方差和标准差-教学设计(二)

方差和标准差-教学设计(二)

方差和标准差教学设计（二）

教学设计思想

概念教学是数学新课教学中一个非常棘手的问题，重视学生概念的形成过程和知识的发生过程从而形成概念，是行之有效的教学手段。通过具体的情境和生活事例让学生明白概念的产生的原因，使他们从“背定义”提升到“理解定义”的层次是非常有必要的。

方差和标准差是反应一组数据离散程度的统计量。课本从射击比赛的成绩（当然也可以从学生更熟悉的例子，如投篮）引入，提出问题，并让学生通过观察来判断两组数据的波动情况，形象直观，这样提出方差的概念就比较自然。课本通过例题和作业都安排了有关方差的计算，其目的在于让学生能掌握算理和算法。计算过程可鼓励学生使用计算器，养成使用计算器的习惯。本节的“探究活动”隐含着一种规律，可以让学生通过探究去发现这种规律，体会发现的乐趣。

教学目标

知识与技能

说出刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差——的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。

能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。

过程与方法

经历数据的收集与整理的过程，根据公式求一组数据的方差和标准差。

情感、态度、价值观

体会方差、标准差是反映一组数据波动大小的量，在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知识应用于生活。

教学重难点

重点：计算一组数据的方差概念的理解。

难点：对方差的意义理解不透，有些问题弄不清该用方差衡量，还是该用平均数衡量。

解决办法：通过学习明白对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析。如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就要研究它

的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量。

教学方法

合作探究

教学用具

多媒体

课时安排

2课时

教学过程设计

第一课时

（一）情景引入

同学们，2004雅典奥运会上的射击冠军你们知道是谁吗？如果要选拔射击手参加射击比赛，应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手还是成绩最稳定的选手？

学生活动：思考回答，自圆其说

总结：具体派谁去还要看具体情况，具体问题具体分析

注：从学生熟悉问题入手引出课题。既能合

理利用教材资源，又能激发学生学习兴趣，符合学生认知规律。

（二）观察与思考

甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如下表：

射击序

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

甲的成

绩/环

4 8 6 10

5 7 7

6 10 7

乙的成

绩/环

5 7

6 8

7

8 6 7

9 7

将数据用散点图表示，如图26—3。

1.观察图形，从图中能估计甲和乙射击成绩的平均水平吗?

2.哪组数据围绕其平均值的波动较大?波动大小反映了什么?

学生活动：合作交流，派代表发言

注：观察两名业余射击选手比赛的成绩的散点图，直观感受两人成绩水平的高低及稳定性要比较甲和乙的射击水平，自然想到比较其射击成绩的平均数或中位数，但是，甲和乙射击成绩的平均数和中位数都是7(环)。两人相比，乙的成绩大多集中在7环附近，而甲的成绩相对于平均数的波动较大。

我们通常将各数据偏离平均数的程度作为指标，在数学上称为数学的离散程度。偏离程度大的程离散程度大，偏离程度大的程离散程度大，那么除了画图可以了解离散程度，还有其他方法么？

3．下面请同学们计算甲、乙两名运动员每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和。

教师在学生计算完毕后再板演。

提问：通过计算你们发现可以用什么来区分离散程度？

如果直接计算甲、乙两名运动员每次射击成绩与平均成绩的偏差的和结果如何？

如果一组数据与其平均数的偏差(偏离平均数的大小)较小，我们就说这组数据比较稳定。

方差的定义： 设x 是n 个数据x 1，…，x n 的平均数，各个

数据与平均数之差的平方的平均数，叫做这n 个数据的方差(variance)，用“s 2”表示。即

222212n 1s [(x x)(x x)...(x x)]n =-+-++-

根据公式我们发现方差的大小跟数据的大

小有关，还跟数据的个数有关，所以我们比较两组数据的稳定性时，应取相同的样本容量；方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

4．让学生计算甲、乙射击成绩的方差，并判断射击成绩谁比较稳定。

22222221s [4757267377872107] 3.410

=-+-+-+-+-+-=甲（）（）（）（）（）（）

2222221s [5726747728797]1.210

=-+-+-+-+-=乙（）（）（）（）（） 由于2

2s s <乙甲，说明乙的射击成绩比甲稳定。

计算完毕提问：方差的结果有单位吗？它的单位与数据的原单位有何关系？

为了使单位一致，可以用方差的算术平方根，并把它叫做标准差(standard deviation)。

22212n 1s [(x x)(x x)...(x x)]n =-+-++-

你能计算出刚才例题中的标准差吗？

总结：方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量。对平均数相等的两组数据，一般方差较小的这组数据相对于平均数的离散程度较小。

一组数据中的最大值与最小值的差叫做极差。极差也是刻画数据离散程度的一个统计量。如：

甲射击成绩的极差为10－4＝6(环)。

乙射击成绩的极差为9－5＝4(环)。

极差反映数据的波动范围，它只用到数据的两个极端值，没有利用数据的全部信息。因此，在数学上常用方差刻画数据的离散程度。

（三）做一做

例 在某场女排比赛的一个时段里，甲、乙