2019年高三数学最新信息卷九文科(含答案)

2019年高考高三最新信息卷文 科 数 学（九）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·安徽联考]设集合1124xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭N ，{}1,2,3,4B =，则AB =（ ）A ．{}1B ．∅C ．{}3,4D ．{}2,3,42．[2019·凯里一中]已知复数z 在复平面内对应的点为()11,，（i 为虚数单位），则zz=（ ）ABC ．2D ．13．[2019·郴州模拟]新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一4．[2019·重庆质检]已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α⊥，n β∥，且αβ∥，则m n ⊥C ．若m α⊂，n α⊂，且m β∥，n β∥，则αβ∥D ．若直线m ，n 与平面α所成角相等，则m n ∥5．[2019·马鞍山质检]已知实数x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则22x y z -+=的最大值为（ ）A ．132B ．14C ．12D ．26．[2019·益阳模拟]在ABC △中，点D 在边BC 上，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且有2BD DC =，2AE EB =，3DF FA =，则EF =（ ）A ．1136AB AC -+B ．71126AB AC -+ C ．11612AB AC -+D ．51123AB AC -+ 7．[2019·南太原模拟]将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若方程()()124f x g x -=的根1x ，2x 满足12min π6x x -=，则ϕ的值是（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．π28．[2019·马鞍山一中]奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-， 则()()20182019f f +=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．19．[2019·新疆诊断]已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过原点作一条倾斜角为π3的直线分别交双曲线左、右两支于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为（ ） A ．2B 21C1+D ．310．[2019·沧州模拟]中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆．七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，⋯．设内一衡直径为1a ，衡间距为2d，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，⋯，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A ．1TB ．2TC ．3TD ．4T11．[2019·江淮十校]已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a =，点O 为其外接圆的圆心．已知15BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC △的面积为（ ） A．B．2CD．12．[2019·沧州模拟]某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．9πC ．41π4D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·四川质检]在平面直角坐标系xOy 中，已知02πα<<，点ππ1tan ,1tan 1212P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则α的值是___________．14．[2019·九江二模]谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle ）是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，如图先作一个三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色三角形代表挖去的面积，那么灰色三角形为剩下的面积（我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形）．若通过该种方法把一个三角形挖3次，然后在原三角形内部随机取一点，则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为______．15．[2019·马鞍山一模]已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，直线l 是抛物线C 的准线，点A 在抛物线C 上，过A 作AB l ⊥，垂足为B ，若直线BF的斜率BF k =则AFB △的面积为______．16．[2019·汉中质检]已知函数()221,020,x x x x f x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，方程()0f x a -=有三个实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·广东毕业]已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和．18．（12分）[2019·玉溪一中]如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，222AB AD CD ===，E 是PB 的中点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若2PB =，求三棱锥P ACE -的体积．19．（12分）[2019·咸阳二模]交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是a元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：据统计，某地使用某一品牌座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率，按照我国《机动车交通事故责任保险条例》汽车交强险价格为950a=元．（1）求得知，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数；（2）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率．20．（12分）[2019·西城一模]已知椭圆22:14x yWm m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点()1,0P的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（1）求椭圆W的方程及离心率；（2）求四边形ACBD面积的最大值；（3）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程．（结论不要求证明）21．