2019年高三数学三模试卷及答案
湖南省2019届高三三模数学(理)试卷(含答案)
湖南省2019届高三三模数学（理）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上.1.已知集合{}R x x y y M ∈-==,12，{}R x x y x N ∈-==,32，则M N I为A ．]3,3[-B ．]3,1[-C ．φD ．]3,1(- 2.下列命题中，正确的是①{}也成等差数列，项和，则是其前是等差数列，已知n n n n n n n S S S S S n S a 232,--； ②“事件A 与事件B 对立”是“事件A 与事件B 互斥”的充分不必要条件； ③复数321,,Z Z Z ，若()()0232221=-+-Z Z Z Z ，则31Z Z =；④命题“02,020>--∈∃x x R x ”的否定是“02,2<--∈∀x x R x ”. A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q 等于A ．1-B ．1C ．2-D ．2 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．92B ．275C ．31D ．324555.在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边 关于y 轴对称．若3tan 5α=，则()βα-tan 的值为 A ．0 B ．1715 C ．169 D ．8156.已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点D C B A ，，，的距离都大于1的概率为A.16π B.4π C.π4223- D.41π- 7.甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，输出否 是2,1i S ==开始11i S S i -=⨯+1i i =+21i i =- 结束?10<i如图所示，记甲的体积为甲V ，乙的体积为乙V ，则有 A ．乙甲V V < B ．乙甲V V =C ．乙甲V V >D ．乙甲、V V 大小不能确定8.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12展开式的各个二项式系数的和为128，则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中2x 的系数为A ．44B ．560C ．7D ．359.已知点P 为双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，右支上一点，点2,1F F 分别为双曲线的左、右焦点，点I 是21F PF ∆的内心，若恒有212131F IF IPF IPF S S S ∆∆∆≥-成立，则双曲线离心率的取值范围是 A ．(1，2]B ．(1，2)C ．(0，3]D ．(1，3]10.设函数x x f lg )(=，若存在实数b a <<0，满足)()(b f a f =，则8log 222b a M +=,221log ⎪⎭⎫⎝⎛+=b a N ，21ln e Q =的关系为A ．Q N M >>B ．N Q M >>C ．M Q N >>D ．Q M N >>11.如图，GCD ∆为正三角形，AB 为GCD ∆的中位线，AE AB 3=,BF BC 3=,O 为DC 的中点，则向量FE ，OF 夹角的余弦值为A.21 B.21- C.22- D.2212.已知函数234)(,132)(23+-=+-=x a x g ax ax x f ，若对任意给定的[]2,0∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间[]2,0上总存在唯一的一个解，则实数a 的取值范围是A.(－∞，1]B.(0，1)∪{－1}C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡181， D.(－1，0)∪⎥⎦⎤ ⎝⎛181， 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.某学校共有在职教师140人，其中高级教师28人，中级教师56人，初级教师56人，现采用分层抽样的方法，从在职教师中抽取5人进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为______．14.设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若Z 的最小值是9-，则Z 的最大值为 ．15.三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面，4,2,60,====∠︒AC PA AB BAC ABC 则三棱锥ABC P -外接球的体积为 ．16.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)1(),1()21(=-=+f x f x f ,n S 为数列{}n a 的前n 项和，且)(124+∈=-N n S a n n ，则)()(63a f a f +＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.已知2π≠A ，且 ,sin cos 62sin B A A b =（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若3π=A ，求ABC ∆周长的取值范围．18.（本小题满分12分）政府为了对过热的房地产市场进行调控决策，统计部门 对城市人和农村人进行了买房的心理预期调研，用简单随机 抽样的方法抽取110人进行统计，得到如右列联表：(Ⅰ)用独立性检验的思想方法说明有多少的把握认为不买房心理预期与城乡有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（Ⅱ）某房地产中介为增加业绩，决定针对买房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC垂直于圆O 所在的平面， //,1, 4.DC EB DC EB AB === （Ⅰ） ACD DE 平面求证：⊥;（Ⅱ）.值所成的锐二面角的余弦与平面，求平面若ABE AED BC AC =20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为24.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）21.（本小题满分12分）已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+．（Ⅰ）若2=x 是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）设,m n 为正实数，且m n >，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22，23两题中任选一题作答。
