系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。系统总势能用符号Πp表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。

“可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。

瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。

从经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程可以总结出该方法的重要特点：

1)在求解域整体上假定位移场（试探函数）；

2)假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何

约束条件）和简单的。

3)要得到收敛解，试探函数必须是完备的。

4)里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。由于假定的位移模式往

往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结

构。

1.5 有限元法求解的原理和过程，推导计算列式

1.5.1 有限元分析的基本步骤

有限元法的基本解题步骤如下：

1)建立研究对象的近似模型

2)将研究对象分割成有限数量的单元

3)用标准方法对每一个单元提出一个近似解

4)将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统

5)用数值方法求解这个近似系统

6)计算结果处理与结构验证

1.5.2 一维杆的有限元分析

下面以一维杆件的分析为例，研究有限元分析的求解原理和过程：

图 1-1

1)单元描述

L——杆长

A——截面积