市北资优六年级分册 第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数． 2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．分解素因数知识结构知识精讲内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【难度】★【答案】2、17、97；7．【解析】素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1既不是素数，也不是合数．【总结】本题主要考查素数和合数的定义．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________． 【难度】★【答案】732284⨯⨯⨯=；2、2、3、7．【解析】732221484⨯⨯⨯=⨯=，其中素因数为2、2、3、7．【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数． 【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______． 【难度】★ 【答案】6．【解析】最小的自然数为0，最小的素数为2，最小的合数为4 【总结】考查素数和合数的定义，注意1和2的特殊性．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对． 【难度】★★ 【答案】6【解析】53475941712983178911973100+=+=+=+=+=+=，共有6对．【总结】100以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，例题解析355 753，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个．特别是20以内的素数，需要熟记．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数； （2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数； （4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式． A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）错．2和5的乘积为10.（2）错．除了2之外的素数都是奇数，但2和素数之和为奇数． （3）错．1和2的乘积为2，为素数．（4）对．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数． （5）错．1不能写成素数相乘的形式．【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意1和2的特殊性．【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________． 【难度】★★ 【答案】5、6、7．【解析】7657523210⨯⨯=⨯⨯⨯=． 【总结】考查分解素因数的方法．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______． 【难度】★★ 【答案】38．【解析】21219=+，219=38⨯．【总结】20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试． 【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 【难度】★★ 【答案】2464．【解析】77322229441176⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=，要使这个数字为一个数字的四次方，则a 最小为2646773332=⨯⨯⨯⨯⨯．【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．【例9】面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？【难度】★★★【答案】44厘米或36厘米或34厘米．【解析】9⨯=⨯=，=412872⨯618则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为()44⨯厘米；+4182=②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为()36+2=⨯厘米；612③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为()34+⨯厘米．82=9【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】 36和54的公因数有_____________．【难度】★【答案】1、2、3、9、18．【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．【例11】 126和630的最大公因数是________________． 【难度】★ 【答案】126．【解析】3126 630 242 210321 105 77 35 1 5故126和630的最大公因数是：1267323=⨯⨯⨯．【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的最大公因数．例题解析知识精讲模块二：公因数和最大公因数【例12】在下列各组数中，互素的有（）组（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】D【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【难度】★★【答案】B【解析】A错，例如4和9互素，但是4和9都是合数．C错，1是所有整数的因数，所以如果1是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．D错，若5能被a整除，则a为1或5，因为5是b的最小倍数，则5b，所以a和b=的最大公因数不一定是5，还有可能是1．【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【难度】★★【答案】1、2．【解析】16的因数是1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30．则16、24、30的公因数为1、2．【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【难度】★★【答案】12．【解析】因为52248⨯=，所以60和48的公因数有2、3、2，2⨯⨯⨯=，32322⨯⨯60⨯则60和48的最大公因数为23212⨯⨯=，即这四个数的最大公因数是12．【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【难度】★★★ 【答案】14．【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素 因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【难度】★★★ 【答案】486平方分米．【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而1911209⨯=，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为()48621721117112=⨯+⨯+⨯⨯平方分米．【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题． 【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）【难度】★★★ 【答案】79．【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，42897÷18644=2．．．．．．5609， 18644÷5609=3．．．．．．1817， 5609÷1817=3．．．．．．158， 1817÷158=11．．．．．．．79， 158÷79=2．．．．．．0， 所以最大公因数为79．【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．