最大公约数和最小公倍数应用题
最大公约数与最小公倍数应用
最大公约数与最小公倍数应用（一）一、知识要点：1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。
2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。
例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
3、辗转相除法二、热点考题：例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
（运用性质2）练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数。
例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11，求这两个自然数。
”例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。
再由[a，b，c]=120知， a只能是60或120。
[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
习题四1．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。
小学五年级数学最大公约数和最小公倍数 应用题
小学五年级数学最大公约数和最小公倍数应用题1.一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是多少厘米？每个正方形的面积是多少平方厘米？可以裁多少个这样的正方形？解：首先求出96和60的最大公约数，即24.所以可以将纸张裁成4行和2列，每个小正方形的边长为24厘米，面积为576平方厘米。
一共可以裁10个这样的正方形。
2.把若干个长12厘米、宽9厘米的长方形拼成一个正方形，正方形边长至少是多少厘米？至少需要多少个这样的长方形？解：首先求出12和9的最大公约数，即3.所以每个小长方形的面积为108平方厘米。
要拼成正方形，每条边的长度必须相等，因此正方形的面积为若干个小长方形的面积之和。
设正方形边长为x，则有x^2 = n × 108，其中n为至少需要的小长方形个数。
将108分解质因数得到2^2 × 3^3，则x^2 = 2^2 × 3^3 × n。
因为x是整数，所以n必须是完全平方数，且至少为4.因此n的取值为4、9、16、25.对应的x分别为12、18、24、30.因为要求正方形的边长至少是多少，所以取最小值，即正方形边长为18厘米，需要9个小长方形。
3.___、___都爱在图书馆看书，___每4天去一次，___每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？解：___和___在相遇时，一定是在他们各自的“第几次去图书馆”的倍数相同的那一天相遇的。
设这个倍数为k，则___去图书馆的次数为4k，___去图书馆的次数为6k。
下一次相遇时，他们各自去图书馆的次数又必须是相同的倍数。
因此，下一次相遇时，___去图书馆的次数为8k，___去图书馆的次数为12k。
两次相遇之间的时间间隔为8k-4k=4k天。
因为要求至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇，所以k的取值应该是大于1的最小整数。
五年级 最大公因数 最小公倍数 培优训练(较高要求)
2 23 3 课题：五年级 最大公约数与最小公倍数 应用基础训练1、 求下列各数的最大公约数和最小公倍数。
（1）36和48 （2）24、36和482、已知甲数=2 ×3×5，乙数 =2 ×3 ×7，求甲乙两数的最大公约数和最小公倍数。
3、把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数分别填在下面的九个方框里，使以下等式成立：□□×□□＝□□×□□□＝36344、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。
12，18，33，35，36，65，77，104．应用题1、有四个人，他们的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积等于43680，则这四个人中年龄最小的是几岁？2、王老师带学生去植树，学生恰好平均分成三组，如果他们共植树638棵，且老师和学生植树棵数相同，问一共有多少名学生？每人植树多少棵？（全班人数接近60人）3、2160与一个自然数A 相乘的积恰好是某一个自然数的平方，问A 最小是多少？当A 最小时，这个自然数的平方是多少？4、有三个自然数A，B，C，已知A×B=36，B×C=108，A×C=48，则这三个自然数的和是多少？5、电子钟每9分钟亮一次灯，整点响铃，12点既亮灯又响铃以后，下次在几点既响铃又亮灯？6、有36支铅笔和40本练习本，平均奖给若干个三好学生，结果铅笔多出一支，练习本差2本，获奖的学生有多少人？7、某班学生自制学具，把长144厘米、宽48厘米、高32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和块数（锯完之后原木料没有剩余）。
