中考卷-2020中考数学试卷(解析版),(3)

贵州省安顺市22年初中毕业生学业水平（升学）考试数学试题一、选择题以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共3分．计算的结果是（） A. B. C.1 D. 6 【答案】A 【解析】【分析】原式利用异号两数相乘的法则计算即可求出值．【详解】解原式＝3×2＝6，故选A．【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的1个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中红球所占的比例大小即可．【详解】解第一个袋子摸到红球的可能性=；第二个袋子摸到红球的可能性=；第三个袋子摸到红球的可能性=；第四个袋子摸到红球的可能性=．故选D．【点睛】】本题主要考查了可能性大小的计算，用到的知识点为可能性等于所求情况数与总情况数之比，难度适中． 22年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫．一志愿者得到某栋楼6岁以上人的年龄（单位岁）数据如下62，63，75，79，68，85，82，69，7．获得这组数据的方法是（） A. 直接观察 B. 实验 C. 调查 D. 测量【答案】C 【解析】【分析】根据得到数据的活动特点进行判断即可．【详解】解因为获取6岁以上人的年龄进行了数据的收集和整理，所以此活动是调查．故选C．【点睛】本题考查了数据的获得方式，解题的关键是要明确，调查要进行数据的收集和整理．如图，直线，相交于点，如果，那么是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于18°列式计算即可得解．【详解】解∵∠1＋∠2＝6°，∠1＝∠2（对顶角相等），∴∠1＝3°，∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠3＝18°∠1＝18°3°＝15°．故选A．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．当时，下列分式没有意义的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义. 故选 B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据太阳光下的影子的特点（1）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向；（2）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体高度成比例，据此逐项判断即可．【详解】选项A、B中，两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项A、B错误选项C中，树高与影长成反比，不可能为同一时刻阳光下的影子，则选项C错误选项D中，在同一时刻阳光下，影子都在同一方向，且树高与影长成正比，则选项D正确故选D．【点睛】本题考查了太阳光下的影子的特点，掌握太阳光下的影子的特点是解题关键．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（） A. 5 B. 2 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【详解】解如图所示，根据题意得AO＝，BO＝，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD ＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝，∴此菱形的周长为5×4＝2．故选B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．已知，下列式子不一定成立是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质解答．【详解】解A、不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a1＜b1，故本选项不符合题意；B、不等式a＜b的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即，故本选项不符合题意；C、不等式a＜b的两边同时乘以，不等式仍成立，即，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；D、不等式a＜b的两边同时乘以m，当m>，不等式仍成立，即；当m<，不等号方向改变，即；当m=时，；故不一定成立，故本选项符合题意，故选D．【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（） A. 无法确定 B. C.1 D.2 【答案】C 【解析】【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB 时，GP=CG=1．【详解】解由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，∵∠C=9°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为C．【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 1.已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是3．则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是（） A. 或 B. 或2 C. 或3 D. 或4 【答案】B 【解析】【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断选项．【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣由于＜n＜m，可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，由此判断B符合该范围．故选B．【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．二、填空题每小题4分，共2分． 1化简的结果是_____．【答案】【解析】【分析】直接去括号然后合并同类项即可．【详解】解，故答案为．【点睛】本题考查了整式运算，涉及了单项式乘以多项式、合并同类项等知识点，熟练掌握运算性质是解题的关键． 1如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．【答案】3 【解析】【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积．【详解】解如图所示可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，则四边形的面积为3，故答案为3．【点睛】本题考查了反比例函数（k≠）系数k的几何意义从反比例函数（k≠）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 1在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是_____．【答案】【解析】【分析】随着试验次数的增多，变化趋势接近与理论上的概率．【详解】解如果试验的次数增多，出现数字“6”的频率的变化趋势是接近．