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z=a+i（a∈R）的模为，则a=（）A. 1B. ±1C. 2D. ±22.设命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为（）A. ∃x0∈R，x02-3x0+2≤0B. ∀x∈R，x2-3x+2＞0C. ∃x0∈R，x02-3x0+2＞0D. ∀x∈R，x2-3x+2≥03.已知集合A={x|＜0}，B={x|y=），则A∩B=（）A. （-1，2）B. [-1，2）C. [-1，2]D. [-2，2]4.已知函数（f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可以为（）A. y＝2sin（2x+）B. y＝2sin（x+）C. y＝2sin（2x﹣）D. y＝2sin（x﹣）5.过抛物线y2=4x的焦点作一条倾斜角为的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（）A. 4B. 6C. 8D. 166.函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（）A. [2，+∞）B. （3，+∞）C. （，+∞）D. [9，+∞）7.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P，Q两点，且△POQ为等边三角形（其中O为原点），则k的值为（）A. 或-B.C. 或-D.8.已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（）cm2A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π9.在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，使得∠APB≤的概率为（）A. 1-B.C.D. 1-10.阅读右面的程序框图，如果输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞），那么输出的函数值f（x）取值范围是（）A. [0，2]B. [，2]C. [，4]D. [，2]∪{4}11.已知函数f（x）=a sin x+b cos x，且f（）是它的最大值（其中a，b为常数，且m≠0），给出下列命题：①函数f（x-）为奇函数②函数f（x）的图象关于x=对称；③函数f（-）是函数的最小值④函数f（x）的图象在y轴右侧与直线y=的交点按横坐标从小至大依次记为P1，P2，P3，P4…则|P2P4|=2π．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.函数f（x）=，若存在实数m，使得方程f（x）=m有三个相异实根，则实数a的范围是（）A. [，+∞）B. [0，]C. （-∞，2]D. [，2）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则t=______14.等比数列{a n}中，a1=1，a3•a5=64，则a2019=______15.设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=3x-2y的最小值为______．16.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程=4的解为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差效列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+a2=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列b n=2n+1•a n求{b n}的前项和T n．18.棉花的优质率是以其纤维长度来衡量的，纤维越长的棉龙品质越高．棉花的品质分类标准为纤维长度小于等于28mm的为粗绒棉，纤维长度在（25，33]为细绒棉，纤维长度大于33mm的为长绒棉，其中纤维长度在38mm以上的棉花又名“军海1号”，某采购商从新疆某一棉花基地抽测了100根棉花的纤维长度，得到数据如下图频率分有表所示纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数2384020（）若将频率作为概率，根据以上数据，能否认为该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求（2）用样本估计总体，若这批棉共有10000kg，基地提出了两种销售方案给采购商参考．方案一：不分等级卖出，每千克按13.5元计算．方案二：对10000kg棉花先分等级再销售，分级后不同等级的棉花售价如表纤维长度（mm）≤25（25，33]（33，38]＞38根数281525从采购商的角度，请你帮他决策一下该用哪个方案．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，再从6根棉花中取两根进行检验，求抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．19.如图，在五棱锥P-ABCDE中，AB∥DE，BC∥AE，AE⊥平面PDE，AB=AE=PD=2DE=2BC=4，∠PDE=60°．（1）证明：PE⊥CD；（2）过点D作平行于平面PAE的截面，与直线AB，PB，PC分别交于F，G，H，求夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积．20.已知函数f（x）=x-1--ln x．（1）若a=0，求f（x）在x=1处的切线方程（2）若函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．21.已知定点P（2，0），圆M：x2+y2+4x-60=0，过点P的直线l₁交圆M于R，S两点，过点P作直线l2∥MS交直线MR于Q点（1）求Q点的轨迹方程E（2）若A，B，C，D是曲线E上不重合的四个点，且AC与BD交于点（-2，0），•=0，求||+||的取值范围22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半籼为极轴；建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，且|AB|=2，求α的值．23.设函数f（x）=|x-a|，如果不等式f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}．（1）求a的值；（2）当x∈（0，1），证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵z=a+i（a∈R）的模为，∴，解得a=±1．故选：B．直接利用复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2.答案：C解析：解：命题为全称命题，命题：∀x∈R，x2-3x+2≤0，则￢p为∃x0∈R，x02-3x0+2＞0，故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3.答案：B解析：解：集合A={x|＜0}=（-2，2），∵B={x|y=），∴-x2+x+2≥0，解得-1≤x≤2，即B=[-1，2]，∴A∩B=[-1，2），故选：B．化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．4.