指数函数的概念及其性质(含答案)
指数函数与对数函数练习题(含详解).docx
1•指数函数概念-般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为&•指数函数函数性质：i•对数函数定义一般地，函数尸叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域■.对数函数性质：一、选择题2. 函数 f{x) =x —bx+c 满足 /*(l+x) =/(l —x)且 /(0) =3,则 fllf)与 f^c)的大小 关系是()A. f ⑹Wf (刃B.B. f(lf) >MC. 大小关系随x 的不同而不同3. 函数y=\2x-l\在区间(k —\, &+1)内不单调，则g 的取值范围長() A. (―1, +°°) B. ( — 8, 1) C. (-1,1) D. (0,2)4. 设函数f(x)=ln[(x —1)(2—0]的定义域是力，函数g(0=lg (、厨二刁一1)的定义域是5若AUB,则正数2的取值范围()A. a>3B.C. a>y[5I 3 a x^~ 3 75•已知函数f{x) =\ — . _若数列&}满足0=f(z?)(刀WN*),且&}la , x>l.是递增数列，则实数曰的取值范围是()9 9 A.环 3) B. (-, 3) C. (2,3)D. (1,3)6. 已知日>0且Q HI, A A ) =x —a,当1,1)时，均有/(A )<|,则实数爲的取值范围是()A. (0, U [2, +8)B. 1)U(1,4]C. [|, 1)U(1,2]D. (0, |) U [4, +8)二、填空题7. 函数y=a(a>0,且日Hl)在[1,2]上的最大值比最小值大彳，则日的值是 _____________.1.定义运算曰□方=“\baWb,则函数f(x)=lD2x的图象大致为()丿y y \ y/ \1y% OA兀O B 兀O C X)a>b8.若曲线|y|=2^+l与直线尸b没有公共点，则方的取值范围是_____________ ・9.(2011 •滨州模拟)定义：区间［山，益］(孟〈益)的长度为X2—X1.已知函数y=2ul的定义域为冷，b］9值域为［1,2］,则区间"，刃的长度的最大值与最小值的差为__________ .三、解答题10.求函数尸2—U+的定义域、值域和单调区间.11.(2011 -银川模拟)若函数y=a2x+2a x-l(a>0且aHl)在圧［一1,1］上的最大值为14,求a的值.12.已知函数f{x) =3\ f@+2)=18, g{x) = A• 3^-4x的定义域为［0,1］.(1)求日的值；(2)若函数g(x)在区间［0,1］上是单调递减函数，求实数人的取值范围.1.解析：由$□冷:» 得f(x)=iD2"=f '[b a>b[1 x>Q ・答案：A2.解析：•.•f(l+x)=f(l—x), ・•・/*(%)的对称轴为直线x=l,由此得b=2.又f(0) =3,・：c=3・・"3在(一8, 1)上递减,在(1, +8)上递增.若Q0,则3仝2仝1,・・・f(3J)Mf(2J)・若X0,则3X2X1,・•・ f (3”) >/*(2")・答案：A3•解析：由于函数y=|2x-l|在(一8, 0)内单调递减，在(0, +8)内单调递增，而函数在区间0~1, *+1)内不单调，所以有A-i<oa+i,解得一1〈从1・答案：C4.解析：由题意得:J= (1,2), a—2x> 1且£>2,由A Q B知2"> 1在(1,2)上恒成立, 即a x—2x—l>0 在(1,2)上恒成立,令u{x) =a x—2x—l,则/ (力=aTna—2Tn2>0,所以函数u(力在(1,2)上单调递增，则如>曲)=a-3,即妙3.答案：B5.解析：数列UJ满足aS (nW则函数fS)为增函数,a>l3-a>0,解得 2<a<3.a 8_6> 3-a X7-3答案：C6. 解析：考查函数尸W 与尸*的图象,当a>l 时，必有 訂冷 即1X2, 当 0<a<l 时，必有 即综上，或1〈日W2. 答案：CO Q7. 解析：当$>1时，y=W 在［1,2］上单调递增，故a —a=^9得a=-当0<吕<1时，y O 1 1 Q=才在［1,2］上单调递减，故a —a=~9得a=~故2=9或1 Q 答案：2^*2&解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y|=2^+1与直线尸b 的图象如图所示，由图象可得：如果|y|=r+1与直线y =0没有公共点，则b 应满足的条件是方丘［ — 1,1］・ 答案：［—1,1］9. 解析：如图满足条件的区间［Q , b ］,当a= —1,方=0或a=0, 6=1时区间长 度最小，最小值为1,当a=-l, 时区间长度最大，最大值为2,故其差为1. 答案：110. 解：要使函数有意义，则只需一#—3x+4M0,即#+3x —4W0,解得一4WV1. ・••函数的定义域为胡一4W 穴1}・3 95令 t=—x —3x+4,则 £=_#_3x+4=_ (x+矿+才,95 3・：当一4W 点1时，t^=—,此时X=—九in=O,此时X=—4或x=\.{25 i ------------ 5・：0W 方W~^~. .•.OW#—3x+4W°.・••函数尸（*）4s 的值域为[平，1].Q 9R由£=—#—3x+4=—（卄詳+刁~（—4W点1）可知，当一4W穴一寸时，广是增函数，3 当一㊁W穴1时，点是减函数.根据复合函数的单调性知：尸（£）一仁士4在[_£ —肖上是减函数,在[—£ 1]上是增函数.2 Z Z・•・函数的单调增区间是[一务1],单调减区间是[一4, 一自.11.解：令a = t, :. t>09则尸#+2广一1=（方+1）2—2,其对称轴为t=-l.该二次函数在[―1, +8）上是增函数.①若已>1, [ — 1,1], /. t=a^ [-, a],故当t=a,即x=l 时，y^=a-\-2a—\= 14,解得a=3（a= —5 舍去）.②若0<a<l, m-1,1],/. t=a^ [a, ~],故当t=~9即x= —1 时，a ay^=（丄+1）2—2 = 14 ・aa=| 或一£（舍去）.综上可得a=3或扌.12.解：法一：仃）由已知得3a+2=18=>3a=2=»a=log32.（2）此时g（x）= A • 2X-4X,设OWxK/Wl,因为g（x）在区间[0,1]上是单调减函数，所以gCn）—gg） = （2xi—2^2）（人一2卫一2xi）>0恒成立，即久〈2卫+2川恒成立.