段广猛《面积问题之”水平宽铅锤高“模型的实战分析》

三角形面积问题之“宽高公式”的实战分析
高邮市赞化学校段广猛
《三角形面积问题之“宽高公式”的两种证明方法》一文中，主要介绍了三种情形下“宽高公式”模型的证明.
如图1、图2、图3所示，
1
2
ABC
S OC AD
∆
=⨯⨯，其中OC表示B、C两点在水平方向
上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AD表示点A到边BC在竖直方向上的距离，
简称这个三角形的“铅锤高”.于是三角形的面积S=1
2⨯水平宽
⨯铅锤高，这个公式不妨称
为“宽高公式”.
细心观察上面三种情形，操作方式都是过点A作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点D，则AD就是“铅锤高”；而B、C两点之间的水平距离，即线段OC就是“水平宽”.在实际应用中，笔者不建议学生固化思维，强记这里的结论而直接使用.一方面，这个公式课本上并没有直接出现，中考时能不能直接使用值得商榷；另一方面，对于图2的结论，大部分学生普遍可以接受，但是若是不知道这个公式推导的来龙去脉而强行直接使用，图1及图3的结论，多数学生是很难理解原理而导致不能正确使用.
更何况，这三种情形下的推导过程也是相辅相成、思想统一的，都采用了“改斜归正”及“割补法”的思想，而这两种思想方法又是极其重要的解题原理，需要同学们认真深刻体会的，所以笔者强烈建议学生体会这里的推导原理，以达到灵活使用的目的.
其实，掌握了原理，怎么割补三角形都可以，只要过三角形的三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线都可以实现面积处理，仅仅是繁简程度不一而已，下文会一一提及.
如图4、图5、图6所示，12
ABC S BD AE ∆=⨯⨯，其中BD 表示点B 到边AC 在水平方向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而AE 表示A、C 两点在竖直方向上的距离，简称这个三角形的“铅锤高”.于是依然有三角形的面积S=
12⨯水平宽⨯铅锤高.这三张图的操作方式都是过点B 作平行于x 轴的直线交边AC 所在的直线于点D，则BD 就是“水平宽”；而A、C 两点之间的竖直距离，即线段AE 就是“铅锤高”.
实际上，过点C 作平行于坐标轴的直线，
无论是平行于x 轴，还是平行于y 轴，最终都可
以实现对于此三角形的面积处理，有时是“割”，
即“面积加法”；有时是“补”，即“面积减法”.
由此可以看出，不用强记公式，只要过三角形的
三个顶点中的任意一点作平行于坐标轴的直线，
无论是平行于x 轴，还是平行于y 轴，都可以实
现面积处理.图7提供了一种方式，
12
ABC S CD AE ∆=⨯⨯.
那么问题来了，割补方式千变万化，而且好像都可行，在解题实战中，难道就随意割补吗？非也！理论上是都可行，但计算量绝不相当！
我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.此时再结合这个解题策略，就可以使计算过程“如履平地”.
在三角形三个顶点中，一般情况下会有两个定点和一个动点，抓住这两个定点就是关键所在.如图8或图9所示，点B 和点C 是两个定点，而点A 是一个动点.这时，我们就应该过动点A 作平行于y 轴或者平行于x 轴的直线交直线BC 于点D，利用B、C 两个定点求出直线BC 的解析式，再设出动点A 的坐标，将横坐标或者纵坐标代入直线BC 的解析式，表示出点D 的坐标，进而容易表示出线段AD.在图9中，ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=-=12
AD CF ⋅11(CF )22AD BE AD BE -⋅=⋅-1(OE )2AD BE =⋅-12
AD OB =⋅，因为B、C 都是定点，故OB 是常值，而且直线BC 的解析式易求，进而AD 的长度好表示.
若是你“不信邪”，偏偏如图10所示那样“割补”，我想说“此路依然行得通”，但与前面的两种方法相比，一烦在“水平宽”BD 上，需要求出直线AC 的解析式，理论上肯定行得通，这条直线的解析式会因为点A 是动点而导致含有参数，计算量较大；二烦在“铅锤高”AE 上，也是因为点A 是动点而导致含有参数.“罪魁祸首”都在动点A 上，而“元凶”就是因为一开始过定点B 进行了“割补”.需要特别说明的是，这种方法并非是错误的，仅仅是计算量较大些，其操作依然是可行的.
下面以2016年苏州中考压轴题第（2）问为例具体谈谈“宽高公式”的使用.
（2016•苏州）如图11，直线l：y=-3x+3与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两点，抛物线y=ax 2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，
连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM 的面积为S，求S 与m 的
函数表达式，并求出S 的最大值.