答案：A解析：解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ）的部分图象知，A=2，T=-=，解得T=π.∴ω==2；又ωx+φ=2×+φ=，解得φ=.∴f（x）=2sin（2x+）．故选：A．由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题.5.答案：D解析：解：抛物线的焦点坐标为F（1，0），p=2，过焦点的直线的斜率k=tan=，则直线方程为y=（x-1），代入y2=4x得（x-1）2=4x，整理得x2-14x+1=0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=14，则|AB|=x1+x2+p=14+2=16，故选：D．求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的应用，联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的弦长公式进行计算是解决本题的关键．6.答案：B解析：解：令t=2x（t＞0），∴函数y=4x+2x+1+3（x∈R）化为f（t）=t2+2t+3=（t+1）2+2（t＞0），∴f（t）＞3．即函数y=4x+2x+1+3（x∈R）的值域为（3，+∞）．故选：B．令t=2x（t＞0），把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．本题考查利用换元法及配方法求函数的值域，是基础题．7.答案：C解析：【分析】本题考查直线和圆的位置关系，是基础题．由已知可得，圆心（0，0）到直线的距离d=，结合点到直线的距离公式可求k．【解答】解：∵y=kx+1与圆x2+y2=1过点（0，1），设P（0，1），∵△POQ为等边三角形，边长为1，∴圆心（0，0）到直线的距离d=，解可得，k=，故选C．8.答案：B解析：解：三视图复原几何体是一个组合体，上部是横卧的圆柱的一半，底面是一个半圆，其中半径为1，高为2的半圆柱；下部是正方体，棱长为：2，半圆柱的侧面积为π×1×2+π×12=3π，正方体部分的侧面积为2×2×5=20，所以组合体的表面积为20+3π（cm2）．故选：B．三视图复原几何体是一个组合体，上部是圆柱的一半，下部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题考查由三视图求组合体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9.答案：A解析：解：如图正方形的边长为2，图中白色区域是以AB为直径的半圆，当P落在半圆内时，∠APB＞；当P落在半圆上时，∠APB=；当P落在半圆外时，∠APB＜．故使∠APB＜的概率P==1-．故选：A．由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，明确P点的位置是解答该题的关键，是基础题．10.答案：D解析：解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．可得当-∞＜x＜-2时，f（x）=2；当-2≤x≤1时，f（x）∈[，2]；当x=2时，f（x）=4；当x＞2时，f（x）=2；综上，可得输入的实数x的取值范围是（-∞，1]∪[2，+∞）时，输出的函数值f（x）取值范围是[，2]∪{4}．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值，由已知分类讨论即可求解．本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键，属于基本知识的考查．11.答案：C解析：解：由于函数f（x）=a sin x+b cos x=sin（x+∅），且f（）是它的最大值，∴+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ+，∴tan∅==1．∴f（x）=|a|sin（x+）．对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，故①正确；对于②，由于当x=时，f（x）=|a|，故函数f（x）的图象不关于x=对称，故②不正确；对于③，由于f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，为函数f（x）的最小值，故③正确；对于④，函数f（x）的图象即把函数y=|a|sin x的图象向左平移个单位得到的，故|P2P4|等于一个周期2π，故④正确．故选：C．由题意可得f（x）=sin（x+∅），对于①，由于f（x-）=|a|sin x．是奇函数，可判断①；对于②，由于x=时，f（x）=|a|，可判断②；对于③，由f（-）=|a|sin（-+）=-|a|，是函数f（x）的最小值，可判断③；对于④，由题意可得，|P2P4|等于一个周期2π，可判断④．本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，得到f（x）=|a|sin（x+）是解题的关键，属于中档题．12.答案：D解析：解：当-2≤x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1．∴f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）令f′（x）=0⇒x=0或x=-1；令f′（x）＞0⇒-2＜x＜-1；令f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；且最大值为f（-1）=-2+3+1=2；f（-2）=-16+12+1=-3；f（0）=1；当0≤x≤2时，f′（x）=ae x，则若a＜0时，可得f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递减且最大值为f（0）＜0，不存在有三个相异实根，故不成立舍掉；同理，当a=0时也不存在舍掉；即实数a必须大于0；故当a＞0时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，2）上单调递增，若想f（x）=m有三个相异实根，必须满足⇒．故选：D．分情况讨论，通过函数的单调性求出满足条件的方程的充要条件，列出不等式求解即可得答案．本题考查了函数与方程的综合应用，直线与抛物线的关系的应用，属于中档题．13.答案：-解析：解：向量=（1，-2），=（t，3），若∥，则3×1-（-2）×t=0，解得t=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理，列方程求出t的值．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：依题意，数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，所以a2019==22018，故答案为：22018．数列{a n}是等比数列，设其公比为q，则a3•a5=64=，即a6=64=26，所以q=2或q=-2，代入即可．本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．15.答案：-1解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当目标函数z=3x-2y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2），所以z的最小值为z min=3×1-2×2=-1．