有限元分析及应用
有限元分析及应用讲义(北理工)
有限元分析方法及应用 机电学院本科课程内部讲义北京理工大学2014目 录第一章 有限元概述 (3)1.1 有限元历史 (3)1.2 有限元的定义及基本原理 (4)1.3 有限元分析的一般流程 (6)1.4 有限元的应用范围 (7)第二章 基础知识篇 (8)2.1 外力、应力、应变和位移 (8)2.2 两类平面问题 (10)2.3 平衡微分方程 (11)2.4 几何方程 (12)2.5 物理方程 (14)2.6 边界条件 (17)2.7 弹性力学的解题方法（解析法） (18)2.8 虚功方程 (27)第三章 应用CAE篇 (31)3.1 几何清理及网格划分 (32)3.2 材料模型及单元类型 (55)3.3 边界与载荷 (56)3.4 后处理 (60)第四章 线性分析及应用篇 (62)4.1 线性静力分析基础 (62)4.2静力分析简介及步骤 (64)4.3模态分析 (71)第五章 非线性 (75)5.1 几何非线性问题的有限元法 (76)5.2 材料非线性问题的有限元法 (83)第一章有限元概述1.1 有限元历史20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。
结构分析的有限元方法在二十世纪五十年代到六十年代创立的。
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到了正确的解答。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语。
有限元分析与应用技术培训教材
借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚度方程，这是一组以节点物理量为未知量的线形方程组，引入边界条件求解该方程组即可。
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1-3 有限元法基本思想
实例1(离散系统)结构离散
节点位移向量表示： 节点力向量表示： 节点1沿x方向的位移 、其余节点位移全为0时轴向压力为：
1-1工程和科学中典型问题
1-2 场问题的一般描述 --微分方程+边界条件
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
应力场----弹性力学
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有限元法的工程领域应用
有限元法的工程领域应用
有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种工程领域常用的数值计算方法，广泛应用于结构力学、固体力学、流体力学等领域。
以下是一些有限元法在工程领域常见的应用：
1. 结构分析：有限元法可用于分析各种结构的受力性能，如建筑物、桥梁、飞机、汽车等。
通过将结构离散成有限数量的单元，可以计算出每个单元的应力、应变以及整个结构的位移、变形等信息。
2. 热传导分析：有限元法可用于模拟材料或结构的热传导过程。
通过对材料的热传导系数、边界条件等进行建模，可以预测温度分布、热流量等相关参数。
3. 流体力学分析：有限元法在流体力学领域的应用非常广泛，例如空气动力学、水动力学等。
通过建立流体的速度场、压力场等参数的数学模型，可以分析流体在不同条件下的运动特性。
4. 电磁场分析：有限元法可以应用于计算电磁场的分布和特性，如电磁感应、电磁波传播等。
通过建立电磁场的数学模型，可以预测电场、磁场强度以及电磁力等。
5. 振动分析：有限元法可用于模拟结构的振动特性，如自由振动、强迫振动等。
通过建立结构的质量、刚度和阻尼等参数的数学模型，可以计算出结构在不同频率下的振动响应。
6. 优化设计：有限元法可以与优化算法结合，应用于工程设计中的结构优化。
通过对结构的材料、几何形状等进行参数化建模，并设置目标函数和约束条件，可以通过有限元分析来寻找最佳设计方案。
以上只是有限元法在工程领域的一些应用，实际上有限元法在各个领域都有广泛的应用，为工程师提供了一种精确、高效的数值计算方法，用于解决各种实际工程问题。
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元法和应用总结课件
