高等数学第六章定积分应用综合测试题
高等数学第六章 定积分应用试题及答案
第六章 一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。
但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。
微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。
量dA 称为待求量的微元素。
然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。
这就是微元法。
在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。
（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。
定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。
方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。
以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。
（1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。
ch6定积分及其应用——定积分应用典型例题
第六章 定积分及其应用 定积分应用习题课典型例题典型例题1例1 由 1. 求其所围成的图形的面积.⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤===40cos ,sin ,0πx x y x y x 所围的平面图形如图所示0xy 14πxy sin =xy cos =2. 它绕x 轴旋转而成的 旋转体体积解()4cos sin d A x x x π=-⎰[]12cos sin 40-=+=πx x 1. 2. ()4220cos sin d V x x xππ=-⎰4cos2d x xππ=⎰22sin 240πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 0xy 14πxy sin =xy cos =典型例题典型例题2例2 求抛物线21x y -=在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解 设抛物线上切点为)1,(2x x M -则该点处的切线方程为)(2)1(2x X x x Y --=--它与 x , y 轴的交点分别为,)0,(212xx A +)1,0(2+x B 所指面积=)(x S 22(1)122x x+12(1)d x x--⎰22(1)243x x+=-oxyM1B 1A=')(x S )13()1(22412-⋅+x x x ,33<x 0)(<'x S ,33>x 0)(>'x S 且为最小点 .故所求切线为3433Y X =-+,0)(='x S 令得[ 0 , 1] 上的唯一驻点33=x ,]1,0[)(33上的唯一极小点在是因此x S x =oxyM1B 1A典型例题典型例题3例3 设非负函数()[0,1]f x 在上满足()()x f x f x '=曲线)(x f y =与直线1=x 及坐标轴所围图形(1) 求函数;)(x f (2) a 为何值时， 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体 体积最小？解 (1)时，当0≠x 由方程得a xx f x f x 23)()(2=-'[]a x x f 23)(=',223x a +面积为 2 ,即xC x a x f +=223)(故得又⎰=10d )(2x x f ()x x C x a d 23210+=⎰22Ca +=a C -=4xa x a x f )4(23)(2-+=(2) 旋转体体积V x x f d )(102⎰=π()1610132++=a a π(),01513=+='a V π令5-=a 得又V ''5-=a ,015>=π5-=∴a 为唯一极小点,因此5-=a 时 V 取最小值 .x o y 1典型例题典型例题4轴所围图及表示x t x x f y t V )0(,)()(>==例4 设)(x f y =在 x ≥0 时为连续的非负函数, 且,0)0(=f 形绕直线 x ＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:.)(2)(t f t V π=''x)(x f xoyt证利用柱壳法xx f x t V d )()(2d -=π则xx f x t t V td )()(2)(0-=⎰πx x f t t d )(20⎰=πx x f x td )(20⎰-πx x f t V t d )(2)(0⎰='π)(2t f t π+)(2t f t π-()2().V t f t π''=故典型例题典型例题5例5 求曲线132--=x y 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y ＝3 旋转所得旋转体的体积.故旋转体体积为=V 432⋅⋅πx x d )]2(3[2122⎰+--π1222221362(1)d 2(1)d x x x xπππ=----⎰⎰222=362(1)d x xππ--⎰448.15π=解 利用对称性 ,⎩⎨⎧=y 10≤≤x ,22+x 21≤<x ,42x -在第一象限 xx d )]4(3[22122⎰---πo xy A 123BC典型例题典型例题6)d 5(d x u =故所求旋转体体积为x x xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA)d 5(d x u =故所求旋转体体积为xx xd 5)2(2251⋅-⋅=π165.75π=xx x V d 5)2(222051-=⎰πu V d d 2ρπ=旋转所得旋转体体积.解 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A 曲线上任一点)4,(2x x x P -到直线x y 2=的距离为xx 2251-=ρ),(2如图为数轴以u x y =则2oxyA典型例题典型例题7解方法一)()()()1(x C x R x L '-'='边际利润xx x L 02.018202.020)(-=--='故得9000)(=='x x L 得驻点令()0.020L x ''=-<又.900件时，总利润最大当产量为∴9500(2)(90050)(180.02)d 8075()L x x +=-=⎰元.807550900元件，总利润为件又多生产即从8000(3)(800)(180.02)d 8000()L x x =-=⎰元.8000800元件时的总利润为即生产方法二(0)0C =Q 固定成本为x x C 2)(=∴2(0)200.01R x x=+-(0)0R =Q 201.020)(x x x R -=∴总利润函数为∴xx x x C x R x L 201.020)()()(2--=-=201.018)(x x x L -=即2()(0)2d (0)2C x C x C x =+=+⎰先求总成本函数0()(0)(200.02)d x R x R x x =+-⎰总收入为9000)(=='x x L 解得令()0.020L x ''=-<Q 件时，总利润最大．当产量为900∴)(807595001.095018)50900()2(2元=⨯-⨯=+L 元．总利润为件时，件多生产即从产量为807550900)(800080001.080018)800()3(2元=⨯-⨯=L 元．件时的总利润为即生产8000800201.018)()1(xx x L -='典型例题典型例题8例8某企业购置一台设备需购置成本1000元，在10年中每年收益为200元，若连续利率为5%，假设购置的设备在10年后完全失去价值，求价值的资本价值．100.050200d 1000t v e t -=-⎰0.0510200(1)10000.05e -⨯=--)(88.573元≈元．即收益的资本价值为88.573是有限的，为而资本价值仍若收益流量是无限期的,0.05200lim[(1)1000]0.0520010003000().0.5t t v e -→+∞=--=-=元解THANK YOU。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
高等数学第六章答案