故答案为：-1．画出不等式组表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹为．联立，解得x=．故答案为：．由=4，得，其几何意义为平面内动点（x，2）与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4．求出平面内动点与两定点（-3，0），（3，0）距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，取y=2求得x 值即可．本题考查曲线与方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．17.答案：解：（1）等差效列{a n}的公差设为d，且a1=1，S2+a2=4，可得1+1+d+1+d=4，解得d=，则a n=1+（n-1）=；（2）b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，前n项和T n=2•2+3•4+4•8+…+（n+1）•2n，2T n=2•4+3•8+4•16+…+（n+1）•2n+1，相减可得-T n=4+4+8+16+…+2n-（n+1）•2n+1=2+-（n+1）•2n+1，化为T n=n•2n+1．解析：（1）等差效列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n+1•a n=（n+1）•2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）将频率作为概率，根据以上数据，长绒棉占全部棉花的比例为P==60%，∴该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．∴从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到：6×=2，再从6根棉花中取两根进行检验，基本事件总数n==15，抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”包含的基本事件个数m==8，∴抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率p=．解析：（1）将频率作为概率，能求出该基地的这批棉花符合“长绒棉占全部棉花的50%以上的要求“．（2）方案一：13.5×10000=135000．方案二：2×200+8×3800+15×4000+25×2000=140800．从采购商的角度，该用方案一．（3）用分层抽样的方法从长绒棉中抽取6根棉花，其中“军海1号”抽取到2根，再从6根棉花中取两根进行检验，利用古典概型能求出抽到的两根棉花只有一根是“军海1号”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：（1）证明：∵DE=2，PD=4，∠PDE=60°，∴PE==2，∴PE⊥DE．∵AE⊥平面PDE，PE⊂平面PDE，∴AE⊥PE，又AE∩DE=E，AE⊂平面ABCDE，DE⊂平面ABCDE，∴PE⊥平面ABCDE，又CD⊂平面ABCDE，∴PE⊥CD．（2）解：∵平面PAE∥平面DFGH，∴DF∥AE，PA∥GF，又BC∥AE，AB∥DE，∵AE⊥平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AE⊥DE，∴四边形AEDF是矩形，∴V P-AEDF=S矩形AEDF•PE==．∵AP∥GF，∴P到平面DFGH的距离等于A到平面DFGH的距离，由（1）可知PE⊥平面ABCDE，故而PE⊥AF，又AF⊥AE，AE∩PE=E，∴AF⊥平面PAE，∴AF⊥平面DFGH，∵BC∥AE，DF∥AE，∴BC∥DF，又BC⊄平面DFGH，DF⊂平面DFGH，∴BC∥平面DFGH，又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面DFGH=GH，∴BC∥GH，∵AF=DE=AB，故F为AB的中点，∴G为PB的中点，∴H是PC的中点，∴GH=BC=1，又梯形DFGH的高为PE=，∴V P-DFGH=V A-DFGH=•AF=×（1+4）××2=．∴夹在该截面与平面PAE之间的几何体体积V=V P-AEDF+V P-DFGH=7．解析：（1）根据AE⊥DE，PE⊥DE可得PE⊥平面ABCDE，于是PE⊥CD；（2）求出梯形DFGH的面积，分别计算棱锥P-AEDF和棱锥P-DFGH的体积．本题考查了线面垂直的判定与性质，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20.答案：解：（1）函数f（x）=x-1--ln x．若a=0，f（x）=x-1-ln x，f′（x）=1-，f（1）=0，f′（1）=0，f（x）在x=1处的切线方程为y=0，（2）证明：函数f（x）=x-1--ln x．f′（x）=，因为函数f（x）存在两个极值点x1和x2，所以f′（x）=0，x1=1，x2=，a∈（0，）∪（，1），f（x1x2）+=-2-ln，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），h（t）=4t-ln t-2，h′（t）=4-=0，t=，所以y=h（t）在（0，）单调递减，在（，1），（1，+∞）单调递增；所以h（t）最小值为h（）=2ln2-1；即h（t）≥2ln2-1；即f（x1x2）+≥2ln2-1．解析：（1）将a=0代入函数，求函数的导数和函数的切点的坐标，利用点斜式可求f（x）在x=1处的切线方程；（2）函数f（x）存在两个极值点x1和x2，求证：f（x1x2）+≥2ln2-1．即证明f（x1x2）+=-2-ln≥2ln2-1，令t=，t∈（0，1）∪（1，+∞），转换成新函数h（t）=4t-ln t-2≥2ln2-1，即求函数h（t）的最小值大于等于2ln2-1即可；本题考查了导数的综合应用，属于中档题．21.答案：解：（1）如图，可得QP=QR，所以QM+QP=QM+QR=MR=8＞MP=4，所以Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆，其中a=4，c=2，所以b2=12，故点Q的轨迹方程为；（2）由（1）可知左焦点（-2，0），且AC⊥BD，①当直线AC、BD中有一条直线的斜率不存在时，||+||=6+8=14；②当直线AC的斜率为k，k≠0，其方程为：y=k（x+2），联立，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-48=0，设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，所以==，同理可得：=，所以||+||=，令1+k2=t（t＞1），||+||==∈[，14），综上，||+||的取值范围是[，14]．解析：（1）根据题意画出图象，可得QM+QP＞MP，即可知Q点的轨迹是以M，P点为焦点的椭圆；（2）由条件可判断出AC、BD过椭圆左焦点，分别讨论AC、BD斜率存在与不存在的情况，表示出||+||，即可求出取值范围．本题考查点的轨迹方程，利用数形结合判断出轨迹为椭圆是关键，属于中档题．22.答案：解：（1）曲线C2的极坐标方程为．