抛物线的标准方程及性质
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析
抛物线标准方程与几何性质知识要点精析浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M ；一定点F （即焦点）；一定直线l （即准线）；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比1）② 定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当10<<e 时，表示椭圆；当1>e 时，表示双曲线；当1=e 时，表示抛物线。
④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
二、抛物线标准方程1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。
抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2p 等于焦点到抛物线顶点的距离。
②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。
第11课 抛物线的画法和性质
第十一课 抛物线的画法和性质一．抛物线的定义1．在平面内，与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
2．抛物线的标准方程：从定点F 向定直线l 作垂线，垂足为K ，取KF 的中点O 作为原点，KF 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设|KF |＝p ，则F 点的坐标是 (2p, 0),准线l 的方程是x ＝－2p，设抛物线上任意一点的坐标是M (x , y )，自M 点向准线作垂线，垂足是D ，则|MF |＝|MD |∴ 22y )2p x (+-＝|x ＋2p| 图11－1整理得到抛物线的标准方程为 y 2＝2px . (p >0)二．抛物线的画法 画法1：图11－21．先画出定点F 和定直线l ，按要求画出直角坐标系；2．在图形外画一条射线BC ，在射线BC 上取一点M (M 点为动点)； 3．在BC 反方向上取一点A ，使|AB |＝|OF |，作线段AM ；A B4．以F为圆心，|AM|为半径作圆；5．先后选定A、M点，用“变换”菜单中的“标记向量”功能，标记向量AM，选中直线l，用“变换”菜单中的“平移”功能，将直线l平移；6．平移后的直线与圆相交，定义交点为P、Q；将它们定义为“追踪点”；先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的一部分，同样先后选定Q、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线的另一部分；在射线BC上拖动M点，则P、Q两点的轨迹画出抛物线。
理论根据：P点在以F为圆心，|AM|为半径的圆上，∴|PF|＝|AM|，又将准线l平移了AM的长度，∴P点到准线的距离等于|AM|。
画法2图11－31．先画出定点F和定直线l，按要求画出直角坐标系；2．在直线l上取一点M(M点为动点)；3．连接MF，作线段MF的中垂线；4．过M点作直线l的垂线与MF的中垂线相交于P点，将它定义为追踪点；5．先后选定P、M两点，用“作图”菜单中的“轨迹”功能，得到抛物线；6．在直线l上拖动M点，则P点的轨迹是抛物线理论根据：PM⊥准线l，PM是P点到准线的距离，又|PF|是P点到焦点F的距离，P点在MF的中垂线上，所以|PM|＝|PF|。
抛物线的概念性质几何意义
抛物线的概念性质几何意义抛物线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的概念性质和几何意义。
在本文中，我们将探讨抛物线的这些性质，并详细解释其几何意义。
首先，抛物线可以通过以下的数学定义来描述：抛物线是一个平面曲线，其点到焦点的距离等于点到准线的距离。
这个定义可以形式化为抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。
几何意义上，抛物线具有以下性质：1.对称性：抛物线是关于焦点所在的直线（称为对称轴）对称的。
这意味着，如果我们选择抛物线上的一个点P，并且通过对称轴绘制一条垂直于对称轴的线，那么这条线将穿过抛物线的两个点，其中一个是P的镜像。
这种对称性使得抛物线在几何和物理问题中具有重要的应用。
2.焦点和准线：抛物线的焦点是其特殊的点，它位于对称轴上。
焦点的几何意义是，对于通过焦点的任意直线，该直线与抛物线的两个切点之间距离相等。
这个性质被广泛应用于抛物物镜、卫星天线和汽车大灯等设计中。
3.方程的系数：抛物线方程的系数a、b和c对其形状产生影响。
如果a的值大于0，抛物线将开口向上；如果a的值小于0，抛物线将开口向下。
同时，a的绝对值决定了抛物线的曲率程度，绝对值越大，曲线越陡峭。
通过调整这些系数，我们可以调整抛物线的形状和位置。
4.最值点：抛物线的最值点是其曲线上的最高点（顶点）和最低点（谷底）。
顶点的x坐标可以通过抛物线方程的关键点公式计算，即x=-b/(2a)。
这个点对应于抛物线的对称轴上的点，同时也是其焦点的位置。
5.切线和法线：抛物线上的任意一点P处的切线是通过该点的抛物线曲线的切线，其斜率等于该点处的导数。
法线则是与切线垂直的线。
抛物线具有特殊的性质，即通过顶点的切线和准线平行，通过焦点的切线和准线垂直。
这些性质在物理学中的运动学问题中非常有用。
6.面积和弧长：抛物线上的面积可以通过定积分计算，其具体形式可以根据抛物线方程来确定。
同样，抛物线的弧长也可以通过定积分来计算，其结果是一个复杂的参数方程。
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线及其标准方程 课件
分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发
现点M满足的几何条件吗？
M H
E
mm
F
l
抛物线的定义:
H
在平面内,与一个定点F
和一条定直线l(l不经过点F)
距离相等的点的轨迹叫做抛 l
物线.
