2018中考数学圆(大题培优)
中考数学圆与相似(大题培优 易错 难题)含答案解析
中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含答案解析一、相似1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D.（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD.求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝ AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离.【答案】（1）证明：∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）解：①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴ = ，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝ D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝ = ，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+ ＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；【解析】【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC 的距离.2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝，求⊙O的半径．【答案】（1）证明：∵DC2＝CE·CA，∴，∵∠DCE=∠ACD，∴△CDE~△CAD，∴∠CDE=∠CAD，又∵∠CBD=∠CAD，∴∠CDE=∠CBD，∴CD=CB.（2）解：连结OC（如图），设⊙O的半径为r，由（1）知CD=CB，∴弧CD=弧CB，∴∠CDB=∠CBD=∠CAB=∠CAD=∠BAD，∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠BAD，∴OC∥AD，∴，∵PB＝OB，∴PB=OB=OA=r，PO=2r，∴=2，∵CD=2，∴PC=4，PD=PC+CD=6，又∵∠PCB=∠CDB+∠CBD，∠PAD=∠PACB+∠CAD，∴∠PCB=∠PAD，∵∠CPB=∠APD，∴△PCB~△PAD，∴，即，解得：r=4.即⊙O的半径为4.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得△CDE~△CAD，再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得∠CDE=∠CBD，根据等腰三角形的性质即可得证.（2）连结OC，设⊙O的半径为r，根据圆周角定理可得∠BOC=∠BAD，由平行线的判定得OC∥AD，根据平行线所截线段成比例可得=2，从而求得PC、PD长，再根据相似三角形的判定可得△PCB~△PAD，由相似三角形的性质可得，从而求得半径.3．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：，理由如下：∵四边形是平行四边形，∴∥， .∵四边形是菱形，∴∥， .∴∥， .∴ .又∵，∴≌ .∴（2）解：方法1：过点作∥，交于点，∴ .∵，∴∽ .∴ .由（1）结论知 .∴ .∴ .∵四边形为菱形，∴ .∵四边形是平行四边形，∴∥ .∴ .∵∥，∴ .∴，即 .∴是等边三角形。
【中考专题】2018年九年级数学 中考专题复习--圆 培优练习卷(含答案)
2018年九年级数学中考专题复习--圆培优练习卷1.如图，已知直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．2.如图,已知等腰△ABC底角为30°,以BC为直径⊙O与底边AB交于点D,过D作DE⊥AC,垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC＝4，求△OEC的面积．3.如图，直线PQ与⊙O相交于点A．B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）连结AD，已知BC=10，BE=2，求BD的长．4.如图，已知Rt△ABC，C=900，O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于D点，与BC 相切于E点，连接AE.(1)求证：AE平分∠CAB；(2)若CE=2，BE=6，求sinB及⊙O的半径.5.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．6.如图，已知圆⊙O内接ABC，AD为⊙O直径，AE⊥BC于E点，连接BD.(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)若AB=8，AC=6，⊙O的半径为5，求AE的长.7.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠BAC=2∠EBC,以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)若AB=8,sin∠EBC=0.25,求AC的长．8.在⊙O中,AB为直径,点P在AB延长线上,PC与⊙相切于C,点D为上点,且=,连AD．（1）如图1,求证：2∠A﹣∠P=90°；（2）如图2,延长AD、PC交于点E,若∠E=90°.求证：PC=AD；（3）如图3,延长AD、PC交于点E,点F在AO上,连接DF、CF,∠ECF=∠AFD﹣∠CFP,DF=2,AB=6,求线段CF的长.9.如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．（1）求证：AE=BE；（2）求证：FE是⊙O的切线；（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．10.如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A．B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．11.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．12.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径．13.如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，以A为圆心，AB为半径作⊙A，DE切⊙A于F点，与BC 交于E点.（1）求证：DE=AD；（2）求BE的长度.14.如图，在ABC △中，AB 是O 的直径，O 与AC 交于点D，60,75AB B C =∠=︒∠=︒， 求BOD ∠的度数；15.