有限元分析及应用
有限元分析在材料力学中的应用与优化设计
有限元分析在材料力学中的应用与优化设计材料力学是研究材料的力学性质、变形行为和破坏机制的学科，而有限元分析作为一种强大的计算工具，在材料力学领域中得到了广泛的应用。
本文将介绍有限元分析在材料力学中的应用，并探讨有限元分析在材料力学优化设计中的潜力。
一、有限元分析在材料力学中的应用1. 材料力学参数分析有限元分析可以通过建立材料模型，并引入相应的力学参数，来分析材料在加载过程中的力学响应。
通过改变材料的弹性模量、屈服强度等力学参数，可以预测材料的变形行为和破坏机制，为材料性能的改进和设计提供理论依据。
2. 材料疲劳寿命估计在材料力学中，疲劳是一个重要的研究方向。
有限元分析可以模拟材料在循环加载下的变形行为，通过计算应力、应变的变化，预测材料的疲劳寿命。
这有助于设计更加耐久和可靠的材料结构。
3. 材料失效分析有限元分析在材料失效分析中起到了关键的作用。
通过建立合适的失效准则，并将其应用于有限元模型中，可以确定材料的破坏位置和破坏形式。
这对于预测材料的寿命和改进设计具有重要的意义。
二、有限元分析在材料力学优化设计中的潜力1. 拓宽设计空间传统的材料力学设计往往依赖经验公式和试错法，设计空间有限。
而有限元分析可以通过模拟和分析不同材料参数、结构形式等因素对材料力学性能的影响，为设计师提供大量可行的设计方案，拓宽了设计空间。
2. 优化材料性能有限元分析结合材料力学的理论知识，可以帮助优化材料的性能。
通过优化材料的力学参数，例如提高弹性模量、降低应力集中等，可以实现材料的功能改进，提高材料的强度、韧性等性能。
3. 提高设计效率有限元分析可以模拟不同材料力学行为，通过计算机进行大规模计算，大大加快了设计过程。
设计师可以通过有限元分析快速评估不同设计方案的优劣，并进行参数敏感性分析，以指导设计方向。
4. 减少实验成本在传统的材料力学设计中，往往需要进行大量的实验来验证设计方案的可行性。
而有限元分析可以通过模拟不同材料参数和加载条件下的力学性能，减少实验的数量和成本。
有限元分析及应用难不难
有限元分析及应用难不难有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程分析方法，通过将连续结构分割成有限数量的小元素，通过对这些元素进行数值计算，来近似求解结构的力学性能。
在工程领域中，有限元分析被广泛应用于计算机辅助设计（CAD）、结构力学分析、流体力学分析等方面。
有限元分析的应用非常广泛，其中包括结构强度分析、热传导分析、流体力学分析、电磁场分析等。
在结构强度分析中，有限元分析可以帮助确定结构的受力状况，检验结构的强度和刚度是否满足设计要求，为工程设计提供依据。
在热传导分析中，有限元分析可以用于计算传热问题，例如确定工件的温度分布和热流量。
在流体力学分析中，有限元分析可以模拟流体的流动行为，例如计算液体或气体的速度、压力和流量。
在电磁场分析中，有限元分析可以计算电场、磁场和电磁波等现象。
尽管有限元分析在工程领域中有着广泛的应用，但也存在一定的难度。
首先，有限元分析需要进行大量的计算，因此对于计算机硬件的要求较高，需要有一定的计算资源才能够进行较为复杂的分析。
其次，有限元分析需要进行一系列的前期准备工作，包括建立模型、进行网格划分、确定边界条件等。
这些准备工作需要较为熟练的技能和经验，对于初学者来说可能会有一定的学习曲线。
此外，有限元分析的结果对于模型的准确性和边界条件的合理性有较高的要求，需要进行验证和校正，否则可能会导致分析结果的误差。
尽管有限元分析存在一定的难度，但它也有很多优势。
首先，有限元分析可以对复杂的工程结构进行分析，可以解决一些传统方法难以或无法解决的问题。
其次，有限元分析可以进行模拟试验，通过改变结构参数等来评估设计方案，降低实际试验的成本。
此外，有限元分析还可以进行参数化分析，通过改变模型参数来研究不同因素对结构性能的影响。
这些优势使得有限元分析在工程设计、优化和研究领域中得到了广泛的应用。
在实际应用中，想要进行有限元分析需要具备一定的背景知识和技能。
有限元分析及应用课件
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。
有限元分析软件及应用
有限元分析软件及应用有限元分析（Finite Element Analysis，简称FEA）是一种工程力学的数值计算方法，用于模拟和分析材料或结构在力学、热学、流体力学等领域的行为。
有限元分析软件是用于进行有限元分析的工具，提供了对复杂问题进行建模、求解和分析的功能。
下面将介绍几种常用的有限元分析软件及其应用。
1. ANSYS：ANSYS是全球领先的有限元分析软件之一，适用于多个领域，如结构力学、流体力学、电磁场等。
在结构分析方面，ANSYS可以进行静力学、动力学、疲劳分析等，可应用于航空、汽车、能源、医疗等行业。
2. ABAQUS：ABAQUS是另一个广泛使用的有限元分析软件，适用于结构、热、流体、电磁等多个领域的分析。