8、某班学生人数在60---70之间，如果分成每8人一个小组，那么有一个小组多5人；如果分成每12人一个小组，那么有3个小组各少一人。
求这个班的学生人数。
思考题：有若干名学生上体育课，内容是学习篮球、排球和足球。
规定每二人合用一只排球，每三人合用一只足球，每四人合用一只篮球，共用了26只球。
奥数最大公约数与最小公倍 数例题、练习及答案
最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1．通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。
2．通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。
3．培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。
教学过程：一、基本概念知识1.公约数和最大公约数①如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
②如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。
自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。
（8，12）=4，（6，9，15）=3。
2.公倍数和最小公倍数 ③如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，… 18的倍数有：18，36，54，72，90，…自然数的最小公倍数通常用符号[]表示，例如12和18的公倍数有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
[8，12]=24，[6，9，15]=90。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1）必须每次都用个数的公约数去除；（2）一直除到个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。
求个数的最小公倍数：（1）必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3）个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。
最大公约数和最小公倍数试题
最大公约数和最小公倍数试题一、选择题：1. 24和36的最大公约数是：A. 12B. 6C. 24D. 182. 36和54的最小公倍数是：A. 108B. 72C. 216D. 543. 15和25的最大公约数是：A. 3B. 5C. 15D. 14. 48和60的最小公倍数是：B. 240C. 120D. 6005. 若a和b的最大公约数为12，最小公倍数为180，则a和b的值分别为：A. 72, 180B. 12, 180C. 12, 15D. 72, 15二、填空题：1. 12和18的最大公约数为______。
2. 15和20的最小公倍数为______。
3. 64和96的最大公约数为______。
4. 25和30的最小公倍数为______。
5. 35和42的最大公约数为______。
三、解答题：1. 某村庄的居民用木材修建了一条长廊，长度为96米。
其中，每隔16米处设有一个支撑柱。
这条长廊最少需要多少根支撑柱？为什么？我们需要找到长廊长度96米和每隔16米一个支撑柱之间的最大公约数。
首先，96除以16得到6，所以96和16的最大公约数为16。
因此，长廊最少需要16根支撑柱，每隔16米放置一根。
这是因为16是96的因数，用16米长度去测量96米长的长廊时，可以整除，无需额外的支撑柱。
2. 小明家有3盒糖和4盒巧克力，小红家有5盒糖和6盒巧克力。
小明和小红想平分这些糖和巧克力，每个人得到的数量应该是最多的。
他们至少需要多少盒糖和巧克力？答：我们需要找到3、4、5、6这几个数字的最小公倍数。
首先，我们可以列出它们的倍数：3的倍数：3, 6, 9, 12, 15, 18, ...4的倍数：4, 8, 12, 16, 20, ...5的倍数：5, 10, 15, 20, 25, ...6的倍数：6, 12, 18, 24, 30, ...从中可以看到，它们的最小公倍数是12。
所以小明和小红至少需要12盒糖和12盒巧克力，每个人平分得到3盒糖和3盒巧克力。