高等数学第六章答案第六章定积分的应用第二节定积分在几何上的应用1? 求图中各阴影部分的面积?（1）(2) 1 1. 632? 332 (4)? 3 (3)2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 6??(2)4? 33?ln2? 21 (3)e??2? e(4)b?a93? ? 414? （1）?21（2）?4 35? (1) ?a2?(2) 32?a? 82 (3)18?a? ?6? （1）2?（2）?4? ?35? 4（3）及?2?cos2??6?127．求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：（1）y?x和x轴、向所围图形，绕x轴及y轴。
21（2）y?x2和y2?8x,绕x及y轴。
2（3）x??y?5??16,绕x轴。
2（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，绕。
（5）摆线x=a?t-sint?,y?a?1?cost?的一拱,y?0，绕x轴。
??482413（1,;(2)?,?;(3)160?2;(4)?;(5)5?2a3. 525568．由y?x3? x?2? y?0所围成的图形? 分别绕x轴及y轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?128?? 764? Vy?5 Vx?9．把星形线x2/3?y2/3?a2/3所围成的图形? 绕x轴旋转? 计算所得旋转体的体积?10．（1）证明由平面图形0?a?x?b? 0?y?f(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为V?2?32?a3 105?xf(x)dx? 证明略。
a 2b （2）利用题（1）结论? 计算曲线y?sin x(0?x??)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积? 2?11．计算底面是半径为R的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?3R? 22312．计算曲线y?x2上相应于3?x?8的一段弧的弧长。
12 33213．计算曲线y?ln(1?x)上相应于0?x?11的一段弧的弧长。
高数 第六章题库定积分应用
1. 求由x y ln =，x 轴及二直线21=x 与2=x 所围成的平面图形的面积 解 已知在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21上，0ln ≤x ，在]2,1[上，0ln ≥x⎰⎰⎰+-==1212211ln ln ln xdx xdx dx x A212ln 23)ln ()ln (21121-=-+--=x x x x x x . 2. 求由曲线22,x y x y ==所围成图形的面积.解 先求出两条曲线的交点. 为此解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy ,得到交点为（0，0）和（1，1） 从而知道图形在直线0=x 及1=x 之间.（如图7.2-4）故所求面积为 313132)(10323210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A .3.求抛物线x y 22=和直线4+-=x y 所围成的图形的面积. （如图7.2-5）解 先求抛物线和直线的交点，解方程组:⎩⎨⎧+-==422x y x y 交点)2,2(和)4,8(- 1）选x 为积分变量，变化区间为[0，8],面积为⎰⎰+-+=282)42(22dx x x dx x A822232023]421)2(31[])2[(32x x x x +-+=18=.2）选y 作积分变量，则y 的变化区间为[-4，2]，所求的面积为⎰---=242)24(dy y y A 2432]61214[---=y y y 18=. 4. 求椭圆12222=+by a x 所围成的面积.解 此椭圆关于两个坐标轴都对称（如图7.2-6），故只需求在第一象限内的面积1A ，则椭圆的面积为⎰==aydx A A 0144图 -1图2xy椭圆的参数方程⎩⎨⎧==tb y ta x sin cos tb y sin =，a dx sin -=⎰⎰-==020)sin (sin 44πdt t a t b ydxA a⎰=⋅⋅==2022214sin 4πππab ab tdt ab .当b a =时，就得到圆的面积公式 2a A π=.5. 求双纽线2r )0(2cos 2>=a a θ围成的区域的面积（如图5）.解 双纽线关于两个坐标轴都对称,双纽线围成的区域的面积是第一象限那部分区域面积的4倍.在第一象限中，θ的变化范围是]4,0[π于是，双纽线围成区域的面积为⎰⎰==4024022cos 2214ππθθθd a d r A 240222sin 2a a =⋅=πθ.6. 计算心形线)0()cos 1(>+=a a r θ所围成的图形的面积.解 图形对称于极轴，因此所求面积是极轴以上部分面积的两倍. ⎰⎰+==ππθθθ02202)cos 1(212d a d r A⎰++=πθθθ022)cos cos 21(d a⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ022cos 21cos 223d a202232sin 41sin 223a a πθθθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=.7.设底面半径为R 的圆柱，被通过其底面直径且与底面交角为α的平面所截，求截体的体积V .解 设底面圆方程为222R y x =+用过点x 且垂直于x 轴的平面截立体所得的截面是直角三角形（如图7），面积是αααtan )(21tan 21tan 21)(222x R y y y x S -==⋅=, 所以 ⎰-=R R dx x S V )(⎰--=R R dx x R αtan )(2122 xy图5 图6图7⎰-=Rdx x R 022)(tan αRx x R 0323tan ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ααtan 323R =.8 两个底半径为R 的圆柱体垂直相交，求它们公共部分的体积.解 如图8，公共部分的体积为第一卦限体积的八倍，现考虑公共部分位于第一卦限的部分，任一垂直于x 0轴的截面为正方形，因此截面面积为：22)(x R x S -=.所以 ⎰-=Rdx x R V 022)(8Rx x R 032318⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3316R =．9. 求椭圆12222=+by a x 分别绕x 轴和y 轴旋转所得旋转体的体积.解 1）绕x 轴旋转由半个椭圆aby =22x a -及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体，所以⎰--=aa x dx x a ab V )(2222πaa x x a ab -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=322231π234ab π=.2）绕y 轴旋转⎰--=bb y dy y b b a V )(2222πbby y b b a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=322231πb a 234π=. 当b a =时，得半径为a 的球体体积: 334a V π=.图8x10. 求圆)0()(222b a a y b x <<=+-绕y 轴旋转一周的旋转体的体积解 圆的方程改写为22y a b x -±=如图7.3-5，右半圆的方程是221)(y a b y -+=ϕ,左半圆的方程是222)(y a b y --=ϕ,所求的旋转体（环体）的体积是分别以两个半圆为曲边的曲边梯形绕y 轴 旋转一周的旋转体的体积的差，即⎰⎰---=aa aady y dy y V 2221)]([)]([ϕπϕπ⎰--=aa dy y y })]([)]({[2221ϕϕπ⎰-----+=aady y a b y a b })(){(222222π⎰-=ady y a b 0228πa a y a y a yb 0222arcsin 228⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=π 222πb a =.11. 求曲线329x y =在120≤≤x 部分的弧长.解 因为曲线329x y =关于x 轴对称,所以所求弧长是曲线2331x y =在120≤≤x部分的弧长的两倍（如图7.4-2）.