由于2卫+2石>2°+2°=2,所以实数人的取值范围是人W2.法二：（1）同法一.（2）此时g{x） = A・2*—0,因为g（力在区间[0,1]上是单调减函数，所以有g‘ U）= Aln2• 2x-ln4 • 4x=ln2[-2 • （2于+久・2”]W0 成立.设2”="G[1,2],上式成立等价于一2tf+A 0恒成立.因为日1,2],只需A^2u 恒成立， 所以实数久的取值范围是久W2.一、选择题1、已知3" = 2 ,那么log 38-21og 36用Q 表示是（）I已知log 7[log 3(log 2x)] = 0,那么存等于(对称7、函数y = log （2x“）丁3兀-2的定义域是（A. a-2B 、5ci— 2C N 3d —(1 + G )~D、3a-a 22. A、 2 log “ (M - 2N) = log “ M + log “ N ,丄4B 、4则竺的值为（NC 、1D 、4 或 13、已知 x 2 + y 2 =l,x>0,y>0 ,且 log a (1 + x) = m.log则log/等于A、4、C^ £•(加+ 川)D 、 *(〃2 — 比)如果方程Ig 2x+(lg5 + lg7)lgx+lg5ag7 = 0的两根是a,0 ,则切的值B> m-nA、lg5Qg7 B 、lg35 C 、35D、 1 355、 C 、1 2V26、函数y = lg -1的图像关于（1 +兀丿 A 、x 轴对称B 、y 轴对称C 、原点对称若log /n 9 < log… 9 < 0 ,那么加满足的条件是(在(0,2)上为增函数的是(B 、y = log 2 Vx 2 -1D> y = log j (x 2-4x + 5)7212、已知 g (兀) = log/x+l| (d>0 且 gl)在(-1,0)上有 g (兀)>0,则 /(x) = a是( )A 、在(-。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)
课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算（ 1）根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根． 当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示，负的 n 次方根用符号na表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当n 为奇数时， a 为随意实数；当 n 为偶数时， a．③根式的性质： (na )n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a |a (a 0) ．a (a 0)（ 2）分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是：a n 0, m,n N , 且 n 1) ．0 的正分数指数幂等于0．②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是：a n)n n (0, m, n N , 且 n1) ．0 的负分数指aa数幂没存心义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域（0,+ ∞）过定点 图象过定点（0,1 ），即当 x=0 时， y=1．奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y ＞ 1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＜ 0)y ＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0＜ y ＜ 1(x ＞ 0)变化状况a 变化对在第一象限内， a 越大图象越高，越凑近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越凑近 y 轴； 图象影响在第二象限内，a 越大图象越低，越凑近x 轴．在第二象限内，a 越小图象越低，越凑近x 轴．三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析： A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析： 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= ［ f(x) ］ nD.f ［ (xy) n ］ =［ f(x) ］ n ［ f(y) ］ n (n ∈ N * )分析： 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f ［(xy)n］ =a (xy)n , 而［ f(x) ］ n ·［f(y) ］ n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析： a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析： 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析： 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. ［ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析： 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ］ ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈［ -1,1］时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______［ -5,1 ］ ___________.3分析： f(x) 在［ -1,1 ］上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析： (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩［ 2,+ ∞］=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈［ -3,2］的最大值和最小值 .