初三数学培优教材(培训学校专用)
初中数学九年级培优教程整理(全)
【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导 】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组 】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７ 】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（ ）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故 【变式题组 】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有 对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（ ）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲 二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１ 】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导 】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组 】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２ 】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导 】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组 】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３ 】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导 】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组 】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４ 】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是 【解法指导 】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0） 【变式题组 】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ； （一）3 2 2 3 33 36 ； （二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５ 】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导 】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ， 则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形， 而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组 】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（ ）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲 一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。
最新初三上数学培优专题讲义九AB------相似三角形
初三上数学培优专题讲义九AB 相似三角形提高训练一.相似三角形中的几个基本图形：两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：二、典例分析：考点（一）-------有关三角形的内接矩形或正方形的计算问题例题1、已知：如图，正方形DEFG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=12。
求正方形边长.变式：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，试比较图中正方形CDEF 和正方形PQRS 的面积的大小考点（二）------ 两个三角形相似的判定 例题2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由.(2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.变式：如图,⊿ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相交于点F.(1)试说明⊿ABD≌⊿BCE。
(2)⊿AEF 与⊿ABE 相似吗?说说你的理由。
(3)BD 2=AD·DF 吗?请说明理由。
考点（三）------相似三角形中的面积问题EF AFFC FD +例题3. 如图，在□ABCD 中，E 为CD 中点，AE 与BD 相交于点O ，S △DOE ＝12cm 2，求S △AOD 、 S △AOB ．变式：（2011•丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，求S △DPQ ：S △ABC ．考点（四）------作平行线构造相似三角形例题4.如图，E 是ABC ∆中线AD 上的一点，CE 交AB 于F ，已知AE ：ED=1：2，求AF ：BF 的值。