由于2121x y ='⎰'+=12212dx y s⎰+=124112dx x ⎰+=1204dx x 12023])4(32[x +=3112=. 图7.3-5图7.4-212. 求悬链线2xx e e y -+= 介于1-=x 和1=x 之间的一段弧长.解 因为2xx e e y --=' ，所以424214)(11222222xx x x x x e e e e e e y ---++=+-+=-+='+2)2(x x e e -+=, 由弧长公式得 ⎰⎰⎰----+=+='+=10111122221dx e e dx e e dx y s xx xxee e e xx1)(10-=-=-.13. 求星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos )20(π≤≤t 的全长. 解 因为星形线关于两个坐标轴都对称 所以曲线的全长为第一象限部分的长的4倍 由于t t a x t sin cos 32-='， t t a y t cos sin 32='，得星形线的全长为 ⎰⎰='+'=202022cos sin 344ππtdt t a dt y x s t t202sin 6πt a =a 6=. 例3 14. 求心形线 )0)(cos 1(>+=a a r θ的全长(图14). 解 θθsin )(a r -='，根据对称性，有 ⎰'+=πθθθ022)()(2d r r sθθθθπd a ⎰+++=022sin cos 2cos 12 ⎰+=πθθ0cos 222d ay图14⎰=πθθ)2(cos 4d a⎰=πθθ2cos4d aπθ02sin 8⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a =a 8.15. 设某产品在时刻t 总产量的变化率为 26.012100)(t t t f -+=，求从2=t 到4=t 的总产量. 解 总产量 ⎰-+=422)6.012100(dt t t Q []42322.06100t t t -+=)24(2.0)24(6)24(1003322---+-= 8.260=.16. 已知某商品每周生产x 单位时，总费用的变化率是124.0)(-=x x f （元/单位），求总费用)(x F ;如果这种产品的销售单价是20元，求总利润)(x L ，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？ 解 总费用 ⎰-=xdx x x F 0)124.0()(xx x 02]122.0[-=x x 122.02-=, 销售x 单位商品得到的总收入为 x x R 20)(=, 又利润 )()()(x F x R x L -=，所以)122.0(20)(2x x x x L --=22.032x x -=.令 0)(='x L ，即04.032=-x ,得 80=x ,因此最大利润为:2802.08032)80(⨯-⨯=L 1280=(元).17. 已知某产品的边际成本为 232)(2+-='x x x C （元/单位）求：（1）生产前6个单位产品的可变成本；（2）若固定成本6)0(=C 元，求前6个产品的平均成本；（3）求生产第10个到第15个单位产品时的平均成本解 （1）生产前6个单位产品，即从生产第1个到第6个单位的可变成本为 ⎰+-=6026,1)232(dx x x C 10222332623=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x x x ; (2) 10861026)232()6(62=+=++-=⎰dx x xC ,OO186108)6(==C (元/单位); (3) ⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=1511015923215,1022332)232(x x x dx x x C )915(2)915(23)915(322233-+---=122161764+-=1560=（元）.18. 设某产品的平均边际成本为:x xx C 004.0015.02500)(2+--='（元/个），已知生产10个产品时，其平均成本为05.274，求总成本和固定成本.解 因为平均边际成本为 x xx C 004.0015.02500)(2+--='，所以平均成本为 )(x C ⎰+--=dx x x )004.0015.02500(2c x x x++-=2002.0015.02500, 由已知05.274)10(=C ，即有05.27410002.010015.01025002=+⨯+⨯-c , 得 24=c ， 故平均成本24002.0015.02500)(2++-=x x xx C . 因此，总成本 32002.0015.0242500)()(x x x x C x x C +-+==（元），固定成本2500)0(=C （元）.19. 设某产品每天生产x 单位时，边际成本为x x C 4)(='（元/单位），其固定成本为10元，总收入)(x R 的变化率也是产量x 的函数:x x R 260)(-=' 求每天生产多少单位产品时，总利润)(x L 最大？解 可变成本就是边际成本函数在],0[x 上的定积分，又已知固定成本为10元，所以总成本函数为 ⎰+=xxdx x C 0104)(10202+=x x 1022+=x ,而总收入函数为 ⎰-=xdx x x R 0)260()(260xx -=,因而总利润函数为)()()(x C x R x L -=)102()60(22+--=x x x106032-+-=x x .由 0660)(=-='x x L ，得10=x ，又 06)(<-=''x L ， 所以每天生产10个单位产品可获得最大利润，最大利润为 290)10(=L （元）.20. 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积解⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。
高数 练习与答案 第六章
第六章 定积分及其应用 例1 设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，证明：2)()(1)(a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰进而求证.22sin 20ππ≤⎰dx x x先证明Cauchy-Schwarz 不等式：若)(x f 和)(x g 都在],[b a 上可积，则有 ≤⎰2))()((dx x g x f ba))((2dx x f ba⎰))((2dx x g ba⎰证明：法10： 对任意实数λ=+⎰dx x g x f ba2)]()([λ+⎰dx x f ba)(2+⎰dx x g x f ba)()(2λ0)(22≥⎰dx x g baλ上式右端是λ的二次三项式，则其判别式非正，即 -⎰2))()((dx x g x f ba))((2dx x f ba⎰0))((2≤⎰dx x g ba故原式得证。
法20：令⋅=⎰dx x f t ta)()(2ϕ-⎰dx x g ta)(22))()((dx x g x f ta⎰，则0)(=a ϕ。
)()(2t f t ='ϕ+⎰dx x g ta)(2dx x f t g ta⎰)()(22dx x g x f t g t f t a)()()()(2⎰-+=⎰)()([22x g t f ta-dx x f t g ])()(22dx x g x f t g t f ta)()()()(2⎰dx x f t g x g t f ta)()()()(2⎰≥0)()()()(2=-⎰dx x g x f t g t f ta所以)(t ϕ在],[b a 上单调递增，≥)(b ϕ0)(=a ϕ 即 ≤⎰2))()((dx x g x f ba))((2dx x f b a⎰))((2dx x g ba⎰ 。
往证2)()(1)(a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰222)(][])(1)([)(1)(a b dx dx x f x f dx x f dx x f babab a ba-==•≥⎰⎰⎰⎰由上面的不等式可得.8)sin )(()sin (2202022ππππ=≤⎰⎰⎰xdx xdx dx x x 两边开方即得证。
【高数】第六章 定积分 答案-推荐下载
A(0) 1 , A(1) 1 , A(1) 2
3 24
y )dy
3
所以当t时，1 面积之和最大，当t时，1面积之和最小。 2
24
24
2
1 12,0x2
0, x 1
1
2dx
0
2c