分数问题—专题03《分数的最大公约数和最小公倍数》2020年通用版小升初数学冲A提高集训(解析版)
2020年通用版小升初数学冲A提高集训分数问题—专题03《分数的最大公约数和最小公倍数》一．选择题1．（2018•长沙）一个班不足50人，现大扫除，其中12扫地，14摆桌椅，15擦玻璃，这个班没有参加大扫除的人数有()人．A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】12、14、15都是最简形式，所以这个班的人数是2、4和5的最小公倍数的倍数，2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1111245---，再根据分数乘法的意义即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1111124520---=，当总人数是20时：没参加大扫除的有：120120⨯=（人），当总人数是40时：没参加大扫除的有：140220⨯=（人），答：没参加大扫除的有1或2人．故选：D．2．（2013•黔西县）六（1）班的学生数在30~60人之间，其中的23喜爱跳绳，58的同学喜爱跳皮筋，六（1）班有()人．A．35 B．42 C．60 D．48【分析】因为六（1）班的学生数在30~60人之间，且其中的23喜爱跳绳，58的同学喜爱跳皮筋，说明这个班的人数必须是3和8的公倍数，3和8是互质数，最小公倍数是3824⨯=，24的倍数也是3和8的公倍数，24248⨯=，24372⨯=就不符合要求了．【解答】解：3和8的最小公倍数是：3824⨯=，在30~60人之间且是3和8的倍数的只能是24248⨯=，所以这个班的人数是48人．故选：D．3．如果六（2）班有19的人参加书法兴趣小组，16的人参加武术兴趣小组（每人只参加一个小组），那么下列说法中不正确的是()A．参加书法组的不可能是5人B．六（2）班的总人数可能是45人C．六（2）班的总人数可能是54人D．参加书法、武术组的总人数可能是10人【分析】由于有19的人参加书法兴趣小组，16的人参加武术兴趣小组，所以总人数能同时被6和9整除．即总人数应是6和9的公倍数．据此对各选项的内容进行分析即能得出正确选项．【解答】解：由题意可知，总人数能同时被6和9整除，即总人数应是6和9的公倍数；选项A，如果参加书法小组的人数是5人，则总人数有15459÷=人，45不能被6整除，所以参加书法组的不可能是5人的说法正确；选项B，由于45不能被6整除，所以总人数可能是45人说法错误；选项C，由于54能被6和9整除，所以总人数可能是54人说法正确；选项D，6和9的公倍数是18，如果总人数是18人，则参加书法小组的有2人，武术小组的有3人，共5人；如果总人数有36人，则参加书法小组的有4人，武术小组的6人，4610+=人，所以参加书法、武术组的总人数可能是10人说法正确．故选：B．二．填空题4．（2019•长沙）有些分数分别除以528、1556、1120所得的三个商都是整数，那么所有这样的分数中最小的一个是1264．【分析】根据题意：这些分数中最小的分数的分母应该是28、56、20的最大公约数，分子是5、15、21的最小公倍数．【解答】解：20225=⨯⨯，562227=⨯⨯⨯，28227=⨯⨯，所以20、56、28的最大的公约数是224⨯=；1535=⨯， 2137=⨯，所以5、15、21的最小公倍数是357105⨯⨯=； 所以这样的分数中最小的是1054即1264；故答案为：1264．5．（2018春•山东月考）青蛙与小兔进行跳跃比赛，每秒都跳一次，青蛙每次跳229分米，小兔每次跳3211分米．从起点开始，每隔127分米在地面上画一个白色标记，哪只动物先踩上白色标记就赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了 25 分米．【分析】青蛙踩到白色标记时已跳的行程应该是229与127的“最小公倍数” 37806063=，即跳了37802227639÷=次踩到白色标记，小兔踩到气球时已跳的行程应该是3211和127的“最小公倍数”57757577=，即跳了577532337711÷=次踩到白色标记．经过比较可知，青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是32272511⨯=分米．【解答】解：青蛙：229与127的“最小公倍数”60，即跳了2602279÷=次踩到白色标记，小兔：3211和127的“最小公倍数”75，即跳了37523311÷=次白色标记．因为6075<，所以青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是32272511⨯=（分米）答：青蛙先踩上白色标记赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了25分米． 故答案为：25．6．