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳， 所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在 此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数 方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳 时间。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等 参数单元。他们旳特点是单元旳节点数越多，其计算精 度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元旳个数，视计算机要求旳精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要旳计 算机容量越大，所以，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元旳大小，可根据部位不同有所不同，在位 移或应力变化大旳部位取得单元要小；在位移或应力变 化小旳部位取得单元要大，在边界比较平滑旳部位，单 元可大。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤 其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应 用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移 法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是 有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工 处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把 有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员 直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状 态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员 迅速旳评价和校核设计方案。
• 虚位移原理是平衡方程和力旳边界条件旳等效积 分旳“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件旳等效积 分“弱”形式。
3.虚功原理（续）
北航有限元分析与应用期末复习题答案
Ni ( x j , y j ) =
N i ( xm , ym ) =
即 另外
Ni + N j + N m =
N i ( x j , y j ) = δ ij
1 (ai + bi x + ci y + a j + b j x + c j y + am + bm x + cm y ) 2∆ 1 [(ai + a j + am ) + (bi + b j + bm ) x + (ci + c j + cm ) y ] = 2∆ 1 (2∆ + 0 ⋅ x + 0 ⋅ y ) = 1 = 2∆
时的等效结点载荷， 假设结点坐标已知， 单元厚度为 t。 解：设三角形面积坐标为 L1、L2、L3，则形函数：
y 5
2
(x2,y2) q 4
N1 = L1 (2 L1 − 1) 、N 2 = L2 (2 L2 − 1) 、N 3 = L3 (2 L3 − 1) N 4 = 4 L1 ⋅ L2 、 N 5 = 4 L2 ⋅ L3 、 N 6 = 4 L3 ⋅ L1
∂u ∂x 0 ∂v {ε } = = 0 y ∂ 0 ∂u ∂x + ∂y ∂x
0 {σ } = [ D]{ε } = 0 0
∴
∴ ∴
单元中不产生应力。
6
8、求图示二次三角形单元在 142 边作用有均布侧压 q
xi yi yj ym
2∆ = 1 x j 1 xm
根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式 乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）的元素的 代数余子式乘积之和等于零。所以
有限元法及其应用 pdf
有限元法及其应用 pdf标题：有限元法及其应用引言概述：有限元法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用领域，并详细阐述其在结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学等方面的具体应用。
正文内容：1. 结构分析1.1 结构力学基础1.1.1 杆件和梁的有限元分析1.1.2 平面和空间框架的有限元分析1.1.3 壳体和板的有限元分析1.2 结构动力学分析1.2.1 振动问题的有限元分析1.2.2 地震响应分析1.2.3 结构非线性分析2. 流体力学2.1 流体流动的有限元分析2.1.1 稳态流动问题的有限元分析2.1.2 非稳态流动问题的有限元分析2.1.3 多相流动问题的有限元分析2.2 流体结构耦合分析2.2.1 气动力和结构响应的有限元分析2.2.2 液固耦合问题的有限元分析2.2.3 流体流动与热传导的有限元分析3. 