（12分）[2019·清华附中]已知函数()()22ln f x ax a x x =+--． （1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （2）当01a <<时，求()f x 零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·云师附中]已知曲线E的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设点A 是曲线E 上任意一点，点A 和另外三点构成矩形ABCD ，其中AB ，AD 分别与x 轴，y 轴平行，点C 的坐标为()3,2，求矩形ABCD 周长的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·聊城一模]已知函数()21f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()4f x≤解集；（2）设不等式()24f x x ≤+的解集为M ，若[]0,3M ⊆，求a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年高考高三最新信息卷文科数学答案（九）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由题意得，{}2A x x =∈≥N ，故{}2,3,4A B =，故选D ．2．【答案】D【解析】z 在复平面内对应的点为()11,，∴1i z =+，∴1i z =-，∴z z z z ==，故选D ． 3．【答案】C【解析】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确； 对于选项C ：16635.3 1.523595.8⨯>，故C 不正确； 对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确．故选C ．4．【答案】B【解析】选项A 中可能n α⊂，A 错误；选项C 中没有说m ，n 是相交直线，C 错误； 选项D 中若m ，n 相交，且都与平面α平行，则直线m ，n 与平面α所成角相等， 但m ，n 不平行，D 错误．故选B ． 5．【答案】C【解析】设2m x y =-+，()2mz m =，显然()z m 是指数函数，∵21>，∴()z m 是增函数．本题求()z m 的最大值就是求出m 的最大值．可行解域如下图所示：显然直线2y x m =+平行移动到点A 时，m 有最大值，解方程组1y xy =⎧⎨=⎩，解得A 点坐标为()1,1，代入直线2y x m =+中，得1m =-， ∴z 的最大值为1122-=，故选C ． 6．【答案】B【解析】如图，∵2BD DC =，∴23BD BC =，∵2AE EB =，∴23AE AB =， ∵3DF FA =，∴14AF AD =， ∴()1212514343124EF AF AE AD AB AB BD AB AB BD =-=-=+-=-+ ()51251711243126126AB BC AB AC AB AB AC =-+⨯=-+-=-+．故选B ． 7．【答案】C【解析】由题()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦， 则()()()122sin 22sin 224f x g x x x ϕ-=--=， 不妨设2sin 22x =，()2sin 222x ϕ-=-， 则1π22π2x k =+，2π222π2x k ϕ-=-，1k ，2k ∈Z ，则()121212ππππππ442x x k k k k ϕϕ⎛⎫-=+--+=-+- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，则12minπππ226x x ϕϕ-=-=-=，解得π3ϕ=； 同理当2sin22x =-，()2sin 222x ϕ-=亦成立．故选C ． 8．【答案】B【解析】由题意，奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数， 则()()()111f x f x f x -+=+=--，即()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=， 即()f x 是周期为4的周期函数，()()()()201850442200f f f f =⨯+==-=，()()()20195045111f f f =⨯-=-=-， 则()()20182019011f f +=-=-，故选B ． 9．【答案】C【解析】∵以PQ 为直径的圆过右焦点F ，∴得到该圆以原点O 为圆心，OF 为半径，故得到OP OQ OF c ===， ∵过原点直线的倾斜角为π3，即60QOF ∠=︒，∴QOF △为等边三角形，∴QF c =， 根据对称性，该圆也过双曲线的左焦点，设左焦点为1F ，∴1120QOF ∠=︒， 在1QOF △中，由余弦定理得，1QF =， 根据双曲线的定义得，12QF QF a -=2c a -=，解得1e ，故选C ． 10．【答案】D【解析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值， 由等差数列通项公式有()11i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则()()()(){}21181117174i ia i d a i d a a a i d a i d -+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当()()1117a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立． 综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T ．故选D ． 11．【答案】A【解析】设AC 中点为D ，则()()()22111222BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=-， ∴22111522a c -=，即6c c a <知角C 为锐角，故2222301301cos 2121212a b c b C b ab b b +-+⎛⎫===+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当30b b=，即30b =cos C 最小， 又cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递减，故C 最大．此时，恰有222a b c =+，即ABC △为直角三角形，12ABC S bc ==△A ．12．【答案】C【解析】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AD AA ==，1AB =， 点M ，N ，1N 分别为其所在棱的中点，则三视图对应的几何体为三棱锥1B AMD -， 很明显AMD △是以AD 为斜边的直角三角形，且当1NN ⊥平面ABCD ， 故外接球的球心O 在直线1NN 上，以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,A ，()11,0,2B ， 设()0,1,O h ，由1OA OB =有：()222221112h h +=++-，解得54h =， 设外接球半径为R ，则222541111616R h =+=+=， 外接球的表面积2414ππ4S R ==．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】π3【解析】πππ1tan tan tanπππ12412tan tan tan πππ41231tan 1tan tan 12412α++⎛⎫===+= ⎪⎝⎭--， ∵02πα<<，且点P 在第一象限，∴α为锐角，∴α的值是π3，故答案为π3．14．【答案】2764【解析】由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的14， ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的34， 设最初的面积为1，则挖3次后剩下的面积为3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为2764，故答案为2764． 15．【答案】【解析】∵抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 为椭圆222419x y b+=的右顶点，∴322p a ==，∴3p =． 