解： 设 2-x=t, 由 x ∈［ -3,2 ］得 t ∈［ 1,8 ］ , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解： ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. ［ 1,2］B.［ 2,3］C.(-∞ ,2]D.［ 2,+∞ )分析： 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈［ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为［ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. ［ -1,+∞ )B. ［ -1,63)C.［ 0,+∞ )D.(0,63 ］分析： 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= ［ f(x)-1 ］2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈［ 1,9 ］.2.1 指数函数练习1．以下各式中建立的一项A ． ( n)71n 7 m 7B ．12 ( 3)433m3C ． 4 x 3y 3( x y) 4D ．393321111 1 52．化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D ． 9a 2 A ． 6aB ． aC ． 9a3．设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ，则以下等式中不正确的选项是f (x) A ． f(x+y)=f(x) ·f(y)B ． f （ x y ）f ( y)C ． f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D ． f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4．函数 y (x5) 0 ( x 2)2A ． { x | x 5, x 2}B ． { x | x 2}C ． { x | x 5}D ． { x | 2 x 5或 x 5}（）（）（）(n N )（ ）5．若指数函数 y a x 在 [－ 1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数 a 等于 （）A ．15 B ．1 5 C ．15D ．5 122 226．当 a0 时，函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是（）7．函数 f ( x)2 |x| 的值域是（）A ． (0,1]B ． (0,1)C ． (0, )D ． R8．函数 f ( x)2 x 1, x 0，知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x（）A ． ( 1,1)B ． ( 1, )C ． { x | x 0或 x2}D ． { x | x 1或 x1}9．函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2（）A ．[ 1,1]B ． ( , 1]C ．[2,)D ．[ 1,2]2exe x210．已知 f ( x)（）2 ，则以下正确的选项是A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．已知函数 f (x)的定义域是（1， 2），则函数 f (2 x ) 的定义域是.12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)=a x －2－ 3 必过定点.三、解答题：13．求函数 y1的定义域 .x5 x 1114．若 a ＞0， b ＞ 0，且 a+b=c ，求证： (1) 当r ＞1时， a r +b r ＜ c r ； (2) 当r ＜ 1时， a r +b r ＞ c r .a x 1 15．已知函数 f ( x)(a ＞1) .a x1（ 1）判断函数 f (x) 的奇偶性；（ 2）证明 f (x)在 (－∞， +∞ )上是增函数 .xa16．函数 f(x) ＝ a (a>0 ，且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2，求 a 的值．参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11． (0,1)；12． (2，－ 2) ；三、 13． 解：要使函数存心义一定：x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 ： x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114． 解：ba，c rcccc.r ＞1 ，a rb ra b 1，r r r当因此+b＜ c ；时c c c crrrrr当 r ＜ 1 时， aba b1， 因此 a +b ＞c .ccc c15． 解 ：(1)是奇函数 .(2) 设x ＜x ，则 f (x 1 )ax11 ax21 。
指数函数及其性质_课件
[例 4] 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y ＝dx 的图象，则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )
A．a<b<1<c<d C．1<a<b<c<d
B．b<a<1<d<c D．a<b<1<d<c
[分析] 比较 a、b、c、d 的大小，即比较 x＝1 时各函数 值的大小，即对应点的高低．
A.43， 2，15，130 B. 2，43，130，15 C.130，15， 2，43 D.15，130，43， 2
[答案] C
[解析] 解法一：指数函数 y＝ax 的图象从第一象限看，逆 时针方向底数 a 依次从小变大，故选 C.