准线
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准线.
想一想：定义中当直线l 经过定 点F，则点M的轨迹是什么?
【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦
点坐标和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
解:(1)因为ｐ＝３，故抛物线的焦点坐标为 （ 3，,0）
准线方程为 x 3 .
2
2
(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 p 2, p 4,
2
故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.
d M·
C
焦点
·F
一条经过点F且 垂直于l 的直线
l
·F ······
探究点2 抛物线的标准方程
化 列设建简式点系
以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以
FK的中点O为坐标原点建
立直角坐标系xOy.
· H yd M（x,y） K O··F x
设M（x，y）是抛物线上任意一点，
点M到l的距离为d．
A
的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.
设抛物线的标准方程是
y2 2 px( p 0),
O
.F
x
由已知条件可得，点A的坐标是 （0.5，2.4），代入方程得
2.42 2 p 0.5 ,即p=5.76.
B
(2)
所以，所求抛物线的标准方程是 y2 11.,5焦2x
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的标准方程及性质
知识梳理第十八讲抛物线的方程及性质热身练习1．抛物线y =-x2的焦点坐标为．2．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(-2, 3) ，则它的方程是．3．已知方程为x2 =-2 py( p > 0) 的抛物线上有一点M (m, -3) ，点M 到焦点F 的距离为5，则m 的值为．4．AB 是抛物线y 2 = 2 px( p > 0) 的动弦，且| AB |=a(a > 2 p) ，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离为．1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎛p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛-p, 0⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0,p ⎫2 ⎪⎝⎭F⎛0, -p ⎫2 ⎪⎝⎭ 准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下3．抛物线一些常用结论(1)抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F⎛p,0⎫的距离|PF|＝x0＋p，也称为抛物线的焦半径．2 ⎪2⎝⎭2 ，k 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎪ +(2)y 2＝ax 的焦点坐标为⎛ p , 0⎫，准线方程为 x ＝－a ． 4 ⎪ 4 ⎝ ⎭(3)通径长度为 2p （过抛物线焦点的弦中通径最短）；(4) 设抛物线方程： y 2 = 2 px ，过焦点的直线l : y = k ⎛ x -p ⎫（斜率存在且 k ≠ 0），对应倾斜角2 ⎪⎝⎭为θ，与抛物线交于A (x 1, y 1 ),B (x 2 , y 2 )．⎧ y 2 = 2 px ⎪ 联立方程： ⇒ k 2 ⎛ x - p ⎫ = 2 px ，整理可得： k 2 x 2 - ( 2 + ) + k 2 p 2 = ⎨ y = ⎛ p ⎫ 2 ⎪k p 2p x 0 k x - ⎪⎝ ⎭4⎩⎝⎭ 2（1） x x =p y y= - p 2 ；1 241 2（2） ∠A 1FB 1 = 90︒ ， ∠ANB = 90︒， FN ⊥ AB ；1 12（3）= 为定值； | FA | | FB | p（4）以 AB 为直径的圆和抛物线的准线相切于 N ，以 A 1B 1 为直径的圆与 AB 相切于 F ；k 2 p + 2 p 2k 2 p + 2 p ⎛ 1 ⎫（5） AB = x 1 + x 2 + p = k 2 + p = k 2= 2 p 1 + ⎪ ⎝ ⎭=⎛ 1 ⎫⎛ cos 2θ⎫ 2 p2 p 1 +tan 2θ⎪ = 2 p 1 + sin 2θ⎪ =sin 2θ；1 1 1 p2 p p 2（6） S AOB = ⋅ d O -l ⋅ AB = ⋅ (OF ⋅ sin θ)⋅ AB = ⋅ ⋅ sin θ⋅ =； 2 2 2 2 sin 2θ（7） A ， O ， B 1 三点共线； （8） MN 被抛物线平分．2sin θ一、求抛物线方程的问题【例 1】动圆 M 与定直线 y = 2 相切，且与定圆C ： x 2 + ( y + 3)2= 1相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．例题解析2【例 2】抛物线的焦点在直线 y = 2x + 2 上，且对称轴垂直于 y 轴，则其标准方程是．【例 3】已知抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点(m ,－3),到焦点距离为 5，求 m 的值并写抛物线方程．【例 4】如图，直线 l 1 和 l 2 相交于点 M ，l 1 ⊥ l 2 ，点N ∈l 1．以 A 、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝ ＝3，且|BN |＝6．建立适当的坐标系，求曲线段 C 的方程．【巩固训练】1．抛物线 y = ax 2(a > 0)的准线方程．，|AN |2．已知抛物线 x 2+ 2 py = 0( p > 0) 上的点到它的准线的距离的最小值为 1，求抛物线的焦点坐标2．3．