由极值求参数的值的方法
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
导数与极值
当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x∈(-1,+∞)时, f(x)为增函数,
所以f(x)在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【规律总结】 1.求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极
值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系
(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附 近其他点的函数值都大, 则b叫做极大值点,f(Байду номын сангаас) f′(b)=0 叫做函数y=f(x)的极大值. 其中_________,在点x=b f′(x)>0 附近的左侧 _________,右侧_________, f′(x)<0
【练习】 1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为
【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为 正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故
点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,
导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为 正,故点x4为极小值点.
答案:x2 x4
【注意事项】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗? 提示:不可,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变 化情况,况且端点处的导数不一定为0.
书本P38
【题型探究】 类型一:求函数的极值
书本P39例题2
【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导:确定函数的定义域,求导数f′(x). (2)解方程:求方程f′(x)=0的根. (3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若
干个小开区间,并列成表格.
函数最值的求法
【解】 200πrh(元)，
(1) 因 为 蓄 水 池 侧 面 的 总 成 本 为 100·2πrh ＝
底面的总成本为 160πr2 元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr2)元． 又根据题意 200πrh＋160πr2＝12 000π， 1 所以 h＝ (300－4r2)，从而 5r π V(r)＝πr h＝ (300r－4r3)． 5
2 x 0 f ( x ) ≥ 2 c （3） 若对任意 ， 不等式
恒成立，求 c 的取值范围
王 新 敞 特 级 教 师 源 头 学 子 小 屋
h ttp :// w x c 8 . 3 3 2 .c 0 0 o m w x c k @ t1 2 6 .c o m
新 疆 奎 屯
· 2007 ·
【解析】 由 f′(x)＝6x2－12x>0，得 x<0 或 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2， ∴f(x)在[－2,0]上为增加的，在[0,2]上为减少的， ∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又 f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min ＝－37.
【答案】 D
例9
某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出
【规范解答】
200 (1)设长为 x m，则宽为 m. x
0<x≤16， 据题意 200 0< ≤16， x 25 解得 ≤x≤16，2 分 2
200 400 y＝2x＋2·x ×400＋ ×248＋16 x
0004 分
25 259 200 ＝800x＋ ＋16 000 2 ≤x≤16 ，6 分 x
259 200 (2)y′＝800－ ＝0，8 分 x2 解得 x＝18. 当 x∈(0,18)时，函数 y 为减少的； 当 x∈(18，＋∞)时，函数 y 为增加的.10 分 25 又∵ ≤x≤16， 2 ∴当 x＝16 时， y 取最小值 45 000. ∴当且仅当长为 16 m、宽为 12.5 m 时，总造价 y 最低为 45 000 元.12 分
一轮复习--导数与函数的极值、最值
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊 重，相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
导数与极值
2.三次函数单调性与极值(设x1<x2) (1)当Δ≤0时,①若a>0,则f(x)在R上是增函数;
②若a<0,则f(x)在R上是减函数.
(2)当Δ>0时,①若a>0,则f(x)的增区间为(-∞,x1)和 (x2,+∞),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极
小值;②若a<0,则f(x)的减区间为(-∞,x1)和(x2,+∞),
【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴
的正半轴有且只有三个不同的交点.
因为φ(x)=x2-8x+6ln x+m,
6 2x 2 8x 6 2 x 1 x 3 (x＞0)， 所以φ′(x)= 2x 8 x x x
呢?
【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与 y=f(x)的图象有两个不同的交点;
当m<-3或m>1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.
2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)= -x3+ax2-4在x= 4 处取得极值”,其他条件不变,小值f(1)=-3.
作出f(x)的大致图象如图所示:
因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).
【延伸探究】 1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”
改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”
x x
x 3 x 1
x2
. 令f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) ↘ 1 0 3 (1,+∞) + ↗
微专题(九)已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)
f′(x)>0，即f(x)单调递增．
∴f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－
4ln 2，无极大值．
(2)∵f′(x)＝a＋x2x， ∴当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递 增，没有最小值；
微专题(九) 已知函数极值、 最值求参数的值(或取值范围)
已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函 数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也
可以求出参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值 的情况，列出关于参数的不等式(或组)．
已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数 最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于 参数的不等式(或组)求解．
[例] [2019·云南统测]已知常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x. (1)当a＝－4时，求f(x)的极值； (2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解析：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝
a x
＋2＝a＋x2x.
当a＝－4时，f′(x)＝2x－x 4.
