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中考数学试题(解析版)

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2023年浙江省杭州市中考数学真题(解析版)

2023年浙江省杭州市中考数学真题(解析版)

2023年杭州市初中学业水平考试数学考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间100分钟．2．答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号．3．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效．答题方式详见答题纸上的说明．4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑．5．考试结束后，试题卷和答题纸一并上交．参考公式：二次函数()20y ax bx c a ++≠图象的顶点坐标公式：24,24b ac b a a −− ．试题卷一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）1. 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）A. 48.810×B. 48.0810×C. 58.810×D. 58.0810×【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】4808008.0810=×．故选：B ．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1<10a ≤，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．2. 22(2)2−+=（ ）A. 0B. 2C. 4D. 8【答案】D【解析】 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解．【详解】解：22(2)2448−+=+=，故选：D �【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．3. 分解因式：241a −=（ ）A. ()()2121a a −+B. ()()22a a −+C. ()()41a a −+D. ()()411a a −+ 【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式分解即可．【详解】()()()2241212121a a a a −=−=+−． 故选：A ．【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．4. 如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ．若60AOB ∠=°，则AB BC=（ ）A. 12 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据矩形性质得出1122OA OC AC OB OD BD AC BD =====，，，推出OA OB =则有等边三角形AOB ，即60BAO ∠=°，然后运用余切函数即可解答．【详解】解：�四边形ABCD 是矩形，�1122OA OC AC OB OD BD AC BD =====，，， �OA OB =，�60AOB ∠=°，�AOB 是等边三角形，�60BAO ∠=°，∴906030ACB ∠=°−°=°，∵tan tan 30AB ACB BC ∠==°=，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出60BAO ∠=°是解答本题的关键．5. 在直角坐标系中，把点(),2A m 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B ．若点B 的横坐标和纵坐标相等，则m =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】【分析】先根据平移方式确定点B 的坐标，再根据点B 的横坐标和纵坐标相等列方程，解方程即可．【详解】解： 点(),2A m 先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B ， ∴()1,23B m ++，即()1,5B m +，点B 的横坐标和纵坐标相等，∴15m +=，∴4m =，故选C ．【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的平移，一元一次方程的应用等，解题的关键是掌握平面直角坐标系内点平移时坐标的变化规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减．6. 如图，在O 中，半径,OA OB 互相垂直，点C 在劣弧AB 上．若19ABC ∠=°，则BAC ∠=（ ）A. 23°B. 24°C. 25°D. 26°【答案】D【解析】 【分析】根据,OA OB 互相垂直可得 ADB 所对的圆心角为270°，根据圆周角定理可得12701352ACB ∠=×°=°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，半径,OA OB 互相垂直，∴90AOB ∠=°，∴ ADB 所对的圆心角为270°，∴ ADB 所对的圆周角12701352ACB ∠=×°=°， 又 19ABC ∠=°， ∴18026BAC ACB ABC ∠=°−∠−∠=°，故选D ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．7. 已知数轴上的点,A B 分别表示数,a b ，其中10a −<<，01b <<．若a b c ×=，数c 在数轴上用点C 表示，则点,,A B C 在数轴上的位置可能是（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】 分析】先由10a −<<，01b <<，a b c ×=，根据不等式性质得出0a c <<，再分别判定即可．【详解】解：∵10a −<<，01b <<，∴0a ab <<∵a b c ×=∴0a c <<A 、01b c <<<，故此选项不符合题意；B 、0a c <<，故此选项符合题意；C 、1c >，故此选项不符合题意；D 、1c <−，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由10a −<<，01b <<，a b c ×=得出0a c <<是解题的关键．8. 设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =−−−>是实数)，则（ ）A. 当2k =时，函数y 的最小值为a −B. 当2k =时，函数y 的最小值为2a −C. 当4k =时，函数y 的最小值为a −D. 当4k =时，函数y 的最小值为2a −【答案】A【解析】 【分析】令0y =，则()()0a x m x m k =−−−，解得：1x m =，2x m k =+，从而求得抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++=，再分别求出当2k =或4k =时函数y 的最小值即可求解． 【详解】解：令0y =，则()()0a x m x m k =−−−，解得：1x m =，2x m k =+， ∴抛物线对称轴为直线222m m k m k x +++= 当2k =时， 抛物线对称轴为直线1x m =+，【把1x m =+代入()()2y a x m x m =−−−，得y a =−，∵0a >∴当1x m =+，2k =时，y 有最小值，最小值为a −．故A 正确，B 错误；当4k =时， 抛物线对称轴为直线2x m =+，把2x m =+代入()()4y a x m x m =−−−，得4y a =−，∵0a >∴当2x m =+，4k =时，y 有最小值，最小值为4a −，故C 、D 错误，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 9. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有．．出现数字6的是（ ） A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2C. 平均数是3，方差是2D. 平均数是3，众数是2【答案】C【解析】【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．【详解】解：当中位数是3，众数是2�，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A 选项不合题意；当平均数是3，中位数是2�，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B 选项不合题意；当平均数是3，方差是2�，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：1，2，3，3，此时方差()()()()()2222211323333363 2.825s =×−+−+−+−+−=>， 因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C 选项符合题意；当平均数是3，众数是2��5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2�4，6，故D 选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数、方差，解题的关键是根据每个选项中的设定情况，列出可能出现的5个数字．10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（,,,DAE ABF BCG CDH △△△△）和中间一个小正方形EFGH 拼成的大正方形ABCD 中，ABF BAF ∠>∠，连接BE ．设,BAF BEF αβ∠=∠=，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为21:,tan tan n αβ=，则n =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】 【分析】设BF AE a ==，EF b =，首先根据2tan tan αβ=得到22222a ab b +=，然后表示出正方形ABCD 的面积为223AB b =，正方形EFGH 的面积为22EF b =，最后利用正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n 求解即可．【详解】设BF AE a ==，EF b =，�2tan tan αβ=，90AFB ∠=°， �2BF BF AF EF = ，即2a a ab b = + ， �22a a a b b=+，整理得22a ab b +=， �22222a ab b +=，�90AFB ∠=°，�()22222222223AB AF BF a b a a ab b b =+=++=++=， �正方形ABCD 的面积为223AB b =，�正方形EFGH 面积为22EF b =，�正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积之比为1:n ， �2213b b n=， �解得3n =．的故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题：（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11. 计算:=______【答案】【解析】12. 如图，点,D E 分别在ABC 的边,AB AC 上，且DE BC ∥，点F 在线段BC 的延长线上．若28ADE ∠=°，118ACF °∠=，则A ∠=_________．【答案】90°##90度【解析】【分析】首先根据平行线的性质得到28B ADE ∠=∠=°，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】�DE BC ∥，28ADE ∠=°，�28B ADE ∠=∠=°，�118ACF °∠=，�1182890A ACF B ∠=∠−∠=°−°=°．故答案为：90°．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n 个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n =_________． 【答案】9【解析】【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解： 从中任意摸出一个球是红球的概率为25，【∴6265n =+， 去分母，得()6526n ×=+， 解得9n =，经检验9n =是所列分式方程的根，∴9n =，故答案为：9．【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．14. 如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，设正六边形ABCDEF 的面积为1S ，ACE △的面积为2S ，则12S S =_________．【答案】2【解析】【分析】连接,,OA OC OE ，首先证明出ACE △是O 的内接正三角形，然后证明出()ASA BAC OAC ≌ ，得到BAC AFECDE S S S == ，OAC OAE OCE S S S == ，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接,,OA OC OE ，�六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形，�AC AE CE ==，�ACE △是O 的内接正三角形，�120B ∠=°，AB BC =，�()1180302BAC BCA B ∠=∠=°−∠=°， �60CAE ∠=°， �30OAC OAE ∠=∠=°，�30BAC OAC ∠=∠=°，同理可得，30BCA OCA ∠=∠=°，又�AC AC =，�()ASA BAC OAC ≌ ，�BAC OAC S S = ，由圆和正六边形的性质可得，BAC AFECDE S S S == ， 由圆和正三角形的性质可得，OAC OAEOCE S S S == ， ∵()2122BAC AFE CDE OAC OAE OCE OAC OAE OCE S S S S S S S S S S S =+++++=++= ， �122S S =． 故答案为：2．【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15. 在“ “探索一次函数y kx b =+的系数,k b 与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：()()()0,2,2,3,3,1A B C ．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图像，并得到对应的函数表达式111222333,,y k x b y k x b y k x b =+=+=+．分别计算11k b +，2233,k b k b ++的值，其中最大的值等于_________．【答案】5【解析】【分析】分别求出三个函数解析式，然后求出11k b +，2233,k b k b ++进行比较即可解答．【详解】解：设111y k x b =+过()()0,2,2,3A B ，则有： 111232b k b = =+ ，解得：11122k b = = ，则1115222k b +=+=； 同理：22275k b +=−+=，3315233k b +=−+= 则分别计算11k b +，2233,k b k b ++的最大值为值22275k b +=−+=． 故答案为5．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解答本题的关键．16. 如图，在ABC 中，,90ABAC A =∠<°，点,,D E F 分别在边AB ，,BC CA 上，连接,,DE EF FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设BC k AB =，若AD DF =，则CF FA=_________（结果用含k 的代数式表示）． 【答案】222k k− 【解析】【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE AC ∥，再证BDE BAC ∽△△，推出12ECk AB =⋅，通过证明ABC ECF ∽，推出212CF k AB =⋅，即可求出CF FA 的值． 【详解】解： 点B 和点F 关于直线DE 对称，∴DB DF =，AD DF =，∴AD DB =．AD DF =，∴A DFA ∠=∠，点B 和点F 关于直线DE 对称，∴BDE FDE ∠=∠，又 BDE FDE BDF A DFA ∠+∠=∠=∠+∠，∴FDE DFA ∠=∠，∴DE AC ∥，∴C DEB ∠=∠，DEF EFC ∠=∠，点B 和点F 关于直线DE 对称，∴DEB DEF ∠=∠，∴C EFC ∠=∠，AB AC =，∴C B ∠=∠，在ABC 和ECF △中，B CACB EFC ∠=∠ ∠=∠ ，∴ABC ECF ∽．在ABC 中，DE AC ∥，∴BDE A ∠=∠，BED C ∠=∠，∴BDE BAC ∽△△， ∴12BE BDBC BA ==， ∴12EC BC =， BC k AB =，∴BC k AB =⋅，12EC k AB =⋅，ABC ECF ∽． ∴ABBC EC CF =， ∴12AB k ABCF k AB ⋅=⋅， 解得212CF k AB =⋅，∴222212122k AB CF CF CF k FA AC CF AB CF k AB k AB ⋅====−−−−⋅． 故答案为：222k k−． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明ABC ECF ∽．三、解答题：（本大题有7个小题，共66分）17. 设一元二次方程20x bx c ++=．在下面的四组条件中选择其中一组．．,b c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．①2,1b c ==；②3,1b c ==；③3,1b c ==−；④2,2b c ==． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】选②，1x =2x =1x =，2x =【解析】【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：20x bx c ++=中1a =， ①2,1b c ==时，22424110b ac ∆=−=−××=，方程有两个相等的实数根；②3,1b c ==时，224341150b ac ∆=−=−××=>，方程有两个不相等的实数根； ③3,1b c ==−时，()2243411130b ac ∆=−=−××−=>，方程有两个不相等的实数根； ④2,2b c ==时，224241240b ac ∆=−=−××=−<，方程没有实数根； 因此可选择②或③．选择②3,1b c ==时， 2310x x ++=，224341150b ac ∆=−=−××=>，x ，1x =2x =选择③3,1b c ==−时，2310x x +−=，()2243411130b ac ∆=−=−××−=>，x ，1x =2x = 【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．18. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A ，B ，C ，D 四类（A 表示仅学生参与；B 表示家长和学生一起参与；C 表示仅家长参与；D 表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）补全条形统计图．（3）已知该校共有1000名学生，估计B 类的学生人数．【答案】（1）200名（2）见解析 （3）600名【解析】【分析】（1）由A 类别人数及其所占百分比可得总人数；（2）先求出B 类学生人数为：200601010120−−−=(名)，再补画长形图即可；（3）用该校学生总数1000乘以B 类的学生所占百分比即可求解．【小问1详解】解：6030%200÷=(名)，答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；【小问2详解】解：B 类学生人数为：200601010120−−−=(名)，补全条形统计图如图所示：【小问3详解】 解：1201000100%600200××=(名)， 答：估计B 类的学生人数600名．【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．19. 如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点,E F 在对角线BD 上，且BE EF FD ==，连接,AE EC ，,CF FA ．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）若ABE 的面积等于2，求CFO △的面积．【答案】（1）见解析 （2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA OC =，OB OD =，结合BE FD =可得OE OF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得2AEF ABES S == ，再根据平行四边形的性质可得11121222CFO CEF AEF S S S ===×= ． 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，BE FD =，∴OB BE OD FD −=−，∴OE OF =，又 OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．【小问2详解】解： 2ABE S = ，BE EF =，∴2AEF ABES S == ， 四边形AECF 是平行四边形， ∴11121222CFO CEF AEF S S S ===×= ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 20. 在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x=与函数()2225y k x =−+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4−．（1）求12,k k 的值．（2）过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．【答案】（1）110k =，22k =（2）见解析【解析】【分析】（1）首先将点A 的横坐标代入()2225y k x =−+求出点A 的坐标，然后代入11k y x=求出110k =，然后将点B 的纵坐标代入110y x =求出5,42B −−，然后代入()2225y k x =−+即可求出22k =； （2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．【小问1详解】�点A 的横坐标是2，�将2x =代入()22255y k x =−+=�()2,5A ，�将()2,5A 代入11ky x =得，110k =， �110y x =，�点B 的纵坐标是4−，�将4y =−代入110y x =得，52x =−， �5,42B−− ，�将5,42B −− 代入()2225y k x =−+得，254252k −=−−+ ，�解得22k =，�()222521y x x −++；【小问2详解】如图所示，由题意可得，5,52C −，()2,4D −， �设CD 所在直线的表达式为y kx b =+， �55224k b k b −+= +=− ，解得20k b =− = ， �2y x =−，�当0x =时，0y =，�直线CD 经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题关键是熟练掌握以上知识点．21. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 在边AD 上（不与点A ，D 重合），射线BE 与射线CD 交于点F ．（1）若13ED =，求DF 的长． （2）求证：1AE CF ⋅=．（3）以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段BE 于点G ．若EG ED =，求ED 的长．【答案】（1）12（2）见解析 （3）14的【解析】【分析】（1）证明AEB DEF △∽△，利用相似三角形的对应边成比例求解；（2）证明AEB CBF ∽，利用相似三角形的对应边成比例证明；（3）设EG ED x ==，则1AE x =−，1BE x =+，在Rt ABE △中，利用勾股定理求解．【小问1详解】解：由题知，1AB BC CD DA ====， 若13ED =，则23AE AD ED =−=．四边形ABCD 是正方形，∴90A FDE ∠=∠=°，又 AEB FED ∠=∠，∴AEB DEF △∽△， ∴ABAEDF ED =， 即21313DF =， ∴12DF =．【小问2详解】证明： 四边形ABCD 是正方形，∴90A C ∠=∠=°，AB CD ∥，∴ABE F ∠=∠，∴ABE CFB ∽， ∴ABAECF BC =，∴111AE CF AB BC ⋅=⋅=×=．【小问3详解】解：设EG ED x ==，则1AE AD AE x =−=−，1BE BG GE BC GE x =+=+=+．在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2221(1)(1)x x +−=+， 解得14x =． ∴14ED =． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22. 设二次函数21y ax bx ++，（0a ≠，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示： x … 1− 0 1 2 3 …y … m 1n 1 p …（1）若4m =，求二次函数的表达式；（2）写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（3）若在m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．【答案】（1）221y x x =−+（2）当0a >时，则1x <时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，则1x >时，y 随x 的增大而减小 （3）13a ≤−【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线1x =；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把()2,1代入21y ax bx ++，得2b a =−，从而得221y ax ax =−+，再求出31m a =+，1n a =−+，31p a =+，从而得m p =，然后m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，得10310a a −+>+≤，求解即可． 【小问1详解】解：把()1,4−，()2,1代入21y ax bx ++，得 144211a b a b −+= ++=，解得：12a b = =− ，∴221y x x =−+．【小问2详解】解：∵()0,1，()2,1在21y ax bx ++图象上， ∴抛物线的对称轴为直线0212x +=， ∴当0a >时，则1x <时，y 随x 的增大而减小，当a<0时，则1x >时，y 随x 的增大而减小．【小问3详解】解：把()2,1代入21y ax bx ++，得1421a b =++，∴2b a =−∴22121y ax bx ax ax =++=−+把()1,m −代入221y ax ax =−+得，2131m a a a =++=+，把()1,n 代入221y ax ax =−+得，211n a a a =−+=−+，把()3,p 代入221y ax ax =−+得，96131p a a a =−+=+，∴m p =，∵m 、n 、p 这三个实数中，只有一个是正数，∴10310a a −+> +≤ ，解得：13a ≤−． 【点睛】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．23. 如图，在O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接,,AC AD BC ，作CF AD ⊥于点F ，交线段OB 于点G （不与点,O B 重合），连接OF ．（1）若1BE =，求GE 的长．（2）求证：2BC BG BO =⋅．（3）若FO FG =，猜想CAD ∠的度数，并证明你的结论．【答案】（1）1 （2）见解析（3）45CAD ∠=°，证明见解析【解析】【分析】（1）由垂径定理可得90AED ∠=°，结合CF AD ⊥可得DAE FCD ∠=∠，根据圆周角定理可得DAE BCD ∠=∠，进而可得BCD FCD ∠=∠，通过证明BCE GCE ≌可得1GE BE ==；（2）证明ACB △CEB ∽，根据对应边成比例可得2BC BA BE =⋅，再根据2AB BO =，12BE BG =，可证2BC BG BO =⋅；（3）设DAE CAE α∠=∠=，FOG FGO β∠=∠=，可证90αβ=°−，903OCF α∠=°−，通过SAS 证明COF AOF ≌，进而可得OCF OAF ∠=∠，即903αα°−=，则245CAD α∠==°．【小问1详解】解： 直径AB 垂直弦CD ，∴90AED ∠=°，∴90DAE D ∠+∠=°，CF AD ⊥，∴90FCD D ∠+∠=°，∴DAE FCD ∠=∠，由圆周角定理得DAE BCD ∠=∠，∴BCD FCD ∠=∠，在BCE 和GCE 中，BCE GCECE CE BEC GEC∠=∠ = ∠=∠ ，∴BCE GCE ≌()ASA ，∴1GE BE ==；【小问2详解】证明： AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=°，在ACB △和CEB 中，90ACB CEB ABC CBE ∠=∠=°∠=∠ ，∴ACB △CEB ∽， ∴BC BABE BC =，∴2BC BA BE =⋅，由（1）知GE BE =， ∴12BE BG =，又 2AB BO =， ∴2122BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅；【小问3详解】解：45CAD ∠=°，证明如下：如图，连接OC ，FO FG =，∴FOG FGO ∠=∠，直径AB 垂直弦CD ，∴CE DE =，90AED AEC ∠=∠=°，又 AE AE =，∴ACE △ADE ≌()SAS ，∴DAE CAE ∠=∠，设DAE CAE α∠=∠=，FOG FGO β∠=∠=， 则FCD BCD DAE α∠=∠=∠=，OA OC =，∴OCA OAC α∠=∠=，又 90ACB ∠=°， ∴903OCF ACB OCA FCD BCD α∠=∠−∠−∠−∠=°−，CGE OGF β∠=∠=，GCE α∠=，90CGE GCE ∠+∠=°∴90βα+=°，∴90αβ=°−，2COG OAC OCA ααα∠=∠+∠=+=，∴()2290180COF COG GOF αββββ∠=∠+∠=+=°−+=°−，∴COF AOF ∠=∠，COF 和AOF 中，CO AO COF AOF OF OF = ∠=∠ =∴()SAS COF AOF ≌，∴OCF OAF ∠=∠，即903αα°−=，∴22.5α=°，∴245CAD α∠==°．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．在。