已知点 F (- 1 , 0) ，直线l ：x = 1，点 B 是直线l 上的动点，若过 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF4 4的垂直平分线交于点 M ，则点 M 所在曲线是（）( A ) 圆(B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线4．方程 =| x - y + 3 | 表示的曲线是 （ ）( A ) 圆 (B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线17 2(x + 3)2 + 2( y -1)229 5．求到点 A (-2, 0) 的距离比到直线l : x = 3 的距离小 1 的点 P 的轨迹方程．6．过抛物线 x 2= ay 的焦点 F 作 y 轴的垂线，交抛物线与 A 、B 两点，若| AB |= 6 ，求抛物线的方程．7．已知圆 x 2 + y 2- 6x - 7 = 0 与抛物线的准线相切，求抛物线的标准方程．8．设抛物线 C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为 F ，点 M 在 C 上，|MF |＝5.若以 MF 为直径的圆过点(0，2)， 则 C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或 y 2＝8xB ．y 2＝2x 或 y 2＝8xC ．y 2＝4x 或 y 2＝16xD ．y 2＝2x 或 y 2＝16x二、抛物线的定义的运用及性质【例 5】设 F 为抛物线 y 2= 4x 的焦点（1）点 A ( 2 ,2 )，若点 P 在抛物线上移动，则 PA + PF的最小值是（2）点B ( 2 ,3 )，若点 P (x 0 , y 0 )在抛物线上移动，则 x 0 + PB 的最小值是 ．（3）直线l 1 : 4x - 3y + 6 = 0 、直线l 2 : x = -1 ，若点 P 在抛物线上移动，则 P 到l 1 和l 2 的距离之和的最小值是．（4）A ,B ,C 为该抛物线上三点，若 FA + FB + FC = 0 ，则| FA | + | FB | + | FC |= ．【例 6】设抛物线 y 2= 2x 的焦点为 F ，以 P ( , 0) 为圆心， PF 长为半径作一圆，与抛物线在 x 轴2上方交于 M , N ，则| MF | + | NF | 的值为（）( A ) 8(B ) 18(C ) 2 (D ) 4【例 7】如图所示点 F 是抛物线 y 2= 8x 的焦点，点 A 、 B 分别在抛物线 y 2 = 8x 及圆(x - 2)2+ y 2= 16 的实线部分上运动，且AB 总是平行于 x 轴，则∆FAB 的周长的取值范围是（ ）A ． (6,10)B ． (8,12)C ． [6,8]D ． [8,12]【例 8】AB 为过抛物线 y 2＝2px (p ＞0)焦点 F 的弦，点 A ，B 在抛物线准线上的射影为 A 1，B 1，且 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).求证： (1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)x xp 2 y y ＝－p 2；1 2＝ ， 1 24(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； 1 1 2 (4) ＋ ＝ . |AF | |BF | p【例 9】（1）经过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾角为 π的弦AB ，则|AB|= ．3（2）已知抛物线 x 2= 4 y ，求过抛物线焦点，且长等于 8 的弦所在的直线方程．【例 10】过抛物线 y 2= 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A 、有且仅有一条B 、有且仅有两条C 、有无穷多条D 、不存在【例 11】已知过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 的弦与抛物线交于 A , B 两点，过 A , B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C , D ，则 AC + BD 的最小值为．【例 12】设抛物线 y 2＝2x 的焦点为 F ，过 F 的直线交该抛物线于 A ，B 两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为．【例13】抛物线y2= 2px(p> 0) 的焦点为F，点A、B在此抛物线上，且∠AFB＝90°，弦A B的中点M在其准线上的射影为M′，则|M M′|的最大值为．|AB|【例14】点P 是抛物线y2 = 2x的任意一点，点A(a, 0) ．（1）若a= 2 ，求PA 的最小值，以及此时的点P 的坐标；（2）若PA 取最小值时，点P 与顶点重合，求a 的范围．【巩固训练】1 ．抛物线y2 = 2 px( p > 0) 上有A(x , y ) ，B(x , y ) ，C(x , y ) 三点， F 是它的焦点，若1 12 23 3AF , BF , CF 成等差数列，则（）A．x1, x2 , x3 成等差数列B．x1, x3 , x2 成等差数列C．y1 , y2 , y3 成等差数列D．y1 , y3 , y2 成等差数2．若点A 的坐标为(3,1) ，F 为抛物线y2 = 2x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则| PA | + | PF |取得最小值时点P 的坐标是．3．已知过抛物线y2=2p x(p>0)的焦点的弦AB的两端点为A(x,y),B(x,y),则关系式y1y2的值一定等于．1 1 2 2x1x24．已知点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上，则MA + MF 的最小值为．5．点M (20, 40) ，抛物线y2 = 2 px （p > 0 ）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，| PM | + | PF | 的最小值为41，则p 的值等于-．