ABAQUS提供了丰富的元件模型和边界条件，可以进行复杂结构的非线性、瞬态、热源等分析，广泛应用于航空航天、汽车、能源等领域。
3. MSC Nastran：MSC Nastran是一款专业的有限元分析软件，主要用于结构和动力学分析。
它提供了丰富的分析和模拟工具，可进行静力学、动力学、疲劳分析等。
MSC Nastran广泛应用于航空、汽车、船舶等领域，具有较高的准确性和可靠性。
4. LS-DYNA：LS-DYNA是一款用于求解非线性动力学问题的有限元分析软件。
它可以进行结构和流体的动态响应分析，主要应用于汽车碰撞、爆炸、冲击等领域。
LS-DYNA具有强大的求解能力和灵活性，可以模拟复杂的物理现象和材料性能。
除了上述几个常用的有限元分析软件外，还有许多其他软件也具有广泛的应用。
有限元分析在实际工程中有着广泛的应用，下面以汽车结构分析为例进行介绍。
汽车结构分析是有限元分析的一个重要应用领域。
有限元分析软件可以帮助工程师对汽车的结构进行模拟和分析，评估其在碰撞、强度、刚度等方面的性能。
首先，工程师可以使用有限元分析软件对汽车的结构进行建模。
软件提供了各种几何建模工具，可以根据汽车的三维CAD数据进行建模，或者使用简化的二维平面模型。
《有限元分析及应用》课件
受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 –更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
36
第二章 有限元分析的力学基础
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变
形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
物质连续性假定: 物质无空隙，可用连续函数来描述 ；
物质均匀性假定: 物体内各个位置的物质具有相同特 性；
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y
dy zy
1 2
zy
z
dz
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略去微量项，得 yz zy
MY 0 zx xz
MZ 0
xy yx
剪切力互等定律
53
二维问题: 平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
剪切力互等定律
有限元分析及应用
有限元分析及应用介绍有限元分析，简称FEA（Finite Element Analysis），是一种数值计算方法，用于预测结构的力学行为。
它可以将结构离散为有限个小单元，在每个小单元内进行力学计算，并通过求解得到整个结构的应力和位移分布。
有限元分析常用于工程领域中，如结构分析、热传导分析、流体流动分析等。
原理有限元分析的基本原理可以概括为以下几个步骤：1.离散化：将结构或物体离散为有限个小单元。
常见的小单元形状有三角形、四边形等，在三维问题中可以使用四面体、六面体等。
2.建立数学模型：在每个小单元内，根据结构的物理特性和力学行为建立数学模型。
模型中包括了材料的弹性模量、泊松比等参数，以及加载条件、约束条件等。
3.组装和求解：将所有小单元的数学模型组装成一个整体的数学模型，然后利用求解算法进行求解。
常见的求解算法有直接法、迭代法等。
4.后处理：得到结构的应力和位移分布后，可以进行各种后处理操作，如绘制位移云图、应力云图等，以帮助工程师分析结构的强度和刚度性能。
应用有限元分析在工程领域有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用案例：结构分析有限元分析可以用于结构分析，以评估结构的刚度和强度。
在设计建筑、桥梁、航空器等工程项目时，工程师可以使用有限元分析来模拟结构的力学行为，预测结构在不同加载条件下的变形和应力分布，以优化结构设计。
热传导分析有限元分析也可以用于热传导分析，在工程项目中评估热传导或热辐射过程。
例如，在电子设备的散热设计中，可以使用有限元分析来预测电子元件的温度分布，优化散热设计，确保电子元件的正常工作。
流体流动分析在流体力学研究中，有限元分析可以用于模拟流体的运动和流动行为。
例如，在船舶设计中，可以使用有限元分析来模拟船体受到波浪作用时的变形和应力分布，验证船体的可靠性和安全性。
优缺点有限元分析具有以下优点：•可以模拟复杂结构和物理现象，提供准确的结果。
•可以优化结构设计，减少设计成本和时间。
有限元分析及应用习题答案
有限元分析及应用习题答案有限元分析及应用习题答案有限元分析是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，可以用来解决各种结构力学问题。
在学习有限元分析的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固理论知识，提高应用能力。
本文将给出一些有限元分析及应用的习题答案，希望对读者有所帮助。