辗转相除法步骤：设两数为a b 、 ()a b >，求a 和b 最大公因数的步骤如下：用a 除以b ： 得：()110a b q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若10r =，则a 和b 最大公因数为b ；若10r ≠，则再用b 除以1r ，得：()1220b r q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若20r =，则a 和b 最大公因数为1r ，若20r ≠，则继续用1r 除 以2r ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为a 和b 的最大公因数．【例19】 下面的乘式的积中，末尾有多少个0？1232930⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．【难度】★★★ 【答案】7个【解析】每一个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数； 将1－30中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0． 【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力．1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积． 为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例20】 已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______． 【难度】★ 【答案】6300．【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为63005233752=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【总结】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数， 将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．【例21】 已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______． 【难度】★★ 【答案】8、9．【解析】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以72可以写成两个 合数的乘积，则这两个数为8和9.【总结】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．模块三：公倍数与最小公倍数例题解析 知识精讲【例22】下列说法中正确的个数为（）个（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n÷=，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c÷=（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．A．0 B．1 C．2 D．3【难度】★★【答案】B【解析】（1）错．三个正整数只有公因数1，并不能说明两个数的公因数只有1．例如2、3、4，公因数只有1，但是2和4的公因数有1和2，不是互素的．（2）对．如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数．（3）错．互素的两个数的公因数为1．（4）错．如24能够同时被6、8整除，但24不能被48整除．（5）错．例如8÷2=4，8与2的最大公因数为2，不是4．【总结】本题主要考查整除的相关概念，注意认真区分．【例23】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【难度】★★【答案】36．【解析】两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．【总结】通过最小公倍数和最大公因数的求法可知，两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．【例24】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）17187 442 11 26最大公因数为17，最小公倍数为17×11×26=4862；（2）336 84 39212 28 1326 14 133 7 13最大公因数为3，最小公倍数为3×7×12×13=3276．【总结】考查用短除法求最大公因数和最小公倍数．也可以用分解素因数的方法求最大公因数和最小公倍数．需要注意两个数字的最大公因数的求法和三个数字的最大公因数的求法不一样，两个数字的最大公因数为短除法左边素因数乘积即可，但是三个数字的最大公因数是取三个公有的因数相乘．【例25】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【难度】★★【答案】131人．【解析】如果9人一组，则多5人，可以理解成若9人一组，则少4人．则题目可以理解成若9人一组，则少4人；如果15人一组，则少4人．因为学生人数在130到140 人，在130到140之间，9和15的公倍数为135，则该年级共有135-4=131人．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．【例26】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．【难度】★★【答案】990；1080．【解析】因为5、6、9的最小公倍数为5×6×9=90，所以能被5、6、9整除的数为90的倍数．其倍数中最大的三位数为90×11=990，最小的四位数为90×12=1080．【总结】能被a b c、、的公倍数的问题来处理．、、整除的数可以转化为求a b cA B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例27】已知四位数20【难度】★★★【答案】16．【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位B为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A+2+0+8能被3整除，A最大取8．此时，8208÷24=342，所以A+B的最大值为8+8=16．【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．【例28】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【难度】★★★【答案】540粒；45只．【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．【例29】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【难度】★★★【答案】37．【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为36+1=37．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．【例30】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【难度】★★★【答案】59．【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1 个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．【例31】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【难度】★★★【答案】6月25日．【解析】求4,6,8的最小公倍数来解决.【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【难度】★【答案】74．【解析】1到100这100个整数中，分为三类，1，素数，合数．所以合数的个数为10012574−−=个．【总结】考查素数、合数的定义，注意1的特殊性．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯⨯⨯=⨯B．1802259C．336=22347=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯D．362233【难度】★【答案】D【解析】考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A答案中1不是素数；B答案中9不是素数；C答案中4不是素数．【总结】分解素因数一定要分解彻底，即分解到每个数都是素因数为止．【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【难度】★★【答案】89．