2024年四川省达州市中考数学真题(解析版)

2024年四川省达州市中考数学真题(解析版)

2024年四川省达州市中考数学试题本考试为闭卷考试．考试时间120分钟、满分150分．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-8页，共8页．温馨提示：1．答题前，考生需用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号正确填写在答题卡对应位置，待监考老师粘贴条形码后，再认真核对条形码上的信息与自己的准考证上的信息是否一致．2．选择题必须使用2B 铅笔在答题卡相应位置规范填涂．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡对应的框内．超出答题区答案无效；在草稿纸、试题卷上作答无效．3．不要折叠、弄破、弄皱答题卡．不得使用涂改液、修正带、刮纸刀等影响答题卡整洁．4．考试结束后，将试卷及答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、单项选择题（每小题4分．共40分）1.有理数2024的相反数是（）A.2024B.2024- C.12024D.12024-【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：有理数2024的相反数是2024-，故选：B ．2.大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在2亿吨以上．将2亿用科学记数法表示为（）A.9210⨯B.8210⨯ C.80.210⨯ D.7210⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．【详解】解：2亿8200000000210==⨯，故选：B ．3.下列计算正确的是（）A.235a a a +=B.()22224a a a +=++C.()3236928a b a b -=- D.1262a a a ÷=【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B 、()22244a a a +=++，原式计算错误，不符合题意；C 、()3236928a b a b -=-，原式计算正确，符合题意；D 、1266a a a ÷=，原式计算错误，不符合题意；故选：C ．4.如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“我”的对面的字是（）A.热B.爱C.中D.国【答案】B 【解析】【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，则与“我”字相对的字是“爱”，与“们”字相对的字是“中”，与“国”字相对的字是“热”，故选：B ．5.小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间．则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（）A.平均数B.众数C.中位数D.方差【答案】C 【解析】【分析】此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，根据中位数的定义求解可得．【详解】解：依题意“■”该数据在30~40之间，则这组数据的中位数为28，∴“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数．故选：C ．6.当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．图中180∠=︒，240∠=︒，则3∠的度数为（）A.30︒B.40︒C.50︒D.70︒【答案】B 【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得123∠=∠+∠，代入数据，即可求解．【详解】解：依题意，水面与容器底面平行，∴123∠=∠+∠∵180∠=︒，240∠=︒，∴312804040∠=∠-∠=︒-︒=︒故选：B ．7.甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工x 个零件．可列方程为（）A.120120301.2x x-= B.120120301.2x x-=C.120120301.260x x -= D.120120301.260x x -=【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工x 个零件，则甲每小时加工1.2x 个零件，再根据时间=工作总量÷工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．【详解】解：设乙每小时加工x 个零件，则甲每小时加工1.2x 个零件，由题意得120120301.260x x -=，故选：D ．8.如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，120ABD ∠=︒，其中点A ，B ，C 都在格点上，则tan BCD ∠的值为（）A.2B.C.32D.3【答案】B 【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长BC 交格点于点F ，连接AF ，,E G 分别在格点上，根据菱形的性质，进而得出90AFC ∠=︒，解直角三角形求得,AF FC 的长，根据对顶角相等，进而根据正切的定义，即可求解．【详解】解：如图所示，延长BC 交格点于点F ，连接AF ，,E G 分别在格点上，依题意，120,EGF EG GF ∠=︒=，,60GF GC FGC =∠=︒∴30,60CEF ECF ∠=︒∠=︒∴90AFC ∠=︒又2FC =，∴324cos30422AF EF EG ==︒=⨯⨯=∴tan tan 2AF BCD ACF FC ∠=∠===故选：B ．9.抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（）A.1b c +>B.2b = C.240b c +< D.0c <【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <，依题意，121,1x x <>，根据题意抛物线开口向下，当1x =时，0y >，即可判断A 选项，根据对称轴即可判断B 选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C 选项，无条件判断D 选项，据此，即可求解．【详解】解：依题意，设抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于两点，横坐标分别为1212,,x x x x <依题意，121,1x x <>∵10a =-<，抛物线开口向下，∴当1x =时，0y >，即10b c -++>∴1b c +>，故A 选项正确，符合题意；若对称轴为1222b b b x a =-=-==-，即2b =，而121,1x x <>，不能得出对称轴为直线1x =，故B 选项不正确，不符合题意；∵抛物线与坐标轴有2个交点，∴方程20x bx c -++=有两个不等实数解，即240b ac ∆=->，又1a =-∴240b c +>，故C 选项错误，不符合题意；无法判断c 的符号，故D 选项错误，不符合题意；故选：A ．10.如图，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，4AB =，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，连结AE ，BD 交于点F ，且始终满足2AD =，则下列结论：①AE BD =；②135DFE ∠=︒；③ABF △面积的最大值是4；④CF 的最小值是-）A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】D 【解析】【分析】过点B 作BM AC ⊥于点M ，证明ABE BMD ∽，根据相似三角形的性质即可判断①；得出BAE MBD ∠=∠，根据三角形内角和定理即可判断②；在AB 的左侧，以AB 为斜边作等腰直角三角形AOB ，以OA 为半径作O ，根据定弦定角得出F 在O 的 AB 上运动，进而根据当OF AB ⊥时，ABF △面积的最大，根据三角形的面积公式求解，即可判断③，当F 在OC 上时，FC 最小，过点O 作OH BC⊥交CB 的延长线于点H ，勾股定理，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ⊥于点M ，∵ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，4AB =，∴AB BC AC ===，，∵2AD =，∴()1122222222DM AC AD CE BC CE BE =-=-=-=∴22DM AD BE CE ==又∵90DMB EBA ∠=∠=︒∴ABE BMD ∽，∴AE AB BD BM==∵ABE BMD ∽，∴BAE MBD ∠=∠，∴BAE ABD MBD ABD∠+∠=∠+∠即()()180180BAE ABD MBD ABD ︒-∠+∠=︒-∠+∠在ABF △中，()180AFB BAE ABD ∠=︒-∠+∠即()180AFB MBD ABD ∠=︒-∠+∠∵ABC 是等腰直角三角形，BM AC ⊥∴BM 平分ABC ∠∴1452ABM CBM ABC ∠=∠=∠=︒∴()180180135AFB MBD ABD ABM ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒∴()180135AFB BAE ABD ∠=︒-∠+∠=︒，∴135DFE ∠=︒，故②正确，如图所示，在AB 的左侧，以AB 为斜边作等腰直角三角形AOB ，以OA 为半径作O ，且4AB =∴90AOB ∠=︒，4OA OB ====，AB ∵135AFB ∠=︒∴11802DFE AOB ∠+∠=︒∴F 在O 的 AB 上运动，∴422OF AO AB ====，连接OF 交AB 于点G ，则2AG GB ==，∴当OF AB ⊥时，结合垂径定理，OG 最小，∵OF 是半径不变∴此时CF 最大则ABF △面积的最大，∴()22ABF AGF AOF AOG S S S S ==- 211222OF AG OG ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭222=-4=-，故③正确；如图所示，当F 在OC 上时，FC 最小，过点O 作OHBC ⊥交CB 的延长线于点H ，∴OHB 是等腰直角三角形，∴22222OH HB OB OA ====，在Rt OHC 中，6HC HB BC =+=，∴OC ==∴CF 的最小值是故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，求圆外一点到圆上的距离最值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题4分，共20分）11.分解因式：3x 2﹣18x+27=________．【答案】3（x ﹣3）2【解析】【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】3x 2-18x+27，=3（x 2-6x+9），=3（x-3）2．故答案为：3（x-3）2．12.“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是______．【答案】16【解析】【分析】本题考查画树状图法求等可能事件的概率；画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《水浒传》和《西游记》的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A ，B ，C ，D ，根据题意，画出如下的树状图：由树状图可知看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种，所以P （两本是《三国演义》和《西游记》）21126==．故答案为：16．13.若关于x 的方程31122k x x --=--无解，则k 的值为______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到6x k =-，再根据分式方程无解得到620k --=，解方程即可得到答案．【详解】解：31122k x x --=--去分母得：312k x -+=-，解得6x k =-，∵关于x 的方程31122k x x --=--无解，∴原方程有增根，∴20x -=，即620k --=，∴4k =，故答案为：4．14.如图，在ABC 中，1AE ，1BE 分别是内角CAB ∠、外角CBD ∠的三等分线，且113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，在1ABE 中，2AE ，2BE 分别是内角1E AB ∠，外角1E BD ∠的三等分线．且2113E AD E AB ∠=∠，2113E BD E BD ∠=∠，…，以此规律作下去．若C m ∠=︒．则n E ∠=______度．【答案】13n m 【解析】【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对1,ABC E AB △△运用三角形的外角定理，设1E AD α∠=，则3CAB α∠=，1E BD β∠=，则3CBD β∠=，得到1E βα=+∠，33C βα=+∠，同理可求：2211133E E C ⎛⎫∠=∠=∠ ⎪⎝⎭，所以可得13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭．【详解】解：如图：∵113E AD CAB ∠=∠，113E BD CBD ∠=∠，∴设1E AD α∠=，1E BD β∠=，则3CAB α∠=，3CBD β∠=，由三角形的外角的性质得：1E βα=+∠，33C βα=+∠，∴113E C ∠=∠，如图：同理可求：2113E E ∠=∠，∴2213E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，……，∴13nn E C ⎛⎫∠=∠ ⎪⎝⎭，即13n nE m ∠=︒，故答案为：13n m ．15.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．点D 在线段BC 上，45BAD ∠=︒．若4AC =，1CD =，则ABC 的面积是______．【答案】403【解析】【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．过D 作DE AB ⊥于E ，设DB x =，则1CB x =+，利用sin AC DE B AB DBÐ==列出等式即可．【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，90C ∠=︒ ，4AC =，1CD =，AD \=45BAD ∠=︒ADE ∴V 是等腰直角三角形23422DE AD \==设DB x =，则1CB x =+AB \=sin AC DE B AB DB Ð==342x \解得175x =-（舍去）或173x =经检验173x =是原分式方程的解，111740(142233ABC S CB AC \=鬃=�△．故答案为：403．三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）16.（1）计算：()2012sin 60π20242-⎛⎫--︒-- ⎪⎝⎭；（2）解不等式组323122x x x --<-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩【答案】（1）3-（2）15x -<≤【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；（1）根据负整数指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：（1）()212sin 60π20242-⎛⎫--︒-- ⎪⎝⎭4212=-⨯-41=-3=-（2）323122x x x --<-⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①②解不等式①得：1x >-解不等式②得：5x ≤∴不等式组的解集为：15x -<≤17.先化简：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，再从2-，1-，0，1，2之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．【答案】41x +，当1x =时，原式2=．【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x 的值，最后代值计算即可．【详解】解：22224x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()()()()()()2212222x x x x x x x x x x +--+=÷-+-+()()()()()222222221x x x x x x x x x x -++-+=⋅-++()()()()()224221x x x x x x x -+=⋅-++41x =+，∵分式要有意义，∴()()()22010x x x x ⎧+-≠⎪⎨+≠⎪⎩，∴2x ≠±且0x ≠且1x ≠-，∴当1x =时，原式4211==+．18.2024年4月21日，达州马拉松暨“跑遍四川”达州站马拉松赛鸣枪开跑．本次赛事以“相约巴人故里，乐跑红色达州”为主题．旨在增强全市民众科学健身意识．推动全民健身活动，本届赛事共设置马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目赛后随机抽样了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表：等级A B C D分数段90~10080~8970~7960~69频数440280m40请根据表中提供的信息．解答下列问题：（1）此次调查共抽取了______名选手，m=______，n=______；（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是______度；（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率．【答案】（1）800，40，5（2）126（3）1 3【解析】【分析】本题考查了列表法求概率，频数分布表以及扇形统计图；（1）根据A等级的人数除以占比得出总人数，进而求得,m n的值；（2）根据B等级的占比乘以360︒，即可求解；（3）设三个项目的冠军分别为,,A B C，根据列表法求概率，即可求解．【小问1详解】解：依题意，44080055%=名选手，8005%40m=⨯=，40%100%5%800n=⨯=∴5n=故答案为：800，40，5．【小问2详解】扇形统计图中，B 等级所对应的扇形圆心角度数是280360126800⨯︒=︒，故答案为：126．【小问3详解】解：设三个项目的冠军分别为,,A B C ，列表如下，A B CA AB AC B BA BCC CA CB共有6种等可能结果，其中恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的有2种情形，∴恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率为2163=19.如图，线段AC 、BD 相交于点O ．且AB CD ∥，AE BD ⊥于点E ．