故答案为．【点睛】实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率． 1如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．【答案】12 【解析】【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB, ∴∠OAB=∠OBA=∠OAD, ∴△ODA△OEB（SAS）, ∴∠DOA=∠EOB, ∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=6°以及同弧，∴∠AOB=∠DOE=12°．故本题答案为12．【点睛】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握． 1如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为_____．【答案】【解析】【分析】如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则由线段垂直平分线的性质可得CB=CG，在EG 上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠EFC=∠A=2∠CBE，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得FC=FG，设CE=EF=x，则可根据线段间的和差关系求出DF的长，进而可求出FC的长，然后根据勾股定理即可求出CD的长，再一次运用勾股定理即可求出答案．【详解】解如图，延长BD到点G，使DG=BD，连接CG，则CB=CG，在EG上截取EF=EC，连接CF，则∠EFC=∠ECF，∠G=∠CBE，∵EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵∠AEB=∠CEF，∴∠EFC=∠A=2∠CBE=2∠G，∵∠EFC=∠G+∠FCG，∴∠G=∠FCG，∴FC=FG，设CE=EF=x，则AE=BE=11－x，∴DE=8－（11－x）=x －3，∴DF=x－（x－3）=3，∵DG=DB=8，∴FG=5，∴CF=5，在Rt△CDF中，根据勾股定理，得，∴．故答案为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，具有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键．三、解答题本大题1小题，共1分． 1如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；【详解】解（答案不唯一）图①（2）图②（3）图③【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理公式和构造直角三角形是解题的关键． 122年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如下统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题部分初三学生每天听空中黔课时间人数统计表时间/ 5 2 5 3 5 4 人数/人 2 6 6 1 4 部分初三学生每天听空中黔课时间人数统计图（1）本次共调查的学生人数为_____，在表格中，___；（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是____，众数是_____；（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．【答案】（1）5，22；（2），；（3）认真听课，独立思考．（答案不唯一）【解析】【分析】 (1)根据已知人数和比例算出学生总人数,再利用所占比例求出m的值. (2)根据中位数和众数的概念计算即可. (3)任写一条正能量看法即可. 【详解】(1)学生人数=2÷4%=5.m=5×44%=2 故答案为:5,2 (2)5÷2=25,所以中位数为第25人所听时间为5h,人数最多的也是5h, 故答案为:5h,5h. (3)认真听课,独立思考. 【点睛】本题考查扇形统计图和统计基础运算,关键在于牢记统计相关的概念和运算方法. 1如图，四边形是矩形，是边上一点，点在的延长线上，且．（1）求证四边形是平行四边形；（2）连接，若，，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】【分析】（1）直接利用矩形的性质结合BE=CF,可得，进而得出答案；（2）在中利用勾股定理可计算，再由求出得，进而求出AD长，由即可求解．【详解】解（1）∵四边形是矩形，∴，．∵，∴，即．∴，∴四边形是平行四边形．（2）如图，连接，∵四边形是矩形∴在中，，，∴由勾股定理得，，即．∵，∴．∵，∴．∴即，解得．由（1）得四边形是平行四边形，又∵，高，∴．【点睛】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质以及判定，相似三角形的判定和性质、勾股定理，熟练运用勾股定理和相似三角形性质求线段长是解题的关键． 1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的横坐标是2．（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）直接写出一个一次函数，使其过点，且与反比例函数的图象没有公共点．【答案】（1）；（2）；（3）（答案不唯一）【解析】【分析】（1）将x=2代入一次函数，求出其中一个交点是，再代入反比例函数即可解答；（2）先求出平移后的一次函数表达式，联立两个函数解析式得到一元二次方程即可解答；（3）设一次函数为y=ax+b（a≠），根据题意得到b=5，联立一次函数与反比例函数解析式，得到，若无公共点，则方程无解，利用根的判别式得到，求出a 的取值范围，再在范围内任取一个a的值即可．【详解】解（1）∵一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，∴当时，，∴其中一个交点是．∴．∴反比例函数的表达式是．（2）∵一次函数的图象向下平移2个单位，∴平移后的表达式是．联立及，可得一元二次方程，解得，．∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（3）设一次函数为y=ax+b（a≠），∵经过点，则b=5，∴y=ax+5，联立y=ax+5以及可得，若一次函数图象与反比例函数图象无交点，则，解得，∴（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象交点问题以及函数图象平移问题，解题的关键是熟悉函数图象上点的特征，第（3）问需要先确定a的取值范围． 2.“22第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动．规则是准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．【答案】（1）图表见解析，；（2）应添加4张《消防知识手册》卡片，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出列表，由概率公式即可得出答案；（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．