设3,2B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3322BF m k ==--m =故(0,A x 在26y x =上，可得092x =，∴062pAB x =+=，则AFB △的面积为162S =⨯⨯=．故答案为16．【答案】()1,2【解析】方程()0f x a -=有三个实数解，等价于函数()y f x =和y a =图象有三个交点，因此先画出函数图象，图象如下图：通过图象可知当()1,2a ∈时，函数()y f x =和函数y a =有三个交点， 即a 的取值范围是()1,2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）32n a n =-．（2）2k =，()231141223n n S n n =-+-．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =， 则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，∴()13132n a n n =+-=-．（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到32k a k =-，代入上式解得2k =；1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，11a =，24a =，∴等比数列{}n b 的公比为4q =．由等比数列的通项公式得到14n n b -=．则1324n n n a b n -+=-+， 故()()()()1131411144324241n n n n n S n ---=++++⋯+-+=+-()231141223n n n =-+-． 18．【答案】（1）见解析；（2）26． 【解析】（1）∵PC ⊥底面ABCD ，AC ABCD ⊂平面，∴AC PC ⊥，∵2AB =，1AD CD ==，∴AC BC =222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又BC PC C =，∴AC PBC ⊥平面，∵AC EAC ⊂平面，∴平面EAC ⊥平面PBC ． （2）根据E 是PB 的中点，PC ⊥平面ABCD ，得1111222326P ACE P ACB V V --==⨯⨯=．19．【答案】（1）250；（2）0.95． 【解析】（1）易得25m =，估计该地本年度这一品牌7座以下事故车辆数为55000250100⨯=． （2）法1：保费不超过950元的车型为1A ，2A ，3A ，4A ，所求概率为501510200.95100+++=．法2：保费超过950元的车型为5A ，6A ，概率为32100+， 因此保费不超过950元的车概率为10.050.95-=．20．【答案】（1）2214x y +=，离心率e =；（2）；（3）4x =．【解析】（1）由题意，得244a m ==，解得1m =．∴椭圆W 方程为2214x y +=．故2a =，1b =，c = ∴椭圆W的离心率c e a ==． （2）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W的方程，得C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭， 又∵24AB a ==，AB CD ⊥，∴四边形ACBD的面积12S AB CD =⨯=． 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为()()10y k x k =-≠，()11,C x y ，()22,D x y ， 联立方程()22114y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222418440k x k x k +-+-=． 由题意，可知0∆>恒成立，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+， 四边形ACBD 的面积121122ABC ABDS S S AB y AB y =+=⨯+⨯△△ ()1212122AB y y k x x =⨯-=-= 设241k t +=，则四边形ACBD 的面积S =()10,1t∈，∴S =综上，四边形ACBD 面积的最大值为（3）结论：点M 在一条定直线上，且该直线的方程为4x =．21．【答案】（1）1；（2）两个． 【解析】（1）()f x 定义域为()0,+∞．()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-'=+--==． 由已知，得()10f '=，解得1a =．当1a =时，()()()211x x f x x+-'=．∴()001f x x '<⇔<<，()01f x x '>⇔>．∴()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞． ∴函数()f x 在1x =时取得极小值，其极小值为()10f =，符合题意，∴1a =． （2）令()()()2110x ax f x x+-'==，由01a <<，得11x a=>． ∴()100f x x a '<⇔<<，()10f x x a '>⇔>．∴()f x 减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．∴函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11ln 1f a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．∵01a <<，∴ln 0a <，11a >．∴110a -<．∴11ln 10f a a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭．∵()()()2222e 111e e e e e a a a a f ---+⎛⎫=++>+= ⎪⎝⎭，又∵01a <<，∴2e 0a -+>．∴10e f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．根据零点存在定理，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．∵ln x x >，()()()()222ln 23f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-． 令30ax a +->，得3ax a->． 又∵01a <<，∴31a a a->．∴当3ax a ->时，()0f x >． 根据零点存在定理，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．∴当01a <<时，()f x 有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）22143x y+=；（2）10⎡-+⎣． 【解析】（1）曲线E 的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为22143x y +=．（2）设点A 的坐标为()2cos αα，()B α，()2cos ,2D α，∴32cos 32cos AB αα=-=-，22AD αα==，()()210l AB AD αθ=+=-+，∴矩形的周长的取值范围为10⎡-+⎣．23．【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2．【解析】（1）1a =时，()121f x x x =-++，若()4f x ≤，1x ≥时，1224x x -++≤，解得1x ≤，故1x =， 11x -<<时，解得1x ≤，故11x -<<，1x ≤-时，1224x x -++≤，解得53x ≥-，故513x -≤≤-，综上，不等式的解集是5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）若[]0,3M ⊆，则问题转化为2124x a x x -++≤+|在[]0,3恒成立， 即24222x a x x -≤+--=，故22x a -≤-≤， 故22x a x --≤-≤-在[]0,3恒成立，即22x a x -≤≤+在[]0,3恒成立，故12a ≤≤， 即a 的范围是[]1,2．。