, x 1
c te2t dt 。
c
2
0dx
1
)x lim (1
x
x x c
c e2tdt)
62
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高等数学(同济大学第五版)第六章 定积分的应用
习题6−21. 求图6−21 中各画斜线部分的面积:(1)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为61]12[)(12231=−=−=x x dx x x A . 2300∫ 解法一x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为0 画斜线部分在y 轴上的区间为[1, e ]. 所求的面积为(2)画斜线部分在 1|)()(11=−=−=∫x x e ex dx e e A ,0 解法二投影 1)1(|ln ln =−−=−==∫∫e e dy y y ydy A e e e . 111(3)解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[−3, 1]. 所求的面积为332]2)3[(132=−−=∫−dx x x A . (4)解 [−1, 3]. 所求的面积为画斜线部分在x 轴上的投影区间为 332|)313()32(3132312=−+=−+=−−∫x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积:(1) 221x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解:388282)21222228(2020020221−−=−−=−−=∫∫∫∫dx x dx x dx x dx x x A 323cos 16402+=−=∫πtdt . 48π346)212−=−ππS . 2(2=A (2)xy =1与直线y =x 及x =2; 解:所求的面积为∫=A −=−202ln 23)1(dx x x . e x , y =e −x 与直线x =1;解:所求的 (3) y =面积为∫−+=−=−1021)(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为a b e dy e A ba yb a y −===∫ln ln ln ln3. 求抛物线y =−x 2+4x −3及其在点(0, −3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 过点(0, −3)处的切线的斜率为4, 切线方程为y =4(x −3)., 切线方程为y =−2x +6.y ′=−2 x +4.过点(3, 0)处的切线的斜率为−2两切线的交点为)3 ,23(, 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[2302332=−+−−+−+−+−−−=∫∫dx x x x x x x A . 4. 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积. 解2y ⋅y ′=2p .在点处, 1),2(==′p p y p y ,),2(p p 法线的斜率k =−1, 法线的方程为)2(p x p y −−=−, 即y p x −=23.),2(p p 求得法线与抛物线的两个交点为和)3,29(p p −. 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =−−=−−=−−∫. 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;(1)ρ=2a cos θ ;解:所求的面积为∫∫==2221πθθ −202cos 4)cos 2(2ππθθd a d a A =πa 2. a cos 3t , y =a sin 3t ;解2(2)x =所求的面积为∫∫∫===204220330sin cos 34)cos ()sin (44ππtdt t a t a d t a ydx A a 2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=−=∫∫.(3)ρ=2 解所求的面积为a (2+cos θ ) 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(221a d a d a A πθθθθθππ=++=+=∫∫. 6. 求由摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积. 解:所求的面积为∫∫∫−=−−==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++−=∫. 7. 求对数螺线ρ=ae θ(−π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形面积.解所求的面积为)(42)(2ππ−−∫∫e d e a d ae 11222222πππθπθθθ−−===e a . 8. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积.(1)ρ=3cos θ 及ρ=1+cos θ解曲线ρ=3cos θ 与ρ=1+cos θ 交点的极坐标为A)3,23(πA , )3,23(π−B . 由对称性, 所求的面积为 πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=∫∫d d A . (2)θρsin 2=及解θρ2cos 2=.6,22(π.曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[24602−+=+=∫∫πθθθθπππd d A .于曲线e x 下方, 9. 求位y =该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积. 解 设直线y =kx 与曲线y =e x 相切于A (x 0, y 0)点, 则有x y e y kx y x x 00)(0000, , y 0=e , k =e .所求面 ⎪⎩⎪⎨⎧==′==ke 求得x 0=1积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+−=−∫∫. 10. 求由抛物线y 2=4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值. 解 设弦的倾角为α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=. 显然当2πα=时1=0; 当, A 2πα1因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 <时, A >0. 20300383822a x a dx ax A a a ===∫. 1. 把抛物线y 2=4ax 及直线x =x 0(x 0>0)所围成的图形绕x 轴旋转, 计算得旋转体的体积.1所 解 所得旋转体的体积为20022224000x a axdx dx y V xx x πππ====∫ 00x a π∫. 12. 由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得转所得旋转体的体积为两个旋转体的体积.解 绕x 轴旋πππ712871207206202====∫∫x dx x dx y V x . 绕y 轴旋转所得旋转体的体积为∫∫−=−⋅⋅=803280223282dy y dy x V y ππππ ππ56453328035=−=y . 所围成的图形, 绕x 轴旋, 计算所得旋转体的体积. 解 由对称性, 所求旋转体的体积为13. 把星形线转3/23/23/2a y x =+ dx x a dx y V a a ∫=2222π∫−=0333)(2π 0 3024224210532)33(2a dx x x a x a a a π=−+−=∫.14. 用积分方法证明图中球缺的体积为)(2H R H V −=π.3证明 ∫∫−−−==R H R RH R dy y R dy y x V )()(222ππ)3()1(32y y R R H R =−=−ππ 32H R H −.15. 