【详解】解（1）先将《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别记作，，，然后列表如下第2次第1次总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而2张卡片都是《辞海》的有2种，所以，（2张卡片都是《辞海》）；（2）设再添加张和原来一样的《消防知识手册》卡片，由题意得，解得，，经检验，是原方程的根，答应添加4张《消防知识手册》卡片．【点睛】本题考查了列表法以及概率公式，熟悉相关性质是解题的关键． 2脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据，，，）（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高（结果精确到）．【答案】（1）2米；（2）14米【解析】【分析】（1）可得，在中由即可求AG；（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．【详解】解（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，∴，，．在中，，，∵，，．∴（米）答屋顶到横梁的距离约是2米．（2）过点作于点，设，在中，，，∵，∴，在中，，，∵，∴．∵，∴，∵，，解得．∴（米）答房屋的高约是14米．【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 2第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于1元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？【答案】（1）方程见解析，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；（2）可能是2元或者6元【解析】【分析】 (1)根据题意列出方程解出答案判断即可; (2)根据题意列出方程得出x与a的关系,再由题意中a的条件即可判断x的范围,从而得出单价. 【详解】解（1）设单价为6元的钢笔买了支，则单价为1元的钢笔买了（）支，根据题意，得，解得．因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了（2）设笔记本的单价为元，根据题意，得，整理，得，因为，随的增大而增大，所以，∵取整数，∴．当时，，当时，，所以笔记本的单价可能是2元或者6元．【点睛】本题考查方程及不等式的列式和计算,关键在于理解题意找到等量关系. 2如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．（1）求证；（2）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论；（2）先证明，，由ASA证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论. 【详解】解（1）在中，∵与都是所对的圆周角，∴，∵，∴．∴．（2）∵是的切线，是的直径，∴．∵，，∴．又∵，∴．∵∴，∴，．在中，∵，，∴，即．∵，∴．在中，，∴．∵，且，∴，∴，即．∵与都是所对的圆周角，∴．在中，，∴，即．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地识别图形是解题的关键． 222年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人）与时间（分钟）的变化情况，数据如下表（表中9-15表示）时间（分钟） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9~15 人数（人） 17 32 45 56 65 72 77 8 81 81 （1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测2人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】（1）；（2）队人数最多时是49人，全部考生都完成体温检测需要2.25分钟；（3）至少增加2个检测点【解析】【分析】（1）先根据表中数据的变化趋势猜想①当时，是的二次函数．根据提示设出抛物线的解析式，再从表中选择两组对应数值，利用待定系数法求函数解析式，再检验其它数据是否满足解析式，从而可得答案；（2）设第分钟时的排队人数是，列出与第分钟的函数关系式，再根据函数的性质求排队的最多人数，利用检测点的检测人数列方程求解检测时间；（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意列出不等式，利用不等式在正整数解可得答案．【详解】解（1）根据表中数据的变化趋势可知①当时，是的二次函数．∵当时，，∴二次函数的关系式可设为．当时，；当时，．将它们分别代入关系式得解得．∴二次函数的关系式为．将表格内的其他各组对应值代入此关系式，均满足．②当时，．∴与的关系式为．（2）设第分钟时排队人数是，根据题意，得①当时，．∴当时，．②当时，，随的增大而减小，∴．∴排队人数最多时是49人．要全部考生都完成体温检测，根据题意，得，解得．∴排队人数最多时是49人，全部考生都完成体温检测需要2.25分钟．（3）设从一开始就应该增加个检测点，根据题意，得，解得．∵是整数，∴的最小整数是2．∴一开始就应该至少增加2个检测点．【点睛】本题考查的根据实际的数据探究各数据符合的函数形式，同时考查待定系数法求解函数解析式，考查二次函数的实际应用及二次函数的性质，同时考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，掌握以上知识是解题的关键． 2如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究如图②，是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．【答案】（1），；（2）的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；（2）连接并延长交于点，根据题意证出，为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形，由且可得是等腰直角三角形；（3）延长交边于点，连接，．证出四边形是矩形，为等腰直角三角形，，再证出为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．【详解】解（1）∵点P和点Q分别为，的中点，∴PQ为△BOC的中位线，∵四边形是正方形，∴AC⊥BO，∴，；故答案为，；（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下连接并延长交于点，由正方形的性质及旋转可得，∠，是等腰直角三角形，，．∴，．又∵点是的中点，∴．∴．∴，．∴，∴．∴为等腰直角三角形．∴，．∴也为等腰直角三角形．又∵点为的中点，∴，且．∴的形状是等腰直角三角形．（3）延长交边于点，连接，．∵四边形是正方形，是对角线，∴．由旋转得，四边形是矩形，∴，．∴为等腰直角三角形．∵点是的中点，∴，，．∴．∴，．∴．∴．∴为等腰直角三角形．∵是的中点，∴，．∵，∴，，∴．∴．【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转图形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质和勾股定理，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。