当a<0时，由f′(x)>0得，x>－a2，∴f(x)在－a2，＋∞上单调递增； 由f′(x)<0得，0<x<－a2，∴f(x)在0，－a2上单调递减． ∴当a<0时，f(x)的最小值为f－a2＝aln－a2＋2－a2. 根据题意得f－a2＝aln－a2＋2－a2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0. ∵a<0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0， ∴实数a的取值范围是[－2,0)．
10已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)
微专题(十) 已知函数极值、最值求参数的值(或取值范围)已知函数极值求参数的值(或取值范围)时，通常是利用函数的导数在极值点处的函数值等于零建立关于参数的方程；也可以求出参数的极值(含参数)，利用极值列方程；或根据极值的情况，列出关于参数的不等式(或组)． 已知函数最值求参数的值(或取值范围)，通常是求出函数最值(含参数)，然后根据最值列方程或根据最值的情形列关于参数的不等式(或组)求解．[例] 已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围．解析：(1)由已知得f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2x x. 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x. ∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．∴f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2，无极大值．(2)∵f ′(x )＝a ＋2x x， ∴当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a 2，∴f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,2a 上单调递增； 由f ′(x )<0得，0<x <－a 2，∴f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-20a ，上单调递减． ∴当a <0时，f (x )的最小值为f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＝a ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＋2⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a . 根据题意得f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＝a ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ＋2⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0. ∵a <0，∴ln(－a )－ln 2≤0，解得－2≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[－2,0)．名师点评 已知函数极值点或极值求参数的2个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[变式练] 设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________．微专题(十)变式练解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－ax －b ， 由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x. ①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a. 因为x ＝1是f (x )的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a <0. 综合①②得a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞)。
第11讲导数中极值的5种常考题型总结(原卷版)
第11讲 导数中极值的5种常考题型总结【考点预测】 知识点一：极值 1．函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0()y f x =极大值．如果对0x 附近的所有点都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0()y f x =极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '； （3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.①0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 【题型目录】题型一：求函数的极值与极值点 题型二：利用导函数图像判断极值 题型三：根据极值、极值点求参数的值 题型四：根据极值、极值点求参数的范围 题型五：证明函数存在极值点极值问题 【典型例题】题型一：求函数的极值与极值点 【方法总结】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值【例1】（2022·全国·高二课时练习）“()00f x '=”是“函数()f x 在0x x =处有极值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例2】(2022石泉县石泉)函数()2x x f x e=的极小值为( )A ．0B ．1eC ．2D ．24e【例3】（2022·北京大兴·高二期中）已知函数21f x x x ，则（ ）A ．()f x 有极小值，无极大值B ．()f x 有极大值，无极小值C ．()f x 既有极小值又有极大值D ．()f x 无极小值也无极大值【例4】（2022·全国·高三专题练习）函数()3211y x =-+在1x =-处（ ）A ．有极大值B ．无极值C ．有极小值D ．无法确定极值情况【例5】（2023·全国·高三专题练习多选题）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ） A ．0x 是()f x 的最小值点 B ．0x 是()f x -的极大值点 C ．0x -是()f x -的极大值点 D ．0x -是()f x --的极大值点【例6】（2022全国·高二期末）已知函数()c bx ax x x f +++=23，下列结论中错误的是（ ）A ．存在R x ∈，使得()0=x fB ．若0==c a ，则函数()x f y =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()x f 的极小值点，则()x f 在区间()0,x ∞-上单调递减D ．若0x 是()x f 的极值点，则()00='x f【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()()()()324123f x x x x x '=---，则下列结论正确的是A ．()f x 在0x =处有极大值B ．()f x 在2x =处有极小值C ．()f x 在[]1,3上单调递减D ．()f x 至少有3个零点【例8】（2022·浙江·高二期中）下列关于极值点的说法正确的是（ ） A ．若函数()f x 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值 B ．2()1f x x x =++在任意给定区间[,]a b 上必存在最小值 C ．()||f x x =-的最大值就是该函数的极大值D ．定义在R 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点【题型专练】1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e 1x f x x-=，则（ ）A ．()f x 在()0,∞+上为增函数B ．()f x 在()0,∞+上为减函数C ．