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12cm ，AD=13cm ，BC=22cm ，AB 是⊙O 的直径，动点P 从点A 出发向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 出发向点B 以2cm/s 的速度运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点停止时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？（2）直接写出PQ 与⊙O 相交时t 的取值范围．ADC B O参考解析1.（1）略；（2）7.5；.2.（1）证明：连接OD∵等腰三角形ABC的底角为30°∴∠ABC＝∠A＝30°∵OB＝OD∴∠ABC＝∠ODB＝30°∴∠A＝∠ODB＝30°∴OD∥AC∴∠ODE＝∠DEA＝90°∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CD∵∠B＝30°∴∠OCD＝60°∴△ODC是等边三角形∴∠ODC＝60°∴∠CDE＝30°∵BC＝4∴DC＝2∵DE⊥AC∴CE＝1；DE＝∴S△OEC＝＝＝3.(1)证明：连结OD，如图，∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠CBQ，∴∠OBD=∠DBQ，∵DE⊥PQ，∴∠BED=90°，∴∠EBD+∠BDE=90°，∴∠EDB+∠BDO=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连结CD，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∵∠CBD=∠DBE，∴Rt△CBD∽Rt△DBE，∴BD:BE=BC:BD，即BD:2=10：BD，∴BD=2．4.答案：(1)连OE，证明略；(2)sinB=1/3，圆O的半径为.5.∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；（3）解：∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，∵OB=2，∴的长==π．6.答案为：(1)证明略；(2)AE=4.8.7. (1)证明：连接AF.∵AB为直径，∴∠AFB=90°.∵AE=AB，∴△ABE为等腰三角形.∴∠BAC=2∠BAF.∵BAC=2EBC，∴∠BAF∠EBC∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.∴∠ABC=90° .∴BC与⊙0相切.(2) 解：过E作EG⊥BC于点G∵∠BAF=∠EBC，∴sin∠BAF=sin∠EBC=0.25..在△AFB中，∠AFB=90°，∵AB=8，∴BF=2∴BE=2BF=4.在△EGB中，∠EGB=90°，∴EG=1∵EG⊥BC，AB⊥BC，∴EG∥AB∴△CEG∽△CAB∴CE:CA=EG:AB.∴CE=8/7.∴AC=AE+CE=64/7.8.连接OC，OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP=90°，∴∠POC=90°﹣∠P，∵=，∴∠AOD=∠POC，∴∠AOD=90°﹣∠P，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO∴∠AOD+∠A+∠ADO=180°，∴90°﹣∠P+2∠A=180°，∴2∠A﹣∠P=90°，（2）如图2，连接OC，CD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∵∠E=90°，∴∠PCO=∠E，∴OC∥AC，∴∠POC=∠A，在Rt△POC中，∠P+∠POC=90°，∴∠A+∠P=90°，由（1）知，2∠A﹣∠P=90°，∴∠P=30°，∴PC=OC∵=，∴CD∥AB，∵OC∥AE，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC=AD，∴PC=AD；（3）如图3，过点C作CH⊥AB于M，连接CD，FH，DH，延长DF，PH相交于点N，连接CG，HG，∵CH⊥AB，∴∠FCH=∠FHC，∠CFB=∠HFB，∵∠ECF=∠AFD﹣∠CFP，∴∠GFH=∠ECH，∵PC，PH于⊙O相切，∴∠PCH=∠PHC，∴∠PCH+∠FCH=∠PHC+∠FHC，∴∠PCF=∠PHF，∴∠ECF=∠NHF，∵∠GFH=∠ECH，∴∠GFH=∠NHF，∴，∴CD∥AB，∴∠CMA=90°，∴∠DCH=90°，∴DH是⊙O的直径，∴∠DGH=90°∴∠FHG=90°﹣∠GFH=90°﹣∠FHN，∵DH是⊙O直径，∴∠DHN=90°，∴∠FHD=90°﹣∠FHN，∴∠FHG=∠FHD，∴，∵AB=DH=6，FD=2∴，∴HG=3GF，在Rt△DGH中，HG2+DG2=HD2，∴9GF2+（2+GF）2=36，∴GF=，∴FH==GF=．∵CH⊥HB，∴CF=FH=．9.∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；又∵AC=BC，∴AE=BE．（2）证明：连接OE，如图2所示：∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3，∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．10.解：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP===，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=OC•OP=×6×3=9；（3）证明：连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．11.（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．12.解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，∵BC是切线，∴OE⊥BC，∴∠OEC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDFE是矩形，∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，∴AF=AD=×12=6，设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，则（8﹣x）2+36=x2，解得：x=6.25，∴⊙O的半径为：6.25．13.解：(1)证明略；(2)BE=.14.15.∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB，∵AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC﹣CQ=22﹣2t，EQ=BQ﹣BE=22﹣2t﹣t=22﹣3t；∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线，∴AP=PH，HQ=BQ，∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22﹣2t=22﹣t；在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+（22﹣3t）2=（22﹣t）2，即：8t2﹣88t+144=0，∴t2﹣11t+18=0，（t﹣2）（t﹣9）=0，∴t1=2，t2=9；∵P在AD 边运动的时间为==13秒，Q在CB 边运动的时间为==11，∴当t=2或9秒时，PQ与⊙O相切．（2）由（1）可知PQ与⊙O相交时t的取值范围为0≤t＜2 或 9＜t≤11．第11 页共11 页。