变式：如图，已知△ABC 中，AE:EB=1:4,BD:DC=2:1，AD 与CE 相交于F.求： 的值.考点（5）------利用相似三角形测高例5. 某测量工作人员眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.5米，标杆为3米，且BC=1米，CD=6米，求电视塔的高ED 。
初三上学期数学全册教案(暑假补习班)
1
1
；
x 1 2
(1)x +1＝0；
(2) x 2
(4) x3 x 2 x 1 0 ；
(5) 2 x(3 x 5) 6 x 4 ；
2
2
(3) x y 1 0 ；
2
(6)(x-2)(x-3)＝5.
2
6．下列哪些数是方程 x 6 x 8 0 的根?答案：
________。
如果非零实数 a 、b 、 c 中满足c = o，则关于 x 的一元二次方程 ax 2 bx c 0 必有一根________。
六、课堂小结
1、判断一个方程是否是一元二次方程的关键是什么？
2、要确定一元二次的项及系数，首先要把方程化成一元二次方程的一般形式是什么？；
七、巩固复习
2
2
10、已知 3 2 2 是关于 x 的方程 x 6 x m 的一个根，则 m ________。
11、根据题意，列出方程：
2
（1）剪出一张面积是 240 cm 的长方形彩纸，使它的长比宽多 8 cm ，这张彩纸的长是多少？
（2）某厂经过两年时间将某种产品的产量从每年 14400 台提高到 16900 台，平均每年增长的百分率是多
一、选择题
1. 若 px 3x p p 0 是关于 x 的一元二次方程，则(
2
2
)
A．p≠1
B．p≠0 且 p≠1
C．p≠0
D．p≠0 且 p≠1
2
2．已知 x=﹣1 是关于 x 的方程 x ﹣x+m=0 的一个根，则 m 的值为（
）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
初三数学培优(提高班)(1)
初三数学培优：一次函数、反比例函数（提高班）一、选择题:（ ）1．在反比例函数y=2x的图象上的一个点的坐标是……………………………… A ．（2，1） B ．（－2，1） C ．（2，12） D ．（12，2）（ ）2．函数y=（a －1）x a是反比例函数，则此函数图象位于………………………………A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第二、三象限（ ）3．已知正比例函数y=（3k －1）x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是……… A ．k<0B ．k>0C ．k<13D ．k>13（ ）4．直线y=x －1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有多少个 A ．4 B ．5C ．7D ．8（ ）5．在函数y=kx（k>0）的图象上有三点A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3），已知x 1<x 2<0<x 3，则下列各式中，正确的是…………………………………………（ ） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 1<y 2（ ）6．函数y ax a =-+与(0)ay a x-=≠在同一坐标系中的图象可能是………………（ ）7．下列函数中，y 随x 增大而增大的是…………………………………………………… ①()02<=x xy ②x y 2-= ③12-=x y④ ()04>-=x xy ⑤x y 4-=A ．①②③⑤B ．②③④C ．③④D ．④（ ）8．在直线y=12x+12上，到x 轴或y 轴的距离为1的点有……………………… A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（ ）9．无论m 、n 为何实数，直线y=－3x+1与y=mx+n 的交点不可能在……………… A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限O Axy OCxy O DxyO Bxy（ ）10．如图，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠=．动点P Q ，分别在直线BC上运动，且始终保持100PAQ ∠=．设BP x =，CQ y =，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为…………………………………………………………二、填空题:11．一次函数y=kx+b 中，y 随x 的增大而减小，且kb>0，则这个函数的图象一定不经过第______象限．12．如图，点A 在反比例函数y=kx的图象上，AB 垂直于x 轴， 若S △AOB =4，•那么这个反比例函数的解析式为________ ． 13．如果点P （2，k ）在双曲线xy 6-=上，那么点P 到x 轴的距离为_________。
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初二升初三数学培优教材(培训学校专用)
第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
初三数学知识点专题讲解与训练27---数形结合(培优版)
， C.(14 14)
－ ，一 D. ( 14 14)
y
y A
C
x
O
BD
第 2 题图
A10 A6 A2
O A1 A5 A9
A11 A7 A3
x
A4 A8 A12
第 6 题图
3 / 10
7．在△ABC 中，∠C＝900 ，AC＝3，BC＝4．在△ABD 中，∠A＝900 ，AD＝12.点 C 和点 D 分居 AB
得a =
4(2 − b)..因
a,h
2 − b > 0,
为边长且是整数.故当
得
b<2，取 b = 1, a =
4 不是整数;当
4−b