热传导3.1 热传导方程的有限元分析3.1.1 稳态热传导问题的有限元分析3.1.2 非稳态热传导问题的有限元分析3.1.3 辐射传热问题的有限元分析3.2 热结构耦合分析3.2.1 热应力分析3.2.2 热变形分析3.2.3 热疲劳分析4. 电磁场4.1 静电场和静磁场的有限元分析4.1.1 静电场的有限元分析4.1.2 静磁场的有限元分析4.2 电磁场的有限元分析4.2.1 电磁场的有限元分析方法4.2.2 电磁场与结构的耦合分析4.2.3 电磁场与流体的耦合分析5. 生物力学5.1 生物组织的有限元分析5.1.1 骨骼系统的有限元分析5.1.2 软组织的有限元分析5.1.3 生物材料的有限元分析5.2 生物力学仿真5.2.1 运动学分析5.2.2 力学分析5.2.3 生物仿真与设计总结：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值分析方法。
本文从结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学五个大点详细阐述了有限元法的应用。
通过对各个领域的具体应用介绍，我们可以看到有限元法在工程领域中的重要性和广泛性。
有限元分析及应用
引子：有限元方法是求解各类复杂问题的工具；广泛用于机械、桥梁、建筑、航空航天等领域；本课程主要内容：1.数学力学原理；2.力学建模；3.专题实践。
1 引论知识点1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学主要内容：力学分类；变形力学的的要点；微分方程求解方法；关于函数逼近的方式；针对复杂几何域的函数表征及逼近；有限元的核心；有限元发展的历史与分析软件。
质点、刚体、变形体之间的关系以卫星绕地球旋转为例：变形体：简单形状；复杂形状。
知识点1.2 变形体力学的要点：涉及三个方面：力的平衡、变形状态、材料行为；引入三大变量，三大方程应力：应变：弹性模量：定义力学变量：知识点1.3 微分方程求解的方法 实例：左端固定的1D 拉杆问题建立方程:022=⋅+E A pdx u d 为基本力学变量)(x u左端固定右端为自由AF =σLμε=εσ=E ⎪⎩⎪⎨⎧====0|0|0L x x dxdu u求解该方程的方法： (1) 解析方法：得到的结果：Lx AEpx AE p x u +-=221)((2) 近似方法（差分） 把研究对象分成若干段差分格式：222112dxud l u u u i i i =∆+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅++-=⋅++-=⋅++-=⋅++-4051230512205121051222543224322232122210节点节点节点节点AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u ⎩⎨⎧==5400u u u 代入边界条件代入后得到01111511-10012-10012-10012-224321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AE PL u u u u 解得()()TTAEPL u u u u 625.05625.04375.025.024321⋅=研究对象分成n 段：⎩⎨⎧==-100n n u u u 代入边界条件 011111111000012-10000000002-1000012-1000012-2212321=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- AE PL n u u u u u n n 分段数 L/5 2L/5 3L/5 4L/5 L 5 0.250 0.438 0.563 0.625 0.626 20 0.185 0.329 0.431 0.491 0.510 100 0.183 0.324 0.425 0.486 0.505 500 0.180 0.321 0.421 0.481 0.501 解析解 0.1800.3200.4200.4800.500趋近于解析解(3) 近似方法（试函数）几种求解方法的对比：1 精度2 特点知识点1.4 关于函数逼近的方式以一个一维函数[]L x x x x f ,),(0∈为例，分析它的展开与逼近形式 展开方式之一：基于全域的展开形式如果采用傅里叶展开，则有：[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=++≈∑=L ni ii x x x c c c x f ,)(001100ϕϕϕ 其中[]()L i x x x ,0∈ϕ为所采用的基底函数，它定义在全域[]L x x ,0上， ,,10c c 为展开的系数。
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附件6．机械 学院（系、所）国际一流水平 研究生课程简介
(中英文各一份)
课程名称：有限元分析及应用 课程代码：100.549
课程类型：□一级学科基础课 ■二级学科基础课 □其它：