2018年中考数学压轴题之圆题例题
广东中考数学专题训练（二）：几何综合题（圆题） 例题训练1．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，BC 为⊙O 直径，BC =4．点D 在⊙O 上，连接OA 、CD 和BD ，AC 与BD 交于点E ，并作AF ⊥BC 交BD 于点G ，点G 为BE 中点，连接OG ．（1）求证：OA ∥CD ；（2）若∠DBC =2∠DBA ，求BD 的长；（3）求证：FG =2DE ．2．如图，⊙O 为∆ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径，AB =4．⊙O 切线CD 交BA 延长线于点D ，∠ACB 平分线交⊙O 于点E ，并以DC为边向下作∠DCF =∠CAB 交⊙O 于点F ，连接AF ．（1）求证：∠DCF =∠D +∠B ；（2）若AF =32，AD =52，求线段AC 的长； （3）若CEAB ⊥CF ．3．如图，⊙O为 ABC外接圆，BC为⊙O直径．作»AD=»AC，连接AD、CD和BD，AB与CD交于点E，过点B作⊙O 切线，并作点E作EF⊥DC交切线于点G．（1）求证：∠DAC=∠G+90°；（2）求证：CF=GF；（3）若EFBD=23，求证：AE=DE．4．如图，⊙O 为 ABC 外接圆，AB 为⊙O 直径．连接CO ，并作AD ∥CO 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 切线DE 交CO 延长线于点E ，连接BE ，作AF ⊥CO 交BC 于点G ，交BE 于点H ，连接OG ．（1）若CF =2，OF =3，求AC 的长；（2）求证：BE 是⊙O 的切线；（3）若2AF AHDE g =23，求证：OG ⊥AB ．。
(最新整理)2018中考数学圆(大题培优)
2018中考数学圆(大题培优)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018中考数学圆(大题培优)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（2018•福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1)延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；(2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小．3（12.00分）（2018•福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC 的两侧，DE⊥AB，垂足为E,DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE 于点H，DC,FB的延长线交于点P，且PC=PB．(1)求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°，求∠BDE的大小．325．（10.00分）（2018•河北）如图，点A 在数轴上对应的数为26，以原点O 为圆心,OA为半径作优弧,使点B 在O 右下方，且tan ∠AOB=，在优弧上任取一点P,且能AB 43AB 过P 作直线l ∥OB 交数轴于点Q ，设Q 在数轴上对应的数为x ，连接OP ．（1)若优弧上一段的长为13π,求∠AOP 的度数及x 的值;AB AP （2）求x 的最小值，并指出此时直线l 与所在圆的位置关系；AB (3）若线段PQ 的长为12.5，直接写出这时x 的值．23．（10。
专题培优】2018年 九年级数学上册 圆 培优专题(含答案)
专题培优】2018年九年级数学上册圆培优专题(含答案)2018年九年级数学上册圆培优专题1.如图，圆O的直径AB的长度为10，弦AC的长度为5，∠ACB的平分线交圆O于点D。
（1）求BC的长度；（2）求弦BD的长度。
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点F，过点D作DE⊥AC。
（1）证明：DE是圆O的切线；（2）证明：DC=DF；（3）已知CE=1，DE=2，求AE的长度。
3.如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=8，连接BD，以AB为直径作圆O，与BD交于点E，点F在BC上，且BF=EF。
（1）证明：EF为圆O的切线；（2）求BE的长度；（3）求BF的长度。
4.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=8，圆O在矩形内，以O为圆心，OA为半径作圆O，切CD于点E，交AB于点F，AF=8，连接CF。
（1）求圆O的半径；（2）求CF的长度；（3）点P在OE所在的直线上，求△PFC周长的最小值。
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC 于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，圆O是△BEF的外接圆。
（1）证明：AC是圆O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，证明：CD=HF；（3）已知CD=1，EH=3，求AF的长度。
6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，延长BC至点D，使DC=BC。
延长DA与圆O的另一个交点为E，连接AC，CE。
（1）证明：∠B=∠D；（2）已知AB=13，BC-AC=7，求CE的长度。
7.如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处。
再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG。
（1）证明：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积。
2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的相切问题)
