七年级下册数学同底数幂的运算
七年级下数学
第一章整式的运算
【知识回顾】
整式：单项式和多项式统称整式，或者说由数和字母经过有限次加、减、乘、乘方所得的式子叫做整式。
单项式：由数或字母的乘积组成。
单项式的系数：单项式的数字因数叫做单项式的系数。
若一个单项式是一个常数，则系数就
是它本身。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式：几个单项式的和叫做多项式，或者由数和字母，经过加法和乘法的有限次运算所构
成的式子叫做多项式。
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
常数项：多项式里不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，叫做多项式的次数。
整式的加减：实质是合并同类项。
同类项：所含字母相同，并且所含字母的指数也相同。
合并同类项法则:同类项的系数相加，所得结果作为同类项的系数，字母和字母的指数不变。
去括号法则：括号前是，把括号和它前面的去掉，括号内不变号。
括号前是
-，把括号
和它前面的-去掉，括号内各项都要变号。
乘方：求n 个相同因数a 的
的运算叫做乘方。
乘方的结果叫做
幂。
a 叫做
，n
叫做
，n
a 读作。
第一讲同底数幂的乘法
法则：同底数幂相乘，底数不变，底数相加。
公式：)
,(为正整数n m a a a n
m n
m
例：5
310
10
5
7
10
10
变式1 ),(为正整数n m a a a n m n
m
公式的逆运用例
已知的值
求b
a b
a
2
,72
,42
※在应用同底数幂的运算时要注意一下几点：1、底数必须相同2、相乘时底数没有变化3、指数相加的和作为最终结果幂的指数
4、公式中的a 不仅可以代表数，还可以代表一个单项式或者多项式。
变式2 ),,(为正整数p n m a a a a p
n m
p n m 公式的推广
例
a
a
a
a
n
n n 1
2
练习：题型一同底数幂的乘法与整式加减的综合应用
1.4
3
5
3
x
x
x x
x
2.1
21
21
21
24
3
2
x x x x 题型二同底数幂的运算性质的综合运用
3.已知的值
求m
m m 20132
22
,162
4.已知的值
求x ,2433
1
x 2题型三与生活实际结合解决大数据计算
例题：太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过半径的时间约为4
102s ，光的
速度约为s m /1038
，求太阳系的直径
题型四与同底数幂有关的探究题
5.观察下列算式
6561
3
,21873
,7293
,2433
,813,273
,93
,33
8
7
6
5
4
3
2
1
用你发现的规律写出2014
3
的末位数字是。
小结：
易错点：1、混淆同底数幂的乘法与合并同类项法则
同底数幂的乘法法则是底数不变，
指数相加；合并同类项是加法运算，其法则是同
类项的系数相加，字母及其字母的指数不变。
2、档底数互为相反数时，化简符号容易出错
弄不清－a n
与（－a n
）这两种情况，不能根据n 的奇偶性正确化简。
3、忽视对指数的讨论
（－a ）
n
要分类讨论，当n 为正奇数时，（－a ）n
=－a
n
当n 为偶数时，（－a ）n
=a
n
练习：1、计算3
2
x x
的结果是（
）A.5
x
B.
6
x
C.
7
x
D.
8
x
2、81×27可记为（）
A.
3
9
B.
7
3
C.
6
3
D.
12
3
3、下列各式运算正确的是（）
A. 7
4
3
2x
x
x B.8
4
2
a
a
a
C. 5
5
5
2x
x
x
D. 8
2
6
y
y
y
4、若7
4
222x
，则x= 5、
2
3
y
x
x y
y
x
6、计算：
3
2
b
a c c
b a 同底数幂
同底数幂的意义
同底数幂是指底数相同的幂同底数幂乘法法则
法则：a m a n
=a
m+n
(m,n 都是正整数) 推广：a m a n a p =a m+n+p
(m,n,p 都是正整数)
逆用：a
m+n
=a m a n
(m,n 都是正整数)
7、若x, y 互为相反数，请化简：
2
1
2y y x
a
a
a
8、计算27
39332
2
9、如果的结果为
那么12,02000
2001
2
a
a
a
a
10、若
,3,4,2
1)
2(4
3
99
100
c
b a 试比较a,b,
c 的大小
11、下列计算正确的是（）A.m
m m a
a
a 21
1
B.2
3
a
a
a
C.9
3
3a
a a
D. 7
4
3
a
a
a
12、下列式子①；16
4
4
33
3②；
7
3
4
3
-3
-3
-③；
81-3
-3-2
2
④5
4
4
22
2。
其
中计算正确的有（）
A.