()f x 在()0,∞+上有极大值D ．()f x 在()0,∞+上有极小值2．（2022·全国·高三专题练习）函数21()(1)x f x x e +=-（e 为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A ． ()f x 在R 上只有一个极值点 B ．()f x 在R 上没有极值点 C ．()f x 在0x =处取得极值点 D ．()f x 在1x =-处取得极值点3．（2022·全国·高二课时练习）若函数3()ln f x x x =，则（ ） A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值 D ．既无极大值，也无极小值4．（2022·全国·高三专题练习）设()21cos 2=+f x x x ，则函数()f x （ ） A ．有且仅有一个极小值 B ．有且仅有一个极大值 C ．有无数个极值 D ．没有极值5．（2018·云南·红河县第一高二期末（文））已知函数()3269f x x x x =-+，则下列结论中错误的是（ ）A ．0x R ∃∈，()00f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．3x =是函数()y f x =的极大值点D ．函数()y f x =在区间()1,3单调递减6．（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数()3x x f x e=，那么（ ）A ．()f x 有极小值，也有大极值B ．()f x 有极小值，没有极大值C ．()f x 有极大值，没有极小值D ．()f x 没有极值7．（2022·福建·厦门外国语高二期末多选题）已知函数()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 在点()e,e 处的切线方程为2e 0x y --=B ．()f x 的单调递减区间为()1,e ∞--C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的极小值点为()11e ,e ---8．（2022·重庆·高二阶段练习多选题）对于定义在R 上的可导函数()f x ，()'f x 为其导函数，下列说法不正确的是（ ）A ．使()0f x '=的x 一定是函数的极值点B ．()f x 在R 上单调递增是()0f x '>在R 上恒成立的充要条件C ．若函数()f x 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D ．若()f x 在R 上存在极值，则它在R 一定不单调9．（2022全国高三专题练习）设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论错误的是（ ）A ．x R ∀∈，()()0f x f x ≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln x f x x =，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭_____，()f x 有极__________（填大或小）值．题型二：利用导函数图像判断极值【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d【例2】（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级高三阶段练习）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=+的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()3f -和()3fB ．函数()f x 有极小值()3f -和()3fC ．函数()f x 有极小值()3f 和极大值()3f -D ．函数()f x 有极小值()3f -和极大值()3f【例3】（2022·重庆市璧山来凤中高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零【题型专练】1．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高二期中（理））定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．函数()f x 在0x =处取得极小值D ．函数()f x 在3x =处取得极小值2．（2022·全国·高二单元测试）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1fB ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1fC ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，函数()()1'()g x x f x =-的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(),2-∞-，()1,2上为减函数B ．()f x 在()2,1-，()2,+∞上为增函数C ．()f x 的极小值为()2f -，极大值为()2fD ．()f x 的极大值为()2f -，极小值为()2f4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图是导函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．(1,3)-为函数()y f x =的单调递增区间B ．(0,5)为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在0x =处取得极大值D ．函数()y f x =在5x =处取得极小值题型三：根据极值、极值点求参数的值 【方法总结】解含参数的极值问题要注意：①()00f x '=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；①若函数()y f x =在区间(,)a b 内有极值，那么()y f x =在(,)a b 内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值．【例1】（2022·天津市第四高二期中）函数()3222f x x cx c x =-+在2x =处取极小值，则c =（ ）A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．2【例2】(2022全国课时练习)若函数()2()1xf x x ax e =--的极小值点是1x =，则()f x 的极大值为( )A ．e -B ．22e -C ．25e -D ．2-【例3】（2022·四川·阆中高二阶段练习（文））函数()()2f x x x a =-在2x =处有极大值，则a 的值为（ ） A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．【例4】（2022·重庆·万州纯阳中高二期中）已知函数()3223f x x mx nx m =+-+在1x =-时有极值0，则mn =______ .【题型专练】1．（2023全国高三专题练习）已知函数()ln 1xf x ae x =--，设1=x 是()f x 的极值点，则a =___，()f x 的单调增区间为___.2.（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（ ） A ．-1 B ．2 C ．-3 D ．43.设函数()23ln 2f x x ax x =+-，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为________4．（2023河南省实验高二月考）函数1sin sin 33y a x x =+在3x π=处有极值，则a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．2-D ．25.(2021·河南新乡市)已知函数()ln f x x ax =-的图象在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则()f x 的极大值为( ) A ．ln21-- B ．ln21-+ C ．1-D ．