数学：第二讲 数表-从杨辉三角谈起 讲义

如图，把从 1 开始的自然数按某种方式排列起来.请问： （1）200 排在第几行，第几列?
6
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
（2）第 18 行第 22 列的数是多少?
1 3 6 10 15 L 2 4 7 11 16 5 8 12 17 L 9 13 L 14 L L L
[三角形数表]★ ★ 【解析】 （1）根据题意，每一行相邻两个数的差在依次 增加 1，每一列的相邻两个数的差依次增加 1，所以
[三角形数表]★ ★ ★ 【解析】 上 面 数 表 第 n 行 有 n 个 数 ， 所 以 前 n 行 有
n(n 1 ) 个数，从小到大排列. 2 先计算 67 是第 (67 1) 2 34 个奇数； 1 2 3L n
8
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
210- 1 = 512 .
(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识．
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
1
第三行左起第三个数是 1 1 ； 第四行左起第三个数是 3 1 2 ； 第五行左起第三个数是 6 1 2 3 ； 第六行左起第三个数是 10 1 2 3 4 ； …… 归纳可知，第 101 行左起第三个数是 99 100 1 2 3 L 99 4950 . 2 2 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足 Cn1 ，所以第 101
数）为________。
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 L L 1 20 L 1 12 1 30 L 1 6 1 2 1 3 1 12
1 4 1 20 L 1 5 L
[杨辉三角]★ 【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可 得每 1 行的第 1 个数均为行数的倒数， 且每一个数等于下
1 55 55
2
1540
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
5
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
把自然数按如下规律排成三角形数表： 如 4 是第 3 行的第 3 个数， 那么(1)自然数 60 是第____行的第____个数． (2)94 是第___行的第____个数.
例3
-------------------------------------------------------------------------------------------
11 1 如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”， 有 1= 2 + 2 、 1 1 1 1 1 1 = + 、 = + 、……、则第 11 行第 2 个数（从左往右 2 3 6 3 4 12
所以 60 是 11 行第 7 个数.
14 15 13 14 91 (2) 2 ， 2 105 ，94-91=3，因此 94 在第 14
行第 3 个数． 此题可以说是自然数列的“神龙摆尾”， 奇数行第一个数是 三角形数，偶数行最后一个数是三角形数，在做题时，要 分清方向．
例5
-------------------------------------------------------------------------------------------
把从 2 开始的偶数数列排成如下图所示三角形数表， 则表 中的偶数 80 是第_____行第_____个数.
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
7
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 L L L
[三角形数表]★ ★ ★ 【解析】 法 1：每个偶数都除以 2，会得到例 2 中的自然 数列， 80 是第 40 个偶数， 1+2+3+4+5+6+7+8=36， 40-36=4. 因此 80 在第 9 行第 4 个数． 法 2：第 n 行的最后一个数是 n(n 1) ，第 8 行最后一个数 为 72，之后第 9 行的前几个数分别为 74，76，78，80， 因此 80 在第 9 行第 4 个数．
如图，从 1 开始的自然数按某种方式排列起来，请问： (1)第 10 行左起第 5 个数是多少? (2)100 在第几行?100 是这一行左起第几个数? (3)前 10 行的数的和是多少?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L L
[三角形数表]★ ★ 1 9 9 45 ，所 【解析】 （1）第 9 行的最后一个数为： 2 以第 10 行左起第 5 个数为 45+5=50. （2） 根据题意：1 2 3 L 13 91 ，第 13 行的最后 一个数是 91 ，所以 100 在第 14 行，是这一行中的第 100 91 9 个数． （ 3 ） 前 10 行 一 共 1 2 3 L 10 55 个 数 ，
2 2 C C 101 1 100 行的第三个数是
100 99 4950 . 2
(5) 杨 辉 三 角 第 m 行 第 n 个 数 实 际 就 是
n 1 n 1 C 5050 ，而 Cm m 1 1 ． (m n)!(n 1)!
(m 1)!