（1）尺规作图：过点C 作BD 的垂线，垂足为点F 、连接AF 、CE ；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母）（2）若AB CD =，请判断四边形AECF 的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问）【答案】（1）见解析（2）四边形AECF 是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F ，再连接AF 、CE 即可；（2）先证明()ASA ABO CDO ≌，得到OA OC =，再证明90AE CF AEO CFO ==︒∥，∠∠，进而证明()AAS AOE COF ≌，得到AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】解：四边形AECF 是平行四边形，理由如下：∵AB CD ∥，∴B D OAB OCD ==∠∠，∠∠，又∵AB CD =，∴()ASA ABO CDO ≌，∴OA OC =，∵AE BD CF BD ⊥⊥，，∴90AE CF AEO CFO ==︒∥，∠∠，又∵AOE COF ∠=∠，∴()AAS AOE COF ≌，∴AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形．20.“三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，AB 是彩婷的中轴、甲同学站在C 处．借助测角仪观察，发现中轴AB 上的点D 的仰角是30︒，他与彩婷中轴的距离6BC =米．乙同学在观测点E 处借助无人机技术进行测量，测得AE 平行于水平线BC ，中轴AB 上的点F 的仰角45AEF ∠=︒，点E 、F 之间的距离是4米，已知彩婷的中轴 6.3AB =米，甲同学的眼睛到地面的距离 1.5MC =米，请根据以上数据，求中轴上DF 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据1.73≈1.41≈）【答案】中轴上DF 的长度为1.5米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点M 作MN AB ⊥于点N ，分别求得,DN AF 的长，根据DF AF DB AB =+-，即可求解．【详解】解：如图，过点M 作MN AB ⊥于点N ，依题意，四边形MCBN 是矩形，30,45DMN AEF ∠=︒∠=︒∴3tan 3063DN MN =⋅︒=⨯=2sin 4542AF EF =⋅︒=⨯=∴DF AF DB AB =+-1.5 6.3=++-21.4121.73 1.5 6.3=⨯+⨯+-1.5≈米答：中轴上DF 的长度为1.5米．21.如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象与反比例函数m y x=（m 为常数，0m ≠）的图象交于点()2,3A ，(),2B a -．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若点C 是x 轴正半轴上的一点．且90BCA ∠=︒．求点C 的坐标．【答案】（1）6y x =，1y x =+（2）(3,0)C 【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合题型，也考查了锐角三角函数的应用．（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可；（2）过A 作AM x ⊥轴于M ，过B 作BN x ⊥轴于N ，设(,0)C c ，先求得NCB MAC ∠=∠得到tan tan NCB MAC Ð=Ð，即NB MC NC AM =，得出等量关系解出c 即可．【小问1详解】解：将()2,3A 代入m y x=得236m =⨯=6y x∴=将(),2B a -代入6y x =得62a -=3a ∴=-()3,2B ∴--将()2,3A 和()3,2B --代入y kx b =+得2332k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩1y x ∴=+故反比例函数和一次函数的解析式分别为6y x=和1y x =+；【小问2详解】如图，过A 作AM x ⊥轴于M ，过B 作BN x ⊥轴于N ，90BCA ∠=︒90NCB ACM \Ð+Ð=°90MAC ACM Ð+Ð=°NCB MAC\Ð=Ðtan tan NCB MAC\Ð=Ð即NB MC NC AM=设(,0)C c ，则2MC c =-，3NC c =+3,2AM BN == 2233c c -\=+解得4c =-（舍去）或3c =经检验，3c =是原分式方程的解，(3,0)C ∴．22.为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A 、B 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A 品种柑橘礼盒比B 品种柑橘礼盒的售价少20元．且出售25件A 品种柑橘礼盒和15件B 品种柑橘礼盒的总价共3500元．（1）求A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？（2）已知加工A 、B 两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A 、B 两种柑橘礼盒共1000盒，且A 品种柑橘礼盒售出的数量不超过B 品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不超过54050元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A 、B 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？【答案】（1）A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元（2）要使农户收益最大，销售方案为售出A 种柑橘礼盒595盒，售出B 种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用；（1）设A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a 元，b 元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解；（2）设售出A 种柑橘礼盒x 盒，则售出B 种柑橘礼盒()1000x -盒，根据题意列出不等式组，得出595600x ≤≤，设收益为y 元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：设A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a 元，b 元，根据题意得，2025153500a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：80100a b =⎧⎨=⎩答：A 、B 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80,100元；【小问2详解】解：设售出A 种柑橘礼盒x 盒，则售出B 种柑橘礼盒()1000x -盒，根据题意得，()()1.510005060100054050x x x x ⎧≤-⎪⎨+-≤⎪⎩解得：595600x ≤≤设收益为y 元，根据题意得，()()()80501006010001040000y x x x =-+--=-+∵100-<∴y 随x 的增大而减小，∴当595x =时，y 取得最大值，最大值为105954000034050-⨯+=（元）∴售出B 种柑橘礼盒1000595405-=（盒）答：要使农户收益最大，销售方案为售出A 种柑橘礼盒595盒，售出B 种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050元．23.如图，BD 是O 的直径．四边形ABCD 内接于O ．连接AC ，且AB AC =，以AD 为边作DAF ACD ∠=∠交BD 的延长线于点F ．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ．若3CD DE =，求cos ABC ∠的值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA ，由直径所对的圆周角是直角得到90BAD ∠=︒，导角可证明DAF OAB ∠=∠，进而得到90OAF ∠=︒，据此即可证明AF 是O 的切线；（2）延长CD 交AF 于H ，延长AO 交BC 于G ，连接OC ，由直径所对的圆周角是直角得到90BCD ∠=︒，证明AG CH ∥，得到90AHC ∠=︒，接着证明()AAS ABE ACH ≌，得到AE AH BE CH ==，，进一步证明()Rt Rt HL ADE ADH ≌，得到DH DE =，设DH DE a ==，则3CD a =，4BE CH a ==，进而得到5BD BE DE a =+=，则 2.5OA OD a ==，由勾股定理得到2AE a ==，AD ==，则cos 5DE ADE AD ==∠，进一步可得cos cos 5ABC ADE ==∠∠．【小问1详解】证明：如图所示，连接OA ，∵BD 是O 的直径，∴90BAD ∠=︒，∴90OAB OAD ∠+∠=︒，∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠，∵DAF ACD ∠=∠，OBA ACD ∠=∠，∴DAF OAB ∠=∠，∴90DAF OAD OAB OAD +=+=︒∠∠∠∠，∴90OAF ∠=︒，∴OA AF ⊥，又∵OA 是O 的半径，∴AF 是O 的切线；【小问2详解】解：如图所示，延长CD 交AF 于H ，延长AO 交BC 于G ，连接OC ，∵BD 是O 的直径，∴90BCD ∠=︒，即CH BC ⊥，∵AB AC OB OC ==，，∴OA 垂直平分BC ，∴AG BC ⊥，∴AG CH ∥，∵90OAF ∠=︒，∵AE BD ⊥，∴90AEB AHC ==︒∠∠，又∵ABE ACH ∠=∠，∴()AAS ABE ACH ≌，∴AE AH BE CH ==，，∵AD AD =，∴()Rt Rt HL ADE ADH ≌，∴DH DE =，设DH DE a ==，则3CD a =，∴4BE CH DH CD a ==+=，∴5BD BE DE a =+=，∴ 2.5OA OD a ==，∴ 1.5OE OD DE a =-=，∴2AE a ==，∴AD ==，∴5cos 5DE ADE AD ==∠，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵ADE ACB ∠=∠，∴ABC ADE ∠=∠，∴cos cos 5ABC ADE ==∠∠．【点睛】本题主要考查了切线的判定，求角的余弦值，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．24.如图1，抛物线23y ax kx =+-与x 轴交于点()3,0A -和点()1,0B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC ，DC ，直线AC 交抛物线的对称轴于点M ，若点P 是直线AC 上方抛物线上一点，且2PMC DMC S S =△△，求点P 的坐标；（3）若点N 是抛物线对称轴上位于点D 上方的一动点，是否存在以点N ，A ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-（2）()1,0P 或()4,5P -；（3）(N -或(1,-或()1，1--或()3-【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得,,C M D 的坐标，根据勾股定理的逆定理得出MCD △是等腰三角形，进而根据2PMC DMC S S =△△得出2PMC S =△，连接MB ，设MD 交x 轴于点E ，则2ME EB ==得出MBE △是等腰直角三角形，进而得出2BMC S =△，则点P 与点B 重合时符合题意，()1,0P ，过点B 作BP AC ∥交抛物线于点P ，得出直线BP 的解析式为1y x =-+，联立抛物线解析式，即可求解；（3）勾股定理求得222,,AC AN CN ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线23y ax kx =+-与x 轴交于点()3,0A -和点()1,0B ，∴933030a k a k --=⎧⎨+-=⎩解得：12a k =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =+-；【小问2详解】由223y x x =+-，当0x =时，=3y -，则()0,3C -∵()222314y x x x =+-=+-，则()1,4D --，对称轴为直线=1x -设直线AC 的解析式为11y k x b =+，代入()3,0A -，()0,3C -∴11303k b b -+=⎧⎨=-⎩解得：1113k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AC 的解析式为3y x =--，当=1x -时，=2y -，则()1,2M --∴()242,MC MD CD ===---===∴222MD MC CD =+∴MCD △是等腰三角形，∴212222PMC DMC S CD S ==⨯⨯=△△连接MB ，设MD 交x 轴于点E ，则2ME EB ==∴MBE △是等腰直角三角形，∴45BME ∠=︒，BM =，又45DMC ∠=︒∴BM AC⊥∴11222BMC S MC BM =⨯⨯== ∴点P 与点B 重合时符合题意，()1,0P 如图所示，过点B作BP AC ∥交抛物线于点P ，设直线BP 的解析式为y x m =-+，将()1,0B 代入得，01m=-+解得：1m =∴直线BP 的解析式为1y x =-+联立2123y x y x x =-+⎧⎨=+-⎩解得：45x y =-⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩∴()4,5P -综上所述，()1,0P 或()4,5P -；【小问3详解】解：∵()3,0A -，()0,3C -，∴2223318AC =+=∵点N 是抛物线对称轴上位于点D 上方的一动点，设()1,N n -其中4n >-∴()2222314AN n n =-++=+，()222213610CN n n n =++=++①当AN AC =时，2418n +=，解得：n =或n =②当NA NC =时，224610n n n +=++，解得：1n =-③当CA CN =时，218610n n =++，解得：3n =-或3n =（舍去）综上所述，(N -或(1,-或()11--，或()13-．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．25.倍，某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系探究发现，具体如下：如图1．（1） 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，BO DO =．222AB AO BO ∴=+．又2AC AO = ，2BD BO =，2AB ∴=______+______．化简整理得22AC BD +=______．【类比探究】（2）如图2．若四边形ABCD 是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系．【拓展应用】（3）如图3，四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为AO 的中点，点F 为BC 的中点，连接EF ，若8AB =，8BD =，12AC =，直接写出EF 的长度．【答案】（1）214AC ，214BD ，24AB ；（2）222222AC BD AB AD +=+；（3【解析】【分析】（1）根据菱形的性质及勾股定理补充过程，即可求解；（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，根据平行四边形的性质得AB CD =，AB CD ∥，AD BC =，证明()AAS DAE CBF ≌，得AE BF =，DE CF =，，根据勾股定理得()22222DB DE BB DE AB AE =+=+-，()22222AC CF AF CF AB BF =+=++，继而得出22AC BD +的值即可；（3）由（2）可得222222AC BD AB AD +=+得出AD =，过点,E O 分别作BC 的垂线，垂足分别为,M G ，连接OF ，根据勾股定理以及已知条件，分别求得,,OG CG BG ，根据EM OG ∥得出131024MG CG ==，MF =根据COG CEM ∽得出32EM OG ==可求解．【详解】解：（1） 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，AO CO =，BO DO =．222AB AO BO ∴=+．又2AC AO = ，2BD BO =，2221144AB AC BD ∴=+．化简整理得2224AC BD AB +=故答案为：214AC ，214BD ，24AB ．（2）222222AC BD AB AD +=+，理由如下，过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥交AB 的延长线于点F，∴90DEA DEB CFB ∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，AB CD ∥，AD BC =，∴DAE CBF ∠=∠，在DAE 和CBF V 中，DAE CBF DEA CFB AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DAE CBF ≌，∴AE BF =，DE CF =，在Rt DBE 中，()22222DB DE BE DE AB AE =+=+-，在Rt CAF △中，()22222AC CF AF CF AB BF =+=++，∴()()222222AC BD DE AB AE CF AB BF +=+-+++22222222DE AB AB AE AE AB AB AE AE =+-⋅+++⋅+()22222DE AE AB =++2222AD AB =+，∴222222AC BD AB AD +=+（3）∵四边形ABCD 是平行四边形，8AB =，8BD =，12AC =，∴由（2）可得222222AC BD AB AD +=+∴2222128282AD +=⨯+解得：AD =∵四边形ABCD 是平行四边形，12,8,AC BD ==∴BC AD ==6OA OC ==，142OB OD BD ===，如图所示，过点,E O 分别作BC 的垂线，垂足分别为,M G ，连接OF ，∵F 分别为BC 的中点，∴11422OF AB OB BD ====,∵OG BF ⊥，∴BG GF =12BF =，∵F 是BC 的中点，∴12BF BC =∴BG GF =1110242BF BC ===，∴CG BC BG =-=，在Rt OGC △中，OG BC ⊥，∴362OG ===，∵E 为AO 的中点，∴12OE OA =，∵AO OC =，∴12OE OC =，∴23OC EC =,12OE OC =,∵,EM BC OG BC ⊥⊥，∴EM OG ∥，∴12EO MG OC CG ==，∴131024MG CG ==，∴3101042MF MG GF =+=+=，∵EM OG ∥，∴COG CEM ∽，∴23OG OC EM EC ==，∴32EM OG ==在Rt EMF △中，EF ===．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握勾股定理是解题的关键．。