1题型四：根据极值、极值点求参数的范围【例1】（2022·全国·高二专题练习）若函数()()22e x x a f x x =++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是______．【例2】（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,-+∞C ．()2,+∞D ．()2,2-【例3】（2022·全国·高二课时练习）若函数32()1(0)f x x mx m =-++≠在区间(0,2)上的极大值为最大值，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3) B ．(3,0)- C ．(,3)-∞- D ．(3,)+∞【例4】（2022·江西江西·高三阶段练习（文））设0a ≠，若=x a 为函数2()()(1)f x a x a x =--的极小值点，则（ ） A ．1a < B ．1a > C ．2a a < D ．2a a >【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 2ln x f x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是（ ）A ．2e ,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【例6】（2022·全国·高二课时练习）若函数2()e 21x f x ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________．【例7】（2022·河南·安阳高三阶段练习（理））已知函数()()2ln 21f x x a x =++有两个不同的极值点21,x x ，且12x x <，则实数a 的取值范围是___________.【例8】（2022·全国·高二专题练习）已知函数()e 1x f x t x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上有且只有一个极值点，则实数t 的取值范围为___________.【例9】（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（ ）A ．()2,2-B ．(-C ．⎡-⎣D ．[]22-,【题型专练】1.（2022吉林通榆县第高二期末（理））已知函数321()(23)13f x x ax a x =+++-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞ C ．(3,1)- D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞2．（2023·全国·高三专题练习）若函数3()3f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(1,0)-3．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第高二期末）若函数()()216ln 62f x a x x a x =+-+有2个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),66,-∞⋃+∞B ．()()0,66,⋃+∞C ．{}6D ．()0,∞+4.（2022·江西·丰城高二期末（理）多选题）函数32()132ax ax f x x =-++在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内仅有唯一极值点的一个充分不必要条件为（ ）A ．9,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭C ．1,06a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D ．19,62a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末多选题）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦.若()f x 在2x =处取得极大值，a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．14C ．1D ．26．（2022·广东·东莞市东华高级高三阶段练习多选题）对于函数()ln xf x x=，下列选项正确的是（ ） A ．函数()f x 的极小值点为e -，极大值点为eB ．函数()f x 的单调递减区间为 ][,,(e e ) -∞-⋃+∞，单调递增区为[]e,0)(0,e -⋃C ．函数()f x 的最小值为1e -，最大值为1eD ．函数()f x 存在两个零点1和1-7．（2022·广东广雅高三阶段练习）若函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是____________.8．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知函数()()e xf x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.9.（2022·全国·高三专题练习）函数()(ln )xe f x a x x x =--在()1,0内有极值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,)e -∞B ．(0,)eC ．(,)e +∞D ．[),e +∞10．（2022贵州遵义·高三）若函数无极值点则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．11.（2022辽宁高三月考）已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________.321()53f x x ax x =-+-(1,1)-[1,1]-(,1)(1,)-∞-+∞(,1][1,)-∞-+∞题型五：证明函数存在极值点极值问题【例4】（2022·上海市进才高三阶段练习）已知函数()()e 0=->xf x ax x a .(1)求()()0,0f 处的切线方程； (2)求证：()f x 有且仅有一个极值点；【例2】（2022·江西师大附中三模（理））已知函数()sin ,()e xxf x xg x =-为()f x 的导函数． (1)判断函数()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1e xx f x +=. (1)求证：函数()f x 存在唯一的极大值点；【题型专练】1．（2022·安徽省定远县第三高三阶段练习）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导数． (1)判断并证明()'f x 在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在的极大值点个数；2.（2022·北京房山·高三开学考试）已知函数()ln(1)sin =++f x x x ． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在(0,)π上的单调性； (3)证明：()f x 在(1,)π-上存在唯一的极大值点．3.（2022·江苏苏州·模拟预测）函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；。
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由极值求参数的值的方法
求参数的值的方法主要分为两种：极值法和导数法。
1. 极值法：对于一个函数f(x)，如果f(x) 在x=a 处取得极值，那么该函数在x=a 处的导数值为零，即f'(a)=0。
因此，通过求解方程f'(x)=0，可以得到函数f(x) 在取得极值的点的x 值。
将求得的x 值代入函数f(x) 中，可以得到相应的参数值。
2. 导数法：对于一个函数f(x)，通过求解其一阶导数f'(x) 并令其等于零，可以得到函数f(x) 的临界点（即导数为零的点），这些点可能是函数的极值点或者是拐点。
对于一个多项式函数，它的导函数是一个低一次的多项式函数，可以通过求解多项式函数的根来找到函数的极值点。
然后将极值点代入原函数，可以得到相应的参数值。
需要注意的是，通过极值法和导数法求参数的值时，可能会出现多个解或者无解的情况。
在此情况下，需要根据实际问题的条件和约束来确定参数的取值范围。