，101
是质数，因此 m-1≥101，0<n-1<m-1.当 n=2，m=5051;当 n ＝ 3 时 ， m=102 ； 当
图(1) 图(2) (1)杨辉三角第 8 行第 2 个数是_________; (2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一 行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第 8 行的第 3 个 数是_____． (3)杨辉三角第 1 行的所有数之和为 1， 第 2 行的所有数之 和为 2，第 3 行为 4，第 4 行为 8，…，那么，第 n 行的 所有数之和是________. (4)杨辉三角中，第 101 行中左起第三个数是 ． (5) 5050 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? [杨辉三角]★ ★ 【分析】 ⑴根据题意： 每一行第 2 个数是 n - 1 ； 所以第 8 行第 2 个数是 7. (2) 1+2+3+ L +6=21．老师可拓展到第 n 行的第 3 个数． n- 1 (3) 第 n 行 的 和 是 2 ， 所 以 第 10 行 所 有 数 的 和 是
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
把奇数数列排成如下图所示三角形数表，则表中的奇数 67 是第________行第________个数.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 L L L
1 3 2 6 5 4 10 9 8 7 15 14 13 12 11 L 17 16
（2）第 18 行的第 1 个数为： 1 2 3 18 171 . 公差为 18.所以第 22 列为 171 18 19 20 L 38 759
例6
-------------------------------------------------------------------------------------------
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 190 ，
得到 190 排第 19 行第 1 列， 191 排在第 1 行第 20 列.所以 200 排在 10 行第 11 列； （由原数表转化到下数表，原数 表中行数+列数相等的数都在此数表中的同一行中． ）
练一练
-------------------------------------------------------------------------------------------
杨辉三角中，55 可能是杨辉三角中第几行的第几个数? [杨辉三角]★ ★
2
Baidu Nhomakorabea
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
【分析】 第 56 行第 2 个和第 55 个；第 13 行第 3 个和第 11 个．
例2
-------------------------------------------------------------------------------------------
(1)如图所示的三角形数表中，满足： ①第一行的数为 1； ②第 n 行首尾两数均为 n ，其余的数都是等于它肩上的两 个数相加；则第 50 行第 2 个数是_________.
1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 L L L
(2) 下图是按规律排列的三角形数表：
1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1
①在方格中填上第五行的各个数． ②求第 10 行各数的和． [杨辉三角]★ ★ ☆ 【解析】
n2 n 2 (1)每一行的第二个数是 2 2 3 L (n 1) ， 代 2
入 n 50 后，得第 50 行第 2 个数是 1226.
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
3
(2)由数表可以得到如下的规律， (a)两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包 1，其 他的数等于上一行对应的数和相邻数的和； (b)每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第 n 行数的 和是 3n-1，由此解决． ①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后 面的数就是 16、10、4、1； 故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1； 9 ② 3 =19683 ；
m 1 2
≥n>3
时 ， 存 在
n 1 2 2 Cm 1 Cm1 C101 5050 .不会再出现 5050.因此 5050 在左
侧只能出现在第 5051 行第 2 个数和第 102 行第 3 个数． 由 对称可知， 第 5051 行第 5051 个数和第 102 行第 100 个数 也是 5050.
7 (7 1) 28 个数. 前 7 行一共有 2
34 28 6 ，所以 67 是第 8 行第 6 个数.
例7
-------------------------------------------------------------------------------------------
1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 L L 12 11
[三角形数表]★ ★ 【解析】 观察规律.每 n 行有 n 个数，奇数行是从大数到 小数，偶数行是从小到大；
1 2 3L n n(n 1 ) ， 2
10 11 11 12 55 66 60 1 7 ， (1) 2 ， 2 66 ， 因此 60 在第 11 行，
4
五年级 第 2 讲 数表――从杨辉三角谈起 （C 版）
一行中“脚踩”的两个数的和， 第 10 行第 1 行第 1
例4
1 个数是 10 .第
1 1 1
11
1 个数是 11 ，则第 11
行第 2 个数是 10 11 110 。
-------------------------------------------------------------------------------------------
2
例1
数表—从杨辉三角谈起
+
-------------------------------------------------------------------------------------------
下面是按规律排列的杨辉三角：
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ……………………… ……第一行 ……第二行 . . .