（2018秋•宿豫区校级期中）小明的书架上放着一些书，书的本书在100到150本之间，其中49是故事书，14是科技书，书架上放着 108或144 本书． 【分析】由于书本的本数是整数，所以总本数就是49和14两个分率的分母的公倍数，由此找出9和4在100~150之间的公倍数即可求解．【解答】解：总本数应是9和4的公倍数； 9436⨯=363108⨯=（页） 364144⨯=（页）所以总页数可能是108页，也可能是144页． 故答案为：108或144．7．（2015•内江模拟）小兰的全家都很支持她收集各国的纪念币，目前她收集的纪念币有119是英国发行的，18是美国发行的，34是中国发行的，此外还有多于20枚且少于25枚是其他国家发行的．那么小兰现在共有 304 枚纪念币．【分析】根据题意，她收集的纪念币有119是英国发行的，说明总数能被19整除，18是美国发行的，34是中国发行的，说明总数能被8整除；则总数是19和8的公倍数，因为19和8互质，所以最小公倍数是198152⨯=，另外余下占比率是1131111984152---=，具体数量多于20枚且少于25枚，若总数是152则余下的其他国家发行数量是11枚，不符合题意，若总数是1522304⨯=枚，则余下的数是1130422152⨯=枚，在20和25之间，符合题意；据此得解． 【解答】解：19、8和4的最小公倍数是198152⨯=另外余下占比率是1131111984152---=11152222152⨯⨯=（枚）202225<<，符合题意； 1522304⨯=（枚)答：小兰现在共有304枚纪念币． 故答案为：304．8．（2014秋•黄山月考）一个分数的分子比分母小16，约分后是59，原分数是 2036．【分析】根据题意一个分数的分子比分母小16，可设分子是x ，那么分母为16x +，即可得到一个等式，求出未知数后再代入即可得到答案．【解答】解：设这个是分数的分子是x ，那么分母为16x +， 5169x x =+95(16)x x =⨯+ 9580x x =+ 480x = 20x =那么分母为201636+=， 答：这个分数为2036． 故答案为：2036．9．（2012秋•雁江区期末）有甲、乙两个小组去青年林参加义务植树活动，甲组植树棵数的78恰好是乙组植树棵数的16，那么，甲、乙两组至少共植树 50 棵． 【分析】要求甲、乙两组至少共植树多少棵，就要使每组的棵数最少，因此甲组植树棵数最少是8棵，那么乙组植树棵数为7184286⨯÷=（棵），进一步解决问题．【解答】解：因为甲组植树棵数最少是8棵，则乙组植树棵数为： 71886⨯÷， 76=⨯，42=（棵）；甲、乙两组至少共植树： 84250+=（棵），答：甲、乙两组至少共植树50棵． 故答案为：50．10．（2012•四川模拟）甲乙两数是非零的自然数，如果甲数的512恰好是乙数的16，那么甲乙两数之积的最小值是 10 ．【分析】甲乙两数是非零的自然数，甲数和乙数的关系式是：甲数51126⨯÷=乙数，即：甲数52⨯=乙数，当甲数是2时，乙数是5，两数最小，乘积为：2510⨯=． 【解答】解：由题意可知：甲数51126⨯÷=乙数，即：甲数52⨯=乙数，当甲数为2时， 5252⨯=，2510⨯=，故答案为：10．11．（2011•西城区校级自主招生）在甲、乙、丙三种溶液，分别为334千克，213千克，317千克，现在将它们分别放入小瓶中，使得每个小瓶的溶液重量相等，至少可以装 115 瓶．【分析】31531534484==，2514013384==，31012017784==，然后求出315、140和120的最大公约数，进而得出每个小瓶最多装多少千克，然后进行解答即可； 【解答】解：31531534484==， 2514013384==， 31012017784==， 3153357=⨯⨯⨯， 1402257=⨯⨯⨯， 12022235=⨯⨯⨯⨯，最大公约数是5，所以1小瓶的溶液重量584， 至少可以装：3235(311)43784++÷31514012058484++=÷5755=÷ 115=（瓶）；故答案为：115． 12．（2011•长春模拟）用514、78和1120分别去除某分数，所得的商是整数，这个分数最小是 1052 ．【分析】用514、78和1120分别去除某分数，也就是用某分数除以这三个分数，所得的商是整数，这个分数最小，也就是要求5、7、21的最小公倍数做分子，求14、8、20的最大公因数做分母． 【解答】解：2137=⨯，5、7、21的最小公倍数375105⨯⨯=， 1427=⨯， 8222=⨯⨯， 20225=⨯⨯，14、8、20的最大公因数是2， 故答案为：1052．三．应用题13．小红收集了一些画片，不到30张，她2张2张地数多1张，3张3张地数也多1张，4张4张地数还是多1张．小红收集了多少张画片？【分析】求小红收集了多少张画片，就相当于求2、3、4的公倍数加上1；据此解答即可． 【解答】解：4是2的倍数， 所以，4312⨯=（张) 12113+=（张)，符合要求， 122125⨯+=（张)，符合要求；答：小红收集了12张或25张画片． 