求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的体积:(1的旋转体)2x y =,2y x =, 绕y 轴; πππ)(22=−=∫∫dy y ydy V 解 103)5121(10521010=−y y . (2)ax a y ch =, x =0, x =a , y =0, 绕x 轴; 解 ∫∫∫===102ch udu 302202 ch )(a x dx a x a dx x y V a aπππ令 au1022)()2(u u u du e e −=++=∫2231032122144u e u e a a −−+ππ )2sh 2(43+a π= . (3)216)5(2=−y , 绕x 轴.解 +x ∫∫−−−−−−+=44224422)165()165(dx x dx x Vππ 24021601640π∫=−=dx x .x =(t −sin t ),=a (1−cos t )的一拱, y =0, 绕直线y =2a . 解 a dy y a dx a V02202)2()2( 23237)8πππa t a a =+−=. 16. 求圆盘 (4)摆线a y a 2∫∫−−=ππππ∫−+−=πππ202223)sin (])cos 1([8t t da t a a 0sin cos 1(tdt a ∫232222a y x ≤+绕x =−b (b >a >0)旋转所成旋转体 解 的体积.∫∫−−−−−−+=a a a a dy y a b dy y a b V222222)()(ππ 2202228ππb a dy y a b a=−=∫.17. 设有一截锥体, 其高为h , 上、下底均为椭圆, 椭圆的轴2a 、2b 和2A 、求这截锥体的体积.解 建立坐标系如图. 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面, 则 易得其长分别为2B , 平面与截锥体的截面为椭圆,长短半轴分别为y h a A A −−, y hb B B −−. 积为π)()(y 截面的面h h B B y a A A −⋅b −−−.于是截锥体的体积为])(2[61)()(b V h=∫0AB a h dy y h b B B y h a A A +++=−−⋅−−π.计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角.x 且垂直于x () 件知, 它是边长为bA aB 18. 形的立体体积 解 设过点轴的截面面积为A x ,由已知条xR −2的等边三角形的面积, 其值为)(3)(22x R x A −=, 322334)(3R dx x R VR=−=∫R所以 − a.如图, 在x 处取一宽为dx 的边梯形, 小曲边梯形绕y 积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,y 轴旋转所成的旋转体的体积为==bab dx x xf dx x xf V)(2)(2ππ.用题19和结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解.19. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为=bdx x xf V )(2π∫ 证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体于是平面图形绕 ∫a∫ 20. 利2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+−=−==∫∫x x x x xd xdx x V .y =ln x 上相应于83≤≤ 21. 计算曲线x 的一段弧的长度.解 ∫∫∫+=+=′+=82838x32321)1(1)(1dx x x dx dx x y s ,t 12−=t x ,x +21=, 即 则令23ln 211111113223232222322+=−+=t s −=−⋅−=∫∫∫∫dt t dt d t t dt t tt t .)3(x − 22. 计算曲线3弧的长度. x y =上相应于1≤x ≤3的一段 解x x x y 3−=, 1x y 2−=′,x 121x x y 4112+−=′, 214)(12x y +=′+,121x为所求弧长3432)232(21)1(213131−=+=+=∫x x x dx xx s .23. 计算半立方抛物线被抛物线32x y =32)1(32−=x y 截得的一段弧的长度.解 由⎪⎩⎪⎨⎧=−=3)1( 32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为36 ,2(, )36 ,2(−. 所求弧长为∫′+=21212dx y s .因为2y x y 2)1(−=′,)1(23)1()134−=−2)1(2−=′y y x ,32()1(242−−==′y x y 所以 x x x . ]1)25[(98)1)1−x 3(13232(231232121−=−=−+=∫∫d x dx x s . 抛物线y 2=2px 从顶点到这曲线上的一点M (x , y )的弧长.24. 计算∫∫∫+=+=′+=y yydy sy p p dy p y dy y x 02202021)(1)(1 解y y p y p p 2222])2[+++=y p y 02ln(21+p 2y p y py p py 2222ln2++++=.25. 计算星形线t a x 3cos =, 的全长.解 用参数方程的弧长公式.t a y 3sin = dt t y t x s =∫′+′2022)()(4π∫⋅+−⋅=202222]cos sin 3[)]sin (cos 3[4πdt t t a t t aa tdt t 6cos sin 1220==∫π.26. 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直, 使细线与圆周始终相切, 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线, 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=, )cos (sin t t t a y −=.计算这曲线上相应于t 从0变到π的一段弧的长度. 解 由参数方程弧长公式∫∫+=′+′=ππ022022)sin ()cos ()]([)]([dtt at t at dt t y t x s 0∫22ππa tdt a ==.cos t )上求分摆线第一拱成1: 3 解 设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0), 则 27. 在摆线x =a (t −sin t ), y =a (1−的点的坐标.∫∫+−=′+′=0220220]sin [)]cos 1([)]t ([)]([)(t t dt t a t a dt y t x t s)2cos 1(42sin 2000ta dt t a t −==∫.当t 0=2π时, 得第一拱弧长s (2π)=8a . 为求分摆线第一拱为1: 3的点为A (x , y ), 令a ta 22cos 1(40=−,32解得0π=t , 因而分点的坐标为:a a x )32()2sin 2(−=−=πππ, 横坐标23 纵坐标33a a y 23)32cos1(=−=π,故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a −π. ρθa e =相应于自θ=0到的一段弧长 28. 求对数螺线θ=ϕ. 解 用极坐标的弧长公式. θθθρθρϕθθϕd ae e d a a ∫∫+=′+=22022)()()()(s )1−θ(11202+=+=∫ϕθθa a e aa d e a .29线1相应于自 . 求曲ρθ=43=θ至34=θ.的一段弧长 极坐标公式可得所求的弧长 解 按∫∫−+=′+=344322234322)1()1()()(θθθθθρθρd d s23ln 1251134322+=+=∫θθθd .30. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解 用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ==2 ∫∫−++′+0222022)sin ()cos 1()()(2a d a 82∫cos 4==πθθ.习题6−31. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功.解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为18216260===∫s k ksds W k(牛⋅厘米).2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻−马定律知:ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV .设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则ππ80000)]80)(10[()(2=−⋅x x P , π−=80800)(x P .功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π,所求功为 2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=−=−⋅⋅=∫∫dx dx W(J).3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是 hR mgRhW +=,其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径;(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km .证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为dy ykMm dW 2=, 所求的功为 )(2h R R mMh k dy y kMm W hR R+⋅==∫+.(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6×=×+×××××⋅×=−W (kJ).4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以23)(cxt x v =′=, 阻力4229t kc kv f −=−=. 而32)(cx t =, 所以34323429)(9)(x kc cx kc x f −=−=. 功元素dW =−f (x )dx , 所求之功为 37320343203432072799)]([a kc dx x kcdx x kc dx x f Wa aa ===−=∫∫∫. 5. 用铁锤将一铁钉击入木板, 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比, 在击第一次时, 将铁钉击入木板1cm . 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等, 问锤击第二次时, 铁钉又击入多少？解 设锤击第二次时铁钉又击入h cm , 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比, 即f =kx , 功元素dW =f dx =kxdx , 击第一次作功为 k kxdx W 21101==∫,击第二次作功为 )2(212112h h k kxdx W h+==∫+.因为, 所以有 21W W =)2(21212h h k k +=, 解得12−=h (cm).6. 设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3210−=, 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(−=⋅=ππ,所求功为 ∫−=1502)3210(dx x x Wπ∫+−=15032)9440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).7. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力. 解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=, 闸门上所受的水压力为21252252===∫x xdx P (吨)=205. 8(kN).8. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力.解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+−y x .压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21−−⋅=⋅⋅=,所求压力为∫∫−⋅⋅+=−−⋅=222322cos 43cos 43)sin 1(4338)43()43(38ππtdx t t dx x x Pππ169cos 49202==∫tdx (吨)=17.3(kN). (提示: 积分中所作的变换为t x sin 4343=−)9. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力.解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为x y 1015−=,压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21−⋅=⋅⋅=,所求压力为1467)5110(200=−⋅=∫dx x x P (吨)=14388(千牛).10. 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图.腰AC 的方程为x y 32=, 压力元素为dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=,所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=∫x x dx x x P (克)=1.65(牛).11. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为dy ya Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为dF r a dF x −=, dF rydF y =.2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +−=++−=+⋅−=∫∫μμμ,)11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +−=++=+⋅=∫∫μμμ. 12. 设有一半径为R 、中心角为 ϕ 的圆弧形细棒, 其线密度为常数 μ . 在圆心处有一质量为m 的质点F . 试求这细棒对质点M 的引力. 解 根据对称性, F y =0.θμcos 2⋅⋅⋅=Rdsm G dF xθθμθθμd R Gm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=,θθμϕϕd R Gm F x ∫−=2cos2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==∫. 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm , 方向自M 点起指向圆弧中点.总 习 题 六1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足∫∫+=+300112111dt t dt t x.因为212]12[110−+=+=+∫x t dt t x x, 112[2111213030=+=+∫t dt t ,所以1212=−+x ,45=x (m).2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解∫++⋅=43222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S24322241)2sin 1(28a d a a −=++=∫πθθπππ.3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线与直线x =1, y =0所围图形的面积为c bx ax y ++=294,且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小.y c bx ax +=+ 解 因为抛物线2y 通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax +=2.bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为抛物线23)(102b a dx bx ax S +=+=∫. 令9423=+b a , 得968a b −=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(221022ab b a dx bx ax V ++=+=∫ππ)]968(2)968(315[22a a a a −+−+=π. 