2023年浙江省金华市中考数学真题(解析版)

2023年浙江省金华市中考数学真题(解析版)

浙江省2023年初中学业水平考试（金华卷）数学试题卷考生须知：1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用开卷形式．2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B 铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号．4．作图时，请使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．5．本次考试不得使用计算器．卷Ⅰ说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B 铅笔在“答题纸”上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）1. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是20−℃，10−℃，0℃，2℃，其中最低气温是（ ）A. 20−℃B. 10−℃C. 0℃D. 2℃【答案】A【解析】【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断．【详解】解：201002−<−<<，故温度最低的城市是哈尔滨，故选：A ．【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则． 2. 某物体如图所示，其俯视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据俯视图的意义判断即可．【详解】 的俯视图是．故选B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键．3. 在2023年金华市政府工作报告中提到，2022年全市共引进大学生约123000人，其中数123000用科学记数法表示为（ ）A. 31.2310×B. 312310×C. 412.310×D. 51.2310×【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表现形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数，当原数绝对值小于1时，n 是负整数．【详解】解：5123000 1.2310=×，故选D【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键是要正确确定a 的值以及n 的值．4. 在下列长度的四条线段中，能与长6cm,8cm 的两条线段围成一个三角形的是（ ）A. 1cmB. 2cmC. 13cmD. 14cm 【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可．【详解】解：设第三边长度为cm x ，则第三边的取值范围是214x <<，只有选项C 符合，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键．5. 有意义，则x 的值可以是（ ） A. 0B. 1−C. 2−D. 2 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围即可得到答案．【详解】解：�有意义，∴20x −≥，∴2x ≥，∴四个选项中，只要D 选项中的2符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．6. 上周双休日，某班8名同学课外阅读的时间如下（单位：时）：1，4，2，4，3，3，4，5．这组数据的众数是（ ）A. 1时B. 2时C. 3时D. 4时 【答案】D【解析】【分析】根据众数的含义可得答案．【详解】解：这组数据中出来次数最多的是：4时，所以众数是4时；故选D【点睛】本题考查的是众数的含义，熟记一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数是解本题的关键．7. 如图，已知12350∠=∠=∠=°，则4∠的度数是（ ）A. 120°B. 125°C. 130°D. 135°【答案】C【解析】 【分析】由1350∠=∠=°可得a b ∥，可得2550∠=∠=°，再利用邻补角的含义可得答案．【详解】解：如图，标记角，∵1350∠=∠=°，∴a b ∥，而250∠=°，∴2550∠=∠=°，∴41805130∠=°−∠=°； 故选C【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 8. 如图，两个灯笼的位置,A B 的坐标分别是()()3,3,1,2−，将点B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ′，则关于点,A B ′的位置描述正确是（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点O 对称D. 关于直线y x =对称【答案】B【解析】【分析】先根据平移方式求出()33B ′，，再根据关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可．【详解】解：�将()1,2B 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B ′，∴()33B ′，， ∵()3,3A −，∴点,A B ′关于y 轴对称，故选B ．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，正确根据平移方式求出()33B ′，是解题的关键．9. 如图，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数k y x=的图象交于点()()232A B m −，，，，则不等式k ax b x +>的解是（ ）A. 30x −<<或2x >B. 3x <−或02x <<C. 20x −<<或2x >D. 30x −<<或3x >【答案】A【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，然后直接利用图象法求解即可．【详解】解：∵()23A ，在反比例函数图象上， ∴326k =×=， ∴反比例函数解析式为6y x=， ∵()2B m −，在反比例函数图象上， �632m ==−−， ∴()32B −−，，由题意得关于x 的不等式k ax b x +>的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，�关于x 的不等式k ax b x+>的解集为30x −<<或2x >， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B 的坐标．10. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，以其三边为边在AB 的同侧作三个正方形，点F 在GH 上，CG 与EF 交于点P CM ，与BE 交于点Q ．若HF FG =，则PCQEABEF S S 四边形正方形的值是（ ）A. 14B. 15C. D. 625【答案】B【解析】【分析】设HF FG a ==，正方形ACGH 的边长为2a ，证明tan tan HAF GFP ∠=∠，先后求得12GP a =，32PC a =，BC a =，利用三角形面积公式求得214BCQ S a =△，证明Rt Rt BQC BPE ∽△△，求得254BEP S a =△，2CQEP S a =四边形，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形ACGH 正方形，且HF FG =，设HF FG a ==，则2ACCG GH AH a ====， ∵四边形ABEF 是正方形，∴90AFP ∠=°，∴90HAF HFA GFP ∠=°−∠=∠，∴tan tan HAF GFP ∠=∠，即12HF GP HA FG ==， ∴12GP a =， ∴13222PC a a a =−=，是同理tan tan HAF CAB ∠=∠，即12HF BC HA AC ==， ∴BC a =， 同理12CQ a =， ∴52PB a =， 22221524BQ a a a =+= ，2111224BCQ S a a a =××=△， ∵Rt Rt BQC BPE ∽△△， ∴2225142554BCQ BEP a S BQ S BP a === △△， ∴2554BEP BCQ S S a ==△△， ∴2BEP BCQ CQEP S S S a =−=四边形△△，∵()22222225ABEF S AB AC BC a a a ==+=+=正方形， ∴22155PCQE ABEF S a a S ==四边形正方形， 故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．卷Ⅱ说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”的相应位置上．二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11. 因式分解：x 2+x =_____．【答案】()1x x +【解析】【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x 即可．【详解】解：()21x x x x +=+ 12. 如图，把两根钢条OA OB ，的一个端点连在一起，点C D ，分别是OA OB ，的中点．若4cm CD =，则该工件内槽宽AB 的长为__________cm ．【答案】8【解析】【分析】利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵点C D ，分别是OA OB ，的中点， ∴12CD AB =， ∴()28cm AB CD ==， 故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 13. 下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况（单位：人），在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是__________． “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80350 46 24【答案】710【解析】【分析】根据概率公式计算即可得出结果．【详解】解：该生体重“标准”的概率是350750010=， 故答案为：710． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键．14. 在直角坐标系中，点()4,5绕原点O 逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标是__________．【答案】()5,4−【解析】【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．【详解】解：过A 点作AD x ⊥轴，过B 点作BE y ⊥轴，∵点A 的坐标为()45，， ∴5,4AD OD ==， ∵90AOB ∠=°，∴90BOE AOE ∠+∠=°，∵90AOD AOE ∠+∠=°，∴AOD BOE ∠=∠，∵OA OB =，AOD △和BOE △中，===ADO BEO AOD BOE OA OB ∠∠ ∠∠，∴()AOD BOE ≅AAS ，∴45OEOD BE AD ====，, ∴点B 的坐标为()54−，， 故答案为：()54−，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形解决问题．15. 如图，在ABC 中，6cm,50AB AC BAC ==∠=°，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC在于点E ，则弧DE 的长为__________cm ．【答案】56π##56π 【解析】【分析】连接AD ，OD ，OE ，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．【详解】解：如图，连接AD ，OD ，OE ，∵AB 为直径，∴AD AB ⊥，∵6cm,50AB AC BAC ==∠=°，∴BD CD =，1252BAD CAD BAC ∠=∠=∠=°， ∴250DOE BAD ∠=∠=°，113cm 22OD AB AC ===， ∴弧DE 的长为()50351806cm ππ××=， 故答案为：56πcm ．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．16. 如图是一块矩形菜地()(),m ,m ABCD AB a AD b ==，面积为()2m s ．现将边AB 增加1m ．（1）如图1，若5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是__________．（2）如图2，若边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为()22m s ，则s 的值是__________．【答案】 �. 6 �. 6+##6+ 【解析】【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a 一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()211m a b +−，∵5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，∴()()5115b b +−=， 解得6b =， 故答案为：6．（2）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()212m a b ++，∴()()212s a b =++，sb a=， ∴()212s s a a =++， ∴221s sa a=++， ∴()2220a s a s +−+=， ∵有且只有一个a 的值，∴()22Δ4280b ac s s =−=−−=， ∴21240s s −+=，解得1266s s +−（舍去），故答案为：6+．【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键．三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）17.计算：0(2023)2sin305−+−°+−． 【答案】7 【解析】【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可． 【详解】解：原式112252=+−×+， 1215=+−+， 7=．【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算． 18. 已知13x =，求()()()212134x x x x +−+−值． 【答案】0 【解析】【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：()()()212134x x x x +−+−224134x x x =−+−13x =−+．当13x =时，原式1133=−+×0=． 【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19. 为激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：的（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．（2）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．【答案】（1）本次调查抽取的学生人数为50人，见解析 （2）6间 【解析】【分析】（1）根据条形统计图已知数据和扇形统计图已知的对应数据，即可求出被调查的总人数，再利用总人数减去选择“折纸龙” “做香囊”与“包粽子”的人数，即可得到选择“采艾叶”的人数，补全条形统计图即可；（2）根据选择“折纸龙”人数的占比乘以1000，可求出学校选择“折纸龙”的总人数，设需要x 间教室，根据题意列方程30160x ≥，取最小整数即可得到答案． 【小问1详解】解：由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比36%，可得1836%50÷=， �本次调查抽取的学生人数为50人．其中选“采艾叶”的人数：()508101814−++=． 补全条形统计图，如图：【小问2详解】解：选“折纸龙”课程的比例85016%÷=．∴选“折纸龙”课程的总人数为100016%160×=（人），设需要x 间教室， 可得30160x ≥， 解得16,3x x ≥取最小整数6． �估计至少需要6�教室．【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图结合，用样本估计总体，用一元一次不等式解决实际问题，结合条形统计图和扇形统计图求出相关数据是解题的关键．20. 如图，点A 在第一象限内，A 与x 轴相切于点B ，与y 轴相交于点,C D ．连接AB ，过点A 作AH CD ⊥于点H ．（1）求证：四边形ABOH 为矩形．（2）已知A 的半径为4，OB =，求弦CD 的长．【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【小问1详解】证明：∵A 与x 轴相切于点B ， ∴AB x ⊥轴．∵,AH CD HO OB ⊥⊥，∴90AHO HOB OBA ∠=∠=∠=°， ∴四边形AHOB 是矩形． 【小问2详解】 如图，连接AC ．四边形AHOB 是矩形，AH OB ∴==在Rt AHC 中，222CH AC AH =−，3CH ∴==．点A 为圆心，AH CD ⊥，2CD CH ∴=6=．【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 21. 如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC 分割成410×的小正方形网格．在该矩形边上取点P ，来表示POA ∠的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题：（答题卷用）作法（如图）结论①在CB 上取点1P ，使14CP=． 145POA ∠=°，点1P 表示45°．②以O 为圆心，8为半径作弧，与BC 交于点2P ．230P OA ∠=°，点2P 表示30°．③分别以2,O P 为圆心，大于2OP 长度一半的长为半径作弧，相交于点,E F ，连结EF 与BC 相交于点3P ．…④以2P 为圆心，2OP 的长为半径作弧，与射线CB 交于点D ，连结OD 交AB 于点4P ． …（1）分别求点34,P P 表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点5P ，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）点3P 表示60°；点4P 表示15° （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可求出2OP C ∠度数，根据线段垂直平分线的性质23P OP ∠度数，即可求出3POA ∠的度数，从而知道3P 点表示度数；利用半径相等即可求出22P OD P DO ∠=∠，再根据平行线的性质即可求出2P OD DOA ∠=∠以及对应的度数，从而知道3P 点表示度数． （2）利用角平分线的性质作图即可求出答案． 【小问1详解】解：① 四边形OABC 是矩形，BC OA ∴∥．2230OP C P OA ∴∠=∠=°由作图可知，EF 是2OP 的中垂线，332OP P P ∴=．323230POP P P O ∴∠=∠=°．332260POA POP P OA ∴∠=∠+∠=°．∴点3P 表示60°．②由作图可知，22P D P O =．22P OD P DO ∴∠=∠．又CB OA ，2P DO DOA ∴∠=∠．221152P OD DOA P OA ∴∠=∠=∠=°． ∴点4P 表示15°．故答案：点3P 表示60°，点4P 表示15°． 【小问2详解】 解：如图所示，作34POP ∠的角平分线等．如图2，点5P 即为所求作的点．�点3P 表示60°，点4P 表示15°．5POA ∠=()()()34434111601537.5222POA P OA P OA POA P OA ∠−∠+∠=∠+∠=°+°=°． ∴5P 表示37.5°．【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点．22. 兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程s （米）与哥哥离开学校的时间t （分）的函数关系．为（1）求哥哥步行的速度．（2）已知妺妺比哥哥迟2分钟到书吧． �求图中a 值；�妺妺在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由． 【答案】（1）100v =（2）�6a =；�能追上，理由见解析 【解析】【分析】（1）结合图表可得()8,800A ，根据速度等于路程除以时间，即可解答；（2）①根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE 的解析式的k 为200，设DE 的解析式为200s t b =+，根据妺妺比哥哥迟2分钟到书吧可得()12,800E ，将()12,800E 代入200s t b =+，即可得到一次函数解析式，把0s =代入一次函数即可得到a 的值；②如图，将妹妹走完全程的图象画出，将BC 和FG 的解析式求出，求两个函数的交点即可． 【小问1详解】解：由图可得()8,800A ，8001008v∴==（米/分）， �哥哥步行速度为100米/分． 【小问2详解】�根据妺妺到书吧前的速度为200米/分，可知DE 的解析式的k 为200，的设DE 所在直线为200s t b =+，将()10,800代入，得80020010b =×+， 解得1200b =−．�DE 所在直线为2001200s t =−， 当0s =时，20012000t −=，解得6t =． �6a =． �能追上．如图，根据哥哥的速度没变，可得,BC OA 的解析式的k 值相同，妹妹的速度减小但仍大于哥哥的速度，将妹妹的行程图象补充完整，设BC 所在直线为1100s t b =+，将()17,800B 代入，得180010017b ×+， 解得1900b =−， �100900s t =−． �妺妺的速度是160米/分．设FG 所在直线为2160s t b =+，将()20,800F 代入，得280016020b =×+， 解得22400b =−， �1602400s t =−． 联立方程1009001602400s t s t =− =− ，解得251600t s == ， �19001600300−=米，即追上时兄妺俩离家300米远．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），从图像中获得正确的信息是解题的关键． 23. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁,a c 夹住横梁b ，使得横梁不能移动，结构稳固．图2是长为()cm l ，宽为3cm 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm 的半圆．圆心分别为1231123,,,,2cm O O O O M O N O Q O P===，纵梁是底面半径为1cm 的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．探究1：图3是“桥”侧面示意图，,A B 为横梁与地面的交点，,C E 为圆心，12,,D H H 是横梁侧面两边的交点．测得32cm AB =，点C 到AB 的距离为12cm ．试判断四边形1CDEH 的形状，并求l 的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形12312H H H H ，求l 的值； ②若有n 根横梁绕成的环（n 为偶数，且6n ≥），试用关于n 的代数式表示内部形成的多边形123n H H HH的周长．【答案】探究1：四边形1CDEH 是菱形，22cm l =；探究2：①(16cm l =+；②6cm 360tan n n°【解析】【分析】探究1：根据图形即可判断出1CDEH 形状；根据等腰三角形性质可求出AM 长度，利用勾股定理即可求出CA 长度，从而求出l 值．探究2：①根据十二边形的特性可知130CH N ∠=°，利用特殊角正切值求出1CH 长度，最后利用菱形的性质求出1EH 的长度，从而求得l 值．②根据正多边形的特性可知1CH N ∠的度数，利用特殊角正切值求出1CH 和1H N 长度，最后利用菱形的性质求出1EH 的长度，从而求得l 值．【详解】解：探究1�四边形1CDEH 是菱形，理由如下：由图1可知，1CD EH ∥，1ED CH ∥，∴1CDEH 为平行四边形．桥梁的规格是相同的，∴桥梁的宽度相同，即四边形1CDEH 每条边上的高相等，∵1CDEH 的面积等于边长乘这条边上的高，∴1CDEH 每条边相等，∴1CDEH 为菱形．②如图1，过点C 作CM AB ⊥于点M ．由题意，得,12CA CB CM ==，32cm AB =． ∴1162AM AB ==． 在Rt CAM △中，222CA AM CM =+，∴20CA ．∴222cm l CA =+=．故答案为：22cm l =．探究2：①如图2，过点C 作12CN H H ⊥于点N ．由题意，得1212120,,3H CH CH CH CN ∠=°==， 130CH N ∴∠=°．1126,tan 30CN CH CN H N ∴°==== 又 四边形1CDEH 是菱形，∴l 16EH CH ==．∴((22616cm l =++=+．故答案为：(16cm l =+．②如图3，过点C 作12CN H H ⊥于点N ．由题意，形成的多边形为正n 边形，∴外角12360CH H n∠=°． 在1Rt CNH 中，1123360tan tan CN H N CH H n==∠°．又1212,CH CH CN H H =⊥ ，∴12162360tan H H H N n==°． ∴形成的多边形的周长为6cm 360tan n n ° ． 故答案为：6cm 360tan n n °． 【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．24.如图，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点,A B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为,C D ，其中点C 的坐标为()2,0．直线BC 与直线PD 相交于点E ．（1）如图2，若抛物线经过原点O ． ①求该抛物线的函数表达式；②求BE EC的值． （2）连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．【答案】（1）①2y x +；②13（2）能，6或23或67−或143−． 【解析】 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；②过点E 作EH OC ⊥于点H ．设直线BC为y kx =，把()2,0C代入，得02k =+，解得k =，直线BC 为y x +．同理，直线OP 为y x =．联立两直线解析式得出12E ，根据EH BO ∥，由平行线分线段成比例即可求解；（2）设点P 的坐标为t + ，则点D 的坐标为()22,0t −．①如图2-1，当2t >时，存在CPE BAO ∠=∠．记,CPE BAO APC αβ∠=∠=∠=，则APD αβ∠=+．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP ∠==，进而得出点P 的横坐标为6．②如图2-2，当02t <≤时，存在CPE BAO ∠=∠．记,CPE BAD APD αβ∠=∠=∠=．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP ∠==，得出点P 的横坐标为23．③如图23−，当20t −<≤时，存在CPE BAO ∠=∠．记BAO α∠=．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP =∠=，得出点P 的横坐标为67−．④如图2-4，当2t ≤−时，存在CPE BAO ∠=∠．记BAO α∠=．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =−−．在Rt APF 中，2cos 3AF PAF AP =∠=，得出点P 的横坐标为143−． 【小问1详解】解：①∵2OC =，∴顶点P 的横坐标为1．∴当1x =时，y x =+∴点P 的坐标是 ．设抛物线的函数表达式为2(1)y a x =−+，把()0,0代入，得0a =+解得a =．∴该抛物线的函数表达式为21)y x −+，即2y x +．②如图1，过点E 作EH OC ⊥于点H ．设直线BC为y kx =，把()2,0C代入，得02k =+，解得k =， ∴直线BC为y x + 同理，直线OP为y x =．由.y x y x =解得1,2x y = =∴12E ．∴113,2222OH HC ==−=． ∵EH BO ∥， ∴13BEOH EC HC ==． 【小问2详解】设点P 的坐标为t+ ，则点D 的坐标为()22,0t −． ①如图21−，当2t >时，存在CPE BAO ∠=∠．记,CPE BAO APC αβ∠=∠=∠=，则APD αβ∠=+． ∵PCD ∠为PAC △的外角，∴PCD αβ∠=+． ∵PC PD =．∴PDC PCD αβ∠=∠=+． ∴APD ADP ∠=∠．∴2AP AD t ==．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP ∠==， ∴2223t t +=，解得6t =． ∴点P 的横坐标为6．②如图2-2，当02t <≤时，存在CPE BAO ∠=∠．记,CPE BAD APD αβ∠=∠=∠=． ∵PDC ∠为PAD 的外角，∴PDC αβ∠=+． ∴PCD PDC αβ∠=∠=+ ∴APC ACP ∠=∠．∴4AP AC ==．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP ∠==， ∴2243t +=，解得23t =． ∴点P 的横坐标为23．③如图2-3，当20t −<≤时，存在CPE BAO ∠=∠．记BAO α∠=．∵PC PD =， ∴1122PDC PCD CPE α∠=∠=∠=． ∴1122APD BAO PDC αα∠=∠−∠=−=． ∴APD PDA ∠=∠．∴2AD AP t ==−．过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =+．在Rt APF 中，2cos 3AF BAO AP =∠=， ∴2223t t +=−，解得67t =−． ∴点P 的横坐标为67−． ④如图2-4，当2t ≤−时，存在CPE BAO ∠=∠．记BAO α∠=． ∵PC PD =， ∴1122PCD PDC CPE α∠=∠=∠=．∴1122APC BAO PCD ααα∠=∠−∠=−=． ∴4PA CA ==． 过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则2AF t =−−．在Rt APF 中，2cos 3AF PAF AP =∠=， ∴2243t −−=，解得143t =−． ∴点P 的横坐标为143−． 综上，点P 的横坐标为26146,,,373−−． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．。