利用三角函数的展开式，转换为直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=4，（2）曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），转换为直角坐标方程为y+1=k（x-1），（k=tanα），所以圆心（1，1）到直线l的距离d=，所以，解得k=，所以．解析：（1）直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用勾股定理和点到直线的距离公式的应用求出直线的斜率，进一步求出直线的倾斜角．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.答案：解：（1）∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴0和2为方程|x-a|=1的两实根，∴|a|=1且|2-a|=1，∴a=1，∴a的值为1；（2）证明：当x∈（0，1）时，=====4，当且仅当即x=时取等号，∴．解析：（1）由f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，可知0和2为方程|x-a|=1的两实根，将0和2代入方程|x-a|=1中可求出a的值；（2）由题意可得=，利用基本不等式可得的最小值，从而证明≥4．本题考查了不等式的解集与方程根之间的关系，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。
2019届山东省高三第三次模拟考试数学(理)试卷【含答案及解析】
2019届山东省高三第三次模拟考试数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知复数满足，为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.3. 直线与曲线围成图形的面积为（）A. B. 9 C. D.4. 已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A. 关于点对称________B. 关于直线对称C. 关于点对称________D. 关于直线对称5. 下列说法错误的是（）A. 对于命题，则B. “ ”是“ ”的充分不必要条件C. 若命题为假命题，则都是假命题D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（________ ）A．________ B． C． D．7. 点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（_________ ）A．29______________________________ B．31___________________________________ C．33___________________________________ D．369. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10. 已知函数满足，且当时，，若当时，函数与轴有交点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题11. 已知实数，满足则的最小值为_________ ．12. 若经过抛物线焦点的直线与圆相切，则直线的斜率为 __________ ．13. 已知，则 __________ ．14. 函数，则 __________ ．15. 在中，点D满足，当点E在射线AD（不含点A）上移动时，若，则的最小值为________．三、解答题16. 的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若的面积为，求的周长．17. 如图，在三棱柱中，底面，，为线段的中点．（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积．18. 已知正项数列满足，且．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角大小为，求线段的长．20. 已知椭圆：的右焦点为，且点在椭圆上．⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 已知动直线过点且与椭圆交于两点．试问轴上是否存在定点 , 使得恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 已知函数，，，．（1）讨论的单调性；（2）若存在最大值，存在最小值，且，求证：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】。
2019届高三数学下学期三模试题理(含解析)
2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，，，，X的分布列为：，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连，，，，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，，，，，，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y 轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵kBM=，kAQ=-，∴kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，，；（2）由（1）得，当时，，，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间是，，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，，，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中且两两不相等．(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2(Ⅱ)记．若，证明：；(Ⅲ)若，求的最小值.【答案】(Ⅰ)②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到②或只得到③给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.综上：，，，所以．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．取得到的数列为：下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.。
2019届高三数学第三次联考三模试题文扫描版
17.解析：（1）由 ,得 ,由正弦定理，得 ,由余弦定理，得 ,整理得 ,因为 ,所以 ，所以a=3.。。。。。。。（6分）
(另解：由 代入条件变形即可。）
所以最优解为A（2，2），
则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，
z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．
16. ，解析：求导得 ，所以在点 处的切线方程为 .令x=0得， 令y=0得， 所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积 （舍去负值），所以.