2018—2018学年度初三数学培优班练习卷参考答案<因动点产生的相切问题）班级座号姓名一、选择题.1、B2、C3、B4、B5、C6、B7、D8、B9、C 10、D11、B 12、D 13、C 14、C 15、D 16、A 17、C 18、A 19、B 9WNXRrQ7MD20、C 21、C 22、C 23、C 24、D 25、C 26、D二、填空题.27、【答案】①②④ 28、【答案】或29、【答案】OG=BD=． 30、【答案】．31、【答案】4 32、【答案】BN=33、【答案】PC= 错误! 34、【答案】sin∠ACE=． 9WNXRrQ7MD35、【答案】，<1＜x＜2）；36、【答案】9WNXRrQ7MD三、计算题37、解答：<1）证明：连接OA，∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，∵OP⊥AB，∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，∴PA=PB，∵在△OAP和△OBP中，，∴△OAP≌△OBP<SSS），∴∠OAP=∠OBP=90°，∴BP⊥OB，则直线PB为圆O的切线；<2）答：EF2=4DO•PO．证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，∴△OAD∽△OPA，∴=，即OA2=OD•OP，∵EF为圆的直径，即EF=2OA，∴EF2=OD•OP，即EF2=4OD•OP；<3）解：连接BE，则∠FBE=90°．∵tan∠F=，∴=，∴可设BE=x，BF=2x，则由勾股定理，得EF==x，∵BE•BF=EF•BD，∴BD=x．又∵AB⊥EF，∴AB=2BD=x，∴Rt△ABC中，BC=x，AC2+AB2=BC2，∴122+<x）2=<x）2，解得：x=4，∴BC=4×=20，∴cos∠ACB===．38、解答：<1）PN与⊙O相切．证明：连接ON则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．<2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．<3）解：连接ON，由<2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE=×1×1+π﹣×1×=+π﹣．39、解答：<1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．在Rt△OAH中，OA＝3，，设OH＝m，AH＝2m，那么m2＋(2m>2＝32．解得．所以．<2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．因此，即．由此得到．定义域是0＜x≤6．图4 图5 <3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是⊙Q的半径．在Rt△QPD中，，，因此．如图7，设⊙M的半径为r．由⊙M与⊙O内切，，可得圆心距OM＝3－r．由⊙M与⊙Q外切，，可得圆心距．在Rt△QOM中，，OM＝3－r，，由勾股定理，得．解得．图6 图7 图840、解答：<1）∵点A<6，0），点B<0，6），∴OA=OB=6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA=45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y 轴右侧时，∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；9WNXRrQ7MD<2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=6，∴OE=AB=3，∴CE=OC+CE=3+3，△ABC的面积=CE•AB=×<3+3）×6=9+18．∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18．<3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°，∴∠DOA+∠DAO=90°而∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO，∴Rt△OCF∽Rt△AOD，∴=，即=，解得CF=，在Rt△OCF中，OF==，∴C点坐标为<﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=，∴∠COF=30°，∴∠OAD=30°，∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，∵在△BOC和△AOD中，∴△BOC≌△AOD<SAS），∴∠BCO=∠ADC=90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．41、解答：<1）证明：连接OEFE、FA是⊙O的两条切线∴∠FAO=∠FEO=90°在Rt△OAF和Rt△OEF中，∴Rt△FAO≌Rt△FEO<HL），∴∠AOF=∠EOF=∠AOE，∴∠AOF=∠ABE，∴OF∥BE，<2）解：过F作FQ⊥BC于Q∴PQ=BP﹣BQ=x﹣yPF=EF+EP=FA+BP=x+y∵在Rt△PFQ中∴FQ2+QP2=PF2∴22+<x﹣y）2=<x+y）2化简得：，<1＜x＜2）；<3）存在这样的P点，理由：∵∠EOF=∠AOF，∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，此时Rt△AFO中，y=AF=OA•tan30°=，∴∴当时，△EFO∽△EHG．42、解答：解：<1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，∵A<8，0），B<0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10，∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为<<4，3）；<2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°，而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO，∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，解得OC=，∴C点坐标为<﹣，0），设直线BC的解读式为y=kx+b，把B<0，6）、C点<﹣，0）分别代入，解得，∴直线l的解读式为y=x+6；<3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，∵∠BOA的平分线交AB于点N，∴△NOD为等腰直角三角形，∴ND=OD，∴ND∥OB，∴△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AD：AO，∴ND：6=<8﹣ND）：8，解得ND=，∴OD=，ON=ND=，∴N点坐标为<，）；∵△ADN∽△AOB，∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，∴BN=10﹣=，∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，∴△BON∽△EAN，∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，∴OE=ON+NE=+=7．