解法二：直线 x＝1 与函数的图象相交，从上到下依次为 c>d>a>b，而 2>43>130>15，故选 C.
指数函数 f(x)的图象过点3，18，则 f(－2)与 f(－3)的大小 关系为________．
[答案] f(－2)<f(－3)
[解析] ∵f(x)＝ax 过点3，18，∴a＝12； f(x)＝12x 是减函数，∴f(－2)<f(－3)．
3 指数函数图象的分布规律
[例 3] 由于 y＝2x 与 y＝(12)x 的图象关于 y 轴对称，那么 y＝ax 与 y＝(1a)x(a>0，a≠1)的图象是否也关于 y 轴对称？函 数 y＝f(x)与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称吗？
②1223
<
11 22
；
④1.1a－3 > 1.1a－2.8
(6)已知23a>23b，则 a 与 b 的大小关系是 a<b .
指数函数及其性质,高中数学
指数函数专题指数函数及其性质知 识 梳 理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨 析 感 悟 对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是 ．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2指数函数(指数函数的概念+指数函数的图像和性质)课件
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
指数函数及其性质
指数函数的概念定义： 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．【例2π11a＞10＜a＜1 图象性质①定义域，值域，值域②图象都过点②图象都过点③当x＞0时，y；当x＜0时，y③当x＞0时，y；当x＜0时，y④④对称性指数函数y＝a x和y＝èæøö1ax(a＞0，且a≠1)的图象关于对称对称y＝(3－1)x在R上是() A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c析规律 底数的变化对函数图象的影响 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x 轴，简称x ＞0时，底大图象高．3．指数型函数模：设原有值为N ，平均增长率为p ，则经过x 次增长，该量增长到y ，则(2)指数型函数：形如y ＝k ·a x (k ÎR ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．的函数称为指数型函数．【例3】某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg ，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y kg 粮食，求y 关于x 的函数解析式．的函数解析式．点技巧 指数增长模型的计算公式 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量y 可以用y ＝N (1＋p )x来表示．这是非常有用的函数模型．4．利用待定系数法求指数函数的解析式已知函数模型求函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得出函数的解析式．知参数，从而得出函数的解析式．在指数函数的概念中，只有形如y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的函数才是指数函数，除此之外的函数都不是指数函数，所以设指数函数的解析式时，只能设成y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的形式，而不是其他形式．同时，指数函数的解析式中只含有一个常数a ，由此只需一个条件就可确定指数函数的解析式．例如：若指数函数f (x )的图象经过点(2,9)，求f (x )．【例4－1】指数函数y ＝f (x )的图象经过点(π，e)，则f (－π)＝__________．【例4－2】已知指数函数f (x )的图象经过点12,16æö-ç÷èø，试求f (－1)和f (3)．点技巧 关于a 的方程a m ＝n 的解法 方法一：可以先把n 化为以m 为指数的指数幂的形式n ＝k m ，即a m ＝k m ，则可得a ＝k ．方法二：由a m ＝n 得到11()m mman =，即1ma n =，再利用指数幂的运算性质化简1mn ．5．与指数函数有关的定义域指数函数常与一次函数、反比例函数、二次函数结合构成指数型复合函数．求定义域的方法如下 ①函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的定义域与函数y ＝f (x )的定义域相同．的定义域相同． ②函数y ＝f (a x )的定义域与函数y ＝f (x )的定义域不一定相同．例如，函数f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞)，而函数f (x )＝x a 的定义域则为R ．求函数y ＝f (a x )的定义域时，可由函数f (x )的定义域与g (x )＝a x 的等价性，建立关于x 的不等式，利用指数函数的相关性质求解．指数函数的相关性质求解．【例5－1】求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：(1)12xy=-；(2)22312x xy--æö=ç÷èø．解：6．指数函数的图象及定点问题(1)与指数函数有关的函数图象过定点的问题指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)过定点(0,1)，即对任意的a＞0，且a≠1，都有a0＝1．这是解决与指数函数有关的函数图象恒过定点问题的关键．图象恒过定点问题的关键．一般地，对于函数y＝ka f(x)＋b(k≠0)，可令f(x)＝0，解方程得x＝m，则该函数的图象恒过定点(m，k＋b)．(2)指数函数的图象变换的问题的图象变换的问题【例6－1】若函数f(x)＝2a x－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．【例6－2】若函数y＝a x＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有() A．0＜a＜1，且b＞0 B．a＞1，且b＞0 C．0＜a＜1，且b＜0 D．a＞1，且b＜0 7．幂的大小比较问题两个指数幂的大小的比较有以下几种情况：(1)底数相同，指数不同．比较同底数(是具体的数值)幂大小，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；明确指数函数的底数与1的大小关系；最后根据指数函数的单调性判断大小．