2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(文科)

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设复数z 满足(1+i)z =2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为( )A. 2iB. 2C. −1D. −i2. 设U ={−1,0，1，2}，集合A ={x|x 2<1,x ∈U}，则∁U A =( )A. {0,1，2}B. {−1,1，2}C. {−1,0，2}D. {−1,0，1}3. tan(−17π6)=( )A. √3B. −√3C. −√33D. √334. 已知椭圆kx 2+5y 2=5的一个焦点坐标是F(2,0)，则实数k 的值为( )A. √5B. 5√33C. 53D. 15. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12(a⃗ −b ⃗ ) B. 12(a⃗ +b ⃗ ) C. 12(b⃗ −a ⃗ ) D. 12a⃗ −b ⃗ 6. 某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．如图的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是( )A. 从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长B. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本C. 2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本D. 2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍7. 已知函数y =log a (x −b)的大致图象如图，则幂函数y =x ba 在第一象限的图象可能是( )A.B.C.D.8. 设m ，n 是空间的两条直线，α，β是空间的两个平面，当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知y =f(x)是偶函数，且在R 上有导函数f′(x)，若对∀x ∈(0,1)都有f′(x)>0，则关于函数f(x)的四个判断：①若函数在x =0处有定义，则f′(0)=0；②f(23)<f(−34)；③f(x)是周期函数；④若函数在x =0处有定义，则f(0)=0.其中正确的判断有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx −12，则当x ∈[π6,2π3]时，函数f(x)的值域为( )A. [12,√32]B. [−√3,2]C. [0,1]D. [−12,1]11. 意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中，记载有数列{F n }：F 1=F 2=1，F n =F n−1+F n−2(n ≥2).若将数列{F n }的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n }，则数列{a n }的前100项和为( )A. 100B. 99C. 67D. 6612. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与双曲线的两条渐近线在y 轴左侧交于A 、B 两点，且△ABF 2是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A. 2B. √2C. √3+1D. √3+2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若变量x，y满足约束条件{2x+3y−6≥0x+y−3≤0y−2≥0，则z=3x−y的最大值为______．14.在抗击新冠肺炎期间，甲、乙、丙、丁四名党员志愿者参加社区防控值班．若从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，则甲被选中的概率为______．15.已知正方体的棱长为1，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=2千米，AN=2千米，则线段MN的长度为(1)千米；若∠MPN与角∠BAC互补，记∠MNP=α，两条观光线路PM与PN之和记为y，则把y表示为α的函数为y=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，a3+a5=18，前9项的和S9=99．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=3a n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AB的中点．(Ⅰ)证明：BC1//平面A1CD；(Ⅱ)若△ABC是边长为2的正三角形，且BC=BB1，∠CBB1=60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A−DCA1的体积．19.为响应党的号召，坚决打赢脱贫攻坚战，某地区实行了帮扶单位定点帮扶扶贫村脱贫．为了解该地区贫困户对其所提供的帮扶的满意度，随机调查了40个贫困户，得到贫困户的满意度评分如表：贫困户编号12345678910评分78738192958579846386贫困户编号11121314151617181920评分88869576977888827689贫困户编号21222324252627282930评分79837274916680837482贫困户编号31323334353637383940评分93787581847781768589现按贫困户编号从小到大的顺序分组，用系统抽样法从40名贫困户中抽取容量为10的样本．