43、解答：30°<1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD 在水平直线l的同侧，当点A在⊙O上时，过点B作的一条切线BE，E为切点，9WNXRrQ7MD∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，∴∠EBA的度数是：30°；②如图2，∵直线l与⊙O相切于点F，∴∠OFD=90°，∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，∴OF∥AD，∵OF=AD=2，∴四边形OFDA为平行四边形，∵∠OFD=90°，∴平行四边形OFDA为矩形，∴DA⊥AO，∵正方形ABCD中，DA⊥AB，∴O，A，B三点在同一条直线上；∴EA⊥OB，∵∠OEB=∠AOE，∴△EOA∽△BOE，∴=，∴OE2=OA•OB，∴OA<2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法二：在Rt△OAE中，cos∠EOA==，在Rt△EOB中，cos∠EOB==，∴=，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；方法三：∵OE⊥EB，EA⊥OB，∴由射影定理，得OE2=OA•OB，∴OA<2+OA）=4，解得：OA=﹣1±，∵OA＞0，∴OA=﹣1；<2）如图3，设∠MON=n°，S扇形MON=×22=n<cm2），S随n的增大而增大，∠MON取最大值时，S扇形MON最大，当∠MON取最小值时，S扇形MON最小，过O点作OK⊥MN于K，∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，在Rt△ONK中，sin∠NOK==，∴∠NOK随NK的增大而增大，∴∠MON随MN的增大而增大，∴当MN最大时∠MON最大，当MN最小时∠MON最小，①当N，M，A分别与D，B，O重合时，MN最大，MN=BD，∠MON=∠BOD=90°，S扇形MON最大=π<cm2），②当MN=DC=2时，MN最小，∴ON=MN=OM，∴∠NOM=60°，S扇形MON最小=π<cm2），∴π≤S扇形MON≤π．故答案为：30°．44、解答：<1）证明：连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，∴∠PAC=∠ADC，∴∠CAD+∠PAC=90°，∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线；<2）解：由<1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，∴△CAG∽△BAC，∴=，即AC2=AG•AB，∵AG•AB=12，∴AC2=12，∴AC=2；<3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，∴AD=AF+FD=3x，在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF•AD，即3x2=12，解得；x=2，∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3，在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，根据勾股定理得：AG===，由<2）知，AG•AB=12，∴AB==，连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，∴sin∠ADB=，∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，∴sin∠ACE=．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2018中考数学圆（大题培优）
2018中考数学圆（大题培优）第一篇：2018中考数学圆(大题培优)（2018•福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC 是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．（12.00分）（2018•福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．25．（10.00分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；所在圆的位置关系；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．23．（10.00分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；（3）请猜想PF 与FD的数量关系，并加以证明．23.（2018•荆门）如图，AB为O的直径，C为O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD EC交EC的延长线于点D，AD交O于F，FM⊥AB于H，分别交O、AC于M、N，连接MB，BC.（1）求证：AC平方∠DAE；（2）若cosM=4，BE=1，①求O的半径；②求FN的长.525．（10.00分）（2018•株洲）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值．25．（10.00分）（2018•湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．25．（10.00分）（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．第二篇：重庆中考数学大题训练24.如图，∆ABC是等边三角形，过点C作CD点D，连结(1)求证：BD⊥CB交∠CBA的外角平分线于AD，过点C作∠BCE=∠BAD,交AB 的延长线于点E．=BE；(2)若CD=4,BE=5,求AD的长.25..2011年5月9日，我市成立了首支食品药品犯罪侦缉支队，专门打击危害食品药品安全的违法犯罪行为，食品安全已越来越受到人们的关注．我市某食品加工企业严把质量关，积极生产“绿色健康”食品，由于受食品原料供应等因素的影响，生产“绿色健康”食品的产量随月份增加呈下降趋势．今年前5个月生产的“绿色健康”食品y（吨）与月份（x）之间的关系如下表：月份x（月）… “绿色健康”食品产量y（吨）…1）请你从学过的一次函数、二次函数、反比例函数确定哪种函数关系能表示出y与x的变化规律，并求出y与x的函数关系式．（2）随着“绿色健康”食品生产量的减少，每生产一吨“绿色健康”食品，企业相应获得的利润有所提高，且每生产一吨获得的利润P（百元）与月份x（月）成一次函数关系．