陕西省2023年度中考数学真题试题(含解析)

陕西省2023年度中考数学真题试题(含解析)

陕西省2023年度中考数学真题试题（含解析）第一部分选择题（共40分）1. 选择题（每题2分，共20题）1.已知函数y=kx+b的图象如下图所示，那么函数的解析式是（）函数图象函数图象A. y = 2x + 1B. y = -2x + 1C. y = -2x - 1D. y = 2x - 1解析：根据图象，我们可以看出直线的斜率为2，且与y 轴的交点为(0，1)。

因此函数的解析式为y = 2x + 1。

答案选A。

2.若1/2x - 2 = 4，则x =（）A. -12B. -4C. 0D. 12解析：将题目中的方程进行移项，得到1/2x = 6。

进一步将等式两边乘以2，就可以得到x = 12。

答案选D。

3.若x + y = 7，x - y = 1，则x =（）A. 4B. 7C. 3D. 1解析：将两个方程相加，可以得到2x = 8，进而得到x = 4。

答案选A。

4.若m/n = 16/20，且m + n = 140，则n =（）A. 56B. 60C. 64D. 70解析：根据题目中的等式可以得到m = 80。

将m的值代入第一个等式中，我们可以得到80/n = 16/20。

通过交叉相乘可以得到16n = 1600，进一步得到n = 100，答案选D。

5.若2x + y = 7，且2x - y = 1，则x + y =（）A. 3B. 2C. 1D. 0解析：将两个方程相加，可以得到4x = 8，进而得到x = 2。

将x的值代入第一个方程中，可以得到y = 3。

因此 x + y 的值为2 + 3 = 5，答案选E。

2. 填空题（每题2分，共10题）1.在数轴上，点D的坐标为0，点A的坐标为4，点M的坐标为2，则AM的长度等于__\\。

解析：根据数轴上点的坐标，我们可以计算出AM的长度为4-2=2。

答案是2。

2.若正方形ABCD的边长为8cm，则它的面积等于__\\。

解析：正方形的边长为8cm，所以它的面积为8cm × 8cm = 64cm²。

2023年山东省日照市中考数学真题(解析版)

2023年山东省日照市中考数学真题(解析版)

日照市2023年初中学业水平考试数学试题（满分120分，时间120分钟）注意事项：1．本试题分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．2．第I 卷每小题选出答案后，必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．第I 卷（选择题36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1. 计算：()23−−的结果是（ ） A. 5B. 1C. -1D. -5【答案】A【解析】【分析】把减法化为加法，即可求解 。

【详解】解：()23−−=235+=，故选A ．【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键．2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）A. 81.410−×B. 71410−×C. 60.1410−×D. 91.410−×【答案】A【解析】【分析】科学计数法的记数形式为：10n a ×，其中1a 10≤<，当数值绝对值大于1时，n 是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，n 是小数点向左移动的位数的相反数．【详解】解：80.000000014 1.410−=×，故选A ．【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形．故选：C ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．5. 在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得123∠=°，则2∠的度数是（ ）．A. 23°B. 53°C. 60°D. 67°【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．【详解】解：如图：∵BC DE ∥，∴2BCD ∠=∠，在ABC 中，1BCD A =+∠∠∠，∵30A ∠=°，故21233053BCD A ==+=°+°=°∠∠∠∠，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．6. 下列计算正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. ()32628m m −=−C. 222()x y x y +=+D. 232235ab a b a b +=【答案】B【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可．【详解】A 、235a a a ⋅=，故错误；B 、()32628m m −=−，故正确；C 、222()2x y x xy y +=++，故错误；D 、223ab a b 、不是同类项，不能合并，故错误；故选：B ．【点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键．7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，可列方程为（ ）A. 911616x x +=+B. 911616x x −=−C. 911616x x +=−D. 911616x x −=+【答案】D【解析】【分析】设人数为x ，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为()911x −钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为()616x +钱，由此列出方程即可．【详解】解：设人数为x ，由题意得，911616x x −=+，故选D ．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ∠=°，再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ∠=°，15.3m BC =，则灯塔的高度AD 大约是（ ）（结果精确到1m 1.41≈ 1.73≈）A. 31mB. 36mC. 42mD. 53m【答案】B【解析】 【分析】在Rt ADB 中，得出AD BD =，设AD x =，则BD x =，15.3CD x =−，在Rt ADC 中，根据正切得出tan 15.3AD x ACD CD x ∠==− 【详解】解：在Rt ADB 中，45ABD ∠=°，AD BD ∴=，设AD x =，则BD x =，15.3CD x =−，在Rt ADC 中，60ACD ∠=°，tan15.3AD xACD CD x ∴∠−，36x ∴≈，∴灯塔的高度AD 大约是36m ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数．9. 已知直角三角形的三边,,a b c 满足c a b >>，分别以,,a b c 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为1S ，均重叠部分的面积为2S ，则（ ）A. 12S S >B. 12S S <C. 12S S =D. 12,S S 大小无法确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，由勾股定理可得222+=a b c ，易得222c a b −=，然后用,,a b c 分别表示1S 和2S ，即可获得答案．【详解】解：如下图，∵,,a b c 为直角三角形的三边，且c a b >>。

2023年山东省济南市中考数学真题(解析版)

2023年山东省济南市中考数学真题(解析版)