4 − b > 0,
3
2 − b < 0, 得 b>4，要使 a,b 为整数，只有两种取法:若 b=5 时，a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 4 − b < 0,
三角【形另例两5】边上设）△的A面BC积三都边相上等的，三证个明内：接△正AB方C形为（正有三两角个形顶．点在三角形的一（边江上苏，省另竞两赛个试顶题点）分别在 解题思路：设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，对应边上的高分别为ha ，hb ， hc ，△ABC 的面积
为 S ，则易得三个内接正方形边长分别为 2S ， 2S ， 2S ，由题意得 ， a + ha = b + hb = c + hc a + ha b + hb c + hc
专题 27 数形结合答案
例 1 5 提示:作出 B 点关于 x 轴的对称点 B'(2,-3)，连结 AB'交 x 轴于 C，则 AB'=AC 十 CB' 为
初三上册数学直升班培优讲义学生版第5讲一元二次方程的构造及应用(学生版)
o一元二次方程的构造及应用I -模块一利用根的定义构造方程模块二利用根系关系构造方程模块一利用根的定义构造方程如果m 、n 分别是一兀二次方程ax bx c(a )的两根，那么有ambm c , an bn c，相反的，如果已知 m 、n 分别满足am bm c , an bn c，且a，那就可以构造 •个一兀二次方程 ax bx c (a )使得m 、n 是它的解.模块二 利用根系关系构造方程如果m 、、n 分别疋一兀二次方程 ax bx c (a)的两根，由韦达疋理，mnb c 一，mn 一， a a相反的，如果已知 m 、n 分别满足 bcm n, mn — ，且a ，那就可以构造一 个 兀二次方程a a使得m 、n 是它的两根.这里主要提到的是同形构造及和积构造.(2)如果实数a , b 分别满足【点评】通过这道题，让孩子们深刻理解如何利用根的定义去构造方程，而且要理解这两道常考题 型的区别，抓住题目给出的条件，根据条件去决定这道题需不需要讨论.通过这道题，也 加深孩子们对于分类讨论思想的理解.(1)由根的定义，知 a , b 为一兀二次方程 x x 的两个根由韦达疋理知 a bab于是a b ab ab(a b). (2)由题意知 a , b 为方程x x的两个根，且 a , 解方程xx，得: x厂 x,①当a b 时， 有a b ,ab ，…a ba b ab②当a b 时， 方程的根为 x,x『.当a b 「时,a b aV ；当a b 一时,- 厂a b a综上所述，-— 或•或■.【解析】a bb ,模块一 利用根的定义构造方程IIIJ(1)已知a , b 是不相等的实数，且 a，求a b ab 的值. -的值.b【解析】（1）由p p, qq 有p ,— •由q，又pq，所以p q ，则 q q可变形为 -p p及p -,qqq可知 p 与— 是方程xx的根，因此p—qq(2) 由t t 可知， t ，故-t又sS, sts，故 s 、 -是方程 x x 的两根，从而可知t ts ，故sts ss - —s — ----ttt t t已知实数 a b ,且满足（a ）(a (b ) (b ),求①a【解析】 由根定义，a , b 是方程（x 整理得a , b 是一元二次方程 ①由根系关系，a b a baba b② 则——a b ③ 由①可知 ab (x）的两个根, 的两个根,【点评】 bb aa (a b ) .ab(a b)ab.ab这道题是一道特别经典的题，老师可以大概提一下把是可以的，但是相对麻烦•并且老师还可以结合例 学生们在做一遍.a+1) 去掉a.ab和( b+1) 看做整体去构造也 b ，那应该要分类讨论，带着，且 pq，求P -的值.q(2) 实数 s , t 满足 且st + st ，求— 的值. (3) 实数 p , q 满足且pq，求P—的值. qa.ba ,ab例题3已知(1)【注意】其实构造成x x也可，不过此时两根变为一和t ，由根系关系可知一 ts st,,st s 故t - s (相对麻烦些).stts(3)由 q q(q )得：一g- 且 p p,因为pq ，即p -q qq故p 、- 是方程xx的两个不相等的头数根，由韦达疋理：qp -,p -;所以p —P -卫.q q q q q【点评】锻炼分析能力和同形构造能力：①对比两个方程最简形式的系数能发现什么(从条件出发 怎么变成同形)？②怎么出现一个字母的倒数(从结果出发)已知△ ABC 的三边a , b , e 满足：b e,be a a，试确定△ ABC 的形状【解析】T b e, be a a• b , e 是关于x 的方程xx (a a) 有两个实数根. T △ ()(aa)> ，整理得： (a ) < .又(a )》，••• a . 此时△，方程的两根相等, 即：be .• △ ABC 是等腰三角形.的三边长.模块二 利用根系关系构造方程111若一直角三角形两直角边的长 a 、b(a b)均为整数，且满足a b m ab m•试求这个直角三角形【解析】因为a 、b 为正整数，所以，m 也为正整数.且a b m+ ab m从而，a 、b 是关于x 的方程x (m )x m的两个不等整数解.所以 (m ) mmm 必为完全平方数.不妨设m m k , k为正整数，即m m k由此知关于数•于是m的方程①应有整数解，则k为完全平方数.D' ()(k ) ( k )也必为完全平方令k (n k)，其中n为正整数.则(n k) k n(n k).显然n n k .又，于是，分三种情况讨论：n 时，k ，无整数解；n 时，k ，解得k ,m 直角三角形的三边长分别为5, 12, 13; n 时，k ，解得k ,m 直角三角形三边长分别为6,8, 10.综上,直角三角形的三边长分别为5,12,13 或6, 8, 10.【点评】这道题当然可以直接利用判别式为完全平方数去进行配方去做，然后利用平方差公式去做, 根据两数之和和两数之差同奇偶去把这道题给解决.