【解析】小于10的合数为4、6、8、9．则四个数构成的两位数为素数的有89．【总结】20以内的素数要求必须熟记．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【难度】★★【答案】4和9、8和9．【解析】小于10的正整数中，合数有4、6、8、9，其中互素的有4和9、8和9．【总结】20以内的素数要求必须熟记．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【难度】★★【答案】7．【解析】因为三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，所以35、63、91 能够被n整除，则n为35、63、91的最大公因数，所以n为7．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【难度】★★【答案】180，6．【解析】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，则甲、乙、丙分别为18，12，90，则由短除法可知：最大公因数为6，最小公倍数为180．【总结】考查求最小公倍数和最大公因数的求法．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【难度】★★【答案】7．【解析】因为如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，所以14个梨和21个苹果刚好平均分，14和21的最大公因数为7，则共有7个小朋友．【总结】将生活实际问题转化为求最大公因数问题来解决．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【难度】★★★【答案】13．【解析】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，则这个两位数能够整除391和此余数，也能整除40和此余数，则这个两位数一定能够整除（391+此余数）-（40+此余数）=351，同理可得：这个两位数一定能被283-23=260整除．因为391-40=351=13×27，283-23=260=13×20，所以这个数是13．【总结】拓展提高题目，需要对整除定义非常熟练，对学生要求比较高．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【难度】★★★【答案】17；49．【解析】3和4的最小公倍数为12，则每隔12米的倍数的位置上的树不用移动．因为每隔3米种了66棵树，则小路长（66-1）×3=195米．因为195÷12=16．．．．．．3，所以16+1=17棵树不要移动．新挖树坑66-17=49个．【总结】将实际问题转化为最小公倍数问题来解决．注意小路端点的树不要重复计算．【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．【难度】★★★【答案】60、24、15．【解析】因为12=2×2×3，15=3×5，而最小公倍数为120=2×2×2×3×5，所以丙是3×5=15，则甲为3×5×2×2=60，乙为2×2×2×3=24，所以甲为60，乙为24，丙为15．【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解结果．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【难度】★【答案】11、13、17．【解析】17⨯=．11132431⨯【总结】从最小的素数开始除，利用能被2、3、5整除的数的特点来判断能不能整除．【作业2】108的素因数有____________________．【难度】★【答案】2、2、3、3、3．【解析】3⨯=．⨯⨯3108⨯322【总结】本题一方面考查分解素因数，另一方面考查素因数的概念，注意与因数的区别．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【难度】★★【答案】194．【解析】99=2+97．【总结】除了2之外的素数都是奇数，则和定为偶数，所以两素数之和如果为奇数的话，则其中必定有2．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】（1）错，1既不是素数也不是合数；（2）正确；（3）正确；（4）错，2加上1就是奇数；（5）错，两个连续的偶数一定有公因数2；（6）正确．【总结】本题主要考查素数、合数以及偶数等基本概念．【作业5】 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【难度】★★【答案】3和180；9和60；15和36；45和24．【解析】因为18022335=⨯⨯⨯⨯，所以满足题目中条件的两个数为：①3和180；②3×3=9， 3×5×2×2=60；③3×5=15，3×3×2×2=36；④3×3×5=45，3×2×2=24．【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解 结果．【作业6】 24的所有因数中，互素的数共有______对．【难度】★★【答案】10对．【解析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；其中1与其他的7个数字都互素，共有7对；2与3互素，共1对；3与4、8互素，共2对；4、6、8、12、24两两均不互素， 则共有10对．【总结】本题一方面考查因数的概念，另一方面考查互素的概念．【作业7】 已知M a b c =（a 、b 、c 都是素数），那么M 的因数中是合数的有_________．【难度】★★【答案】b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，c b a ⋅⋅．【解析】M 的因数有1，a ，b ，c ，b a ⋅，c b ⋅，c b a ⋅⋅，其中为合数的是b a ⋅，c b ⋅， a c ⋅，c b a ⋅⋅．【总结】主要考查素数、合数的定义．【作业8】 把一块长7.2cm ，宽6cm ，厚0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【难度】★★★【答案】90块．【解析】7.2cm=72毫米，6cm=60毫米，0.36dm=36毫米．∵72，60，36的最大公因数为12，∴正方体木块的边长为12毫米．∵72÷12=6，60÷12=5，36÷12=3，∴至少能锯6×5×3=90块．【总结】给出的数据为小数，则可以利用单位之间的换算变成正整数，进而题目就转化为求 最大公因数问题．【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【难度】★★★【答案】72人．【解析】2、3、4的最小公倍数为12，可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料：12÷2+12÷3+12÷4=13瓶，一共有78÷13=6桌，一共有6×12=72人．【总结】将此问题转化为公倍数来解决．【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．【难度】★★★【答案】28和12．【解析】这两个正整数的最大公因数能整除最小公倍数，则它们的最大公因数能整除它们的最大公因数和最小公倍数之和．88=1×2×2×2×11．当最大公因数为1，则最小公倍数为87=3×29，显然，29-3=26不等于16，不合题意；当最大公因数为2，则最小公倍数为86=2×43，86-2=84不等于16，不合题意；当最大公因数为4，则最小公倍数为84=4×3×7，84-4=80不等于16，28-12=16等于16，符合题意；当最大公因数为8，则最小公倍数为80=8×2×5,40-26=14不等于16，不合题意；当最大公因数为11，则最小公倍数为77=11×7，77-11=66不等于16，不合题意；当最大公因数为22，则最小公倍数为66=22×3，66-22=44不等于16，不合题意；当最大公因数为44，则最小公倍数为44，44-44=0不等于16，不合题意．综上所述，这两个正整数为28和12．【总结】本题综合性较强，主要考查对最大公因数和最小公倍数的理解，注意对解题方法的理解和运用．。
六年级数学上册1.4素数、合数与分解素因数(第1课时)课
巩固练习
1.填空题 (1)素数有___2___个因数，合数至少有__3____
个因数.
(2)在正整数中，最小的奇数是__1____，最小 的偶数是___2___，最小的素数是__2____，最 小的合数是___4___. (3) 在正整数中，___1___既不是素数也不是
巩固练习
4.把下列各数填入适当的圈内.
11,21,31,41,51,61,71,81,91.
素数
合数
11、31、41、 61、71.
21、51、 81、91.