1个
B.2个
C. 3个
D.4个13、（1）4
7
-b
b
，
5
3
2
a
a
a
；（2）m
m x
x 1
2=2
2m x
=2
m x ；
（3）
1
2n a
b b a 。
14、若
2m ,求3
4
2
m m
m
的值
15、已知122
,162
,32
z
y
x
，试求x, y, z 的关系。
同底数幂的乘法-七年级数学下册课件(北师大版)
综上可得长方形的面积为8.4×108cm2， 周长为1.24×105cm.
8 已知2x＝5，2y＝7，2z＝35.试说明：x＋y＝z.
解：因为2x＝5，2y＝7，2z＝35， 所以2x·2y＝5×7＝35＝2z. 又因为2x ·2y＝2x＋y，所以2x＋y＝2z.
所以x＋y＝z.
请分析以下解答过程是否正确，如不正确，请写出 正确的解答过程．
计算：(1) x • x3；(2)(－x)2 • (－x)4；(3) x4 • x3 . 解：(1) x • x 3＝x0＋3＝x 3 . (2)(－x)2 • (－x)4＝(－x)6＝－x6 . (3) x4 • x 3＝x43＝x12 .
所以比邻星与地球的距离约为3.798×1016 m.
3 若a m＝2，a n＝8，则a m＋n＝___1__6___.
4 计算(a＋b)3·(a＋b)2m·(a＋b)n 的结果为( B )
A．(a＋b)6m＋n
B．(a＋b)2m＋n＋3
C．(a＋b)2mn＋3
D．(a＋b)6mn
5 x 3m＋3可以写成( D )
2 下列各式中是同底数幂的是( C ) A．23与32
B．a 3与(－a)3 C．(m－n)5与(m－n)6 D．(a－b)2与(b－a)3
3 计算a ·a 2的结果是( D )
A．a
B．a 2
C．2a 2
D．a 3
4 化简(－x )3(－x )2，结果正确的是( D )
A．－x 6
B．x 6
C．x 5
A．a 4＋a 2
B．a 2＋a 2＋a 2
C．a 2·a 3
北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了同底数幂乘法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对同底数幂乘法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.在总结回顾时，我可以邀请学生分享他们如何将所学知识应用到自己的兴趣或生活中，以此来增强他们对数学实用性的认识。
4.应用问题：运用同底数幂算。
本章内容旨在帮助学生掌握同底数幂的乘法法则，培养他们在解决实际问题时运用幂运算的能力，提高数学运算技巧。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过同底数幂的乘法法则推导和应用，使学生能够理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理能力。
2.提升数学运算能力：让学生掌握同底数幂的乘法运算，培养他们在数学计算中的准确性、快速性，增强数学运算能力。
3.培养学生的数学建模素养：引导学生运用同底数幂的乘法解决实际问题，学会将现实问题抽象为数学模型，提高数学建模素养。
4.增强数学抽象能力：通过同底数幂的学习，帮助学生从具体实例中抽象出数学规律，提升数学抽象思维能力。
-实际问题的幂运算建模：将现实问题转化为同底数幂的乘法运算，如计算一个正方体的表面积时，将每个面的面积看作2^2，整个表面积即为6个面的同底数幂乘法。
2.教学难点
-理解同底数幂乘法法则的原理：学生需要理解指数相加的实质，即幂的乘法是指数的加法，这对于初次接触幂运算的学生来说可能是个难点。
-指数相加的运用：在计算过程中，学生可能会混淆指数的相加和数的相乘，例如2^3•2^2不等于2^(3×2)，而应等于2^(3+2)。