已知x、y均为实数，且满足xy x y ,x y xy ； (3)x y xy . x x y x y xy y .求：(1)x y ； (2)x y【解析】由已知xy x y ,x y xy 5所以xy和x y是方程t t ①的两个实数根.解方程①得t t .即xy ,x y ;或者xy , xi)当xy , x y 时，x、y是方程u u ②的两个根因为△() ，所以方程②有实数根.(1)x y (x y) xy .(2)x y x y xy xy(x y xy)( ) .(3)x x y x y xy y x y (x y ) x yii )当i xy , x y 时，x、y是方程v v ③的两个根因为△() ，所以方程③没有实数根.综上可知(1)x y(2)x y x y xy .(3)x x y x y xy y【点评】这道题主要锻炼学生的双重构造方程的能力，属于较难的代数的题，考察也比较综合，联系到恒等变形，及知二推课后作业r r . 2 2 1 .若a 2a 1 0 , b 2b 1 0，则a b的值为b a（按照从大到小填写）2 .已知m m,n n '且m n ,【解析】1.2或;2.由m m 可知，m ，故又,m n，故一、—是方程n n m n 由根系关系可知， _ __m n演练2 9m x 则2--的值为m n23 .若ab 1，且5a 2001a 9 0,9b 2001b【解析】由9b2 2001b 5 0得，5所以a, 1可以看作是方程b 1_5x212001— b2001x由韦达定理，得:，即——一m m的两根;20 ,又5a 2001a0的两个根..（填小数形式）警398.4 .5练34 .已知关于x的方程的两个根，求以y ( b)y bxy，有两个相等的实数根，,y为根、二次项系数为2的、y是关于y的方程元二次方程.【解析】由求根公式知，（b）当b 时，方程y，解得b , b ，当b，解得y , y ，故、讨时，关于y的方程无解；,.y ，故所求方程为(y )(y )，即a b5•已知：a, b, e三数满足方程组ab，试求方程bx ex a 的根.e e【解析】由方程组得：a, b是方程x x e e 的两根,(e .) ,e . , a b ,所以原方程为x x ,x x .【解析】由于xy (x y) , xy x y) ,则得到t ,t ,即xy ,x y ①；或者xy ,x y ②；①的时候x、y为方程u u 的根，能为题目中要求的正整数，舍；②的时候 x、y为方程u u 的根，故x y (x y) xy.xy与(x y)为方程t t 的两个根,,不是完全平方数，x、y不可u , u .大家都知道一元二次方程用- ■-:，由韦达定理根与系数关系知道:, ，同学们自己证明下，看看自己能证明出来吗m " fti演练46 .已知x、y是正整数，并且xy x y,x y xy ，则x y对于一个一元三次方程■< ■：：-<'■!,根与系数也有同样的关系：。
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2016年初二升初三暑期培优教材（数学）第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)－5x2+1=6x (3)(x+1)2=2x (4)8-xx-=432-例4、（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽?（列出方程并估算解得值）例6、如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?【经典练习】一、选择题1、下列关于x 的方程：①1.5x 2+1=0；②2.3x 2+x1+1=0；③3.4x 2=ax(其中a 为常数)；④2x 2+3x=0；⑤5132+x =2x ；⑥22)(x x + =2x 中，一元二次方程的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是A.x 2－5x+5=0B.x 2+5x+5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=03、一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是A.7x 2,2x,0B.7x 2,－2x ，无常数项C.7x 2,0,2xD.7x 2,－2x,04、若x=1是方程ax 2+bx+c=0的解，则A.a+b+c=1B.a －b+c=0C.a+b+c=0D.a －b －c=0二、填空题1、将13)34(+=+x x x 化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是. __________，一次项系数是__________，常数项是__________。
2、如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为___________.3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x ，则方程为___________.5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为_____________.三、解答题1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？