(Ⅰ)若在第一分段里随机抽到的第一个样本的评分数据为81，记第二和第十个样本的评分数据分别为a，b，请写出a，b的值；(Ⅱ)若10个样本的评分数据分别为92，84，86，78，89，74，83，78，77，89.请你计算所抽到的10个样本的平均数x−和方差s2；(Ⅲ)在(Ⅱ)条件下，若贫困户的满意度评分在(x−−s,x−+s)之间，则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想，用(Ⅱ)中的样本数据，估计在满意度为“A级”的贫困户中随机地抽取2户，所抽到2户的满意度评分均“超过80”的概率．(参考数据：√30≈5.48，√33≈5.74，√35≈5.92)20.已知动点P与点F(1,0)的距离比它到直线l：x+2=0的距离小1．(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；(Ⅱ)设P为直线x=−1上任一点，过点P作曲线C的切线PA，PB，切点分别为A，B，直线PA，PB 与y轴分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n，求证：m与n的乘积为定值．21.设函数f(x)=(1−x2)e x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围．22.在极坐标系中，已知极点为O，点A的极坐标为(4,π3)，动点P满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(Ⅰ)写出动点P的轨迹C的极坐标方程；(Ⅱ)已知直线θ=2π3(ρ∈R)和θ=π6(ρ∈R)与轨迹C分别交于异于极点O的点，并分别记为M、N，点D是线段OA的中点，求出△OMN与△ADM的面积．23.(Ⅰ)已知A=a2+b2+5，B=2(2a−b)(a,b∈R,a≠b)，比较A与B的大小；(Ⅱ)已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1−a)b，(1−b)c，(1−c)a中至少有一个不大于14．答案和解析1.【答案】C【解析】解；∵(1+i)z=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z的虚部为−1，故选：C．根据条件化简复数，即可得到复数的虚部．本题主要考查复数的计算和化简，利用复数的四则运算法则是解决本题的关键，比较基础．2.【答案】B【解析】解：设U={−1,0，1，2}，集合A={x|x2<1,x∈U}={0}，∴∁U A={−1,1，2}，故选：B．化简集合A，求出A的补集即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：tan(−17π6)=tan(−3π+π6)=tanπ6=√33，故选：D．由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用椭圆的标准方程和基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．将椭圆方程化为标准方程，由题意可得焦点在x轴上，由a2−b2=c2，解方程即可得到所求值．【解答】解：椭圆kx 2+5y 2=5的一个焦点坐标是F(2,0)， 可得椭圆方程为x 25k+y 21=1，且c =√5k−1=2，解得k =1．故选：D ．5.【答案】A【解析】解：根据条件：{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1′2(a ⃗ −b ⃗ )．故选：A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而有{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，这样即可解出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．6.【答案】D【解析】解：对于A ：从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确； 对于B ：2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是43.3+50.12=46.7本，正确；对于C ：2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8−15.5=45.3本，正确； 对于D ：2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的60.8+50.1+58.443.3+38.5+15.5≈1.74倍，故D 错误，故选：D ．先阅读题意，再对折线图中的数据进行分析处理，即可得解． 本题考查了阅读能力及对数据的处理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由图象可得0<b <1，a >1，则0<ba <1， 则幂函数y =x ba 在第一象限为增函数，且越来越慢， 故选：B ．根据幂函数和对数函数的图象和性质即可求出．本题考查了对数函数和幂函数的图象和性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：m ，n 是空间的两条直线，α，β是空间的两个平面， 当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”， “m ⊥n ”⇒“n 与α平行、相交或n ⊂α”，∴当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件， 故选：B ．