初一数学下册,同底数幂的乘法,知识点及题型
整式的乘除第一课时：同底数幂的乘法知识点整理知识点一、同底数幂的乘法1. 同底数幂的乘法的运算性质:同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
用公式表示:n m n m aa a +=⋅（n m ,都是正整数）2. 推导过程:（运算性质中的底数可以是单项式，也可以是多项式，但指数一定是正整数）3. 运用同底数幂的乘法的运算性质的条件①底数相同②乘法运算③同底数幂的运算可以推广到三个或者多个同底数幂的运算p n m p n m aa a a ++=⋅⋅④在同底数幂的运算中，经常用到两个变形⎪⎩⎪⎨⎧-=-为奇数）（为偶数）（n a n a a n n n )( ⎪⎩⎪⎨⎧---=-为奇数）（为偶数）（n a b n a b b a n n n )()()(4. 重点难点①同底数幂的乘法的运算性质不适用于底数相同的幂的加法运算，也不适用于底数不同的幂的乘法运算。
②底数互为相反数的幂相乘时，要先把底数化成相同的，再利用同底数幂的乘法运算性质计算。
5. 例题精讲①652101010⋅⋅【答案：1310】 ②322121）（）（-⋅-【答案：321-】③32)()(a a a -⋅-⋅【答案：6a -】 ④43)(m n n m -⋅-）（【答案：7)(n m -】知识点二、同底数幂的乘法的运算性质的逆用1. 同底数幂的乘法的运算性质的逆用n m n m a a a ⋅=+（m,n,都是正整数），当然也可以推广到p n m p n m a a a a ⋅⋅=++2. 重点难点①底数相等②指数是正整数3. 例题精讲若5232==y x ，，则=+y x 2 。
【答案：15】题型精讲精练1. 同底数幂乘法与整式加减的综合运算①433279⨯-⨯【答案：0】②a a a a m m m ⋅+⋅--423【答案：322-m a 】③85742)()()()()(a b b a a b b a b a -⨯---⨯-⨯-【答案：132）（b a --】④532)()(n m m n n m -+-⨯-）（【答案：0】2. 同底数幂的乘法的运算性质的综合运用①已知25123a aa a m m =⋅⋅+，求m 的值。
苏科版七年级下册数学课件同底数幂的乘法(共20张)
巩固练习 4
1.已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
2.已知3x＋1＝81，求x.
学以致用
如果地球卫星绕地球
运行速度是 7.9 103 m / s，
求卫星运行1h的路程。
解： 1h 3.6103 s
(7.9 103) (3.6 103) 7.93.6(103 103) 2.844107(m)
（3） －b2·b5
（2）a13·a
（4）am+1·am－1
（m是大于1的整数）
2、计算（ ☆ ☆ ☆ ） （1）34×36×3 （2）a·a4·a5
3、计算 （ ☆ ☆ ☆ ☆ ） （1）(p－q)5·(q－p)2 （2）(s－t)m·(s－t)m＋n·(t－s)
（m，n是正整数） （3）xn·xn－1·x2n·x（n是正整数）
m个a
n个a
=a×a×a×…×a
（m+n）个a
=am+n
总结法则
同底数幂的乘法法则：
am·an=am+n（m、n都是正整数）
你能用文字语言将同底数幂乘法的性质叙述出来吗？
同底数幂相乘，底数不变 ，指数相加 .
请你推广
am·an·ap= am+n+p
(m、n、p都是正整数)
例题导学
【例1】 :计算
2．下面的计算是否正确？如有错误，请改正：
（1）x3 ·x3＝2x6 ； （2）x4 ·x2＝x8 ； （3）a2＋a2＝a4 ； （4）x·x3 ＝ x3 ．
（ × ）x6 （ × ） x6 （ × ）2a2 （ × ）x4
你认为，用法则时应该注意些什么?