课堂小结
1 1既不是素数，也不是合数.
正整数
素数
பைடு நூலகம்
100以内素数表
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
B组： 1．把下列各数填入适当的圈内． 1，2，3，4，5，7，9，11，15，21，27， 29，39，41，16，51，87
奇数
偶数
1，3，5，7，9，11， 15，21，27，29，39， 41，51，87
2，4，46
素数
合数
2，3，5，7，11，29， 41
4，9，15，21，27， 39，46，51，87
概念应用
2是唯一的偶素数.
例2 制作100以内的素数表.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 因数与倍数(无解析)
第一章数的整除1.3素数、合数与分解素因数练习1.3（1）1.如果有两个素数之和等于24，可以是_______+_________，___________+__________或________+________．2.在50以内的自然数中，最大的素数是________，最小的合数是_________．3.既是素数又是奇数的最小的一位数是__________．4.在20以内的素数中__________加上2还是素数．5.判断.(1)两个素数相乘的积还是素数.（）(2)任何一个自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身.（）(3)一个合数至少得有三个因数.（）(4)在自然数中，除2以外，所有的偶数都是合数.（）(5)12是36与48的最大公因数.（）6.有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求它们的和.7.一个两位素数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位素数，我们称它为“无暇素数”，求所有“无暇素数”之和.练习1.3（2）1.把330分解素因数是__________________________________．2.把66分解素因数是（）A .66=1×2×3×11B .66=6×11C .66=2×3×11D .2×3×11=663.初中年级某学生参加计算机操作技能比赛，他获得的名次、他的年龄、他的得分三者的乘积是2910.已知共有八十多人参加这次比赛，试问这个学生是第几名？成绩是多少？（计算机操作技能比赛满分为100分）4.六位数5367F E 是1375的倍数，这个六位数是______________．5.一位长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，求最后剪得的正方形的边长是多少毫米？。
市北资优六年级分册 第01章 1.4 公因数与最大公因数+林经武
1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。
六年级数学上册素数、合数与分解素因数 PPT精品课件沪教版
第一部分 素数和合数
知识回顾
(1)因数与倍数的概念：
(2)写出下列各数的因数 1 8 13 16 25 29 36 54
试一试
填表: 整 数 1 1 8 4 13 2 16 5 25 3 29 2 36 9 54 8
因数个 数
问题:上题各整数有几个因数？因数个数确定吗？
记一记
P12 2 19 47 79 1—100以内素数表 3 23 53 83 5 29 59 89 7 31 61 97 11 37 67 13 41 71 17 43 73
说一说
（1）最小的素数是哪个？ ——〉2
（2）素数中有几个是偶数？ ——〉2 （3）最小的奇数素数是哪个？ ——〉3 （4）最小的合数是哪个？
说一说:
1既不是素数也不是合数。 正整数又可以分为1、素数和合数三类。 1
素数
合数
正整数
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法一 （分析：通过检查每个数的因数个数）
解：27的因数有1，3，9，27； 29的因数有1，29； 35的因数有1，5，7，35 37的因数有1，37。 所以27，35是合数，29，37是素数。
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法二 （分析：利用整除的特征来判断） 解：27能被3整除，所以除1和本身以外，还有 因数3，所以27为合数；同理，35能被5整除， 所以35为合数。
方法三 （分析:查素数表P12,由于正整数可分 为1、素数、合数，所以除了素数和1以外，其 他都是合数）
——〉4
——〉9
（5）最小的奇数合数是哪个?
