初中数学：等分三角形面积的推广

初中数学：等分三角形面积的推广

由三角形面积的定义可知，三角形一边上的中线能将三角形分割成面积相等的两部分。

如图1，AD为△ABC的中线，则；由梯形的性质可知，连接梯形的两条对角线，图中能找到三组面积相等的三角形。

图1

如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD交于O，则

，

图2

应用这两个简单的性质，可以解决下列问题：

问题1：如图3，点D是△ABC边BC上的任意一点（不与B、C重合），能否过点D画一条直线，使直线两侧的面积相等？

图3

分析：在三角形中，一边上的中线能将三角形分成面积相等的两部分，因此我们想到，先作出三角形的一条中线，将三角形面积分成相等的两部分，然后再利用上面两个性质，使直线符合要求。

解：取AB的中点E，连结DE，过点C作CF∥DE交AB于F，作直线DF即是符合要求的直线。理由：连结CE，交DF 于O，则

在梯形DEFC中，有

因为，所以

问题2：如图4，若点D、E是△ABC边BC上的任意两点，能否分别过点D、E画两条直线，将△ABC的面积分割成相等的三个部分？

图4

分析：经过BC边上任意两点画直线，使三角形的面积被分割成相等的三部分，可以转化成上述问题1的一般情况。

解：取AB边的三等分点F，连结DF，过点C作CM∥DF，连结DM，则

接下来只要过点E画直线将△MBD的面积二等分：取DM的中点为G，连结EG，过点B作BN∥EG交DM于N，连结EN，则EN分△MBD面积为相等的两部分。直线DM、EN 即为所求作的两条直线。

推广：过三角形某一条边上若干个点（或是分布在不同一边上的若干个点）画直线都可以将三角形分割成面积相等的若干部分。