2019年北京中考数学试题(解析版)

{来源}2019年北京中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2019年北京市中考数学试卷考试时间：120分钟满分：100分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．{题目}1．（2019年北京）4月24日是中国航天日．1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方紅一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点439000米，将439 000用科学记数法表示应为A.0.439×106B.4.39×106C.4.39×105D.439 ×103{答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．439 000=4.39×100000=4.39×105，故本题答案为C.{分值}2{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年北京）下列但导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A B C D{答案}C{解析}本题考查了轴对称图形的识.如果一个图形沿某直线对折后，这线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义可知选项C 中的图形是轴对称图形.{分值}2{章节:[1-13-1-1]轴对称}{考点:轴对称图形}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年北京）正十边形的外角和为（）A．180° B．360° C．720° D．1440°{答案}B{解析}本题考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和都等于360°可知答案为B.{分值}2{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}{考点:多边形的外角和}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年北京）在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO ＝BO ，则a 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 {答案}A{解析}本题考查了数轴及平移的性质. ∵点A,B 在原点O 的两侧，∴a ＜0.∵CO=BO ，点B 表示数2，∴点C 表示数-2.∵点A 向右平移1个单位长度得到点C ，∴点A 表示的数a=-2-1=-3. {分值}2{章节:[1-1-2-2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}5．（2019年北京）已知锐角∠AOB ． 如图（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线OB 于点D ．连接CD ； （2）分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点M 、N ； （3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是A.∠COM ＝∠CODB.若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°C.MN ∥CDD.MN ＝3CD{答案}D{解析}本题是一道尺规作图题，综合考查了等腰三角形、全等三角形、平行线的判定等知识.如图，连接ON ，根据作图过程可知∠COM=∠COD=∠DON ，故选项A 正确；若OM=MN ，则△OMN 是等边三角形，∴∠AOB=13×60°=20°，故选项B 正确；设MN 与OA 交于点E,与OB 交于点F.易证△MOE ≌△NOF ，∴OE=OF.∵OC=OD ，∴∠OEF=∠OFE=∠OCD=∠ODC ，∴MN ∥CD ，故选项C 正确；连接MC,DN ，则MC=CD=DN ，根据“两点之间线段最短”可知MC+CD+DN ＜MN ，即3CD ＜MN ，故选项D 不正确.O{分值}2{章节:[1-13-2-2]等边三角形} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:等边三角形的判定与性质} {考点:等边对等角}{考点:同位角相等两直线平行} {考点:线段公理} {类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}6．（2019年北京）如果m ＋n ＝1，那么代数式22221()()m n m n m mn m++⋅--的值为 （ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3{答案}D{解析}本题考查了分式的化简求值.原式=()()()23()()()()m n m n mm n m n m n m n m m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-=⋅+-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦=3（m+n ）.当m+n=1时,原式=3×1=3. {分值}2{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:分式的混合运算} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}7．（2019年北京）用不等式a ＞b ，ab ＞0，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3{答案}D{解析}本题考查了不等式的基本性质及真命题的判定．根据题意，可知组成的命题有3个，分别为①若ab ＞0，11a b <，则a ＞b ；②若a ＞b ，ab ＞0，则11a b <；③若a ＞b ，11a b<，则ab ＞0. 对于命题①，∵ab ＞0，11a b<，∴b ＜a ，故该命题正确；对于命题②，∵a ＞b ，ab ＞0，∴11b a <，故该命题正确；对于命题③，∵11a b<，∴110b aa b ab --=<.∵a ＞b ，∴b-a ＜0，∴ab ＞0，故该命题正确；{分值}2{章节:[1-9-1]不等式}{考点:不等式的性质}{考点:命题}{类别:易错题}{难度:3-中等难度}{题目}8．（2019年北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间所有合理推断的序号是A.①③B.①④C.①②③D.①②③④{答案}C{解析}本题是一道与统计图有关的题目，综合考查了平均数、中位数等知识.