练一练
1．课本P12练习 2．写出4个既是奇数又是合数的的数。 解:9,15,21,25(还有其他,不一一列举)
六年级市北练习题-数的整除
1.1整数和整除1.在15,17,18,20和30五个数中，能被2整除的数是______________________;能被3整除的数是____________________；能被5整除的数是____________________；能同时被2,3整除的数是___________ ；能同时被3,5整除的数是______________ ；能同时被2,5整除的数是__________ ；能同时被2,3,5整除的数是______________.2.在□处填入适当的数字，使四位数13□6能被3整除，□处可有多少种不同的填法？3.写出用2,3,4,5四个数字组成的能被11整除的所有的四位数.4.一个六位数的各位数字各不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小的数是多少？5.一个能同时被2,3,5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是多少？6.有0,1,4,7.9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是多少？7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是多少？1.2奇数与偶数1.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？5.博物馆有并列的5间展室。
市北资优六年级分册 第01章 1.6 整数的应用举例(1)(2)
1.6整数的应用举例（1）例1：一个四位数与它的四个数字之和恰好等于2091，求这个四位数。
解：设这个四位数为abcd，依题意得，1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2091，即1001a+101b+11c+2d=2091.显然a=2，得101b+11c+2d=89.当b=1时，101b+11c+2d≥101>89，所以b=0.则11c+2d=89-0=89.由于0≤2d≤18，则89-18=71，71≤11c≤89，故c=7或c=8.当c=7时，11c+2d=77+2d=89.有d=6；1（舍去）。
当c=8时，11c+2d=88+2d=89，有d=2故这个四位数是2076.例2:如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们把这样的正整数叫做四合数，求所有四合数的和.解:一位数四合数满足a=4a，解得a=0，所以一位数的四合数不存在。
两位数四合数满足ab=4（a+b），即10a+b=4（a+b），亦即2a=b，因此两位数的四合数有12，24，36，48，它们的和为12+24+36+48=120.三位数的四合数满足abc=4（a+b+c），即100a+10b+c=4（a+b+c），亦即96a+6b=3c.因为a≥1，b≥0，c≤9，所以此方程无解。
因此三位数的四合数不存在.同样的分析可知三位数以上的四合数也不存在.综上所述，所有四合数的和等于120.例3用0，1，2，…，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？解：因为0+1+2+…+9=45.这个最大十位数若能被11整除，其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）为0或11的倍数，由于这十个数字之和是45（奇数），所以这个差不可能是0、22、44（偶数）.若这个差为33，则只能是39-6，但0+1+2+3+4=10，即最小的五个数字之和都超过6，不可能，若这个差为11，（45+11）÷2=28，45-28=17.如果偶数位为9，7，5，3，1，其和为25；奇数位为8，6，4，2，0，其和为20.交换偶数位上的1与奇数位上的4，可得偶数位上的数为9，7，5，4，3，奇数位上的数为8，6，2，1，0.于是所求的最大十位数为9876524130.练习1.6（1）1.一个四位数与它的四个数字之和恰好等于2001，求这个四位数。
小学六年级 素数合数及分解素因数复习
素数、合数及分解素因数【知识点1】素数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．素因数是指：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数【考点分析】对于素数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是素数还是合数；而对于素因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的素因数（或者说求某数的素因数），还有一种考法是对给定的数进行素因数的分解。
【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是素数也不是合数的数是_____，既是素数又是偶数的数是______ 分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是素数，也不是合数。
而2是唯一一个属于素数的偶数，且2是最小的素数。
2、39、47、57、83中为素数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括素数和合数两类 (B）不存在最小的素数（C）1既不是素数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。
4、两个素数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个素数相乘所得来的数，除了含有这两个素数作它的因数外，至少还有1。
所以得数肯定不能为素数。
5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，（1）是奇数又是素数的数是（）；（2）是奇数不是素数的数是（）；（3）是素数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）；（5）是合数而不是奇数的数是（ ）．6 、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。
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1．3 素数、合数与分解素因数
自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；
只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．
有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．
显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．
例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？
分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．
解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．
例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111
=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001
所以，3 333 334 111 111是合数．
例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，
都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一
堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =
上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．
练习1．3（1）
1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．
3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案
练习13．1（1）
1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、43
3． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，
10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．
思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？
6 = 2 × 3
2 × 3
6 2 × 2 × 7
28 = 2 × 2 × 7
4 × 7
28
60 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 5
2 ×
3 × 2 × 5
6 × 1060××××
从上面的例子可以看出：
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因
数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
例4 把48，35，60分解素因数
解：
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
3
2 62 1 22 2 42 4 8
7
5 3 5
35 = 5 × 7
5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
3 1 5
2 3 0
2 6 0
用短除法分解素因数的步骤如下：
1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．
2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．
4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．
5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：12
12
k a a
a k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是
质数；12,,
k a a a 是正整数．
例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且2222
1234511p p p p =+++，试求这四个质数．
分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．
解：显然有12p =，代入得222
234507p p p =++，
因为2
50752923=＜，所以419p ≤
若419p =，则22
23146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．
若417p =，则22
23218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．
所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．
例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：2
2x +、2
4x +、2
6x +、2
8x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．
当3x =时，2
211x +=，2
413x +=，2
615x +=，2
817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2
227x +=，2
429x +=，2
631x +=，2
833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2
251x +=，2
453x +=，2
655x +=，2
857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．
例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．
分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：
11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或
12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．
练习1．3（2）
1．分解素因数：45，88，126．
2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）
3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．
5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．
6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？
练习1．3（2）
1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×7
2． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．
3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625
249 525125625
+++=（个）．
4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，2
5．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。