设：至少有一名女生参加座谈为事件A,则 。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
19.解析：（1）面 面 ， ，则 面 ，
面 ，∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ 面 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
（2） ，即 ，
解 ，即点到面距离为 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（12分）
6.C,解析：由程序框图知：算法的功能是求数列的前n项中的最小项，所以输出的M是数列的最小项，则满足 ，故选C。
7.B解析：如图正 的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，以 为半径，在 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P在这三个扇形外，因此所求概率为 ，故选B．
8.A解析：由题意，该四面体的直观图如下: ,是直角三角形， ,是等边三角形,
9.D解析：由于f(-x)=-f(x)故函数为奇函数，排除A选项.令 ， ，排除B选项.由于分母不为零，分子 为增函数且为奇函数，有且仅有1个零点（x=0），排除C选项.故选D.
2019届高三数学三模考试试题(含解析)_3
2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2 B. 1 C. 0 D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1），，，，，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为为单调递减函数，则为单调递增函数，则，代入，解得，即，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.20.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上一个端点到的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的“伴随圆”的动弦，过点、分别作“伴随圆”的切线，设两切线交于点，证明：点的轨迹是直线，并写出该直线的方程；（3）设点是椭圆的“伴随圆”上的一个动点，过点作椭圆的切线、，试判断直线、是否垂直？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，则，从而得到椭圆C的方程；（2）根据题意，求得，分直线的斜率存在与不存在两种情况，将斜率存在时求得的直线，对斜率不存在时求得的点P的坐标进行检验，最后求得结果.（3）讨论当P在直线上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去，得到关于的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于的方程，求出连根之积，判断是否为，即可判断垂直.【详解】（1）依题意得：，所以，所以椭圆方程为：；（2）由题意可得伴随圆的方程为，点为，所以，当过点P的直线斜率不存在时，则，可求得，此时，当过点P的直线斜率存在时，设直线方程为：，设，，则经过各自的切线方程为：，把代入，解得，消，得到，当不存在时，也满足方程，所以点的轨迹是一条直线，且方程为；（3）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因与椭圆只有一个公共点，则其方程为：，此时经过点或，则直线的方程为：，经检验，满足垂直关系；当斜率都存在时，设点，因为点P在伴随圆上，所以有，设经过点，且与椭圆只有一个公共点的直线方程为：，联立椭圆方程，，消化简得，因为相切，所以，即：，又因为，所以，所以，所以直线，从而得证.【点睛】该题考查的是与解析几何相关的创新的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，新定义的问题，圆的方程，直线与圆的位置关系，两直线垂直的条件，属于难题.21.对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据题中所给条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.【详解】（1）因为，，但，所以数列不具有性质，同理可得数列具有性质；（2）因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的且，满足，即，由性质的含义可得，，，，所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以最多有个元素，即为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在，使得，其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得，若，则取，可得，若，则取，可得，记，则对于，有，显然，由性质的含义可得：，所以，所以，又满足的最小的正整数，所以，，所以，所以，取，所以，若是偶数，则，若是奇数，则，所以，，所以是公差为1的等差数列.【点睛】该题考查的是有关与数列相关的创新题，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题.2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.已知全集，集合，则______.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是______.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则______.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______.【答案】【解析】试题分析：．考点：抛物线及其性质．5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为______.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，，当时，，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为______.【答案】5.【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则__.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，，，且，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是______.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，①当或时，显然成立；②当时，，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，，，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（）A. 2B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（）A. 2B. 1C. 0D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，，，.若，则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理得，再计算2－，最后根据推理得的取值范围.【详解】∵，∴＝＝0，∴.∵，∴，∴. ∴，∵，∴＋2＝2＋＋2(－)＝2－，∵，∴0≤，∴0≤，∴，即||∈.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、、分别为棱、、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、、所对的边分别为、、.（1）若，，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，。
2019年全国III卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III 卷)(适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏)理科数学本试卷共23题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =−=≤，，则A B =A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6．已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==−，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b −==，D ．1e a −=，1b =−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9．执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ．324B ．322C ．22D ．3211．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322−）＞f （232−） B ．f （log 314）＞f （232−）＞f （322−）C ．f （322−）＞f （232−）＞f （log 314） D ．f （232−）＞f （322−）＞f （log 314）12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考数学三模试题 理(含解析)