四．解答题14．（2018•厦门模拟）用528、1556、1120分别去除某一个分数，所得的商都是整数．这个分数最小是几？【分析】依题意，设所求最小分数为M N ，则528M a N ÷=，1556M b N ÷=，1120M c N ÷=，即285M a N ⨯=，5615M b N ⨯=，2021M c N ⨯=，其中a ，b ，c 为整数．因为M N 是最小值，且a ，b ，c 是整数，所以M 是5，15，21的最小公倍数，N 是28，56，20的最大公约数，因此，符合条件的最小分数：10512644M N== 【解答】解：设最小分数为M N ，则528M a N ÷=，1556M b N ÷=，1120M cN ÷=即285M a N ⨯=，5615M b N ⨯=，2021M c N ⨯= 因为MN 是最小值，且a ，b ，c 是整数．所以M 是5，15，21的最小公倍数，N 是28，56，20的最大公约数． 5，15，21的最小公倍数是105，28、56、20的最大公约数是4． 最小分数：10512644M N== 答：这个分数最小是1264．15．（2014•台湾模拟）把100个人分成四组，第一组人数是第二组人数的113倍，第一组人数是第三组的114倍，那么第四组有多少人？【分析】题中两个分数的单位“1”不同，但它们都与“一队人数”有关系，所以我们把“第一队的人数”看作单位“1”，分别求出二队、三队及三个队占“第一队人数”的几分之几，进而推断出第四队有多少人．【解答】解：第二队人数占第一队人数的131134÷=；第三队人数占第一队人数的141145÷=；三个队的总人数占第一队人数的345114520++=；由于四个队的人数和为100人，第一队的人数就只能是20，否则总人数就超过了100人；所以第四队的人数：51100204920-⨯=（人）； 答：那么第四组有49人．16．（2012•长清区校级模拟）某工地上有两根铁丝，一根长2.5米，另一根长133米，现在要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每段最长有几米？【分析】先把一根长2.5米化成假分数是52，另一根长133米化成假分数是103，再分别求出分母的最小公倍数是236⨯=，分子的最大公因数是5，即可知道每段最长米数是56米，据此解答． 【解答】解：2.5米52=米， 133米103=米，分母2、3的最小公倍数是236⨯=， 分子5、10的最大公因数是5， 即可知道每段最长米数是56米，答：每段最长56米．17．新华小学五年级一班的人数不超过60人，在社团活动中，有13的同学参加美术社团，有27的同学参加英语社团，还有314的人参加信息技术社团，请问五年级一班共有多少名同学？ 【分析】根据题意，可得五年级一班的学生人数是3、7、14的公倍数，然后求出3、7、14的最小公倍数，再根据新华小学五年级一班的人数不超过60人，求出五年级一班共有多少名同学即可． 【解答】解：根据题意，可得五年级一班的学生人数是3、7、14的公倍数， 因为3、7、14的最小公倍数是： 37242⨯⨯=，所以五年级一班的学生人数是42人、84人、126人⋯， 又因为五年级一班的人数不超过60人， 所以五年级一班共有42名同学． 答：五年级一班共有42名同学．18．爱华中学六（1）班学生总人数不超过60人，班级的每位同学都报名参加了一个兴趣活动班．已知班级同学有17的学生参加了美术兴趣班、13的学生参加了棋类兴趣班、12的学生参加了体育兴趣班，那么六（1）班共有学生多少人？报名参加美术兴趣班的学生有几人？【分析】班级人数为整数，因此考虑参加各个兴趣班的学生占比的分母的最小公倍数，7、3、2的最小公倍数是73242⨯⨯=，如果是42的2倍就是84了，而题目提示“总人数不超过60人”，因此42人即是班级人数，其他据此解答即可． 【解答】解： 1114173242++=，缺少的142报了其他兴趣班．因为班级人数只能是整数，这个班级的人数不超过60人， 所以这个班级的人数就是7、3、2的最小公倍数42人．所以报名参加美术兴趣班的学生有： 14267⨯=（人)．答：六（1）班共有学生42人，报名参加美术兴趣班的学生有6人． 19．一个分数分别除以23，59，715，所得的商都是整数．这个分数最小是几？ 【分析】根据题意：这个最小的分数的分母应该是3、9、15的最大公约数，分子是2、5、7的最小公倍数． 【解答】解：313=⨯， 91933=⨯=⨯， 1511535=⨯=⨯，所以3、9、15的最大公约数是3；2、5、7三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是： 25770⨯⨯=那么这个分数最小是703．20．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳12米，黄鼠狼每次跳13米，它们每秒钟只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔1415米设有一个陷阱．