已知1月份每生产一吨“绿色健康”食品，企业相应获利80百元，4月份每生产一吨“绿色健康”食品企业相应获利95百元．那么今年哪月份该企业获得的利润最大？最大利润是多少百元？（3）受国家法律保护的激励，该企业决定今年5月份起，更新食品安全检测设备的同时，扩建食品原料基地以提高生产“绿色健康”食品的产量．更新设备检测费用和扩建原料基地费用共用去4000百元，预计从6月份起，每月生产一吨“绿色健康”食品的产量在上一个月基础上增加a%，与此同时，每生产一吨“绿色健康”食品，企业相应获得的利润在上一个月的基础上增加20%，要使今年6、7月份利润的总和在扣除设备检测费用和扩建基地费用后，仍是今年5月份月利润的2倍，求a的整数值．（参考数据：≈3.317，1112≈3.464，13≈3.606，14≈3.742）26、如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB 边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E 使得四边形PQBE为等腰梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ 于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．第三篇：人教版中考数学专题复习圆2021年人教版中考数学专题复习圆（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计21分，）1.下列命题中，正确的是（）A.平面上三个点确定一个圆B.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等C.平分弦的直径垂直于这条弦D.与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线2.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130∘，则∠BOD的度数是（）A.50∘B.60∘C.80∘D.100∘3.如图为一条圆柱形排水管的横截面，已知圆心O到水面的距离OC是3dm，水面宽AB是8dm，排水管的截面的直径是（）A.16dmB.10dmC.8dmD.6dm4.图中实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池．若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（）A.12πmB.18πmC.20πmD.24πm5.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角的所对的弧相等；②垂直于弦的直径平分弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．A.1个B.2个C.3个D.4个6.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O 交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（）A.24-4πB.32-4πC.32-8πD.167.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，∠BAC＝20∘，则∠ADC等于（）A.40∘B.60∘C.65∘D.70∘二、填空题（本题共计小题，每题分，共计30分，）8.底面直径和高都是1的圆柱侧面积为________．9.如图，AB是⊙O为直径，∠ACD=15∘，则∠BAD=________度．10.在半径为1的圆中，长度是2的弦所对的圆周角为________度．11.已知点A到圆心O的距离是2，圆的半径是5，则点A与⊙O 的位置关系是________．12.如图所示，A、B、C、D是⊙O上顺次四点，若∠AOC=160∘，则∠D=________，∠B=________．13.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为________．14.已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么直线和圆有________个公共点．15.如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，CA=b，∠A-∠B=90∘，则⊙O的半径为________．16.如图，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠AOC=130∘，则AD的度数为________∘，CBD的度数为________∘，∠CAD的度数为________∘，∠ACD的度数为________∘．17.如图，是⊙的一条弦，点是⊙上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与⊙交于、两点，若⊙的半径为，则的最大值为________三、解答题（本题共计小题，共计69分，）18.已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．19.如图，已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上，点D在⊙O上，连接CD，且CD=OA，OC=22．求证：CD是⊙O的切线．20.如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，0A与⊙0相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=25，求线段PB的长．21.如图①，在△ABC中，OA＝OB，C是边AB的中点，以点O为圆心的圆经过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）在图①中，若OA与⊙O相交于点D，OB与⊙O相交于点E，连接DE，∠AOB＝120∘，OD＝6，如图②，则DE＝________．22.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点P．（1）PA与PB相等吗？请说明理由；（2）若AB=8，求圆环的面积．23.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点F，延长AC到点E，使CE=CF.(1)求证：BE是半圆O所在圆的切线；(2)若BC=AD=6，求半圆O的半径.24.已知两个以点O为圆心的圆，OA，OB是大圆的半径．（1）如图①，OA，OB交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，求证：AE=BF；（2）如图②，延长AO，BO交小圆于点C和D，直线CD交大圆于点E和F，AE和BF是否相等？说明你的理由．第四篇：中考数学辅助圆思想辅助圆思想题型一：共顶点等线段【例1】在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．