当底数中含有字母时要注意分底数大于0小于1和底数大于1两种情况讨论．两种情况讨论．(2)底数不同，指数相同．若幂式的底数不同而指数相同时，可以利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系内画出各个函数的图象，依据指数函数的图象随底数的变化规律，观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同，指数也不同．幂式的底数不同且指数也不同时，则需要引入中间量．这个中间量可以是1，其中一个大于1，另一个小于1；也可以是一个幂式，这个幂式可以以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数，比如a c与b d，可以取a d为中介，前者比较用单调性，后者用图象．【例7－1】比较下列各题中两个值的大小：比较下列各题中两个值的大小：(1)1.857-æöç÷èø，2.557-æöç÷èø；(2)0.523-æöç÷èø，0.534-æöç÷èø；(3)0.70.8,0.80.7．分析：(1)中两个指数式的底数同、指数不同，可直接应用指数函数的单调性判断；(2)中两个指数式的底数不同、指数同，可构造函数，根据函数的图象观察；(3)中两个指数式的底数、指数均不同，因而要引入中间数进行比较，并结合函数的图象观察．【例7－2】试比较a1.3与a2.5(a＞0，且a≠1)的大小．的大小．8．指数方程、指数不等式的求解问题根据指数函数的单调性，当a＞0，且a≠1时，有：时，有：①a f(x)＝a g(x)Ûf(x)＝g(x)；②当a＞1时，a f(x)＞a g(x)Ûf(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，a f(x)＞a g(x)Ûf(x)＜g(x)．注意：利用指数函数的单调性是解题的关键，根据所给的已知信息，构造合适的指数函数，为了便于解题，通常要尽可能地将含指数幂的式子进行统一底数．【例8－1】已知3x≥30.5，求实数x的取值范围；的取值范围；【例8－2】设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是__________．【例8－3】设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，且a≠1，试确定x为何值时，有：(1)y1＝y2；(2)y1＞y2．点技巧指数不等式的求解技巧(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，借助于函数y＝a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如a f(x)＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝a x的单调性求解．10．与指数函数有关的函数的奇偶性综合问题判断与指数函数有关的函数的奇偶性步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(－x)与f(x)或－f(x)是否相等；是否相等；(2)当f(－x)＝f(x)时，此函数是偶函数；当f(－x)＝－f(x)时，此函数是奇函数；时，此函数是奇函数；(3)当f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数．【例10】已知函数11 ()212xf x=+-．(1)求f(x)的定义域；的定义域； (2)讨论f(x)的奇偶性．的奇偶性．分析：(1)根据求函数定义域的方法求解；(2)利用函数奇偶性的定义来判断．检测题一、选择题1．下列各函数中，是指数函数的是() A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1D．y＝3x2．已知函数y ＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．任意值．任意值3．函数y ＝4－2x的定义域是( ) A ．(0,2] B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[1，＋∞) 4．(2012～2013广安中学月考试题)函数y ＝a x－2＋2(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,2) D ．(2,3) 5．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b6．函数y ＝a |x|(0<a <1)的图象是( ) 7．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.148.函数①y ＝3x ；②y ＝2x ；③y ＝(12)x；④y ＝(13)x.的图象对应正确的为() A ．①a ②b ③c ④dB ．①c ②d ③a ④bC ．①c ②d ③b ④aD ．①d ②c ③a ④b 二、填空题9．函数y ＝(19)x－1的定义域为________．10．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________ 11．(2012～2013重庆市南开中学期中试题)函数f (x )＝2－|x |的值域是________．12．(2012～2013·大连高一检测)已知y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝4x，则f (－12)＝________. 三、解答题13．已知f (x )＝12(a x －a －x )，g (x )＝12(a x ＋a －x)，求证：[f (x )]2＋[g (x )]2＝g (2x )．14．分别把下列各题中的三个数按从小到大的顺序用不等号连接起来．a上的最大值比最小值大2，求1． [答案] D 2． [解析] ∵y ＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数．∴îíìa 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1∴a ＝2.2. [ [答案答案] B 3． [解析] ∵4－2x ≥0,2x≤4＝22，∴x ≤2.2. [ [答案答案] B 4． [解析] 代入验证，当x ＝2时，y ＝a 2－2＋2＝1＋2＝3.3. [ [答案] D 5． [解析] ∵y ＝0.8x 是减函数，∴a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，且1>a >b .又c ＝1.20.8>1，∴c >a >b . [答案] D 6． [解析] y ＝îïíïìa x (x ≥0)èçæø÷ö1a x(x <0)，∵0<a <1，∴在[0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增，且y ≤1，故选C. [点评] 可取a ＝12画图判断．