当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了 7 米． 【分析】狐狸的速度是：115230=，黄鼠狼的速度是110330=，陷阱的距离是14281530=；再分别找出15，28以及10和28的最小公倍数，进而求解． 【解答】解：狐狸的速度是：115230=米， 黄鼠狼的速度是110330=米， 陷阱的距离是14281530=米； 分子15，28的最小公倍数是420； 10和28的最小公倍数是140；当黄鼠狼跳14030时，掉入陷井，此时各跳了14次，狐狸这时跳了7米． 11472⨯=（米）；答：当黄鼠狼掉入陷阱时，狐狸跳了7米． 故答案为：7．21．袋鼠和兔子进行跳跃比赛，袋鼠每次跳跃142米，兔子每次跳跃324米，他们每秒都只跳一次．比赛途中，从起点开始，每隔3128米设有一个气球，当他们之中的一个先踩到气球，则比赛就算结束，先踩到者为胜．这时，另一个跳跃了多少米？ 【分析】兔子踩到气球时已跳的行程应该是324与12 38的“最小公倍数” 994，即跳了9911944÷=次踩到气球，袋鼠踩到气球时已跳的行程应该是142和3128的“最小公倍数” 992，即跳了9991122÷=次踩到气球． 经过比较可知，兔子先踩到气球，这时袋鼠已跳的行程是14940.52⨯=米． 【解答】解：兔子：324与12 38的“最小公倍数” 994，即跳了9911944÷=次踩到气球， 袋鼠：142和3128的“最小公倍数” 992，即跳了9991122÷=次踩到气球． 因为999942<，所以兔子先踩到气球，这时袋鼠已跳的行程是14940.52⨯=米．22．六（1）班有50名学生，一次数学竞赛中，获奖的男生是参赛男生的15，获奖的女生是参赛女生的15，问六（1）班获奖的男女生共几人？【分析】参赛男生、女生人数必须是5的倍数，男生5人参赛，女生就有45人参赛，男生10人参赛，女生就有40人参赛，男生15人参赛，女生就有35人参赛，男生有20人参赛，女生就有30人参赛，男生25人参赛，女生也有25人参赛，男生30人参赛，女生就有20人参赛，男生有35人参赛，女生就有15人参赛，男生有40人参赛，女生就有10人参赛，男生有45人参赛，女生就有5人参赛．不管哪种情况，所求出的男女生获奖总人数都是150105⨯=人． 【解答】解：150105⨯=（人）；答：六（1）班获奖的男女生共10人．23．语文老师统计学生读世界名著的情况．全班学生中有12读了一本，15读了两本，18读了三本，110读了四本，这个班学生不超过50人，全班学生中一本名著也没有读的有多少人？【分析】由题意得，在本班不超过50人的情况下，要满足12，15，18，110的学生是整数，则这个数就是2，5，8，10的公倍数，且小于50，这个数是25840⨯⨯=，因此学生有40人．140202⨯=（人）（读了一本），14085⨯=（人）（读了两本），14058⨯=（人）（读了三本），140410⨯=（人）（读了四本），所以共有：2085437+++=人读了名著，一本名著也没读的有：40373-=人．【解答】解：2，5，8，10的最小公倍数是40，即学生数．140202⨯=（人），14085⨯=（人），14058⨯=（人），140410⨯=（人）；40(20854)-+++4037=-3=（人）．答：一本名著也没读的有3人．24．从前有一个财主，他有三个儿子．他晚年写好了遗嘱：“我死后，11匹千里马留给三个儿子：老大负担重，分得12；老二家里比较穷，分得14；老三还小，就分16．”他死后，三个儿子为分马的事犯难了．你能帮他们分马吗？【分析】由于按11匹马进行计算的话，结果不是整数，而马的匹数只能是整数，又2，4，6的最小公倍数是12，1111124612++=，所以我们可按12匹马进行计算． 【解答】解：2，4，6的最小公倍数是12，我们可以按12匹马进行计算： 老大分得了11262⨯=（匹）； 老二分得了11234⨯=（匹）； 老三分得了11226⨯=（匹）；63211++=（匹）；所以这样正好将马分完．答：可以分给老大6匹，老二3匹，老三2匹．。
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
最大公约数和最小公倍数