⑴若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；⑵在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（2012年北京中考节选）⑴图略，．⑵如图，连接，根据对称性可知，以为圆心、长为半径作，则，∴．【例2】已知：中，中，．连接、，点、、分别为、、的中点．⑴如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是___________，此时________；⑵如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；（海淀一模）【解析】⑴等边三角形，1；⑵证明：连接、．由题意，得，．∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．∴．∵为中点，∴在中，．在中，．∴．∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．∴．又∵，∴．∴．∴．由题意，又．在Rt中，．题型二：共斜边的直角三角形∵，∴．∴．【例3】已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；【解析】与的数量关系是相等．常规证法：过点作，垂足分别为点．∵，易得，∴，而，∴．∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．辅助圆证法：∵，∴四点共圆，∵平分，∴，∴．【例4】如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．【解析】连接∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．【例5】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．备用图（朝阳一模）【解析】⑴在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．∵，∴．∴．∴△ABP∽△DPC．∴，即．∴PC=2．⑵①∠PEF的大小不变．理由：过点F作FG⊥AD于点G．∴四边形ABFG是矩形．∴．∴GF=AB=2，．∵，∴．∴．∴△APE∽△GFP.∴．∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．即tan∠PEF的值不变．∴∠PEF的大小不变．②.辅助圆证法：连接，∵，∴四点共圆，∴，∴不会发生变化．题型三：四点共圆的简单应用【例6】如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．【解析】∵，∴是圆内接四边形，∵平分，∴，∴．【例7】已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．【解析】∵是对角线，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴的大小不发生改变．【例8】（海淀区2010-2011学第一学期初三期末25）如图一，在△ABC 中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.⑴连结，证明：；⑵如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE 的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;⑶如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q 作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA.证明：PA是半圆的切线.【解析】⑴如图一，∵，F分别是AB，AC，BC边的中点，∴F∥AC且F=A，F∥AB且F=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，∴F=A=E，F=A=D，∠BD=90°，∠CE=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC=45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°∴AQ=AC=AG=同理：∠BAP=90°，AB=AP=∴CG=,∠GAB=∠QAP∴，∴PQ=BG∵∠ACB=90°，∴BC==∴BG==，∴PQ=.⑶证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF 于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由⑵已证∠CAQ=90°,AC=AQ，∴∠2+∠3=90°∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，∴PA是半圆的切线.训练1.如图，分别切于两点，满足，且，求的度数．【解析】∵都是的切线，∴∵，∴∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上．设，则，∴∵，∴在中，即∴，∴，即．训练2.如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．【解析】连接∵是的中点，∴，∴，∴，即，∴四点共圆，∴，很明显，∴，∴．训练3.如图，已知在五边形中，，且．求证：．【解析】连接，∵，∴，∴，∴，∴四点共圆．同理四点共圆，∴五点共圆，∵，∴．题型一共顶点等线段【练习1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．⑴求证：是等边三角形；⑵点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．①若，直接写出的度数；②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；【解析】⑴证明：如图，∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B （0，）．∵C（3，0）．∴OA＝OC．又y轴⊥AC，∴AB＝BC．xOABCPEy在Rt△AOB中，．∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.⑵①答：∠AEP=120°．②解：如图，作EH⊥CP于点H，∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．∴∠BEH=60°．∵ED垂直平分AP，∴EA=EP．∴EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．辅助圆的证法：∵点在轴上，∴，∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，∴．题型二共斜边的直角三角形【练习2】如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，求的长．