1. 什么是有限元分析？有限元分析的基本步骤是什么？有限元分析是一种通过将结构划分为有限数量的子域，然后对每个子域进行数值计算，最终得到整个结构的应力、应变等力学参数的方法。
其基本步骤包括：建立有限元模型、选择适当的数学模型、进行数值计算、分析计算结果。
2. 有限元分析的优点是什么？有限元分析具有以下优点：- 可以处理任意形状的结构，适用范围广。
- 可以考虑材料非线性、几何非线性等复杂情况。
- 可以对结构进行优化设计，提高结构的性能。
- 可以得到结构的应力、应变等力学参数分布，为工程实际应用提供参考。
3. 有限元分析中的单元是什么？常见的有哪些类型？有限元分析中的单元是指将结构划分为有限数量的子域，每个子域称为一个单元。
常见的单元类型有：- 一维单元：如梁单元、杆单元等，适用于解决一维结构问题。
- 二维单元：如三角形单元、四边形单元等，适用于解决平面或轴对称问题。
- 三维单元：如四面体单元、六面体单元等，适用于解决立体结构问题。
4. 如何选择适当的单元类型？选择适当的单元类型需要考虑结构的几何形状、边界条件、材料性质等因素。
一般来说，对于简单的结构，可以选择较简单的单元类型；对于复杂的结构，需要选择更复杂的单元类型。
此外，还需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行选择。
5. 有限元分析中的边界条件有哪些类型？有限元分析中的边界条件包括：- 位移边界条件：指定某些节点的位移或位移的导数。
- 力边界条件：施加在结构上的外力或力矩。
- 约束边界条件：限制某些节点的位移或位移的导数为零。
6. 有限元分析中的材料模型有哪些？有限元分析中常用的材料模型有：- 线性弹性模型：假设材料的应力与应变之间存在线性关系。
有限元法和应用总结课件
线弹性有限元
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象旳， 所考虑旳变形建立在小变形假设旳基础上。在 此类问题中，材料旳应力与应变呈线性关系， 满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系， 线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以 只需要较少旳计算时间。假如采用高效旳代数 方程组求解措施，也有利于降低有限元分析旳 时间。
平面单元划分原则
• 1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等 参数单元。他们旳特点是单元旳节点数越多，其计算精 度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。
• 2.划分原则： • 1）划分单元旳个数，视计算机要求旳精度和计算机容量
而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要旳计 算机容量越大，所以，须根据实际情况而定。 • 2）划分单元旳大小，可根据部位不同有所不同，在位 移或应力变化大旳部位取得单元要小；在位移或应力变 化小旳部位取得单元要大，在边界比较平滑旳部位，单 元可大。
移，另一部分基本未知量为节点力。
*8.有限元法分析过程（续）
• 有限元位移法计算过程旳系统性、规律性强，尤 其合适于编程求解。一般除板壳问题旳有限元应 用一定量旳混正当外，其他全部采用有限元位移 法。所以，一般不做尤其申明，有限元法指旳是 有限元位移法。
• 有限元分析旳后处理主要涉及对计算成果旳加工 处理、编辑组织和图形表达三个方面。它能够把 有限元分析得到旳数据，进一步转换为设计人员 直接需要旳信息，如应力分布状态、构造变形状 态等，而且绘成直观旳图形，从而帮助设计人员 迅速旳评价和校核设计方案。
• 虚位移原理是平衡方程和力旳边界条件旳等效积 分旳“弱”形式；
• 虚应力原理是几何方程和位移边界条件旳等效积 分“弱”形式。
3.虚功原理（续）
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有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
20
技术路线：
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发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
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高斯(Gauss)
在牛顿之后约一百年， 著名数学家高斯提出了 加权余值法及线性代数 方程组的解法。这两项 成果的前者被用来将微 分方程改写为积分表达 式，后者被用来求解有 限元法所得出的代数方 程组。
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拉格朗日(Lagrange J.)