最大公约数和最小公倍数1．有一级茶叶96克，二级茶叶156克，三级茶叶240克，价值相等．现将这三种茶叶分别等分装袋（均为整数克），每袋价值相等，要使每袋价值最低应如何装袋？2．a、b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a与b．3．两个数的积是6912，最大公约数是24，求：（1）它们的最小公倍数；（2）满足已知条件的自然数是哪几组？4．甲、乙、丙三个学生定期向某老师求教，甲每4天去一次，乙每6天去一次，丙每9天去一次，假如这一次他们三人是3月23日都在那个老师家见面，那么下一次三人都在那个老师家见面的时刻是几月几日？5．求被5除余2，被6除余3，被7除4的大于1000、小于1500的所有自然数．6．某个数与36的最大公约数是12，与36的最小公倍数是180，求那个数．7．有三个自然数a、b、c，a与b的最大公约数是2；b和c的最大公约数是4；a和c的最大公约数是6；a、b、c三个数的最小公倍数是60，求这三个数的最小的和是多少？仅供参考：1．三种数量不等的茶叶价值相等，等分装袋后，每袋价值仍相等，由于每种茶叶的总价值相等，每袋价值也要相等，因此这三种茶叶分装的袋数也一定相同．为了使每袋价值最低，就应使袋数尽可能多，因此，每种茶叶应装的袋数是96，156，240的最大公约数．（96，156，240）=4×3=1296÷12=8，156÷12=13，240÷12=20因此三种茶叶各自等分成12袋，并依次装8克，13克，20克．2．因为（a，b）=12=22×3，因此a和b只有质因数2和3，又因为a 有8个约数，8=2×2×2=2×4=8×1，因此a=23×3=24，同理b有9个约数，9=3×3=9×1，b=22×32=36．3．（1）因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的积，因此这两个数的最小公倍数是6912÷24=288．（2）因为两个数的最大公倍数除以它们的最大公约数等于这两个数分别除以它们的最大公约数所得商的乘积，且得到的这两个商是互质数．288÷24=12，12只能分解成12×1和4×3两组质因数的积，因此满足条件的有两组：24×12=288，24×1=24；24×4=96，24×3=72．即这两组数为288和24，96和72．4．他们下一次都在那个老师家见面的天数一定是4，6和9的最小公倍数．[4，6，9]≈36，通过36天，他们三人又要见面，那么3月23日开始，又通过36天，是4月28日，因此下一次三人都在那个老师家见面的时刻是4月28日．5．那个数被5除余2，被6除余3，被7除余4，尽管余数不同，但假如那个数加上3以后，恰好能被5，6，7整除，也确实是说符合被5除余2，被6除余3，被7除余4的数等于5，6，7的公倍数减去3．[5，6，7]=21 0，符合条件的数可表示为210m-3，m是自然数．又因为所求数在1000到1500之间，当m=5时210×5-3=1047；当m=6时，210×6-3=1257；当m= 7时，210×7-3=1467．因此所求的数为1047，1257，1467．6．设所求数为a，已知（a，36）=12，有a=12n，n是自然数．又因为36=12×3，因此n与3互质，又已知[a，36]=180，180=12×3×5，因此n= 5，故a=12×5=60．事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
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最大公约数和最小公倍数应用题
应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。 解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。 例 １、 有三根铁丝，一佷长 １８米，一根长 ２４米，一根长 ３０米。现在要把它们截成同样长的小段。每段 最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 截成的小段一定是 １８、２４、３０的最大公约数。先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。 （１８、２４、３０）＝ ６ （１８＋２４）＋÷３６０＝１２段 例 ２、 一张长方形纸，长 ６０厘米，宽 ３６厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完 后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？ 要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正 方形边长一定是 ６０和 ３６的最大公约数。 （３６、６０）＝ １２ （６０÷１２）×（３６÷１１２５个） ＝ 例 ３、 用 ９６朵红玫瑰花和 ７２朵白玫瑰花做花束。 如每个花束里的红玫瑰花的朵数相花？ 要把 ９６朵红玫瑰花和 ７２朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定 是 ９６和 ７２的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是 ９６和 ７２的最大公约数＞ １、 最多可以做多少个花束 （９６、７２）＝ ２４ ２、 每个花束里有几朵红玫瑰花 ９６÷２４４朵＝ ３、 每个花束里有几朵白玫瑰花 ７２÷２４３朵＝ ４、 每个花束里最少有几朵花 ４＋＝３７朵 例 ４、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔 ５分钟发车一次，第二路车每隔 １０分钟发车一次， 第三路车每隔 ６分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？ 