6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为．7．如图，过抛物线y2 = 2px(p> 0) 的焦点F 作直线交抛物线于A、B 两点，M 为准线l 上任意一点，记∠AMF＝α，∠BMF＝β，∠MFO＝θ，若AM⊥BM，则|α—β|与θ的大小关系为（）30A ． |α- β|> θB ． |α- β|= θC ． |α- β|< θD ．不确定8．设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线y = 2x 2上， l 是 AB 的垂直平分线．1 12 2（1） 当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （2） 当直线l 的斜率为 2 时，求l 在 y 轴上的截距的取值范围．三、抛物线的应用【例 15】一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为 x 2= 2 y (0 ≤ y ≤ 20) ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径 r 的范围为．【例 16】由于洪峰来临，某抛物线形拱桥下游 8 千米处有一救援船只接到命令，要求立即到桥上执行任务，并告知：此时水流速度为 100 米/分钟，拱桥水面跨度为 米，水面以上拱高 10 米，且1 桥下水面上涨的高度与时间 t （分钟）的平方成正比，比例系数为 10，已知救援船只浮出水面部分的宽、高各为 3 米，问该船至少以多大的速度前进，才能顺利通过？（桥宽忽略不计，水速视为匀速）1 2 3 n【例17】设点F是抛物线L：y2=2px(p>0)的焦点，P、P、P、 、P是抛物线L上的n 个不同的点（n≥3,n∈N*）．（1）当p = 2 时，试写出抛物线L 上的三个定点P1 、P2、P3的坐标，从而使得| FP1 | + | FP2| + | FP3|= 6；（2）当n > 3时，若FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ，求证：| FP1| + | FP2 | + | FP3| + + | FP n |=np ；（3）当n > 3时，某同学对（2）的逆命题，即：“若| FP1 | + | FP2 | + | FP3 | + + | FP n |=np ，则FP1 +FP2 +FP3 + +FP n = 0 ．”开展了研究并发现其为假命题．请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：①试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；② 对任意给定的大于3 的正整数n ，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）．2【例 18】给定抛物线C ： y 2= 4x ，F 是C 的焦点，过点 F 的直线l 与C 相交于 A 、B 两点．（1）设l 的斜率为 1，求OA 与OB 得夹角的大小．（2）设 FB = λAF ，若λ∈[4, a ]，求l 在 y 轴上的截距的变化范围．【巩固训练】1．某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高为 4米，在修建桥时，每隔4米需要一支柱支撑，其中最长的支柱长为 米．2．经过抛物线 y 2=2px 的焦点 F 作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于 P 1、P 2 两点， （1）求|P 1P 2|； （2）当θ变化时，求|P 1P 2|的最小值．3．已知两个动点 A 、B 和一个定点 M (x 0 , y 0 )均在抛物线 y = 2 px ( p > 0)上，设 F 为抛物线的焦2⎛ 1 ⎫点，Q 为对称轴上一点，若 QA + AB ⎪ ⋅ AB = 0且 FA ， FM ⎝⎭ ， FB 成等差数列．（1）求OQ 的坐标；（2）若 OQ = 3, FM= 2 ，求 AB 的取值范围．-1．注重抛物线定义的运用．一般的，如果涉及到抛物线上的点与焦点的连线都要根据定义进行 转化． 2．抛物线与椭圆和双曲线之间既有统一又有区别．在解题时经常采取设而不求的方法，计算量 很大，多练习才能熟练应用．1．已知抛物线 x 2+ my = 0 上的点到定点(0, 4) 和到定直线 y = -4的距离相等，则 m =（ ）1 1 A ．；B ． 1616；C ． 16 ；D ． -16．2．若点 P 到点 F (4, 0) 的距离比它到直线 x + 5 = 0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）．A 、 y 2= -16xB 、 y 2= -32xC 、 y 2= 16xx 2 + y 2 =D 、 y 2= 32x3．已知抛物线的顶点在原点，焦点和椭圆．16 81的右焦点重合，则抛物线的标准方程为4．抛物线 y 2= x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为．5．直线 y = (a + 1)x - 1与抛物线 y 2= 8x 有且只有一个公共点，则 a 的值是．6．过抛物线 y 2= 4x 的焦点 F 作倾斜角为 3π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 AB 的长是（）4反思总结课后练习2PF PAAB 4C 8D 2 7．若抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为 10 和 6，则该点横坐标可能为（ ）A 10B 9C 8D 68．抛物线 y 2 = 4mx (m > 0) 的焦点为 F ，点 P 为该抛物线上的动点，又点 A (-m , 0) ，则的最 小值为 ．9． 若 F 是抛物线 y 2= 4x 的焦点，点 P (i = 1, 2, 3,...,10) 在抛物线上，且 + + ... + = ， i 则| P 1F | + | P 2 F | +... + | P 100 F |= . P 1 F P 2 F P 100 F 010．斜率为1的直线过抛物线 y 2= 4x 的焦点，且与抛物线交于两点 A 、 B ．（1）求 AB 的值；（2）将直线 AB 按向量 a = (-2, 0) 平移得直线 m ， N 是 m 上的动点，求 NA ⋅ NB 的最小值．11．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F ( 0,1) ，AC ⋅BD = 0，点E 为y 轴上一点，记∠EFA =α，其中α为锐角．（1）求抛物线Γ方程；（2）如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？。