2019高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．62．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2017年河南省八市中评高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若复数（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣6 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数==+i是纯虚数，可得=0，≠0，解出即可得出．【解答】解：复数==+i是纯虚数，则=0，≠0，解得a=﹣2．故选：A．2．设[x]表示不大于x（x∈R）的最大整数，集合A={x|[x]=1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．{1} B．{1，2} C．[1，2）D．[1，2]【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据[x]的定义用区间表示集合A，再根据并集的定义写出A∪B．【解答】解：根据题意，集合A={x|[x]=1}={x|1≤x＜2}=[1，2），集合B={1，2}，所以A∪B=[1，2]．故选：D．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．若函数的图象上某一点处的切线过点（2，1），则切线的斜率为（）A．0 B．0或C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于f（x）的图象为单位圆的上半圆，求得切线的斜率和方程，代入（2，1），解方程可得m，n，进而得到所求切线的斜率．【解答】解：设切点为（m，n），（﹣1≤m≤1，n≥0），由于函数的图象为单位圆的上半圆，可得切线的斜率为﹣，即有切线的方程为y﹣n=﹣（x﹣m），代入m2+n2=1，可得mx+ny=1，代入（2，1），可得2m+n=1，解得m=，n=﹣，（舍去）或m=0，n=1，即为切线的斜率为﹣=0．故选：A．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），作出Ω={（x，y）|}表示的平面区域，把xy∈[0，4]转化为0≤y≤，求出满足0≤y≤的区域面积，计算所求的概率值．【解答】解：由题意把两个数为x，y看作点P（x，y），则Ω={（x，y）|}，它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为42=16；xy∈[0，4]转化为0≤y≤，如图所示；且满足0≤y≤的区域面积是：16﹣（4﹣）dx=16﹣（4x﹣4lnx）=4+4ln4，则xy∈[0，4]的概率为：P==．故选：C．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．已知函数f（x），g（x）满足关系式f（x）=g（|x﹣1|）（x∈R）．若方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，则7个根之和为（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】函数y=g（|x|）是偶函数，y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．再由x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，可得y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．结合中点坐标公式得答案．【解答】解：函数y=g（|x|）是偶函数，其图象关于直线x=0对称，而y=g（|x﹣1|）是把y=g（|x|）向右平移1个单位得到的，∴y=g（|x﹣1|）的图象关于直线x=1对称．即y=f（x）的图象关于直线x=1对称．方程f（x）﹣cosπx=0恰有7个根，即方程f（x）=cosπx恰有7个根，也就是y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有7个交点，而x=1是f（x）=cosπx的一条对称轴，∴y=f（x）的图象与y=cosπx的图象有3对交点关于直线x=1对称，有1个交点为（1，1）．由中点坐标公式可得：y=f（x）的图象与y=cosπx的图象交点的横坐标和为3×2+1=7．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，若存在向量使，则= ．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】设=（x，y），由，可得，解出x，y．即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴，解得x=3，y=﹣2．则==．故答案为：14．若展开式中存在常数项，则n的最小值为 5 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，求出n、r的关系，即可求出n 的最小值．【解答】解：展开式中通项公式为T r+1=••=•（﹣1）r•，令=0，解得n=，其中r=0，1，2，…，n；当r=3时，n=5；所以n的最小值为5．故答案为：5．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C成等差数列，且为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC面积的S．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据角A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，利用三角形内角和定理带入化简可得C的大小；（2）根据C的大小和2B=A+C，可得A，B的大小．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，∴B=，∵=2sin（A+C），∴2sinCcosA+sinA=2sinAcosC+2cosAsinC，∴sinA=2sinAcosC，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosC=，∵C∈（0，π），∴．（2）．由（1）值A=，C=，由正弦定理得，得AB=，同理得AC=，∴△ABC面积的S=．18．如图，ABC﹣A'B'C'为三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=2，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）在三角形ABC中，由余弦定理可得AC2，由AC2+BC2=AB2，得AC⊥CB，建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面AB′M与平面BCC′B′的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cosB=22+12﹣2×2×1×cos60°=3．∴AC2+BC2=AB2，则AC⊥CB．建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（），B′（0，1，2），M（0，0，1），∴，，设平面AB′M的一个法向量为．由，取x=1，得．∵AC⊥平面BCC′B′，∴可取平面BCC′B′的一个法向量．∴cos＜＞=∴平面AB'M与平面BB'C所成的锐二面角的余弦值为．19．为推行“新课改”教学法，某数学老师分别用传统教学和“新课改”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中个随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如表：记成绩不低于105分者为“成绩优良”．（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关？（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=，（n=a+b+c+d）临界值表：【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BO：独立性检验的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，根据列联表计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据以上统计数据填写2×2列联表，如下；根据列联表，计算K2==≈5.227＞5.024，对照临界值知，有97.5%的把握认为“成绩优良”与教学方式有关；（2）由表可知，8人中成绩不优良的人数为3，则X的可能取值为0、1、2、3，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；所以X的分布列为：数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×==．