根据题意，补全统计名女生人均参加公益劳动的时间为25.5，故这200名学生参加公益劳动时间的平均数x －=24.597+25.5103200⨯⨯，故24.5＜x －＜25.5，故①正确；这200名学生参加公益劳动的时间的中位数是第100个数据和第101个数据的平均数，根据上面统计表可知，第100个数据和第101个数据都在20≤t ＜30这一组内，即中位数在20-30之间，故②正确；由统计表可知x+y=15，故初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20≤t ＜30这一组内，高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t ＜20这一组内，故③正确，④不正确. {分值}2{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:频数（率）分布表} {考点:算术平均数} {考点:中位数} {考点:条形统计图} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，合计16分．{题目}9．（2019年北京）若分式1x x-的值为0，则x 的值为＝ .{答案}1{解析}本题考查了分式的值为0的条件. ∵分式1x x-的值为0，∴分子x-1=0，解得x=1.{分值}2{章节:[1-15-1]分式} {考点:分式的值} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}10．（2019年北京）如图，已知△ABC ，通过测量、计算得△ABC 的面积约为＝ cm ．（结果保留一位小数）{答案}{解析}本题考查了三角形面积的计算，解题的关键正确作出三角形的高. 如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，则S △ABC =12AB ·CD.{分值}2{章节:[1-11-1]与三角形有关的线段} {考点:三角形的面积} {考点:准确数与近似数}{类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}11．（2019年北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）{答案}①②{解析}本题考查了几何体的三视图. ①中长方体的主视图、俯视图和左视图都是矩形，②中圆柱的主视图和左视图都是矩形，③中圆锥的三视图都不是矩形. {分值}2{章节:[1-29-2]三视图} {考点:同底数幂的乘法} {考点:简单几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}12．（2019年北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB ＋∠PBA ＝ °.{答案}45{解析}本题是一道网格题，利用全等三角形实现角的转化是解题的关键. 如图，∵△APC ≌△BED ，∴∠PAB=∠DBE.∵△EPB 是等腰直角三角形，∴∠EBP=45°，∴∠DBE+∠PBA=90°-45°=45°，即∠PAB+∠PBA=45°.{分值}2{章节:[1-13-2-1]等腰三角形} {考点:全等三角形的性质} {考点:等腰直角三角形} {类别:发现探究} {难度:3-中等难度}{题目}13．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )（a ＞0，b ＞0）在双曲线1k y x=上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则k 1＋k 2的值为 .{答案}0{解析}本题考查了反比例函数表达式的求法，确定关于x 轴的对称点的坐标是解题的关键. ∵点A (a ，b )在双曲线1ky x=上，∴k 1=ab.∵点A 与点B 关于x 轴对称，∴B （a,-b ）.∵ 点B 在双曲线2ky x =上，∴k 2=-ab.∴k 1＋k 2 =0.{分值}2{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数的解析式} {考点:点的坐标}{考点:坐标系中的轴对称} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}14．（2019年北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 .图1 图2 图3 {答案}12{解析}本题考查了正方形和菱形的性质，根据所拼图形得到直角三角形两直角边的关系是解题的关键. 设每个直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则5,1a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得=3,2a b ⎧⎨=⎩，∴菱形的面积为12ab ×4=12. {分值}2{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质}{考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}15．（2019年北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5．记这组新数据的方差为21s ，则20s 21s ．（填“＞”，“＝”或“＜”） {答案}={解析}本题考查了方差的计算，根据方差公式计算即可.原数据的平均数()1=92+90+94+86+99+85=916x －，()()()()()()22222221=9291909194918691999185916S ⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦0=68=3；新数据的平均数()1=2+04495=16x +-+-－，()()()()()()22222221=2101414191516S ⎡⎤-+-+-+--+-+--⎣⎦168=3，∴22=S S 01.{分值}2{章节:[1-20-2-1]方差} {考点:同底数幂的乘法} {考点:方差} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}16．（2019年北京）在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）.对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是．{答案}①②③{解析}本题是一道四边形压轴题，综合考查了平行四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判定.