抛物线及其标准方程课件
小结：1.待定系数法；2.先定位，再定量
请批评指正，谢谢！
抛物线的定义及 标准方程
复习目标：
1.掌握抛物线的定义、几何图形及其标准方程.
2.掌握抛物线的几何性质并能解决简单问题.
3.理解数形结合思想.ຫໍສະໝຸດ 知识要求：知识点 定义 标准方程 简单的几何性质
命题形式：
了解
理解 掌握 √（文） √（理） √（文） √（理） √（文） √（理）
在高考中既有以考查抛物线的概念与几何性质等基础知识为主 的选择题、填空题，又有结合抛物线的概念与性质、直线与抛物线 位置关系，以考查推理、运算以及应用数学知识解决问题的能力为 主的综合题。
抛物线的定义：
平面内与一个定点F的距离和一条定直 线l的距离的相等的点的轨迹叫抛物线。定 点F叫抛物线的焦点。直线l叫做抛物线的准 线。
抛物线的标准方程及几何性质：
标准方程
y 2 px( p 0)
2 2
x 2 2 py( p 0) x 2 2 py( p 0)
y 2 px( p 0)
题型二：抛物线的标准方程与性质
例2. 一抛物线拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽 度4m，若水面下降1m后，则水面宽为（ ）. A. 6m B. 2 6m C.
4.5m
D. 9m
相关练习： 3. 在矩形ABCD中，AB=1,AC=2,O为AC 的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线的顶点，点B、D在抛物线上， 在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影 部分的概率为多少？（图见黑板） 4.抛物线 y 24 ax(a 0)上有一点M，它 的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛 物线的方程为： .
p的几何意义:焦点F到准线l 的距离 顶点 对称轴
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抛物线的标准方程及性质2018/11/25
题型一、抛物线的标准方程：
例题：
1、 顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 _______
2、 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点)3,(mP到焦点的距离为5，则抛物线方程为
3、 以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为
4、 点M与点F(4,0)的距离比它到直线:50x的距离小1,则点M的轨迹方程是 _______
5、 抛物线xy2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _______
练习：
1、 抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,点(－5,25)到焦点距离是6,则抛物线的方程为 _______
2、 顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程是 _______
3、 已知圆07622xyx，与抛物线)0(22ppxy的准线相切，则p ________
4、 若点A的坐标是（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值
的M的坐标为 _______
题型二、抛物线性质：
例题：
1、 抛物线xy122截直线12xy所得弦长等于
2、 抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________
3、 如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322xxy没有交点，那么实数a的取值范围是
4、 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于23，则这抛物
线的方程是
练习：
1、 过A（－1，1），且与抛物线22yx有一个公共点的直线方程为
2、 边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________
3、 若直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则线段AB
的长
4、 过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q平分，则AB所在直线方程是
题型三、抛物线的应用
例题：
1、 已知圆2290xyx与顶点原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点，△AOB的垂心恰为抛
物线的焦点，求抛物线C的方程。
2、已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．
3、过抛物线22yx的顶点作互相垂直的二弦OA、OB，证明：AB与x轴的交点为定点。
4、已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线pxy22上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F
重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.