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知f（x）=且a≠1），f（x）是增函数，导函数f'（x）存在零点．（1）求a的值；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）图象上的两点，x0是AB中点的横坐标，是否存在x0，使得f'（x0）=成立？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，从而可得△=4ln2a﹣4lna=0，从而解得；（2）求导，得到（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x+log a x，∴f′（x）=x﹣2+=，∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f′（x）存在零点，∴△=4ln2a﹣4lna=0，解得，lna=1或lna=0；故a=e或a=1（舍去）；故a=e；（2）假设存在x0，使得f′（x0）=成立，由（1）得：f（x）=x2﹣2x+lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣2+，f′（x0）=x0﹣2+=（x2+x1）﹣2+，又==（x2+x1）﹣2+，故（x2+x1）﹣2+=（x2+x1）﹣2+，化简得ln﹣=0，即ln﹣=0，令t=＞1，g（t）=lnt﹣，则g′（t）=﹣=＞0，g（t）在（1，+∞）递增，则g（t）＞g（1）=0，故不存在x0，使得f'（x0）=成立．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2019年高三第三次模拟考试数学试题
2019年高三第三次模拟考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．已知集合Q P x x Q x x x P },2|||{},0)3(|{<=<-== （ ）A ．（－2，0）B ．（0，2）C ．（2，3）D ．（－2，3）2．如果将一组数据中的每一数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差的 变化情况为（ ）A ．平均数和方差都不变B ．平均数不变，方差改变C ．平均数改变，方差不变D ．平均数和方差都改变 3．设m,n 是两条不同的直线，是三个不同的平面。
给出下列四个命题 （ ）①若； ②若； ③若；④若γαγββα⊥⊥m m 则,,//,//；其中正确的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④4．若方程]5,1[022在区间=-+ax x 上有解，则a 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．设双曲线的右准线与两渐近交于A ，B 两点，点F 为右焦点， 若以AB 为直径的圆经过点F ，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．B ．2C ．D ． 6．若θθθθθtan ,0cos sin ,45cos sin 则且<--<+ （ ）A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．等于－17．现有浓度为25%的酒精溶液一瓶，把“每次倒出半瓶，再用水加满”称为一次操作，至 少须经过k 次这样的操作，才能使瓶中溶液的浓度不高于1%，其中k 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．设函数)1ln()(2x x x x f +++=，则对任意实数a 和b ，a+b <0是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．反复掷掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时 即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有 （ ） A ．360种 B ．600种 C ．840种 D ．1680种 10．点P 到点A 及直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的取值个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
ˆ
ˆ
ˆ 并根据你的判断结果求回归方程．（b 结果保留一位小数）
（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L 365 入住率 收费标
准 x）
xy
ˆ n nx y ， aˆ y ˆbx ， x 200， x 2 325000 ，
参考数据：b
i1
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分．
22．（10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019· 新疆一模]在直角坐标系
xOy
中，圆 C
的参数方程为
x
2
2cos
为参数，以坐标
原点为极点，x 轴
y 2sin
的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 ， 0 ．
数列， a 2 ， b b 4 ．
1
3
2
（1）求数列a 与b 的通项公式；
n
n
（2）若数列c 满足 c
a n
n N* ，T 为数列c 的前 n项和，证明T 1．
nn
bb
n
nn
n n1
18．（12 分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单 车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租 赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日）， t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入 住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图：
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2019年高三第三次模拟测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝ ． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝ ．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的 条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是 ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为 ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为 ． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞ 的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分 因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分 所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ， 又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分 又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分 由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ， 在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ， 连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =， 所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分 所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分 又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点． 故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分 由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分 又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-， 即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分 所以∠CFE ＝∠DBC ， 故∠EF A ＝∠CFE ＝90°． 所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。