令0)]128(181********[=−+−⋅+2=a a a ddV π, 得35−=a , 于是b =2. 4. 求由曲线23x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所求旋转体的体积为πππ751272224027403=⋅=⋅=∫x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+−y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 )2(122312∫−−⋅⋅=dx x x Vπ 2224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=−∫−tdt t t x 令.6. 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长. 解 由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(−, )1 ,2(, 于是所求的弧长为2022202])1ln(2112[212x x x x dx x s ++++=+=∫ )32ln(6++=.,解 建立坐标系如图. 将球从水中取出时, 球的各点上升的高度均为2r . 在x 处取一厚度为dx 的薄片, 在将球从水中取出的过程中, 薄片在水下上升的高度为r +x ,在水上上升的高度为r −x . 在水下对薄片所做的功为零,在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22−−=π,对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=−−=∫−. 8. 边长为a 和b 的矩形薄板, 与液面成α 角斜沉于液体内,长边平行于液面而位于深h 处, 设a >b , 液体的比重为ρ, 试求薄板每面所受的压力.解 在水面上建立x 轴, 使长边与x 轴在同一垂面上, 长边的在x 轴上的投影区间为[0, b cos α], 在x 处x 轴到薄板的距离为h +x tan α. 压力元素为 上端点与原点对应. 长边dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=, 薄板各面所受到的压力为)sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=∫. 9. 设星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方, 在原点O 处有一单位质点, 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 解 取弧微分ds 为质点, 则其质量为ds y x ds y x 322322)()(+=+, 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323=′+′=.设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y , 则有∫+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, ∫+⋅++⋅⋅=22222322)()(1πds y x y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==∫π, 所以)53 ,53(22Ga Ga =F .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 定积分应用测试题A 卷一、填空题（20分）1、定积分()20a a x dx ⎤-⎦⎰表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 .2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度()dmq t dt=，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 .3、抛物线232y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 . 4、由极坐标方程()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积为 . 二、选择题（20分）1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则A = [ ]（A ）ln ln ln b axdx ⎰; （B ）ba e x ee dx ⎰; （C ）ln ln byae dy ⎰; （D ）ln ab e exdx ⎰.2、曲线xy e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A = [ ].（A ）()10x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1ex e ex dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.3、曲线2ln(1)y x =-上102x ≤≤一段弧长s = [ ].（A ）; （B ）1222011x dx x +-⎰;（C ）; （D ）.4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F =[ ].（A ）0hahdh ⎰; （B ）0aahdh ⎰;（C ）12hahdh ⎰; （D ）02h ahdh ⎰.三、解答题1、（10分）求曲线23(4)y x =-与纵轴所围成图形的面积.2、（10分）求由圆22(5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积.3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2222x y +=的周长. 4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？5、（20分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图6.25.（1） 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值；（2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.第六章 定积分应用测试题B 卷一、填空题（20分）1、求曲线222,82x y x y =+=所围图形面积A （上半平面部分），则A = . 2、曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围图形面积A = . 3、求曲线sin ,1cos ,x t t y t =-⎧⎨=-⎩从0t =到t π=一段弧长s = .4、曲线()0,,2,0xy a a x a x a y =≤===与直线及所围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积V = . 二、选择题（20分） 1、曲线1,,2y y x x x ===所围图形的面积为A ，则A = [ ] （A ）2l 1()x dx x -⎰; （B ）2l 1()x dx x-⎰;（C ）22ll 1(2)(2)dy y dy y -+-⎰⎰; （D ）22l l 1(2)(2)dx x dx x-+-⎰⎰.2、摆线()()()sin ,01cos ,x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体体积V =[ ]（A ）()2221cos a t dt ππ-⎰; （B ）()()22201cos sin aa t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰;（C ）()()22201cos sin a t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰; （D ）()2221cos aa t dt ππ-⎰. 