初中初一数学下册《同底数幂的乘法》教案、教学设计
-通过生活实例，如细胞分裂、人口增长等，引出同底数幂的概念，激发学生学习兴趣。
-设计问题，引导学生观察、思考、讨论，发现同底数幂的乘法规律。
2.知识讲解，互动探究
-采用讲解与实例相结合的方式，阐述同底数幂的乘法法则。
-设计小组合作活动，让学生互相讨论、分享解题思路，加深对知识点的理解。
初中初一数学下册《同底数幂的乘法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解同底数幂的概念，能够识别同底数幂的乘法法则。
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行计算，解决实际问题。
3.能够将复杂的同底数幂乘法问题转化为简单的幂运算，提高解题效率。
4.能够运用同底数幂的乘法法则进行有理数的乘方运算。
3.例题解析，巩பைடு நூலகம்提高
-精选典型例题，详细讲解解题过程，引导学生运用同底数幂的乘法法则。
-鼓励学生进行一题多解，培养学生的创新意识和发散思维。
4.练习巩固，查漏补缺
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-针对学生练习中存在的问题，进行针对性讲解，查漏补缺。
5.课堂小结，拓展延伸
-通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识体系。
（三）学生小组讨论，500字
在讲授新知识之后，我会组织学生进行小组讨论。每个小组将得到几个问题，要求他们使用同底数幂的乘法法则来解决。这些问题将包括不同难度的题目，从基础的指数相加到解决实际问题的应用。
学生们需要在小组内部分享自己的解题思路，讨论哪种方法最有效，以及如何将所学的规则应用到实际问题中。通过这种方式，学生不仅能够加深对同底数幂乘法法则的理解，还能够培养团队合作和交流能力。
（二）过程与方法
同底数幂的乘除法
同底数幂的乘除法同底数幂的乘除法是初中数学中的不可避免的话题。
在解题过程中，我们需要理解同底数幂乘、除的基本规律，并能够将其应用于实际问题。
接下来，我将分步骤阐述同底数幂的乘除法。
一、同底数幂的乘法同底数幂的乘法规律很简单：用相同的底数，将指数相加。
例如，2^3 X 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32。
这样的计算方法在解决大量的数学问题中非常方便，例如计算复合的指数函数。
二、同底数幂的除法同底数幂的除法规律同样很简单，只需要用相同的底数，将指数相减即可。
例如，4^5/4^2 = 4^(5-2) = 4^3 = 64。
同样的，这个规律也可以应用于计算复合的指数函数。
三、同底数幂乘除法混合运算如果题目中混合了同底数幂的乘除法，我们先按照乘除法的顺序进行计算，然后再将结果利用同底数幂的乘除法规律进行简化即可。
例如，2^6/2^2 X 2^3 = 2^(6-2+3) = 2^7 = 128。
四、注意事项需要注意的是，同底数幂的乘除法只适用于指数相同的情况。
当指数不同时，我们不能简单地使用这个规律进行计算。
如果指数不同，我们需要将其化成同底数幂，例如，3^4 X 5^2 = (3^2)^2 X 5^2 =9^2 X 5^2 = 81 X 25。
同时，我们需要注意指数为0和1的情况。
当指数为0时，任何数字的0次方均为1。
当指数为1时，任何数字的1次方均为其本身。
综上所述，同底数幂的乘除法规律是初中数学中必备的知识点。
在理解和掌握这个规律后，我们可以将其应用于解决各种数学问题。
同时，我们也需要注意指数的特殊情况。
同底数幂的乘法课件北师大版数学七年级下册
四、合作探究
归纳总结：
实际应用型问题应先转化为数学问题，再运用乘法的结合律及同底数幂 乘法的运算法则进行运算，注意最后的结果用科学记数法表示。
四、合作探究
练一练 2．填空：(1)已知m+n=2，则2m×2n的值是 4 ； (2)已知3x=5，3y=2，则3x+y的值是 10 .
3.光的速度约为3×108km/s，太阳光照到地球上需5×102s，那么太阳 与地球的距离为多少km？（用科学记数法表示）
解：3×108×5×102=1.5×1011． 答：太阳与地球的距离为1.5×1011km
说一说
(m+n)个a
=am+n
(乘方的意义)
同底数幂的乘法法则：
am · an = am+n (当m、n都是正整数). 同底数幂相乘, 底数 不变 ，指数 相加 .