济南市2023年九年级学业水平考试数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.【答案】A【解析】解：A 选项，圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；B 选项，球的主视图是圆，故本选项不符合题意；C 选项，长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；D 选项，三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；故选：A .2.【答案】B【解析】解：866.68360503000851=⨯，故选：B3.【答案】A 【解析】解：如下图进行标注，AB CD ∥ ，1370∴∠=∠=︒，2180903907020∴∠=︒-︒-∠=︒-︒=︒，故选：A ．4.【答案】D【解析】解：由题意可得：32,2b a -<<-=，所以b a <，∴,30,033,3a b ab a b a b <+-<><-++，观察四个选项可知：只有选项D 的结论是正确的；故选：D .5.【答案】A【解析】A 选项，是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；B 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 选项，不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A ．6.【答案】D【解析】解：A 选项，246a a a ⋅=，故本选项运算错误，不符合题意；B 选项，4a 与3a -不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；C 选项，()326a a =，故本选项运算错误，不符合题意；D 选项，422a a a ÷=，故本选项运算正确，符合题意；故选：D .7.【答案】C【解析】解： 在反比例函数(0)k y k x=<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420-<-< ，∴点()14,A y -，2(2,)B y -在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420-<-<，120y y ∴<<．30> ，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．8.【答案】B【解析】解：根据题意，画树状图如下：∴一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，61122P ∴==，故选：B ．9.【答案】C【解析】解：由题意得，BC DC =，CE 平分ABC ∠，∵在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒∵CE 平分ABC ∠，∴36BCE ∠=︒，故A 正确；∵CE 平分ABC ∠，72ACB ∠=︒∴36ACE A ∠=︒=∠，∴AE CE =，∵72ABC ∠=︒，36BCE ∠=︒，∴72BEC B ∠=︒=∠，∴CE BC =，∴BC AE =，故B 正确；∵,A BCE ABC CBE ∠=∠∠=∠，∴ABC CBE △∽△，∴AB BC BC BE=，设1,AB BC x ==，则1BE x =-，∴11x x x=-，∴21x x =-，解得x =∴13122BE -=-=，∴32BE AC =，故C 错误；过点E 作EG BC ⊥于G ，EH AC ⊥于H，∵CE 平分ACB ∠，EG BC ⊥，EH AC ⊥，∴EG EH=∴112122AEC BEC AC EH S AC S BC BC EG ⋅⋅+===⋅⋅△△，故D 正确；故选：C ．10.【答案】C【解析】解：①∵()11,0P ，()13,8Q ，∴()()121282288103,x x y y +=+=++⨯==，∴()12122x x y y +=+，则()13,8Q 是点1P 的“倍增点”；∵()11,0P ，()22,2Q --，∴()()121222212202,x x y y +==-⨯-=-=-+，∴()12122x x y y +=+，则()22,2Q --是点1P 的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点(),2A a a +，∵点A 是点1P 的“倍增点”，∴()2102a a ⨯+=++，解得：0a =，∴()0,2A ，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点()2,23D t t t --是点1P 的“倍增点”，∴()22123t t t +=--，整理得：2450t t --=，∵()()24415360∆=--⨯⨯-=>，∴方程有两个不相等实根，即抛物线223y x x =--上存在两个点是点1P 的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点(),B m n ，∵点B 是点1P 的“倍增点”，∴()21m n +=，∵(),B m n ，()11,0P ，∴()22211PB m n =-+()()22121m m ⎡⎤=-++⎣⎦2565m m =++2316555m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵50>，∴21PB 的最小值为165，∴1P B 455=，故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C ．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．直接填写答案．11.【答案】（x+4）（x-4）【解析】x 2-16=(x+4)(x-4)，故答案为：(x+4)(x-4)12.【答案】12【解析】解：13124÷=，∴盒子中棋子的总个数是12．故答案为：12．13.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：∵关于x 的一元二次方程2420x x a -+=有实数根，∴()22444120b ac a ∆=-=--⨯⨯≥，即1680a -≥，解得：2a ≤，∴a 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）．14.【答案】65π【解析】解：正五边形的内角和()52180540=-⨯︒=︒，5401085A ︒∴∠==︒，2108263605ABES ππ∴==扇形，故答案为：65π．15.【答案】0.35【解析】解：由题意和图象可得，小明0.5小时行驶了()6 3.5 2.5km -=，∴小明的速度为：()2.55km/h 0.5=，小亮0.4小时行驶了6km ，∴小明的速度为：()615km/h 0.4=，设两人出发h x 后两人相遇，∴()155 3.5x -=解得0.35x =，∴两人出发0.35后两人相遇，故答案为：0.3516.+【解析】解：过点A 作AQ PE ⊥于点Q ，∵四边形ABCD 为菱形，30ABC ∠=︒，∴AB BC CD AC ===，30ABC D ∠=∠=︒，∴()118030752DAC ∠=︒-︒=︒，∵CPE △由CPD △沿CP 折叠所得，∴30E D ∠=∠=︒，∴753045EAP ∠=︒-︒=︒，∵AQ PE ⊥，2AP =，∴cos 45PQ AP =⋅︒=AQ PQ ==，∴tan 30AQ EQ ==︒∴PE EQ PQ =+=+，+．三、解答题：本题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】3【解析】解：()1011tan 602π-⎛⎫+++-︒ ⎪⎝⎭21=+-3=．18.【答案】13x -<<，整数解为0，1，2【解析】解：解不等式①，得1x >-，解不等式②，得3x <，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，原不等式组的解集是13x -<<，∴整数解为0，1，2．19.【答案】详见解析【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，∴EAO FCO ∠=∠，OEA OFC ∠=∠，∵点O 为对角线AC 的中点，∴AO CO =，∴AOE COF ≌△△，∴AE CF =，∴AD AE BC CF -=-，∴DE BF =．20.【答案】（1）车后盖最高点B '到地面的距离为2.15m （2）没有危险,详见解析【解析】（1）如图，作B E AD '⊥，垂足为点E在Rt AB E '△中∵27B AD '∠=︒，1AB AB '==∴sin 27B EAB '︒='∴sin 2710.4540.454B E AB ''=︒≈⨯=∵平行线间的距离处处相等∴0.454 1.7 2.154 2.15B E AO '+=+=≈答：车后盖最高点B '到地面的距离为2.15m ．（2）没有危险，理由如下：过C '作C F B E ''⊥，垂足为点F∵27B AD '∠=︒，90B EA '∠=︒∴63AB E '∠=︒∵123AB C ABC ''∠=∠=︒∴60C B F AB C AB E '''''∠=∠-∠=︒在Rt B FC '' 中，0.6B C BC ''==∴cos600.3B F B C '''=⋅︒=．∵平行线间的距离处处相等∴C '到地面的距离为2.150.3 1.85-=．∵1.85 1.8>∴没有危险．21.【答案】（1）36（2）详见解析（3）15.5（4）20百万【解析】（1）33603630⨯︒=︒，故答案为：36；（2）D 组个数：3010%3⨯=个，C 组个数：30128334----=个，补全频数分布直方图如下：（3）共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B 组，∴中位数为151615.52+=百万，故答案为：15.5；（4）5.51216832.544235032030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百万），答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．22.【答案】（1）60︒（2）3【解析】（1）解：∵PC 与O 相切于点C ，∴OC PC ⊥，∴90OCB BCP ∠+∠=︒，∵OB OC =，∴OCB OBC ∠=∠，∵2ABC BCP ∠=∠，∴2OCB BCP ∠=∠，∴290BCP BCP ∠+∠=︒，即390BCP ∠=︒，∴30BCP ∠=︒，∴260OCB BCP ∠=∠=︒；（2）解：如图，连接DE ，∵CD 是O 直径，∴90DEC ∠=︒，∵点E 是 BD的中点，∴ DEEB =，∴1302DCE ECB FDE DCB ∠=∠=∠=∠=︒，在Rt FDE △中，∵3EF =，30FDE ∠=︒，∴tan 30EF DE ==︒，在Rt DEC △中，∵30DCE ∠=︒，∴2CD DE ==∴O 的直径的长为23.【答案】（1）A 型编程机器人模型单价是500元，B 型编程机器人模型单价是300元（2）购买A 型机器人模型10台和B 型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元【解析】（1）解：设A 型编程机器人模型单价是x 元，B 型编程机器人模型单价是()200x -元．根据题意，得20001200200x x =-解这个方程，得500x =经检验，500x =是原方程的根．200300x -=答：A 型编程机器人模型单价是500元，B 型编程机器人模型单价是300元．（2）设购买A 型编程机器人模型m 台，购买B 型编程机器人模型()40m -台，购买A 型和B 型编程机器人模型共花费w 元，由题意得：403m m -≤，解得10m ≥．∴()5000.83000.840w m m =⨯⋅+⨯⋅-即1609600w m =+，∵1600>，∴w 随m 的增大而增大．∴当10m =时，w 取得最小值11200，此时4030m -=；答：购买A 型机器人模型10台和B 型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．24.【答案】（1）()4,2；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，8a =；（4）817a ≤≤【解析】解：（1）∵反比例函数()80y x x=>，直线1l ：210y x =-+，∴联立得：8210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得：1118x y =⎧⎨=⎩，2242x y =⎧⎨=⎩，∴反比例函与直线1l ：210y x =-+的交点坐标为()1,8和()4,2，当木栏总长为10m 时，能围出矩形地块，分别为：1m =AB ，8m BC =；或4m AB =，2m BC =．故答案为：()4,24；2．（2）不能围出．∵木栏总长为6m ，∴26x y +=，则26y x =-+，画出直线26y x =-+的图象，如图中2l 所示：∵2l 与函数8y x=图象没有交点，∴不能围出面积为28m 的矩形；（3）如图中直线3l 所示，3l 即为2y x a =-+图象，将点()2,4代入2y x a =-+，得：422a =-⨯+，解得8a =；（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，2y x a =-+与8y x =图象在第一象限内交点的存在问题，即方程()820x a a x-+=>有实数根，整理得：2280x ax -+=，∴()24280a ∆=--⨯⨯≥，解得：8a ≥，把1x =代入8y x =得：188y ==，∴反比例函数图象经过点()1,8，把1y =代入8y x =得：81x =，解得：8x =，∴反比例函数图象经过点()8,1，令()1,8A ，()8,1B ，过点()1,8A ，()8,1B 分别作直线3l 的平行线，由图可知，当2y x a =-+与8y x=图象在点A 左边，点B 右边存在交点时，满足题意；把()8,1代入2y x a =-+得：116a =-+，解得：17a =，∴817a ≤≤．25.【答案】（1）233384y x x =-++，()4,0F ；（2）()4,6--；（3）103a -<<或3358a -<<-【解析】（1）解： 抛物线22y ax ax c =-+过点()2,3C ，()2,0E -∴443440a a c a a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线表达式为233384y x x =-++，当0y =时，2333084x x -++=，解得：12x =-（舍去），24x =，()4,0F ∴；（2）解：设直线CE 的表达式为y kx b =+，直线过点()2,3C ，()2,0E -，∴2320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得：3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CE 的表达式为：33y x 42=+， 点Q 在抛物线233384y x x =-++上，∴设点233,384Q t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，()2,3C ，()4,0F ，且PQ 由CF 平移得到，∴点Q 向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点2332,684P t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭， 点P 在直线CE 上，∴将2332,684P t t t ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭代入33y x 42=+，()23333642428t t t -+-+=+∴，整理得：216t =，解得：14t =-，24t =（舍去），当4x =-时，()()233443684y -⨯-+⨯+=-=-∴Q 点坐标为()4,6--；（3）解： 四边形ABCD 是正方形，()2,3C ，3BC AB ∴==，2OB =，1OA AB OB ∴=-=，∴点A 和点D 的横坐标为1-，点B 和点C 的横坐标为2，将()2,0E -代入22y ax ax c =-+，得：8c a =-，()222819y ax ax a a x a ∴=--=--，∴顶点坐标为()1,9a -，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴9390a a -<⎧⎨->⎩，解得：103a -<<；②如图，当抛物线与直线BC 交点在点C 上方，且与直线AD 交点在点D下方时，与正方形有两个交点，()()222228312183a a a a a a ⎧⨯-⨯->⎪∴⎨⨯--⨯--<⎪⎩，解得：3358a -<<-，综上所述，a 的取值范围为103a -<<或3358a -<<-．26.【答案】（1）60BDC ︒∠=；（2（3）【解析】（1）解：∵矩形ABCD 中，2AB =，AD =∴90C ∠=︒，2CD AB ==，BC AD ==，∴tan BC BDC DC∠==∴60BDC ∠=︒，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE BAD EAG ADG ∠=∠=∠=∠=︒，∴EAG EAD BAD EAD ∠-∠=∠-∠，即DAG BAE ∠∠=，∴ADG ABE ∽△△，∴DG AD BE AB==；（2）解：如答案图1，过点F 作FM CG ⊥于点M ，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE AGF ADG ∠=∠=∠=︒，AE GF =，∴BAE DAG CGF ∠=∠=∠，90ABE GMF ∠=∠=︒，∴ABE GMF ≌△△，∴BE MF =，2AB GM ==，∴60MDF BDC ∠=∠=︒，FM CG ⊥，∴tan tan 60MF MDF MD ∠=︒==∴MF =，设DM x =，则BE MF ==，∴2DG GM MD x =+=+，∵DG BE=，=，解得1x =，∴BE ==；（3）解：如答案图2，连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD BC ==，2AB =，∴30ACB ∠=︒，24AC AB ==，∵EA EC =，∴30EAC ACE ∠=∠=︒，120AEC ∠=︒，∴903060ACG GAC ∠=∠=︒-︒=︒，∴AGC 是等边三角形，4AG AC ==，∴4PE EF AG ===，将AEP △绕点E 顺时针旋转120°，EA 与EC 重合，得到CEP '△，∴PA P C ='，120PEP '∠=︒，4EP EP '==，∴PP '==，∴当点P ，C ，P '三点共线时，PA PC +的值最小，此时为PA PC PP '+==．。

精品解析：2023年山东省枣庄市中考数学真题(解析版)

精品解析：2023年山东省枣庄市中考数学真题(解析版)