对于第（1）小问，易知该抛物线的函数表达式为：y=-x 2+2x+3；
对于第（2）小问，这是一个“两定一动型”三角形面积问题，
“死咬”A、B 两定点“不松口”，过动点M 作平行于坐标轴的直线
进行“割补”即可，这里提供两种方式.
方式一：如图12所示，过动点M 作平行于y 轴的直线交边AB
所在的直线于点N，则ABM MNB MNA S S S ∆∆∆=-=12
MN OG ⋅11(OG )22MN AG MN AG -⋅=⋅-12
MN OA =⋅.设M（t，-t 2
+2t+3），其中t 的取值范围是0＜t＜3，则N（t，-3t+3），从
而MN =M N y y -=（-t 2+2t+3）-（-3t+3）=-t 2+5t，而OA=1，故S=12（-t 2+5t）=-12t（t-5），当t=52时，S 有最大值为258
.值得一提的是，上面的操作过程可总结如下：
第一步：抓住两个定点A 和B，它们之间在水平方向上的距离OA 作
为△ABM 的“水平宽”；
第二步：过动点M 作平行于y 轴的直线交边AB 所在的直线于点N，
则MN 作为△ABM 的“铅锤高”；
第三步：将面积“往竖直线MN 上靠”，通过面积“减法”，得到所
求三角形的面积为12
ABM S MN OA ∆=⋅.方式二：如图13所示，过动点M 作平行于x 轴的直线交边AB 所在的直线于点N、交y 轴于点G，则ABM MNB MNA S S S ∆∆∆=+=
12MN BG ⋅11(BG O )22MN OG MN G +⋅=⋅+1
2
MN OB =⋅.设M（t，-t 2
+2t+3），其中t 的取值范围是0＜t＜3，则N（223t t -，-t 2+2t+3），从而MN =M N x x -t -223t t -=253
t t -+，而OB=3，故S=122533t t -+⋅⋅=-12t（t-5），当t=52时，S 有最大值为258
.
上面的操作过程可总结如下：
第一步：抓住两个定点A 和B，它们之间在竖直方向上的距离OB 作为△ABM 的“铅锤高”；
第二步：过动点M 作平行于x 轴的直线交边AB 所在的直线于点N，则MN 作为△ABM 的“水平宽”；
第三步：将面积“往水平线MN 上靠”，通过面积“加法”，得到所求三角形的面积为12
ABM S MN OB ∆=⋅.至此，这个“两定两动型”三角形面积问题，利用“宽高公式”得到了比较完美的解答.当然，关于面积处理，绝不仅仅只有“宽高公式”，还有很多其他的路可走，如“框图法”（亦可称“矩形大法”）、其他的割补法（如上题中连接OM 也是一种很好的分割处理手段）等等，但大多体现出来的思想方法都是“大同小异”的，即想方设法将所求“斜面积”“改斜归正”，使问题得以解决.后面若有机会，会专门成文，敬请期待！
通过前面的《模型证明》及本文的《实战分析》，笔者认为根本不用记忆所谓的“宽高公式”，只要在处理面积的问题中，狠抓不动点不放手，过动点作平行于坐标轴的直线交这不动边所在的直线于一点，将三角形的面积进行“割”或“补”，即面积“加”或“减”，然后平移其中一条高线，即可转化为高线的“加”或“减”，就能够得出所谓的“宽高公式”！
这道苏州中考真题中有一个限制条件“点M 在第一象限内”，很明显是为了简化起见.若是将这个条件去掉，即“点M 是抛物线上任意一动点”，那么△ABM 的面积为S 关于m 的函数表达式又如何求解呢？我想其他的方法就未必恰当了，这时“宽高法”的作用会更明显.图14及图15给出了两种情形，前者可看出此时方法过程跟原题一模一样；而后者可看出唯一的区别就是点N 位于了点M 的上方，此时MN=N M y y -，其他都没变化
也就是这时候要分类了，分类的标准就是M、N“谁高谁低”，可分三类，也可分两类.甚至于，结合本人作品《巧用绝对值避开“繁琐的”分类讨论》一文，直接借用“绝对值”，y y 即可，最后解一个含绝对值的方程就可以了，在此不再一一赘述，将MN表示为M N
有兴趣的同学可自行展开.同学们，研究之窗已向你们打开，还有什么道理不去认真钻研、琢磨呢！加油，中考必胜！
最后来首打油诗结束本文，“横切竖切都可以，切法不一莫强求；关键抓住不动点，最好沿着动点切；切完之后即加减，加减之后即宽高！”。