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，过点O作直线PM和NQ交BC，易证MNPQ为平行四边形；当PM=QN时，四边形MNPQ为矩形；当PM⊥QN时，四边形MNPQ为菱形；由于PM=QN与PM⊥QN不一定能同时成立，故四边形MNPQ不一定是正方形.故正确的结论是①②③.{分值}2{章节:[1-18-2-3] 正方形}{考点:平行四边形边的性质}{考点:平行四边形对角线的性质}{考点:矩形的判定}{考点:菱形的判定}{考点:正方形的判定}{类别:高度原创}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分．{题目}17．（2019年北京）计算：011(4)2sin60()4π---+︒+．{解析}本题考查了实数的运算，掌握绝对值的性质、零指数幂、特殊角的三角函数值及负指数幂是解题才能正确解答.{答案}解：原式{分值}5{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:实数与绝对值、相反数} {考点:零次幂}{考点:负指数参与的运算} {考点:特殊角的三角函数值} {考点:简单的实数运算}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}18．（2019年北京）解不等式组：4(1)2,7.3x xxx-<+⎧⎪+⎨>⎪⎩{解析}本题考查了不等组的解法和不等式组的整数解，解不等式组的步骤为：先解出不等式组中每个不等式的解集，然后得出不等式组的解集．{答案}解：解不等式4（x-1）＜x+2，得x＜2；解不等式73xx+>，得x＜72.所以，这个不等式组的解集为x＜2.{分值}5{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}{难度:2-简单}{类别:常考题}{考点:解一元一次不等式组}{题目}19．（2019年北京）关于x的方程22+210x x m--=有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，由于原方程有实数根可知b2-4ac≥0，由此确定出m取值范围，又有m为正整数，从而可确定m的值.{答案}解：∵方程x2-2x+2m-1=0有实数根，∴（-2）2-4（2m-1）≥0，解得m≤1.∵m为正整数，∴m=1.∴原方程为x2-2x+1=0.解得x1=x2=1.{分值}5{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:根的判别式}{考点:完全平方式}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}20．（2019年北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE= DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG＝12，求AO的长．{解析}本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、锐角三角函数等知识.（1）先根据菱形边和对角线的性质得到AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形三线合一的性质证得AC⊥EF；（2）根据菱形对角线的性质可得BO的长度及AC⊥BD，又有AC⊥EF，故BD∥EF，由此可知四边形EBDG是平行四边形，从而得到tan∠ABD= tanG=12.在Rt△ABD中由tan∠ABD=12即可求得AO的长度.{答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠BAD. ∵BE=DF，即AE=AF.∴AC⊥EF.（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CG∥AB，BO=12BD=2.D BC∵AC ⊥EF ，∴BD ∥EF.∴四边形EBDG 是平行四边形. ∴∠ABD =∠G. ∵tan ∠ABD=tanG=12, ∴2AO =12，解得AO=1.{分值}5{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:正切}{考点:菱形的性质} {考点:等腰直角三角形} {考点:平行四边形边的性质}{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}21．（2019年北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下图给出了部分信息．a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x < 40，40≤x <50，50≤xb ．国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图国家创新指数得分d ．中国的国家创新指数得分为69.5．（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》 根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l 1的上方，请在图中用“○”画出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是 ．①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出"加快建设创新型国家"的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产品值还有一定差距，中国提出"决胜全国建成小集社会"的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．{解析}本题考查了统计图及数据的分析. （1）得分在60 ≤x <70这一组的9个国家中，中国得分最高，故70 ≤x <80这一组有12个国家，80 ≤x <90这一组有2个国家，90 ≤x <100这一组有2个国家，故中国的得分排名为1+12+2+2=17. （2）由中国的国家创新指数得分为69.5及“包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l 1的上方”可以代表中国的点.（3）观察《40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图》可知有在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元.（4）因为中国的国家创新指数得分比A,B 所代表的国家低得多，所以中国需进一步提高国家综合创新能力；因为中国的人均国内生产品值比B,C 所代表的国家低得多，所以中国需要进一步提高人均国内生产总值，故推断①②都是合理的.{答案}解：（1）17； （2）如图：（3）2.7. （4）①②. {分值}5{章节:[1-20-3]课题学习 体质健康测试中的数据分析} {考点:数据分析综合题}/万美元30405060708090{考点:频数（率）分布直方图} {类别:高度原创} {难度:3-中等难度}{题目}22．