画图判断．7． [解析] 当a >1时，y min ＝a 0＝1；y max＝a 1＝a ，由1＋a ＝3，所以a ＝2.2. [ [答案答案] B 当0<a <1时，y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a .由1＋a ＝3，所以a ＝2矛盾，综上所述，有a ＝2. 8.8. [ [答案答案] B 9． [解析]y ＝(19)x －1有意义满足(19)x －1≥0，即(19)x ≥(19)0，∴x ≤0，定义域为(－∞，0]10． [解析] 由已知函数图象过(2,4)，令y ＝a x，得a 2＝4，∴a ＝2，∴f (2)·f (4)＝22×24＝64. [答案] 64 11． [解析] ∵|x |≥0，∴－|x |≤0，∴0<2－|x |≤1，∴函数y ＝2－|x |值域为(0,1]．[答案] (0,1] 12． [解析] f (x )为奇函数，∴f (－12)＝－f (12)＝－412＝－2.2. [ [答案答案] －2 13． [证明] f 2(x )＋g 2(x )＝14(a x －a －x )2＋14(a x ＋a －x )2＝14(2a 2x ＋2a －2x )＝12(a 2x ＋a －2x )＝g (2x )成立．14． [解析]15． [解析] 由f (x )>g (x )得a 3x －4>a 2x －2. 当a >1时，3x －4>2x －2，∴x >2； 当0<a <1时，3x －4<2x －2，∴x <2. ∴当a >1时，x 的范围是(2，＋∞)；当0<a <1时，x 的范围是(－∞，2)．16． [解析] 当a >1，f (x )＝a x在[1,2]上为增函数，由题意a 2－a ＝a 2，即a 2－3a 2＝0，∵a >1，∴a ＝32. 当0<a <1时，f (x )＝a x在[1,2]上为减函数．由题意a －a 2＝a 2，即a 2－a 2＝0，∵0<a <1，∴a ＝12. 综上所述，a ＝32或12. 。
高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)
+⎩ + 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念 ①如果 xn= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次 方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 - na表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．nnn n⎧a (a ≥ 0)③根式的性质：( a ) = a ；当 n 为奇数时， a = a ；当 n 为偶数时，=| a |= ⎨-a ．(a < 0)〔2〕分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是： a n= n a m(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②- m1 m1正数的负分数指数幂的意义是： an= ( ) n = n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的负分数指a a数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 〔3〕分数指数幂的运算性质①a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )②(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )③(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质〔4〕指数函数 函数名称 指数函数定义函数 y = a(a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数图象a > 10 < a < 1y = 1 yOy = ax(0, 1)xy = a xy = 1Oy( 0 , 1 )x定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕，即当 x=0 时，y=1．奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0)y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)a 变化对图象影响在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴．在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．n a n39 1 + 5 1 ± 5 12.1 指数函数练习1．以下各式中成立的一项〔〕A ． ( n )7 = n 7m 7mB ． 12(-3)4 =C ． 4x 3+ y 33(x + y )4D ．=2 11 1 1 1 52．化简(a 3 b 2)(-3a 2 b 3) ÷ ( 3a 6b 6 )的结果〔〕A ． 6aB ． - aC ． - 9aD ． 9a23．设指数函数 f (x ) = a x(a > 0, a ≠ 1) ，那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ． f 〔x - y 〕=f (x )f ( y )C ． f (nx ) = [ f (x )]n(n ∈ Q )- 1D ． f (xy )n= [ f (x )]n·[ f ( y )]n(n ∈ N + )4．函数 y = (x - 5)0+ (x - 2)2A ．{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C ．{x | x > 5}〔〕B ．{x | x > 2}D ．{x | 2 < x < 5或x > 5}5．假设指数函数 y = a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，那么底数a 等于 〔〕A ．B ． 2 2C ．D ．2 26．当 a ≠ 0 时，函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是〔〕7．函数 f (x ) = 2-|x |的值域是〔 〕A ． (0,1]B ． (0,1)⎧⎪2- x- 1, x ≤ 0 C ． (0,+∞)D ．R8．函数 f (x ) = ⎨ 1 ，满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围⎪⎩x 2 , x > 0〔 〕A ． (-1,1)B ． (-1,+∞)C ．