当m ⊂α时，由线面垂直的性质定理得“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，“m ⊥n ”⇒“n 与α平行、相交或n ⊂α”，由此能求出结果．本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意可知f(x)在(0,1)上单调递增， 又f(x)是偶函数，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，故若f(x)在x =0处有定义，则x =0为f(x)的极小值点， 又f(x)在x =0处有导数，故f′(0)=0，A 正确； 由f(x)在(0,1)上单调递增可知f(23)<f(34)，由f(x)是偶函数可知f(−34)=f(34)，故f(23)<f(−34)，B 正确；不妨设f(x)=x 2+1，显然f(x)在(0,1)上单调递增且f(x)是偶函数，符合题目所有的条件， 但f(x)=x 2+1不是周期函数，也不满足f(0)=0，故C 错误，D 错误． 故选：B ．根据f(x)的单调性判断A ，结合单调性和奇偶性判定B ，举反例f(x)=x 2+1判断C ，D ． 本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数奇偶性和单调性应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：f(x)=sin 2x +√3sinxcosx −12 =1−cos2x2+√32sin2x −12=sin(2x −π6)，当x ∈[π6,2π3]时，2x −π6∈[π6,7π6]，可得函数f(x)=sin(2x−π6)∈[−12,1]．故选：D．利用二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简已知等式可得f(x)=sin(2x−π6)，然后由2x−π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的性质可求其值域．本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦函数公式以及正弦函数的性质，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，数列{F n}：F1=F2=1，F n=F n−1+F n−2(n≥2)，则F3=F1+F2=2，F4=F2+F3= 3，F5=F3+F4=5，……若将数列{F n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n}，则数列{a n}的各项依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，则数列{a n}的前100项和S=(1+1+0)×33+1=67；故选：C．根据题意，分析数列{F n}，由此可得数列{a n}的各项，分析其变化的规律，计算可得答案．本题考查数列的求和，涉及归纳推理的应用，注意分析数列{a n}的规律，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：以|F1O|为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在y轴左侧交于A，B两点，且△F2AB是等边三角形．与双曲线的两条渐近线y=±bax相交于A、B两点，可设A(−12c,√32c)，B(−c,−√32c)，由△F2AB为等边三角形，b a =√3，则b2a2=3，c2−a2=3a2，解得e=ca=2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程和A，B的坐标，由△F2AB为等边三角形，可得ab的关系|，再由离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和直角三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：画出实数x ，y 满足约束条件{2x +3y −6≥0x +y −3≤0y −2≥0表示的平面区域如图：目标函数变形为3x −z =y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越小，z 越大．作出目标函数对应的直线L ：y =3x ，由{y =2x +y −3=0可得A(1,2)． 目标函数z =3x −y 线过A(1,2)时，直线的纵截距最小，z 取得最大值为z =1；故答案为：1．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A 时，z 取得最大值． 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．14.【答案】34【解析】解：在抗击新冠肺炎期间，甲、乙、丙、丁四名党员志愿者参加社区防控值班．从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，基本事件总数n =C 43=4，甲被选中包含的基本事件个数m =C 11C 32=3， ∴甲被选中的概率为P =m n =34． 故答案为：34． 