（2019年北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A ，B ，C ．如图所示，点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a （a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．（1）求证：AD = CD（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM .若AD = CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．{解析}解析：（1）由BD 平分∠ABCA 可得∠ABD=∠CBD ，根据相等的圆周角、等弧、等弦之间的关系可得AD CD =和AD=CD.（2）通过证明Rt △CDF ≌Rt △CMF 得到DF=MF ，连接OD ，由∠ABC=2∠CBD=∠COD 可得OD ∥BE ，进而由DE ⊥AB 得到OD ⊥DE ，即DE 为⊙O 的切线. {答案}解：（1）∵BD 平分∠ABCA,∴∠ABD=∠CBD ， ∴AD CD =，∴AD=CD.（2）∵DF ⊥BC ，∴∠DFC=∠CFM=90°. 又∵CD=AD=CM.∴Rt △CDF ≌Rt △CMF.∴DF=MF ，∴BC 为⊙O 的直径. 连接OD.∵∠COD=2∠CBD ，∠ABC=2∠CBD ， ∴∠ABC=∠OCD. ∴OD ∥BE. ∵DE ⊥AB ， ∴OD ⊥DE.∴DE 为⊙O 的切线，即直线DE 与图形G 的公共点个数为1.{分值}6{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:垂径定理}{考点:圆心角、弧、弦的关系} {考点:圆周角定理} {考点:切线的判定}{考点:全等三角形的判定HL}ABC{考点:同位角相等两直线平行} {考点:两直线平行同旁内角互补} {类别:高度原创} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题目}23．（2019年北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i ＝1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背调第三遍，三解答下列问题：（1）填入x 3，补全上表；（2）若x 1=4，x 2=3，x 3=4，则x 4的所有可能取值为 ； （3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．{解析}本题是一道与不等式组有关的实际应用题.（1）由题意，得对于第3组诗词，第3天背诵第一遍，第4天背诵第二遍，第6天背调第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵.（2）由“每天最多背诵14首，最少背诵4首”可得134244414414414x x x x x x ≤++≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，解得4≤x 4≤6.（3）当第4天背诵的诗词数为14首时，x 1+x 3+x 4=14.由题意，得122324414414414x x x x x x ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤+≤⎩①②③，∴123412242x x x x ≤+++≤，解得222833x -≤≤，∴x 2的最大值为9，∴（x 1+x 3+x 4）+x 2=23.{答案}解： （（2）4,5,6. （3）23. {分值}6{章节:[1-9-3]一元一次不等式组} {考点:一元一次不等式组的应用} {类别:高度原创}{类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}24．（2019年北京）如图，P 是AB 与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是AB 上一动点连接PC 交弦AB 于点D .小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了程究. 下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C 在AB 的不同位置，画图，测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度的几组值，如的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC ＝2PD 时，AD 的长度约为 cm ．{解析}本题是一道与函数图像有关的实际应用题.（1）观察表格可知，PC 在位置5和位置6时长度都等于2.25，PD 在位置3和位置7时长度都等于2.00，而AD 在不同位置时的长度各不相等，故AD 的长度是自变量，PC 的长度和PD 的长度都是这个自变量的函数.（2）根据（1）表格中的数值描点、连线，注意平面坐标系的x 轴表示AD 的长度，纵轴表示PC 或PD 的长度；（3）观察（2）中函数图像，并结合（1）表格求解即可. {答案}解： （1）AD PC PD ； （2）如图A（3）2.29或3.98.{分值}6{章节:[1-19-1-2] 函数的图象}{考点:函数的概念}{考点:函数的图象}{类别:高度原创}{难度:4-较高难度}{题目}25．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：1(0)y kx k=+≠与直线x=k，直线y=－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y =－k交于点C.（1）求直线1与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W.①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区城W内没有整点，直接写出k的取值范围．{解析}本题是考查了一次函数的图像，解题时要画出函数图像并结合图像分析求解．（1）将x=0代入l的解析式即可；（2）画出k=2时三条直线并求出点A,B,C的坐标，从而确定出区域W及其内部整点的个数；（3）当-1≤k＜0或k=-2时，区域W内没有整点.{答案}解：（1）将x=0代入y=kx+1，得y=1，∴直线l与y轴的交点坐标为（0,1）.（2）①将x=2代入y=2x+1，得y=5,∴A（2,5）.将y=-2代入y=2x+1，得2x+1=-2,解得y=-32,∴点B（-32，-2）.又∵直线x=2和y=-2的交点C（2，-2），∴W内的整点为（1,2）（1,1）（1,0）（1，-1）（0,0）（0，-1），共6个.