{x | x > 0或x < -2}D ．{x | x > 1或x < -1}9．函数 y = ( 1 ) 2- x 2 + x +2 得单调递增区间是〔 〕11A ． [-1, ]2B ． (-∞,-1]C ． [2,+∞)D ． [ 2,2]3 - 33 3- 1 + 5 5 ± 1⎩ x e x - e - x10． f (x ) =，那么以下正确的选项是 〔 〕2A ．奇函数，在 R 上为增函数B ．偶函数，在 R 上为增函数C ．奇函数，在 R 上为减函数D ．偶函数，在 R 上为减函数11．函数 f (x )的定义域是〔1，2〕，那么函数 f (2 x) 的定义域是 .12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x )=a x －2－3 必过定点 .三、解答题：13．求函数 y = 1的定义域.5 x -1 - 114．假设a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．函数 f (x ) =a x - 1 a x + 1(a ＞1).〔1〕判断函数f (x )的奇偶性；〔2〕证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数 f(x)＝a x (a>0，且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a，求 a 的值． 2参考答案一、DCDDDAAD D A二、11．(0,1)；12．(2，－2)；三、13． 解：要使函数有意义必须：⎧x - 1 ≠ 0⎧x ≠ 1⎪x ⇒⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1⎨x ≠ 0∴定义域为： {x x ∈ R 且x ≠ 0, x ≠ 1}⎪1 a +1 a +12 14． 解： a r + br⎛ a ⎫r⎛ b ⎫r，其中 0 < a < 1,0 < b < 1.= ⎪ c rc + ⎪c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 当r ＞1时，⎛ a ⎫ r ⎛ b ⎫r a b ，所以a r+b r ＜c r ；⎪ + ⎪ < + = 1⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c当 r ＜1 时，⎛ a ⎫r⎛ b ⎫ra b，所以 a r +b r ＞c r . ⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c15．解：(1)是奇函数.(2) x ＜x ，a x 1 -1 a x2 -1 。
指数函数及其性质
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4 y
1
x
2
2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
y
y 1 x 2
y 2x
1
01
x
102x21.5
探究活动
2.
请填写下表并在同一坐标系上作出函数 y 3x 及 y (1)x 的
• 函数在定义域R上是单调的，与直线x=1的交点纵 坐标即为底数a的大小；
• 在第一象限，底数越大，图象越高。
y
a
•
1•
o
1
x
y
1•
a
•
o
1
x
知识清单
1.本节课的重点知识：
指数函数的概念
y (1)x
y 2x
2y
指数函数的性质
2.记住两个基本图形:
数图象画法（尤其要了解底数如何影响 图象变化）；
指数函数及其性质 （第1课时）
概念：指数函数
一般地，函数y a x (a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量.
问题1：为什么要规定a 0,且a 1呢？
问题2：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 2x √
(2) y x2 ×
(3) y 2x × (4) y 2x ×
3
图像.
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 9
x 2 1.5 1 0.5
y
1
x
3
9
5.20
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第1页共6页
指数函数的概念及其性质
一、单选题(共11道，每道9分)
1.若函数满足，则的值为( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
2.若函数是指数函数，则的值为( )
A.2 B.
C.D.-2
答案：B
解题思路：
第2页共6页
试题难度：三颗星知识点：指数函数的解析式及运算
3.函数的定义域是( )
A.(-∞，2] B.["0，2"]
C.(-∞，2) D.(0，2]
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的定义域
4.函数的值域是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
第3页共6页
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
5.若，则函数的值域是( )
A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的值域
6.若函数的图象恒过定点(1，2)，则b的值
第4页共6页
为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
7.不论a是何值，函数恒过一定点，这个定点坐标是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
8.若函数的图象在第一、三、四象限，则有
第5页共6页
( )
A.，B.，
C.，D.，
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质
9.函数在上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
答案：A
解题思路：
第6页共6页
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
10.函数在上的最小值为( )
A.-1 B.0
C.2 D.10
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用
11.已知函数，，若有，则b的取值范围是
( )
A.B.
C.D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：指数函数综合题