2023年枣庄市初中学业水平考试数学注意事项：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．2．答卷时，考生务必将第I卷和第II卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号，考试结束，将试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．1. 下列各数中比1大的数是（）A. 2B. 0C. -1D. -3【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小可得题目选项中的各数中比1大的数是2，故选A.考点：有理数的大小比较.2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．3. 随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长26.2%，其中159万用科学记数法表示为（ ）A. 61.5910×B. 515910×.C. 415910×D. 215910×. 【答案】A【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．【详解】解：159万61590000 1.5910=×；故选A ． 【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：()11100≤×<n a a ，n 为整数，是解题的关键．4. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）A. 24015015012x x +=×B. 24015024012x x −=×C. 24015024012x x +=×D. 24015015012x x −=× 【答案】D【解析】【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，依题意，得： 240x -150x =150×12．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．5. 下列运算结果正确的是（ ）A. 4482x x x +=B. ()32626x x −=−C. 633x x x ÷=D. 236x x x ⋅=【答案】C【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．详解】解：A 、4442x x x +=，选项计算错误，不符合题意；B 、()32628x x −=−，选项计算错误，不符合题意；C 、633x x x ÷=，选项计算正确，符合题意；D 、235x x x ⋅=，选项计算错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．6. 4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7课外书数量（本） 6 7 912 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）A. 8，9B. 10，9C. 7，12D. 9，9 【答案】D【解析】【分析】利用中位数，众数定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：9992+=，众数为9． 故选：D ．【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．7. 如图，在O 中，弦AB CD ，相交于点P ，若4880A APD ∠=°∠=°，，则B ∠的度数为（ ）【的A. 32°B. 42°C. 48°D. 52°【答案】A【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到D ∠的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出B ∠的度数．【详解】解：48A D A ∠=∠∠=° ，，48D ∴∠=°，80APD APD B D ∠=°∠=∠+∠ ，，804832B APD D ∴∠=∠−∠=°−°=°，故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出D ∠的度数．8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若144∠=°，则2∠的度数为（ ）A. 14°B. 16°C. 24°D. 26°【答案】B【解析】 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到460,25120∠=°∠+∠=°，平行线的性质，得到3144∠=∠=°，三角形的外角的性质，得到534104∠=∠+∠=°，进而求出2∠的度数．【详解】解：如图：∵正六边形的一个外角的度数为：360606°=°， ∴正六边形的一个内角的度数为：18060120°−°=°，即：460,25120∠=°∠+∠=°， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，144∠=°，∴3144∠=∠=°，∴2120516∠=°−∠=°；故选B ．【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是360°，是解题的关键．9. 如图，在ABC 中，9030ABC C ∠=°∠=°，，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是（ ）A. BE DE =B. AE CE =C. 2CE BE =D. EDC ABC S S =△△【答案】D【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质可以判断①的正确；利用等边三角形的性质结合①的结论和等腰三角形的三线合一的性质可以判断②正确；利用直有三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半判断③的正确；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断④的错误．【详解】解：由题意得：AB AD =，AP 为BAC ∠的平分线，90ABC ∠=° ，30C ∠=°， 60BAC ∴∠=°，ABD ∴ 为等边三角形，AP ∴为BD 的垂直平分线，BE DE ∴=，故A 的结论正确；ABD 为等边三角形，60ABD ∴∠=°，60ADB ∠=°，30DBE ∴∠=°，BE DE = ，90ADE ADB EDB ∴∠=∠+∠=°，DE AC ∴⊥．90ABC ∠=° ，30C ∠=°， 2AC AB ∴=，AB AD = ，AD CD ∴=， DE ∴垂直平分线段AC ，AE CE ∴=，故B 的结论正确；Rt CDE 中，30C ∠=°，2CE DE ∴=，BE DE = ，2CE BE ∴=，故C 的结论正确．90EDC ABC ∠=∠=° ，C C ∠=∠， CDE CBA ∴ ∽， ∴2()CDE CBA S DE S AB∆∆=， = AD AB ，∴tan tan 30DE DE DAE AB AD ==∠=°= ∴21()3CDE CBA S DE S AB∆∆==， 故D 的结论错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，角平分线，线段垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．10. 二次函数2(0)y ax bx c a ++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论：①0abc <；②方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3；③若()1230,,,2y y是抛物线上的两点，那么12y y <；④1120a c +>；⑤对于任意实数m ，都有()m am b a b +≥+，其中正确结论的个数是（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴直线12b x a=−=，与y 轴交于负半轴， ∴0,20,0a b a c >=−<<， ∴0abc >；故①错误； 由图可知，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：10x −<<，∵抛物线关于直线1x =对称，∴抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为：23x <<，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3；故②正确；∵0a >，∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大，∵()1230,,,2y y 是抛物线上的两点，且30112−>−， ∴12y y >；故③错误；∵0,2a b a >=− ∴()112522252a c a a b c a a b c +=+−+=+−+，由图象知：=1x −，0y a b c =−+>，∴()112520a c a a b c ++−+>；故④正确；为∵0a >，对称轴为直线1x =，∴当1x =时，函数值最小为：a b c ++，∴对于任意实数m ，都有2am bm c a b c ++≥++，即：2am bm a b +≥+，∴()m am b a b +≥+；故⑤正确；综上：正确的有3个；故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确的识图，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题，大题共6小题，每小题填对得3分，共18分，只填写最后结果．11. 计算)10112− += _________． 【答案】3【解析】【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【详解】解：)10112− −+ 12=+3=故答案为：3．【点睛】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1．12. 若3x =是关x 的方程26ax bx −=的解，则202362a b −+的值为___________． 【答案】2019【解析】【分析】将3x =代入方程，得到32a b −=，利用整体思想代入求值即可．【详解】解：∵3x =是关x 的方程26ax bx −=的解，∴2336a b ⋅−=，即：32a b −=， ∴202362a b −+()202323a b =−−202322=−×20234−2019=；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．13. 银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形．如图是一片银杏叶标本，叶片上两点B ，C 的坐标分别为(3,2),(4,3)−，将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A 对应点的坐标为___________．【答案】()3,1−【解析】【分析】根据点的坐标，确定坐标系的位置，再根据旋转的性质，进行求解即可．【详解】解：∵B ，C 的坐标分别为(3,2),(4,3)−，∴坐标系的位置如图所示：∴点A 的坐标为：()1,3−−，连接OA ，将OA 绕点O 顺时针旋转90°后，如图，叶柄上点A 对应点的坐标为()3,1−；故答案为：()3,1−【点睛】本题考查坐标与旋转．解题的关键是确定原点的位置，熟练掌握旋转的性质．14. 如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆6AB =米，:2:1AO OB =，支架3OM EF OM ⊥=，米，AB 可以绕着点O 自由旋转，当点A 旋转到如图所示位置时45AOM ∠=°，此时点B 到水平地面EF 的距离为___________米．（结果保留根号）【答案】(3+##)3+ 【解析】 【分析】过点B 作BD EF ⊥于点D ，过点A 作AC BD ⊥交BD 于点C ，交OM 于点N ，易得四边形MDCN 为矩形，分别解Rt ，Rt ACB △，求出,,ON BC CD 的长，利用BDBC CD =+进行求解即可．【详解】解：过点B 作BD EF ⊥于点D ，过点A 作AC BD ⊥交BD 于点C ，交OM 于点N ，∵OM EF ⊥，∴OM BC ∥，∴AN OM ⊥，∴四边形MDCN 为矩形，∴MN CD =，∵6AB =，:2:1AO OB =，∴243AO AB ==， 在Rt ANO 中，4AO =，45AOM ∠=°，∴cos 454ON OA =⋅°==∴3CD MN OM ON ==−=− 在Rt ACB △中，6AB =，45AOM ∠=°，∴cos 456BC AB ⋅°；∴33BD BC CD =+=+−=；故答案为：3+．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．15. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，7CE =，F 为DE 的中点，若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．【答案】172【解析】【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和CEF △的周长，求出,CF EF 的长，进而求出DE 的长，勾股定理求出CD 的长，进而求出BE 的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：7,CE CEF = 的周长为32，32725CF EF ∴+=−=．F 为DE 的中点，DF EF ∴=．90BCD ∠=° ，12CF DE ∴=，112.52EF CF DE ∴===， 225DE EF ∴，24CD ∴=．四边形ABCD 是正方形，24BC CD ∴==，O 为BD 的中点，OF ∴是BDE 的中位线，1117()(247)222OF BC CE ∴=−=−=． 故答案为：172． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 16. 如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S +++= ___________．【答案】2023253【解析】【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标，从而可计算出1234,,,S S S S …的高，进而求出1234,,,S S S S …，从而得出123n S S S S +++…+的值．【详解】当1x =时，1P 的纵坐标为8， 当2x =时，2P 的纵坐标为4， 当3x =时，3P 的纵坐标为83， 当4x =时，4P 的纵坐标为2， 当5x =时，5P 的纵坐标为85， …则11(84)84S =×−=−； 2881(4)433S =×−=−；3881(2)233S =×−=−；481(2)2558S =×−=−； …881n S n n =−+； 1238888888844228335111n nS S S S n n n n +++…+=−+−+−+−++−=−=+++ ，∴12320232532023S S S S +++…+=． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出881nS n n =−+． 三、解答题：本大题共8小题，共72分，解答时，要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 先化简，再求值：222211a a a a a −÷ −−，其中a 的值从不等式组1a −<<的整数．【答案】21a a a−−，12 【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．【详解】解：原式222223111a a a a a a a=−÷ −−−− ()2222111a a a a a a ⋅−−−− 21a aa =−−； ∵220,10a a ≠−≠， ∴0,1a a ≠≠±，23=<<=，∴1a −<<的整数解有：0,1,2， ∵0,1a a ≠≠±， ∴2a =，原式2122221−−=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．18. （1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析 【解析】【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考； （2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．19. 对于任意实数a ，b ，定义一种新运算：()26(2)a b a b a b a b a b −≥= +−<※，例如：31312=−=※，545463=+−=※．根据上面的材料，请完成下列问题：（1）43=※___________，(1)(3)−−=※___________； （2）若(32)(1)5x x +−=※，求x 的值． 【答案】（1）1；2； （2）1x =， 【解析】【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x 的值即可． 【小问1详解】4× ＜32，434361∴=+−=※， ()132−−× ＞(1)(3)1(3)2∴−−=−−−=※；故答案为：1；2； 【小问2详解】若322(1)x x +≥−时，即4x ≥−时，则(32)(1)5x x +−−=，解得：1x =，若322(1)x x +−＜时，即4x −＜时，则(32)(1)65x x ++−−=，解得：52x =，不合题意，舍去， 1x ∴=， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A 清洁与卫生，B 整理与收纳，C 家用器具使用与维护，D 烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C 家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D 烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（3）学校想从选择“C ”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20,2,1 （2）图见解析 （3）35【解析】【分析】（1）利用A 组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以C 组的百分比，求出C 组人数，进而求出C 组女生人数，总数乘以D 组的百分比，求出D 组的人数，进而求出D 组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】解：()1215%20+÷=（人）， ∴一共调查了20人；∴C 组人数为：2025%5×=（人），∴C 组女生有：532−=（人）； 由扇形统计图可知：D 组的百分比为115%25%50%10%−−−=， ∴D 组人数为：2010%2×=（人）， ∴D 组男生有：211−=（人）； 故答案为：20,2,1 【小问2详解】 补全图形如下：【小问3详解】用,,A B C 表示3名男生，用,D E 表示两名女生，列表如下：共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种，∴123205P ==． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键．21. 如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象交于(,1),(2,)A m B n −两点．（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这个一次函数的图象； （2）观察图象，直接写出不等式4kx b x+<的解集； （3）设直线AB 与x 轴交于点C ，若(0,)P a 为y 轴上的一动点，连接,AP CP ，当APC △的面积为52时，求点P 的坐标．【答案】（1）112y x =−，图见解析 （2）<2x −或04x << （3）30,2P或70,2P −【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的解析式，求出,A B 的坐标，待定系数法，求出一次函数的解析式即可，连接AB ，画出一次函数的图象即可； （2）图象法求出不等式的解集即可；（3）分点P 在y 轴的正半轴和负半轴，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】解：∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数4y x=的图象交于(,1),(2,)A m B n −两点， ∴24m n =−=， ∴4,2m n ==−， ∴(4,1),(2,2)A B −−，∴4122k b k b += −+=− ，解得：121k b==− ，∴112y x =−， 图象如图所示：【小问2详解】解：由图象可知：不等式4kx b x+<的解集为<2x −或04x <<； 【小问3详解】解：当点P 在y 轴正半轴上时：设直线AB 与y 轴交于点D ，∵112y x =−， 当0x =时，1y =−，当0y =时，2x =，∴()()2,0,0,1C D −，∴1PD a =+，∴()()1151412222APC APD PCD S S S a a =−=×+×−×+×= ， 解得：32a =； ∴30,2P；当点P 在y 轴负半轴上时：1PD a =−−，∴115112222APC APD PCD S S S a =−=×−−×−−×=解得：72a =−或32a =（不合题意，舍去）； ∴70,2P−． 综上：30,2P或70,2P −． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．22. 如图，AB 为O 的直径，点C 是 AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．的（1）求证：CE 是O 切线；（2）若34BE AB ==，，求BC 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）BC =；（3）23π 【解析】【分析】（1）连接OC ，证明OC BE ∥，即可得到结论；（2）连接AC ，证明ACB CEB ∽，从而可得AB BC BC BE=，再代入求值即可； （2）连接OD CD ，，证明CD AB ∥，从而可得COD CBD S S = ，，求出扇形COD 的面积即可得到阴影部分的面积．【小问1详解】证明：连接OC ，∵点C 是 AD 的中点，， ∴ AC DC=， ∴ABC EBC ∠=∠，∵OC OB =，∴ABC OCB ∠=∠，∴EBC OCB ∠=∠，∴OC BE ∥，∵BE CE ⊥，∴半径OC CE ⊥，∴CE 是O 切线；【小问2详解】连接AC ，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=°，∴90ACB CEB ∠=∠=°，∵ABC EBC ∠=∠，∴ACB CEB ∽， ∴AB BCBC BE =， ∴43BCBC =，∴BC =；【小问3详解】连接OD CD ，，∵4AB =，∴2OC OB ==，∵在Rt BCE △中，3BC BE =，∴cos BE CBE BC ∠=， ∴30CBE ∠=°，∴60COD ∠=°，∴60AOC ∠=°，∵OC OD =，∴COD △是等边三角形，∴60CDO ∠=°， ∴CDO AOC ∠=∠，∴CD AB ∥，∴COD CBD S S = ，∴COD S S =阴扇形260223603ππ×=， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定、切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．23. 如图，抛物线2y x bx =−++经过(1,0),(0,3)A C −两点，并交x 轴于另一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；（3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）223y x x =−++（2（3）存在，()1,3Q 或()1,1Q 或()1,5Q【解析】【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接D M ′，D M ′与x 轴的交点即为点H ，进而得到MH DH +的最小值为D M ′的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分DM ，DP ，MP 分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =−++经过(1,0),(0,3)A C −两点，∴103b c c −−+= = ，解得：23b c = = ， ∴223y x x =−++； 【小问2详解】∵()222314y x x x =−++=−−+，∴()1,4M ， 设直线)0:(A y k M x m k =+≠，则：04k m k m −+= +=，解得：22k m = = ， ∴22:A y M x =+， 当0x =时，2y =，∴()0,2D ；作点D 关于x 轴的对称点D '，连接D M ′，则：()0,2D ′−，MH DH MH D H D M ′′+=+≥，∴当,,M H D ′三点共线时，MH DH +有最小值为D M ′长，的∵()0,2D ′−，()1,4M ，∴D M ′，即：MH DH +；【小问3详解】解：存在；∵()222314y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线1x =，设(),P p t ，()1,Q n ，当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时： ①DM 为对角线时：1042p t n +=+ +=+，∴06p t n = +=， 当0p =时，3t =， ∴3n =，∴()1,3Q ；②当DP 为对角线时：01124p t n +=+ +=+ ，∴224p t n = +=+， 当2p =时，222233t =−+×+=，∴1n =，∴()1,1Q ；③当MP 为对角线时：10142p t n +=+ +=+ ，∴02p n t = −= ，当0p =时，3t =，∴3n =，∴()1,5Q ；综上：当以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，()1,3Q 或()1,1Q 或()1,5Q ．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．24. 问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：（1）如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．【答案】（1）四边形AEDG（2）30【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到AE DE DG AG ===，即可得出结论． （2）先证明四边形AMKG 为平行四边形，过点H 作HE CG ⊥于点E ，等积法得到CG HE ⋅的积，推出四边形MKGA 的面积CG HE ⋅，即可得解．【小问1详解】解：四边形AEDG 是菱形，理由如下：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线， ∴1,2AD BC BD CD BC ⊥==， ∵将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合， ∴11,,,,,22EF BC GH BC BE DE CG CD BF FD BD CH DH CD ⊥⊥======， ∴EF AD ∥，∴1BFBE FD AE==， ∴12BE AE AB ==， 同法可得：12CGAG AC ==， ∴,AE DEAG DG ==， ∵AB AC =，∴AE DE DG AG ===，∴四边形AEDG 是菱形；【小问2详解】解：∵折叠，∴,GDC C MHB B ∠=∠∠=∠， ∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∴,GDC B MHB C ∠=∠∠=∠， ∴,MH AC DG AB ∥∥，∴四边形AMKG 为平行四边形，∵1730ABAC BC ===，， 由（1）知：1151522BDCD BC DH CH =====，，11722DG AG AB ===，∴4GH =，过点H 作HE CG ⊥于点E ，∵1122CHG S CH HG CG HE =⋅=⋅ ， ∴154302CG HE ⋅×， ∵四边形MKGA 的面积AG HE ⋅，AG CG =，∴四边形MKGA 的面积30CG HE =⋅=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．。

青岛市中考数学试题及答案(word解析版)

青岛市中考数学试题及答案(word解析版)