这个时间一定是 ５的倍数、 １０的倍数、 ６的倍数，也就是说是 ５、１０和 ６的公倍数，“最少多少时间”， 那么，一定是 ５、１０、６的最小公倍数。 ［５、１０、６］＝ ３０ 例 ５、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 ３个；第二道工序每个工人每小时 可完 １２个；第三道工序每个工人每小时可完成 ５个。要使流水线能正常生产， 各道工序每小时至少安适几 个工人最合理？ 安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工 序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小 公倍数。 １、 在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？ ［３、１２、５］＝ ６０
最大公约数和最小公倍数应用题
应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。 解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。 例 １、 有三根铁丝，一佷长 １８米，一根长 ２４米，一根长 ３０米。现在要把它们截成同样长的小段。每段 最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 截成的小段一定是 １８、２４、３０的最大公约数。先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。 （１８、２４、３０）＝ ６ （１８＋２４）＋÷３６０＝１２段 例 ２、 一张长方形纸，长 ６０厘米，宽 ３６厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完 后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？ 要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正 方形边长一定是 ６０和 ３６的最大公约数。 （３６、６０）＝ １２ （６０÷１２）×（３６÷１１２５个） ＝ 例 ３、 用 ９６朵红玫瑰花和 ７２朵白玫瑰花做花束。 如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同， 白玫瑰花的朵数也相同， 最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？ 要把 ９６朵红玫瑰花和 ７２朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定 是 ９６和 ７２的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是 ９６和 ７２的最大公约数＞ １、 最多可以做多少个花束 （９６、７２）＝ ２４ ２、 每个花束里有几朵红玫瑰花 ９６÷２４４朵＝ ３、 每个花束里有几朵白玫瑰花 ７２÷２４３朵＝ ４、 每个花束里最少有几朵花 ４＋＝３７朵 例 ４、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔 ５分钟发车一次，第二路车每隔 １０分钟发车一次， 第三路车每隔 ６分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？ 这个时间一定是 ５的倍数、 １０的倍数、 ６的倍数，也就是说是 ５、１０和 ６的公倍数，“最少多少时间”， 那么，一定是 ５、１０、６的最小公倍数。 ［５、１０、６］＝ ３０ 例 ５、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成 ３个；第二道工序每个工人每小时 可完 １２个；第三道工序每个工人每小时可完成 ５个。要使流水线能正常生产， 各道工序每小时至少安适几 个工人最合理？ 安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工 序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小 公倍数。 １、 在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？ ［３、１２、５］＝ ６０