考核方式： 考试+大作业 教学方式：讲授
适用专业： 工程专业
适用层次：■硕士 ■ 博士
开课学期：秋季后半学期 总学时：32 学分：2
先修课程要求：矩阵论 工程力学/弹性力学 机械振动 计算方法
课程组教师姓名 职 称 专 业 年 龄 学术方向
胡于进 教授 机械学 54 CAD/CAE/GD
王学林 教授 机械学 49 CAD/CAE
课程负责教师教育经历及学术成就简介：
胡于进教授长期负责现代设计方法的教学和科研工作，先后为本科生讲授“机
械设计基础”、“优化设计及有限元”，为硕士/博士研究生讲授“有限元分析”、
“有限元分析及应用”、“绿色设计”，曾获校优秀教学成果奖。受教育部研究生
教材指导委员会推荐，主编的“有限元分析及应用”，已由清华大学出版社出版。
胡于进教授主要研究方向为工程领域的数值仿真分析及优化设计、绿色设计，
其数值仿真分析方向涉及机械工程、航空航天、船舶、钢铁等领域的线弹性、工
程热力学、多场耦合（热力耦合、流固耦合、热流及电磁兼容）、非线性接触力
学、非线性动力学等众多问题。先后承担完成国家自然基金、国防基金、国防预
研、863、973等多项项目，先后获国家科技进步奖三等奖、机械部、国家教委
科技进步二等奖各一项，发表论文100余篇。主编出版专著2本，参编出版教程
及设计手册3本。
课程教学目标：
本课程是面向机械工程各专业硕士研究生而开设的一门技术基础课，通过系统
地介绍有限元法的基本原理、计算方法以及有限元法在工程中的基本应用技术，
力图为同学们进一步深入学习和使用有限元分析工具打下基础。
课程大纲：（章节目录）
第一章 绪论
§1.1 一般问题的数学描述
§1.2 数值方法的求解分类
§1.3 有限元法的基本思想
§1.4 有限元法的主要步骤
§1.5 有限元法的应用
第二章 有限元分析的基本理论
§2.1 弹性力学问题的基本描述
§2.2 弹性问题的能量原理
§2.3 弹性力学问题有限元分析的一般步骤
第三章 弹性力学平面问题的有限元法
§3.1 平面问题的定义
§3.2 平面问题的有限元法
§3.3 平面问题计算实例
第四章 轴对称问题与空间问题有限元法
§4.1 轴对称问题的有限元法
§4.2 空间问题的有限元法
第五章 等参数单元和数值积分
§5.1 等参数变换的概念
§5.2 等参数单元位移函数
§5.3 单元刚度矩阵
§5.4 等效节点载荷的计算
§5.5 数值积分
第六章 杆系结构的有限元法
§6.1 杆系结构的离散
§6.2 轴向拉压杆件的有限元方程
§6.3 平面弯曲梁单元的有限元方程
§6.4 空间梁单元单元分析
§6.5 单元刚度矩阵的坐标变换
§6.6 整体刚度矩阵的形成
第七章 薄板弯曲问题的有限元法
§7.1 薄板弯曲的基本方程
§7.2 矩形薄板单元分析
§7.3 协调板单元分析
§7.4 薄板问题计算实例
第八章 热传导问题的有限元法
§8.1 热传导微分方程
§8.2 平面稳态热传导问题的有限元法
§8.3 热应力的计算
第九章 结构动力学有限元法
§9.1 有限元动力学方程的建立
§9.2 质量矩阵、阻尼矩阵及刚度矩阵
§9.3 结构的固有振动特性分析
§9.4 动力响应分析
第十章 非线性问题的有限元法
§10.1 非线性问题分类
§10.2 非线性方程求解
§10.3 弹塑性问题基本方程
§10.4 弹塑性问题的有限元法
第十一章 有限元法建模
§11.1 有限元建模一般步骤
§11.2 常见模型简化方法
§11.3 单元类型选择及常见单元
§11.4 网格布局与划分技术
§11.5 边界条件处理及模型检查
第十一章 ANSYS软件使用方法简介（自学）
第十一章 基于ANSYS 的工程分析案例（自学）
教材：胡于进，王璋奇. 有限元分析及应用，清华大学出版社，2009
主要参考书：
1.
曾攀，有限元分析及应用，清华大学出版社，2003
2. 王焕定等，有限单元法教程，哈尔滨工业大学出版社，2003
3．DrylL. Logan，有限元方法基础教程，电子工业出版社，2003
本课程达到国际一流水平研究生课程水平的标志：
1、师资方面：
胡于进、王学林两位教授长期从事数值计算方法的研究及应用，不仅具有
扎实的理论基础和较高的理论水平，同时具有长期从事科学研究的实力和解决
工程实际问题的大量经验，对数值计算方法的发展现状及其在工程领域的应用
具有全面深刻的了解，对该领域的学术发展有较好的跟踪，有能力引导或鼓励
同学们去追求该学科最新的研究成果。同时，引进国内外相关专家进行专题讲
座，开阔学生视野。
2、教学内容方面：
加强基础理论及技术融合方法的介绍
加强工程实际问题的解决案例介绍
加强学科最新发展的介绍
3、教学方式方面：
理论授课为主，兼顾学生解决实际问题能力培训。将有限元法的基本原理
与有限元法的应用技术融为一体，并结合ANSYS分析软件和工程应用实例进行
介绍，使同学在学习有限元基本原理的基础上，掌握有限元法的应用技术，达
到服务于工程实际的目的。
4、教材方面：
在现有教材基础上完善教案。
5、其它：