四、合作探究
练一练 1.计算:(1)0.53×0.55 (3)22×(-2)3 ×(-2)3
(2)a2·a3·am (4)(a-b)5·(a-b)2
四、合作探究
探究一 同底数幂的乘法法则 议一议 1015×103=？ =(10×10×10 ×…×10) ×(10×10×10)
（15个10）
(3个10)
=10×10×…×10 (乘法的结合律)
(18个10)
=1018
(乘方的意义)
四、合作探究
试一试 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （3）5m×5n=5（ m+n ）
解:(1)原式=0.62+3+5=0.610 (2)原式=(-1)×33×35 ×33=-311 (3)原式=(a-b)1+2+4=(a-b)7
北师大版七年级数学下册1.1《同底数幂的乘法》课件
(2) a3·a2 =(a·a·a) (a·a) =a5
(3)5m · 5n =(5×5×…×5) ×(5×5×…×5)
m个5
n个5
=5×5×…×5×5 =5m+n
(m+n)个5
想一想：
视察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？
式子中的两个因数有何特点？
(1)25 ×22 =25+2 (2)a3 · a2 =a3+2 (3)5m · 5n =5m+n
做什么?
指数
别叫
底数 an =a·a····a
n个a
幂
an = a × a × a ×… a
n个a
知识新授
想一想： 你能根据乘方的意义算出下列式子的 结果吗？
(1) 25 ×22 (2) a3·a2
(3)5m ·5n
(1) 25 ×22 =(2 ×2 ×2 ×2 ×2 ) ×(2 ×2) (乘方的意义) = 2 ×2 ×2 ×2 × 2 ×2 ×2 (乘法结合律) =27(乘方的意义)
3.计算：
（1） 76×74 （2）a7·a8 （3）b5·b
（4）23×24×25
（5）y·y3·y5
解：（1） 76×74 =76+4=711
（2）a7·a8 =a7+8=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ15
（3）b5·b =b5+1=b6
（4）23×24×25=23+4+5=212
（5）y·y3·y5 =y1+3+5=y9
c·c3 = c4
m+m3 = m+m3
2、填空： （1）x5 ·（ x3 ）=x8 （2）a·（ a5 ）=a6 （3）x·x3 ·（ x3 ）=x7 （4）xm·（ｘ2m ）=x3m （5）8 = 2x，则 x =（ 3 ） （6）8×4 =2x，则 x =（ 5 ） （7）3×27×9 =3x，则 x =（ 6 ）
苏科版七年级下册数学课件同底数幂的乘法
太阳光照射到地球表面所需的时间约是 5×102秒，光的速度约是3×10 8米/秒，地 球与太阳之间的距离约是多少？
3108 5102 15 (108 102 ) ?
1.了解同底数幂的乘法运算性质,理解符号 表示同底数幂的乘法运算性质的意义,体会 模型思想,发展符号意识； 2.会正确地运用同底数幂的乘法运算性质 进行运算,并知道每一步的运算的根据.
如何计算10m× 10n(m,n为正整数）？Fra bibliotek想一想
（1） 如何计算10m×10n (m,n为正整数）？
（2） 2m×2n等于什么？ ( m,n为正整数）？
（3）（
1 2
）m×（
1 2
）n
呢（
m,n为正整数）
？
猜一猜
am ·an= am+n (m、n为正整数)
am ·an （= aa…a）（aa…a）（乘方的意义）
解： 3108 5102
15 (108 102 )
151010 1.51011
答：地球与太阳之间的距
离约是1.5×1011米.
这节课学习了什么？ 有哪些收获？ 还有什么疑问？
试一试
102 ×104 = （ 10 × 10 ） × （10× 10 × 10 × 10 ）. = 10 （ 6 ） ；
104 × 105 =（10×10 ×10 ×10 )×( 10× 10 × 10 ×10× 10 ) . = 10（ 9 ） ；
103× 105 = （10×10 ×10 )×( 10× 10 × 10 ×10× 10 ) . = 10（ 8 ）
m个a
n个a
= aa…a （乘法结合律）
(m+n)个a
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。