山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）（•青岛）﹣7的绝对值是（）D．A．﹣7 B．7C．﹣考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解：|﹣7|=7，故选：B．点评：本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）（•青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（3分）（•青岛）据统计，我国全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（）A．6.09×106B．6.09×104C．609×104D．60.9×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将6090000用科学记数法表示为：6.09×106．故选：A．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（•青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看电视台的早间新闻．据此，估计该镇看电视台早间新闻的约有（）A．2.5万人B．2万人C．1.5万人D．1万人考点：用样本估计总体．分析：求得调查样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．解答：解：该镇看电视台早间新闻的约有15×=1.5万，故选B．点评：本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度不大．5．（3分）（•青岛）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2，∵O1O2=5，2＜6＜6，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r 的数量关系间的联系．6．（3分）（•青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（）A．B．﹣=2﹣=2D．﹣=2C．﹣=2考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．解答：解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，由题意得，﹣=2．故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（3分）（•青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5 D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．8．（3分）（•青岛）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误．故选：B．点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（•青岛）计算：=2+1．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：根据二次根式的除法法则运算．解答：解：原式=+=2+1．故答案为2+1．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．（3分）（•青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：平均数（g）方差甲分装机200 16.23乙分装机200 5.84则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．考点：方差．分析：根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较甲，乙两台包装机的方差可判断．解答：解：∵=16.23，=5.84，∴＞，∴这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙．故答案为：乙．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．（3分）（•青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）．考点：坐标与图形变化-旋转．专题：数形结合．分析：先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．解答：解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．（3分）（•青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是35°．考点：切线的性质．分析：首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90°，∵∠BDC=110°，∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，∴∠A=∠BOC=35°．故答案为：35．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（3分）（•青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为PA+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB•tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．14．（3分）（•青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要54个小立方块．考点：由三视图判断几何体．分析：首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数，然后确定搭成一个大正方体需要的块数．解答：解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有7+2+1=10个几何体组成．若搭成一个大正方体，共需4×4×4=64个小立方体，所以还需64﹣10=54个小立方体，故答案为：54．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）（•青岛）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．考点：作图—复杂作图．分析：首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置．解答：解：如图所示：△ABC即为所求．点评：此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（•青岛）（1）计算：÷；（2）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组；分式的乘除法．分析：（1）首先转化为乘法运算，然后进行约分即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：（1）原式===；（2）解不等式①，得x＞．解不等式②，得x＜3．所以原不等式组的解集是＜x＜3．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．17．（6分）（•青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．考点：折线统计图；扇形统计图；中位数；众数．分析：（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；（3）结合空气质量进而得出答案．解答：解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天故答案为：14，13；（2）由题意可得：360°×=60°．答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．点评：此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键．18．（6分）（•青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？考点：概率公式．分析：（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．解答：解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴P（转动一次转盘获得购物券）==．（2分）（2）∵P（红色）=，P（黄色）=，P（绿色）==，∴（元）∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．（6分）点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（6分）（•青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，其中l1的关系式为y1=8x，问甲追上乙用了多长时间？考点：一次函数的应用．分析：设l2表示乙跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系为y2=kx+b，代入（0，10），（2，22）求得函数解析式，进一步与l1的关系式为y1=8x联立方程解决问题．解答：解：设y2=kx+b（k≠0），代入（0，10），（2，22）得解这个方程组，得所以y2=6x+10．当y1=y2时，8x=6x+10，解这个方程，得x=5．答：甲追上乙用了5s．点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．20．（8分）（•青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度．解答：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=，∴CD=≈=x，∵BC=BD﹣CD，∴x﹣x=80，解得：x=180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，sin39°=，∴AC==≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．21．（8分）（•青岛）已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC 的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．分析：（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠COE=∠BAE=90°．∴▱ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．∴菱形ACED是正方形．故答案为：45．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．22．（10分）（•青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．由每天的总成本不超过7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴销售单价应该控制在82元至90元之间．点评：本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．23．（10分）（•青岛）数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，所以，+++…+=﹣．拓广应用：计算+++…+．考点：作图—应用与设计作图；规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；解决问题：按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以（m﹣1）即可得解；拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．解答：解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：+++…+，最后的空白部分的面积是，根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以3，得+++…+=﹣；解决问题：+++…+=1﹣，+++…+=﹣；故答案为：+++…+=1﹣，﹣；拓广应用：+++…+，=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，=n﹣（+++…+），=n﹣（﹣），=n﹣+．点评：本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．24．（12分）（•青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=AC，OB=BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出=．求出DF．由AP=DF．求出t．（2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，求出CG．据S梯=（AP+DF）•CG．S△EFD=EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；形APFD（3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，菱形ABCDPM再由勾股定理求出PE．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．即10﹣t=t，解这个方程，得t=．∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，即10•CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG=（10﹣t+t）•=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）﹣t2=﹣t2+t+48．（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则﹣t2+t+48=×96，即5t2﹣8t﹣48=0，解这个方程，得t1=4，t2=﹣（舍去）过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ﹣MQ==．PM=BD﹣BN﹣DQ==．在Rt△PME中，PE===（cm）．点评：本题主要考查了四边形的综合知识，解题的关键是根据三角形相似比求出相关线段．。

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中考数学试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）（2013•济南）下列计算正确的是（）B．=﹣2C．（﹣2）0=﹣1D．|﹣5﹣3|=2A．=9考点：负整数指数幂；绝对值；算术平方根；零指数幂．分析：对各项分别进行负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，然后选出正确选项即可．解答：解：A、（）﹣2=9，该式计算正确，故本选项正确；B、=2，该式计算错误，故本选项错误；C、（﹣2）0=1，该式计算错误，故本选项错误；D、|﹣5﹣3|=8，该式计算错误，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、绝对值的化简等运算，属于基础题，掌握各知识点运算法则是解题的关键．2．（3分）（2013•济南）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了中心对称及轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2013•济南）森林是地球之肺，每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物．28.3亿吨用科学记数法表示为（）A．28.3×107B．2.83×108C．0.283×1010D．2.83×109考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：28.3亿=28.3×108=2.83×109．故选D．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2013•济南）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∥D=74°，则∥B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∥C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．解答：解：∥CD=CE，∥∥D=∥DEC，∥∥D=74°，∥∥C=180°﹣74°×2=32°，∥AB∥CD，∥∥B=∥C=32°．故选B．点评：本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．5．（3分）（2013•济南）图中三视图所对应的直观图是（）A．B．C．D．考点：由三视图判断几何体．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．只有C满足这两点．故选C．点评：本题考查了三视图的概念．易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选B．6．（3分）（2013•济南）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两人的速度相同B．甲先到达终点C．乙用的时间短D．乙比甲跑的路程多考点：函数的图象．分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．解答：解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快，故选B．点评：本题考查了函数的图象，关键是会看函数图象，要求同学们能从图象中得到正确信息．7．（3分）（2013•济南）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．四个角相等的四边形是矩形考点：命题与定理．分析：根据矩形、菱形、正方形的判定与性质分别判断得出答案即可．解答：解：A、根据对角线相等的四边形也可能是矩形，故此选项错误；B、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；C、根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；D、根据四个角相等的四边形是矩形，是真命题，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了命题与定理，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定与性质是解题关键．8．（3分）（2013•济南）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣x+1B．y=x2﹣1C．y=D．y=﹣x2+1考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．解答：解：A、y=﹣x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小，错误；B、y=x2﹣1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而减小，正确．C、y=，k=1＞0，在每个象限里，y随x的增大而减小，错误；D、y=﹣x2+1（x＞0），故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧（x＜0），y随着x的增大而增大，错误；故选B．点评：本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），是一道难度中等的题目．9．（3分）（2013•济南）一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：由在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n 次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；可得能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，然后根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与能过第二关的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∥在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；∥能过第二关的抛掷所出现的点数之和需要大于5，列表得：678910111256789101145678910345678923456781234567123456∥共有36种等可能的结果，能过第二关的有26种情况，∥能过第二关的概率是：=．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．10．（3分）（2013•济南）如图，扇形AOB的半径为1，∥AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算．分析：首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出∥AOB的面积，用S半圆+S∥AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．解答：解：在Rt∥AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S∥AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S∥AOB﹣S扇形AOB=．故选C．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，仔细观察图形，得出阴影部分面积的表达式．11．（3分）（2013•济南）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．解答：解：∥函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∥b2﹣4c＜0；故①错误；当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误；∥当x=3时，y=9+3b+c=3，∥3b+c+6=0；③正确；∥当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∥x2+bx+c＜x，∥x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．故选B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．12．（3分）（2013•济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2013除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．解答：解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∥2013÷6=335…3，∥当点P第2013次碰到矩形的边时为第336个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3）．故选D．点评：本题是对点的坐标的规律变化的考查了，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）（2013•济南）cos30°的值是．考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可．解答：解：cos30°=×=．故答案为：．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键．14．（4分）（2013•济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因两点之间线段最短．考点：线段的性质：两点之间线段最短；三角形三边关系．专题：开放型．分析：根据线段的性质解答即可．解答：解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．点评：本题考查了线段的性质，是基础题，主要利用了两点之间线段最短．15．（4分）（2013•济南）甲乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量如下（单位：吨/公顷）品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8经计算，=10，=10，试根据这组数据估计甲中水稻品种的产量比较稳定．考点：方差．分析：根据方差公式S2=[（x﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]分别求出两种水稻的产量1的方差，再进行比较即可．解答：解：甲种水稻产量的方差是：[（9.8﹣10）2+（9.9﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2]=0.02，乙种水稻产量的方差是：[（9.4﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10.8﹣10）2+（9.7﹣10）2+（9.8﹣10）2]=0.124．∥0.02＜0.124，∥产量比较稳定的小麦品种是甲，故答案为：甲点评：此题考查了方差，用到的知识点是方差和平均数的计算公式，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．（4分）（2013•济南）函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，则+的值为﹣2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：先根据反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式得到=x﹣2，去分母化为一元二次方程得到x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=﹣1，然后变形+得，再利用整体思想计算即可．解答：解：根据题意得=x﹣2，化为整式方程，整理得x2﹣2x﹣1=0，∥函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a，b，∥a、b为方程x2﹣2x﹣1=0的两根，∥a+b=2，ab=﹣1，∥+===﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了一元二次方程根与系数的关系．17．（4分）（2013•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∥AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．解答：解：∥四边形ABCD是正方形，∥AB=AD，∥∥AEF是等边三角形，∥AE=AF，∥在Rt∥ABE和Rt∥ADF中，，∥Rt∥ABE∥Rt∥ADF（HL），∥BE=DF，∥BC=DC，∥BC﹣BE=CD﹣DF，∥CE=CF，∥①说法正确；∥CE=CF，∥∥ECF是等腰直角三角形，∥∥CEF=45°，∥∥AEF=60°，∥∥AEB=75°，∥②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∥AC∥EF，且AC平分EF，∥∥CAD≠∥DAF，∥DF≠FG，∥BE+DF≠EF，∥③说法错误；∥EF=2，∥CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt∥ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为①②④．点评：本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题：本大题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（6分）（2013•济南）先化简，再求值：÷，其中a=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．解答：解：原式=[﹣]•=•=•=．当a =﹣1时，原式==1．点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键．19．（8分）（2013•济南）某区在实施居民用水额定管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样获得的50个家庭去年月平均用水量（单位：吨），并将调查数据进行如下整理：4.7 2.1 3.1 2.35.2 2.8 7.3 4.3 4.86.7 4.5 5.1 6.5 8.9 2.2 4.5 3.2 3.2 4.5 3.5 3.5 3.5 3.6 4.9 3.7 3.8 5.6 5.5 5.9 6.2 5.7 3.9 4.0 4.07.0 3.7 9.5 4.2 6.4 3.5 4.5 4.5 4.6 5.4 5.6 6.6 5.8 4.5 6.2 7.5 频数分布表分组 划记 频数 2.0＜x ≤3.5 正正11 3.5＜x ≤5.019 5.0＜x ≤6.56.5＜x ≤8.08.0＜x ≤9.5 合计2 50（1）把上面频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）从直方图中你能得到什么信息？（写出两条即可）；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表． 分析：（1）根据题中给出的50个数据，从中分别找出5.0＜x ≤6.5与 6.5＜x ≤8.0 的个数，进行划记，得到对应的频数，进而完成频数分布表和频数分布直方图；（2）本题答案不唯一．例如：从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x ≤5.0范围内的最多，有19户； （3）由于50×60%=30，所以为了鼓励节约用水，要使60%的家庭收费不受影响，即要使30户的家庭收费不受影响，而11+19=30，故家庭月均用水量应该定为5吨． 解答： 解：（1）频数分布表如下：分组 划记 频数 2.0＜x ≤3.5 正正11 3.5＜x ≤5.019 5.0＜x ≤6.56.5＜x ≤8.013 58.0＜x ≤9.5 合计2 50频数分布直方图如下：（2）从直方图可以看出：①居民月平均用水量大部分在2.0至6.5之间；②居民月平均用水量在3.5＜x≤5.0范围内的最多，有19户；（3）要使60%的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为5吨，因为月平均用水量不超过5吨的有30户，30÷50=60%．点评：本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（8分）（2013•济南）如图，已知∥O的半径为1，DE是∥O的直径，过点D作∥O的切线AD，C是AD的中点，AE交∥O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是∥O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．考点：切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：（1）连接BD，由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∥DBE为直角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且BC=OE=1，在直角三角形ABD 中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；（2）连接OB，由BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．解答：解：（1）连接BD，则∥DBE=90°，∥四边形BCOE为平行四边形，∥BC∥OE，BC=OE=1，在Rt∥ABD中，C为AD的中点，∥BC=AD=1，则AD=2；（2）连接OB，∥BC∥OD，BC=OD，∥四边形BCDO为平行四边形，∥AD为圆O的切线，∥OD∥AD，∥四边形BCDO为矩形，∥OB∥BC，则BC为圆O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．21．（10分）（2013•济南）某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？考点：反比例函数的应用；分式方程的应用．专题：应用题．分析：（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；解答：解：（1）由题意得，y=把y=120代入y=，得x=3把y=180代入y=，得x=2，∥自变量的取值范围为：2≤x≤3，∥y=（2≤x≤3）；（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，根据题意得：解得：x=2.5或x=﹣3经检验x=2.5或x=﹣3均为原方程的根，但x=﹣3不符合题意，故舍去，答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．22．（10分）（2013•济南）设A是由2×4个整数组成的2行4列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，如果经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表；（写出一种方法即可）表1123﹣7﹣2﹣101（2）数表A如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的值表2．a a2﹣1﹣a﹣a22﹣a1﹣a2a﹣2a2考点：一元一次不等式组的应用．分析：（1）根据某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变改行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”，先改变表1的第4列，再改变第2行即可；（2）根据每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案．解答：解：（1）根据题意得：改变第4列改变第2行（2）∥每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，则①如果操作第三列，则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得：≤a，又∥a为整数，∥a=1或a=2，②如果操作第一行，则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2，，解得a=1，此时2﹣2a2，=0，2a2=2，综上可知：a=1．点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组，注意a为整数．23．（10分）（2013•济南）（1）如图1，已知∥ABC，以AB、AC为边向∥ABC外作等边∥ABD 和等边∥ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知∥ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∥ABC=45°，∥CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．考点：四边形综合题．专题：计算题．分析：（1）分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，同理连接AE，CE，如图所示，由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形，得到三对边相等，两个角相等，都为60度，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）BE=CD，理由与（1）同理；（3）根据（1）、（2）的经验，过A作等腰直角三角形ABD，连接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的长，由题意得到三角形DBC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长，即为BE的长．解答：解：（1）完成图形，如图所示：证明：∥∥ABD和∥ACE都是等边三角形，∥AD=AB，AC=AE，∥BAD=∥CAE=60°，∥∥BAD+∥BAC=∥CAE+∥BAC，即∥CAD=∥EAB，∥在∥CAD和∥EAB中，，∥∥CAD∥∥EAB（SAS），∥BE=CD；（2）BE=CD，理由同（1），∥四边形ABFD和ACGE均为正方形，∥AD=AB，AC=AE，∥BAD=∥CAE=90°，∥∥CAD=∥EAB，∥在∥CAD和∥EAB中，，∥∥CAD∥∥EAB（SAS），∥BE=CD；（3）由（1）、（2）的解题经验可知，过A作等腰直角三角形ABD，∥BAD=90°，则AD=AB=100米，∥ABD=45°，∥BD=100米，连接CD，则由（2）可得BE=CD，∥∥ABC=45°，∥∥DBC=90°，在Rt∥DBC中，BC=100米，BD=100米，根据勾股定理得：CD==100米，则BE=CD=100米．点评：此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24．（12分）（2013•济南）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∥BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到∥DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当∥CEF与∥COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使∥PCD得面积最大？若存在，求出∥PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∥CEF=90°时，当∥CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S∥PCD=S∥PCN+S∥PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．解答：解：（1）在Rt∥AOB中，OA=1，tan∥BAO==3，∥OB=3OA=3．∥∥DOC是由∥AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∥∥DOC∥∥AOB，∥OC=OB=3，OD=OA=1，∥A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∥抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∥抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∥对称轴l=﹣=﹣1，∥E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∥CEF=90°时，∥CEF∥∥COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；当∥CFE=90°时，∥CFE∥∥COD，过点P作PM∥x轴于点M，则∥EFC∥∥EMP．∥，∥MP=3EM．∥P的横坐标为t，∥P（t，﹣t2﹣2t+3）．∥P在二象限，∥PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∥﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），∥t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∥P（﹣2，3）．∥当∥CEF与∥COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∥直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∥NM=t+1．∥PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∥S∥PCD=S∥PCN+S∥PDN，∥S∥PCD=PM•CM+PN•OM=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t+）2+，∥当t=﹣时，S∥PCD的最大值为．点评：本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出∥PCD的面积由顶点式求最大值是难点．。

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