【解析】连接，∵是正方形，∴，∵，∴四点共圆，∴．在中，∴，设，则，解得，∴，∴．题型三四点共圆的简单应用【练习3】设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．【解析】连接，由题意可知四点共圆，⑴若在线段上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．⑵若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．⑶若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．综上所述，命题成立．第五篇：2018年宜昌中考复习数学综合大题集锦2018年宜昌中考复习数学综合大题集锦（2）难点突破：分类和范围22．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF=x，EC=y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．（★）（2）当CF=1时，求EC的长．（★★）（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DBE与△DFG相似时，求DF长．（★★★）22.【背景资料】机器人代替人工生产是国家“中国制造2025”规划的重要发展方向。
中考数学圆与相似(大题培优 易错 难题)含详细答案
中考数学圆与相似(大题培优易错难题)含详细答案一、相似1．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，把A（3，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2），∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，而NP=PM，∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，∴N点坐标为（，）（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），∴AB= = ，BP= = m，而NP=﹣ m2+4m，∵MN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：，整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，此时M点的坐标为（，0）；综上所述，点M的坐标为（，0）或（，0）【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MN OA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解；（3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。
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(2018?畐建A卷)已知四边形ABCD是O O的内接四边形，AC是。
O的直径，DE丄AB,垂足为E.
(1)延长DE交。
O于点F,延长DC, FB交于点P,如图1.求证：PC=PB
(2)过点B作BC丄AD,垂足为G, BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的
左侧，如图2.若AB=；, DH=1,Z OHD=8°，求/ BDE的大小.
(12.00分)(2018?畐建B卷)如图，D是厶ABC外接圆上的动点，且B, D位于AC的两侧，DE丄AB,垂足为E, DE的延长线交此圆于点F. BG丄AD,垂足为G, BG交DE于点H, DC, FB的延长线交于点P,且PC=PB
(1)求证：BG// CD;
(2)设厶ABC外接圆的圆心为O,若AB^'DH,/ OHD=8°，求/ BDE的大小.
备用圉
25. (10.00分)(2018?河北)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为
4
圆心，OA为半径作优弧■■-,使点B在O右下方，且tan/AOB=，在优弧加上任取一点P,且能过P作直线I// OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x, 连接OP
(1)若优弧恥上一段4P的长为13 n求/ AOP的度数及x的值；
(2)求x的最小值，并指出此时直线I与•期所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ 的长为12.5,直接写出这时x 的值.
23. （10.00分）（2018?恩施州）如图，AB 为。
O 直径，P 点为半径 OA 上异于O 点和A 点的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD,连接AD,作BE ± AB, OE// AD 交 BE 于 E 点，连接 AE 、DE 、AE 交 CD 于 F 点.
AD _ EC 交EC 的延长线于点D ，AD 交L O 于F ，FM _AB 于H ，分别交L O 、AC 于 M 、N ，连接 MB ，BC .
（1）求证：AC 平方.DAE ;
4
(2)若 cosM ，BE =1，①求 5
25. （10.00分）（2018?株洲）如图，已知 AB 为。
O 的直径，AB=8,点C 和点D 是。
O 上关于直线AB 对称的两个点，连接 OC AC,且/ BOC X 90°直线BC 和 直线AD 相交于点E,过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线
O 的半径；②求FN 的长.
（1）求证：DE 为。
O 切线；
DC E 第23融圈
AD相交于点G,且/ GAF= GCE
(1)求证：直线CG为。
O的切线；
(2)若点H为线段OB上一点，连接CH,满足CB=CH
①厶CBH^A OBC
②求OH+HC的最大值.
25. (10.00 分)(2018?湘潭)如图，AB 是
O为圆心的半圆的直径，半径CO丄AO,点
是掘■■上的动点，且不与点A、C、B重
合，线AM交直线OC于点D,连结OM与
CM.
(1 )若半圆的半径为10.
①当/ AOM=6°时，求DM的长;
②当AM=12时，求DM的长.
(2)探究：在点M运动的过程中，/ DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
25. (10.00 分)(2018?扬州)如图，在△ ABC 中，AB=AC AO丄BC 于点O, OE 丄AB于点E,以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
(1)求证：AC是。
O的切线；
(2)若点F是OA的中点，OE=3,求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长.
A
BP 0C。