②k=-2或-1≤k＜0.{分值}5{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}{考点:一次函数的图象}{考点:一次函数与几何图形综合}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:新定义}{难度:5-高难度}{题目}26．（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线21y ax bxa=+-与y轴交于点A，将点A向右平称2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴：（3）已知点P11(,)2a-，Q（2.2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．{解析}本题是一道与二次函数图像有关的压轴题，解题时要画图分析.（1）先将x=0代入抛物线的解析式求得点A的坐标，再根据平移规律求得点B的坐标；（2）根据抛物线的对称性求解；（3）画出函数图像求解，注意由于点A和P的纵坐标相等，点B和点Q的纵坐标相等，故抛物线不能同时经过点A和P，也不能同时经过点B和Q.{答案}解：（1）将x=0代入y=ax2+bx-1a,得y=-1a,∴点A的坐标为（0，-1a）.∵点B的坐标为（2，-1a）.（2）∵抛物线经过点A（0，-1a）和点B（2，-1a）,∴抛物线的对称轴为x=1.（2）①当a＞0时，-1a＜0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P，也不能同时经过点B和点Q，所以此时抛物线与线段PQ没有交点；②当a＜0时，-1a＞0.根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A和点P；当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时-1a≤2，即a≤-12.综上可知，当a≤-12时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.{分值}6{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {考点:算术平均数}{考点:含参系数的二次函数问题}{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {难度:5-高难度}{题目}27．（2019年北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM．满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1：（2）求证：∠OMP = ∠OPN：（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON= QP，并证明．O AO A{解析}本题是考查了图形的旋转与中心对称、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识.（1）根据题意画图即可；（2）在△OMP中根据三角形内角和定理可知∠OMP=150°-∠OPM，而∠OPN=1 50°-∠OPM，故∠OMP=∠OPM；（3）求出当ON=PQ时x的值即可.{答案}解：（1）如图所示：（2）在△OMP中，∵∠AOB=30°，∴∠OMP=150°-∠OPM.∵∠MON=150°，∴∠OPN=150°-∠OPM，∴∠OMP=∠OPM.（3）如图，过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB，垂足分别为K,F.∴∠PKM=∠NFP=90°.∵∠OMP=∠OPM，∴∠PMK=∠NPF.∴△PMK≌△NPF.∴MK=PF,∠MPK=∠PNF，PK=NF.假设ON=PQ，∴Rt△NOF≌Rt△PQK.∴KQ=OF.设MK=y，PK=x.在Rt△OPK中，∵∠AOB=30°，∴OP=2x，x.∴，∵点M与Q关于H对称，∴MH=HQ，∴∵KQ=OF，∴，解得x=1.∴OP=2x=2.{分值}7{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:三角形内角和定理}{考点:全等三角形的判定HL}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:全等三角形的性质}{考点:含30度角的直角三角形}{考点:解直角三角形}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{难度:5-高难度}{题目}28．（2019年北京）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE 为△ABC 的中内弧，例如，下图中DE 是△ABC 的一条中内弧（1）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC＝D ，E 外别是AB ，AC 的中点，画出△ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平而直角坐标系中，已知点A （0，2），B （0，0），C （4t ，0）（t >0）. 在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点①若t =12，求△ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．{解析}本题是一道新定义题，综合考查了等腰直角三角性的性质、弧长的计算、切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识.（1）设DE 所在圆的圆心为P ，当⊙P 与BC 相切于F 时，中内弧DE最长，易证点P 是DE 的中点，∴PD=12DE=1. 1122122DE l r πππ=⨯=⨯⨯=.（2）分别求出⊙P 与AB 相切和⊙P 与AC 相切时y p 的值，即可求出y p 的取值范围；（3）求出⊙P 分别与AC ，BC 相切时t 的值即可.{答案}解：（1）如图所示：DE 的长为π.（2）①当t=12时，C （2,0），D （0,1），E （1,1）.如图，当⊙P 与AB 相切于点D ，y p =1；如图，当⊙P 与AC 相切于点E ，y p =12，∴y p ≤12. BCCB∴y p≥1或y p≤1 2 .（3）0＜t{分值}7{章节:[1-27-1-3]相似三角形应用举例}{考点:等腰直角三角形}{考点:勾股定理}{考点:切线的性质}{考点:弧长的计算}{考点:相似三角形的性质}{考点:相似三角形的判定（两角相等）}{类别:思想方法}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:新定义} {难度:5-高难度}。