【课后作业】一、填空题1、方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________.2、若关于x 的方程053)1(2=+--ax x a 是一元二次方程，这时a 的取值范围是________3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )A.2x 2+7=0B.2x 2+23x+1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x) 2+1=0 2、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )A.x 2－5x+5=0B.x 2+5x+5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=03、一元二次方程51272=+-x x 的二次项、一次项、常数项依次是 ( )A.7x 2,2x,1B.7x 2,－2x ，无常数项C.7x 2,0,2xD.7x 2,－2x,-44、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( ) A.2 B.－2 C.32- D.3221-+5、若关于x 的方程（ax+b ）(d －cx)=m(ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为 ( )A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m)6、若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 ( )A.2B.－2C.0D.不等于27、若x=-1是方程ax 2+bx+c=0的解，则 ( )A.a+b+c=1B.a －b+c=0C.-a+b+c=0D.a －b －c=0第二讲 一元二次方程（配方法）【学习目标】1、会用开平方法解形如)0()(2≥=+n n m x 的方程。
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。
【知识要点】1、直接开平方法解一元二次方程：（1） 把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2） 直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
【经典例题】例1、解下列方程：（1）x 2=4（2）(x+3)2=9例2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2+8x+ =(x+ )2（3）x 2―12x+ =(x ― )2例3、用配方法解方程（1）3x 2+8x ―3=0（2）01262=--x x（3）04525212=-+-x x （4）022=--x x例4、请你尝试证明关于x 的方程012)208(22=+++-mx x m m ，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程。
例5、 一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ）满足关系： h=15t ―5t 2，小球何时能达到10m 高？【经典练习】一、填空题1、若x 2=225，则x 1=__________,x 2=__________.2、若9x 2－25=0，则x 1=__________,x 2=__________.3、填写适当的数使下式成立.①x 2+6x+______=(x+3)2 ②x 2－______x+1=(x －1)2 ③x 2+4x+______=(x+______)24、为了利用配方法解方程x 2－6x －6=0，我们可移项得___________，方程两边都加上_________，得_____________，化为___________.解此方程得x 1=_________，x 2=_________.5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x 的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小矩形的宽x 为_________.6、如图1，在正方形ABCD 中，AB 是4 cm ，△BCE 的面积是△DEF 面积的4倍，则DE 的长为_________.7、如图2，梯形的上底AD=3 cm ，下底BC=6 cm ，对角线AC=9 cm ，设OA=x ，则x=_________ cm.图1 图2二、选择题1、方程5x 2+75=0的根是 （ ）A.5B.－5 C .±5 D.无实根2、方程3x 2－1=0的解是 （ ）A.x=±31B.x=±3C.x=±33D.x=±33、一元二次方程x 2－2x －m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（） A.(x －1)2=m 2+1 B.(x －1)2=m －1C.(x －1)2=1－mD.(x －1)2=m+14、用配方法解方程x 2+x=2，应把方程的两边同时（ ）A.加41B.加21C.减41D.减215、已知xy=9，x －y=－3，则x 2+3xy+y 2的值为（ ）A.27B.9C.54D.18三、计算题（用配方法解下列方程）（1）162=x （2）4)2(2=-x(3)x 2+5x －1=0 (4)2x 2－4x －1=0(5) 41x 2－6x+3=0 (6)x 2－x+6=0（7）0342=--x x （8）025122=++x x（9）x x 6132=- （10）012222=+-x x四、解答题两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.【课后作业】1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n 的形式（1）2x 2+3x －2=0 (2)41x 2+x －2=02、用配方法解下列方程(1)x 2+5x －5=0 (2)2x 2－4x －3=0(3) x 2－3x-3=0 （4）014722=++x x第三讲 一元二次方程（公式法）【学习目标】1、学会一元二次方程求根公式的推导。