3、星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长s = [ ]（A ）()2204sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （B ）()0224sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰;（C ）()22sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （D ）()022sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰.4、半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深()0h h a <<，则水面上升速度是[ ]（A ）20h d y dy dh π⎰; （B ）()220h d a y a dy dhπ⎡⎤--⎣⎦⎰; （C ）20h d b y dy dh π⎰; （D ）20(2)hd b ay y dy dh -⎰. 三、解答题1、（13分）由两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形.（1）计算所围成图形的面积A ；（2）将此图形绕x 轴旋转，计算旋转体的体积.2、（15分）由曲线23y x =，直线2x =及x 轴所围图形记作D ， （1）求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积；（3）求以D 为底且每个与x 轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.3、（12分）曲线24cos 2r θ=与x 轴在第一象限内所围图形记作D ，试在曲线24cos 2r θ=上求一点M ，使直线OM 把D 分成面积相等的两部分.4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,a b 的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c 处，试求观察窗所受的水压力.5.(10分)求曲线x x y 22-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积S ，并求 该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A 卷答案一、填空题1、上半圆y =，直线y a x =-和直线2ax =； 2、()21t t q t dt ⎰； 3、323；4、()212d βαρθθ⎰. 二、选择题1、C;2、A;3、B ；4、A. 三、解答题1、先求交点，令0x =得264y =，故128,8y y =-=，及曲线与纵轴交点为()()0,8,0,8-.又234x y =-，所以2883883(4)255S xdy y dy --==-=⎰⎰.2、因为5y =而44x -≤≤，所求环体体积是由半圆5y =与半圆5y =x 轴旋转生成的旋转体体积之差，即42224[(5(5]160V dx ππ-=+--=⎰.3、因为椭圆方程为2222x y +=，即2212x y +=，则其参数方程为()02sin x tt y t π⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩， 由椭圆关于,x y 轴的对称性，所以周长144s ==.而曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长244s ==2x t π=- 4.故12s s =.4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：32022(1)(),333h h z dz h ππππ+-=+-⎰其中h 为球心向上移动距离（01h ≤≤），故将球从水中取出所作的功为310221113()()33321212h W h dh πππππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰.5、解（1）当01a <<时（如图一）()()122120a aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰23322101()()2332323a aax x x ax a a =-+-=-+.令 2102S a '=-=，得a =0,S ''=>则S 是极小值及最小值.其值为 1236S == 当0a ≤时，()()0122120a S S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰31623a a --+， 2211(1)222a S a '=--=-+0<，S 单调减少，故0a =时，S 取得最小值，此时13S =.综合上述，当a =时，S 为所求最小值，最小值为26-.(2) 12442011()()22x V x x dx x x dx ππ=-+-=5533111655630x x x x πππ⎛⎛-+-=⎝⎝.综合测试题B 卷答案一、填空题1、222)2x dx -⎰； 2、223203112(1cos )(3cos )22d d πππθθθθ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰⎰；3、atdt π⎰；4、22()a a adx xπ⎰..二、选择题1、C;2、B;3、B ；4、D 三、解答题 1、（1）)3312120021333x A x dx x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰.（2）()25141003.2510x x V x x dx πππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰ 2、（1）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积12104243y V dy ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰（2）D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积()222023324V x x dy ππ=-⋅=⎰（3）以D 为底且与x 轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为()224133sin 23S x x x π=⋅⋅⋅=因此平行截面的面积为()S x的立体体积4305V dx==⎰.3、设()000,M rθ为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积0021000114cos2sin222S r d dθθθθθθ===⎰⎰D的面积24400114cos2122S r d dππθθθ===⎰⎰.由条件112S S=，即得1sin22θ=，所以012πθ=.对应的r==，故点M的极坐标为12π⎫⎪⎭.4、建立如图6.26所示的坐标系椭圆方程为22221x ya b+=，则()(0022a aP g c x ydx g c xρρ=+=+⎰⎰令sinx a t=，则()2212sin cos243P gab c a t tdt gab c aππρρ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭⎰.其中ρ为水的密度，g为重力加速度.5.解：所求面积21SSS+=，(图6.27)dxxxS⎰-=2121)2(32)311()384()31(2132=---=-=xx32233222)31()2(xxdxxxS-=-=⎰y图6.26)34)438()99(=---=。
221=+=S S S 。
平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 π-+++π=π-++π=⎰⎰--dy y y dy y V )122()11(012011π=π-+--π=π-+++π=-611)]212(34[])1(34212[01232y y y ，平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积dy y y dy y V )122(27)11(273232+++π-π=++π-π=⎰⎰π=-++π-π=+++π-π=643)34332296(27])1(34212[2730232y y y ，故所求旋转体的体积π=π+π=+=964361121V V V 。