从四位志愿者中随机选三人参加夜间防控，基本事件总数n =C 43=4，甲被选中包含的基本事件个数m =C 11C 32=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】√3【解析】解：如图所示，正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是八面体， 且该八面体是两个底面边长为√22， 高为12的四棱锥的侧面积之和， 则四棱锥的侧棱长为l =√(12)2+(12)2=√22， 所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为：S =8×12×√22×√22×sin60°=√3．故答案为：√3．该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八4棱锥，计算该八棱锥的表面积即可．本题考查了棱柱的结构特征与几何体的内接体问题，也考查了空间想象能力与运算求解能力，是中档题． 16.【答案】2√34√3sin(α+30°)【解析】解：①在△AMN 中，由余弦定理，得MN 2=AM 2+AN 2−2AM ⋅ANcos120°=12，解得MN =2√3(千米)；②∵∠MNP =α，∠MPN =60°，∴∠PMN =120°−α，在△PMN 中，由正弦定理，得MN sin∠MPN =PM sinα=PNsin(120∘−α)，∵MN sin∠MPN =2√3sin60°=4，∴PM =4sinα，PN =4sin(120°−α)，∴PM +PN =4sinα+4sin(120°−α)=4(sinα+√32cosα+12sinα) =6sinα+2√3cosα=4√3sin(α+30°)y 表示为α的函数为y =4√3sin(α+30°)．故答案为：2√3；y =4√3sin(α+30°)．①在△AMN 中，利用余弦定理可以求得MN 的值；②由∠MNP =α，得到∠PMN =120°−α，利用正弦定理求出PM +PN 即可．本题考查了解三角形的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，可知∵{a n }是等差数列，∴a3+a5=2a4=18，解得a4=9，S9=(a1+a9)⋅92=9a5=99，解得a5=11，设等差数列{a n}的公差为d，则∴d=a5−a4=11−9=2，a1=a4−3d=9−3×2=3，∴a n=3+2(n−1)=2n+1，n∈N∗．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，b n=3a n=32n+1=3⋅9n=27⋅9n−1，∴数列{b n}是首项为27，公比为9的等比数列．∴T n=27⋅(1−9n)1−9=27⋅(9n−1)8．【解析】本题第(Ⅰ)题先根据等差中项的知识以及求和公式可计算出a4与a5的值，从而可计算出公差d的值，然后计算出首项a1的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第(Ⅱ)题先根据第(Ⅰ)题的结果代入计算并进行转化可发现数列{b n}是首项为27，公比为9的等比数列，再根据等比数列的求和公式可计算出数列{b n}的前n项和T n．本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算．考查了转化与化归思想，定义法，方程思想，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，∵D是AB的中点，E是AC1的中点，∴DE//BC1．又DE⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1//平面A1CD；(Ⅱ)取BC的中点H，连接B1H，∵BC=BB1，∠CBB1=60°，∴△CBB1是等边三角形，得B1H⊥BC．∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴B1H⊥平面ABC，∴B1H是三棱柱的高，且B1H=√3．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴S△ABC=√3．则V A−DCA1=V A1−ADC=13⋅S△ADC⋅√3=13⋅√32⋅√3=12．【解析】(Ⅰ)在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接AC1交CA1于E，由三角形中位线定理可得DE//BC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1//平面A1CD；(Ⅱ)取BC 的中点H ，连接B 1H ，证明B 1H ⊥平面ABC ，得B 1H 是三棱柱的高，且B 1H =√3，再求出三角形ABC 的面积，然后利用等体积法求三棱锥A −DCA 1的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：(1)a =79，b =85．(2)x −=92+84+86+78++89+74+83+78+77+8910=83，s 2=110[(92−83)2+(84−83)2+(86−83)2+(78−83)2+(89−83)2+(74−83)2+(83−83)2+(78−83)2+(77−83)2+(89−83)2]=33，(3)在(2)的条件下s =√33≈5.7，所以评分在(83−5.74,83+5.74).即满意度为“A 级”的贫困户有84，86，78，84，78从中随机抽取2户，共有以下10种可能(84,86)，(84,78)，(84,83)，(84,78)，(86,78)，(86,83)，(86,78)，(78,83)，(78,78)，(83,78)，所以可算得满意度均超过“80分”的概率为310，所以可以估计在满意度为“A 级”的贫困户中随机抽取两户，打分均超过“80”分的概率约为0.3．【解析】(1)利用系统抽样直接写出结果即可．