级数与序列的基本性质

定对 我理们于有z3 的K证一明致收（敛级于数(z）f (zz0：))k1 。由定理2.2，
2 1 iK (z f( zz 0) )k 1 d zn 12 1 iK (z fn z (0 z))k 1 d,z
也就是

f(k)(z) fn(k)(z),(k1,2,3,...) n1
注解：
柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函
数序列{fn(n)}在E上一致收敛必要与充分条件是
：任给 0，可以找到一个只与 有关，而
与z无关的正整数 NN()，使得当 m ,nN ,z E
时，有
|fn(z)fm (z)|.
注解：
注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判
序列{fn(n)}在D内任一有界闭区域（或在一个紧
集）上一致收敛于f(z)或 (z) ，那么我们说此
级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于
f(z)或 (z) 。
定理3：
定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数
{fn(z)}n (1,2,...)
在区域D内解析，并且级数 fn(z)或序列{fn(n)}
因为根据莫勒拉定理，可见(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 (z)在D内解析。
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第一节 级数和序列的基本性质(2)
复变函数项级数
设{fn(n)}(n=1,2,…),在复平面点集E上有定义，
那么： f1 ( z ) f2 ( z ) . .fn .(z ) ...
是定义在点集E上的复变函数项级数，记为

fn(z)或fn(z)，
柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变
函数项级数fn(z) 在E上一致收敛的必要与充分
条件是：任给0，可以找到一个只与 有关
，而与z无关的正整数 NN()，使得当
nN,zE，p=1,2,3,…时，有
|f n 1 ( z ) f n 2 ( z ) . .f n . p ( z ) | .
n1
设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，
此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛
（于f(z)），或者此级数在E上有和函数f(z)，记
作

fn(z) f (z),
n1
复变函数序列
设
f1(z)f,2(z),.fn .(.z), ,...
是E上的复变函数列，记作{fn(z)}n1或{fn(z)}。
设函数(z)在E上有定义，如果在E上每一点z， 序 列列在{Ef上n(收z)敛}都（收于敛（(于z)）(，z)）或，者那此么序我列们在说E上此序有 极限函数 (z) ，记作
nl im fn(z)(z),
注解：
注解1、复变函数项级数 fn(z) 收敛于f(z)的
N定义可以叙述为：
关，而与z无关的正整数NN()，使得当
nN,zE 时，有
n
|fk(z)f(z)|.
或
k1
|fn(z)(z)|.
那么我们说级数 fn(z)或序列
一致收敛（于f(z)或 (z) ）。
{
fn
(z)}
在E上
注解：
注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也 有相应的柯西一致收敛原理：
n1
Cfn(z)d zC (z)d.z
注解：
注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求 导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和 序列；
注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研 究和函数与极限函数的解析性及其导数。
内闭一致收敛：
设函数序列
{fn(z)}n (1,2,...)
在复平面C上的区域D内解析。如果级数 fn(z)
连续，并且级数 fn(z) 或序列 {fn(z)}在E上
一致收敛于f(z)或 (z)，那么f(z)或 (z) 在E上
连续。
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…),
连续，并且级数 fn(z) 或序列{fn(n)}在C上一
致收敛于f(z)或(z) ，那么
Cfn(z)dzCf(z)d,z 或
因此，定理中关于级数的部分证明结束。
定理3的证明（序列）：
对于序列，我们也先证明 (z) 在D内任一点z0
取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作 一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理
C f ( z ) d C l n z f i n ( z ) m d l n z C i f n ( z m ) d 0 ,z
别法）：设在复平面点集E上{fn(z)}n (1,2,...)
有定义，并且设
a 1a 2 .. .a n ...
是一个收敛的正项级数。设在E上，
|fn(z)|a n (n 1 ,2 ,...),
那么级数 fn(z)在E上一致收敛。
定理1、2：
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条 简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理

Cf(z)d zCfn(z)d z0, n1
因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。
其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
fn(z)
n1 (z z0)k1
在D内闭一致收敛于函数f(z)或(z) ，那么f(z)或
(z) 在区域D内解析，并且在D内

f(k)(z) fn(k)(z),
或
n1
(k)(z) n l if m n (k)(z)(k , 1 ,2 ,3 ,...)
定理3的证明（级数）：
证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
n
|fk(z)f(z)|.
k1
注解2、复变函数序列{fn(n)}收敛于
(z)
的
N定义可以叙述为：
0 , N 0 ,使n 得 N 时 ,有 当
|fn(z) (z)|.
一致