在18世纪，另 一位数学家拉 格朗日提出泛 函分析。泛函 分析是将偏微 分方程改写为 积分表达式的 另一途径。
(3) 研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz的分析方法（针对任意变 形体）
40
2.2 弹性体的基本假设
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
9
瑞利(Rayleigh)
在19世纪末及 20世纪初，数 学家瑞利和里 兹（Rayleigh Ritz）首先提出 可对全定义域 运用展开函数 来表达其上的 未知函数。
10
1915年，数学家伽辽金(Galerkin)提出了选 择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法 被广泛地用于有限元。1943年，数学家库 朗德第一次提出了可在定义域内分片地使 用展开函数来表达其上的未知函数。这实 际上就是有限元的做法。
j为自由指标，它们可以自由变化；在三维问题中， 分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示三个 坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：aij x j bi，
j为哑指标。在三维问题中其变化的范围为1,2,3
42
Einstein 求和约定：哑指标意味着求和
指标记法的应用：
对于方程组
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如 ij ，i，
5
有限元法的孕育过程及诞生和发展
牛顿(Newton)
莱布尼茨(Leibniz G. W.) 6
大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积 分法，证明了该运算具有整体对局部的可加 性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域 的划分是不同的，前者进行无限划分而后者 进行有限划分，但积分运算为实现有限元技 术准备好了一个理论基础。
2.1 变形体的描述与变量定义
(1) 变形体
变形体：即物体内任意两点之间可发生相对移动。 有限元方法所处理的对象：任意变形体
38
(2) 基本变量的定义
可以用以下各类变量作为任意变形体的描述
量
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移、应变、应力
39
目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程 和材料物理方程
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受垂直载荷的托架
31
体单元
•线性单元 / 二次单元 – 更高阶的单元模拟曲面的精度就越高。
低阶单元
更高阶单元
32
有限元分析的作用
复杂问题的建模简化与特征等效 软件的操作技巧（单元、网格、算法参数控制） 计算结果的评判 二次开发 工程问题的研究 误差控制
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第二章 有限元分析的力学基础
. .
...
线性
二次
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
.. .体..(三..维实.体..波传导问题 点 单元
线 单元
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线 单元
点 单元
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面 单元
Y
Y
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08
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-0.002
-0.003 0.054
（2-1）
按一般的写法，可写为 若用指标记法：
（2-2） （2-3）
(2-3)式与(2-2)式等价，因为j为哑指标，意味着求和
43
克罗内克符号
有限元分析及应用
第一章 有限元法简介
2
有限元法介绍
有限元法的基本思想是将结构离散化，用
有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，
单元之间通过有限个结点相互连接，然后
根据变形协调条件综合求解。由于单元的
数目是有限的，结点的数目也是有限的，
所以称为有限元法(FEM，Finite Element
Method)。
11
各（
力对
学象
学、
科变
分量
支、
的方
关程
系、
求
解
途
径
）
12
13
任意变形体力学分析的基本变量及方程 研究对象：任意形状的变形体 几种典型的对象 (1) 桥梁隧道问题
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圆形隧道
三维模型 15
(2) 中华和钟 (3) 矿山机械
16
(4) 压力容器的成形 17
变形体及受力情况的描述 18
求解方法 19