高斯投影坐标正反算公式及适合电算的高斯投影公式

§8.3高斯投影坐标正反算公式

任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 8.3.1高斯投影坐标正算公式： B,l ⇒ x,y

高斯投影必须满足以下三个条件：

①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即

(8-10)式中，x 为l 的偶函数，y 为l 的奇函数；0330

'≤l ，即20/1/≈''''ρl ，

如展开为l 的级数，收敛。

+++=++++=553316644220l m l m l m y l m l m l m m x （8-33）

式中 ,,10m m 是待定系数，它们都是纬度B 的函数。 由第三个条件知：

q

y

l x l y q x ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (8-33)式分别对l 和q 求偏导数并代入上式

----=++++++=+++553315

63424

42204

52

3164253l dq

dm l dq dm l dq dm l m l m l m l dq

dm l dq dm dq dm l m l m m (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂l 前的系数应相等，即

dq dm m dq

dm m dq

dm m 231

20

13121⋅

=⋅

-==

(8-35)

(8-35)是一种递推公式，只要确定了

0m 就可依次确定其余各系数。

由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X ，即(8-33)式第一式中，当0=l

时有：

0m X x == (8-36) 顾及(对于中央子午线)

B V M

r M B N dq dB M dB

dX

cos cos 2

==== 得：

B V c

B N r dq dB dB dX dq dX dq dm m cos cos 01===⋅===(8-37,38)

B B N

dq dB dB dm dq dm m cos sin 2

2121112=⋅-=⋅-= (8-39)

依次求得6543,,,m m m m 并代入(8-33)式，得到高斯投影正

算公式

6

4256

4

42234

22)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l

t t B B N l

t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+

=ρηηρρ

5

22242553

2233

)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l

t B N l B N y ''-++-'

'+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ (8-42) 8.3.2高斯投影坐标反算公式

x,y ⇒B,l

投影方程：

),()

,(21y x l y x B ϕϕ== (8-43)

满足以下三个条件：

①x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x 坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。

①由x 求底点纬度(垂足纬度)f B ,对应的有底点处的等量纬度f q ，求x,y 与l q q

f ,-的关系式，仿照(8-10)式有，

),()

,(y x l l y x q q ==

由于y 和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将l q ,展开为y 的幂级数；又由于是对称投影，q 必是y 的偶函数，l 必是y 的奇函数。

++=+++=3

3144220y n y n l y n y n n q (8-45)

,,,210n n n 是待定系数，它们都是x 的函数.

由第三条件知：

y l x q ∂∂=

∂∂，

y

q

x l ∂∂-=∂∂， (8-21) (8-45)式分别对x 和y 求偏导数并代入上式

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+++-=++++++=+++ 553315

6342452314

422064253y dx dn y dx dn y dx dn y n y n y n y n y n n y dx

dn y dx dn dx dn 上式相等必要充分条件，是同次幂y 前的系数相等，

,41,31,21,3

4231201dx

dn n dx dn n dx dn n dx dn n -==-==

第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度f B ，也就是x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为f q 。也就是在底点展开为y 的幂级数。 由(8-45)1式

f q n =0

依次求得其它各系数

f

f f f f f f r B N M B N M dX dB dB dq dX dq dX dq dX dn n 1cos 11cos 01==

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛===

(8-51)

f

f f f f B N t dX dB dB dn dX dn n cos 221212112

-=⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= (8-51)1

………… 将6420,,,n n n n 代入(8-45)1式得

()

()

6

222426

4

42242

2484612018061cos 720465cos 24cos 2y

t t t

B N t y t

B N t y B N t q q f

f f f

f f

f f

f

f f f

f

f

f

f

f f ηηηη++++-

-+++

-=

-

(8-55)1

()

f f

f

f f f f

f

f

f

B N y t t B N y t q q 2

66

42222

4422

cos 24)465(cos 4ηη-++-

=

-

()

f f

f f

B N y t q q 366

33

cos 8-=

- (8-55)

将531,,n n n 代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式) ②求f B B -与y x ,的关系。

由(8-7)式dB B

N M

dq cos =知： )(),(f f q f B q f B == (8-47)