(2)求出均值与方程即可．(3)列出所有的可能情况，求出满意度均超过“80分”的事件数，然后求解概率．本题考查系统抽样的应用，古典概型概率的应用，期望与方差的求法，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵P 点与F(1,0)的距离比它到直线l ：x =−2的距离小1，∴P 点与F(1,0)的距离到直线l ：x =−1的距离相等，∴P 点的轨迹是以F(1,0)为焦点，以l ：x =−1为准线的抛物线，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(Ⅱ)设点P 的坐标为(−1,y 0)，直线AP 的方程为y =k 1(x +1)+y 0，直线BP 的方程为y =k 2(x +1)+y 0．据{y 2=4x y =k 1(x +1)+y 0，得k 1y 2−4y +4k 1+4y 0=0， 所以△=16−4k 1(4k 1+4y 0)=0，得k 12+y 0k 1−1=0．同理，得k 22+y 0k 2−1=0，所以{k 1+k 2=−y 0k 1k 2=−1， 分别令x =0，得m =k 1+y 0，n =k 2+y 0，所以mn=(k1+y0)(k2+y0)=y02+(k1+k2)y0+k1k2=y02−y02−1=−1．【解析】(Ⅰ)判断P点的轨迹是以F(1,0)为焦点，以l：x=−1为准线的抛物线，然后求解即可．(Ⅱ)设点P的坐标为(−1,y0)，直线AP的方程为y=k1(x+1)+y0，直线BP的方程为y=k2(x+1)+y0.联立直线与抛物线方程，求解m，n；推出mn=−1．本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=(1−x2)e x，x∈R，所以f′(x)=(1−2x−x2)e x，令f′(x)=0可知x=−1±√2，当x<−1−√2或x>−1+√2时f′(x)<0，当−1−√2<x<−1+√2时f′(x)>0，所以f(x)在(−∞,−1−√2)，(−1+√2,+∞)上单调递减，在(−1−√2,−1+√2)上单调递增；(2)由题可知f(x)=(1−x)(1+x)e x.下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数ℎ(x)=(1−x)e x，则ℎ′(x)=−xe x<0(x>0)，因此ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，又因为ℎ(0)=1，所以ℎ(x)≤1，所以f(x)=(1+x)ℎ(x)≤x+1≤ax+1；②当0<a<1时，设函数g(x)=e x−x−1，则g′(x)=e x−1>0(x>0)，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，又g(0)=1−0−1=0，所以e x≥x+1．因为当0<x<1时f(x)>(1−x)(1+x)2，又(1−x)(1+x)2−ax−1=x(1−a−x−x2)，∈(0,1)，则(1−x0)(1+x0)2−ax0−1=0，取x0=√5−4a−12所以f(x0)>ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=√5−1∈(0,1)，则f(x0)>(1−x0)(1+x0)2=1≥ax0+1，矛盾；2综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可．(2)化简f(x)=(1−x)(1+x)e x.f(x)≤ax+1，下面对a的范围进行讨论：①当a ≥1时，②当0<a <1时，设函数g(x)=e x −x −1，则g′(x)=e x −1>0(x >0)，推出结论；③当a ≤0时，推出结果，然后得到a 的取值范围．22.【答案】解：(1)设P(ρ,θ)，因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A(4,π3)． ∴Rt △OAP 中有|OA|=4，∠AOP =π3−θ．∴cos(π3−θ)=ρ4故所求极坐标方程为ρ=4cos(π3−θ)．(2)将θ=2π3和θ=π6分别代入ρ=4cos(π3−θ)， 得ρM =2，ρN =2√3，如图所示：故S △OMN =12|OM|⋅|ON|=12ρM ⋅ρN =2√3．又D 是线段OA 的中点，故S △ADM =√3．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)因为A −B =(a 2+b 2+5)−2(2a −b) =a 2+b 2+5−4a +2b =(a −2)2+(b +1)2≥0，所以A ≥B ，当且仅当a =2，b =1时等号成立．(Ⅱ)证明：假设(1−a)b ，(1−b)c ，(1−c)a 三个均大于14，因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以(1−a)，(1−b)，(1−c)∈R +，根据基本不等式，得12<√(1−a)b ≤1−a+b 2， 12<√(1−b)c ≤1−b+c 2，12<√(1−c)a ≤1−c+a2，所以32<1−a+b 2+1−b+c 2+1−c+a 2，出现矛盾，所以假设不成立，即(1−a)b ，(1−b)c ，(1−c)a 中至少有一个不大于14．【解析】(Ⅰ)作差后，配方即可得出A ≥B ；(Ⅱ)利用反证法，假设(1−a)b ，(1−b)c ，(1−c)a 三个均大于14，利用基本不等式可得32<1−a+b 2+1−b+c 2+1−c+a 2，矛盾，进而得证．本题主要考查利用作差法比较大小，以及反证法和基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题．。