人教版高中数学课件《曲边梯形的面积》
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高中数学 1.5曲边梯形的面积课件 新人教A版选修22
求得面积
问 题 (wèntí) ： “ 曲 边 图 形 ” 如何求面积？
直边图形面积
曲边图形面积
第三页，共16页。
y
f(b)
y=f(x)
f(a)
曲边梯形(tīxíng)
Oa
bx
第四页，共16页。
y y=x2
曲边梯形(tīxíng)
O
1x
S=?
第五页，共16页。
圆形面积(miàn jī)
正正4812边边24边形形形 以直代曲
第八页，共16页。
(1)分割 在[0,1]间插入(chā rù)n-1个分点：
(fēngē)
分成(fēn
chénɡ)n个小0区, 1n间,： 1n
,
2 n
,
n
1 n
,1
记第i个区间为
i
n
1
,
i n
i
1,2,,
n
y
长度 : x i i 1 1
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
n
有 S Si
第六页，共16页。
y y=x2
以直代曲
O
1x
以矩形面积代替(dàitì)小曲边梯形面积
第七页，共16页。
曲边梯形(tīxíng) 的面积
若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积(miàn jī)代替
在不很窄时怎么办？
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积(miàn jī)代后求
和。
—— 以直代曲
第十四页，共16页。
练习(liànxí)
求直线x=0,x=2,y=0与曲线(qūxiàn)y=x2所围成的曲边梯形的面积
第十五页，共16页。
1.5.1曲边梯形的面积课件人教新课标
y
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的曲
边梯形.多边形的每条边 都是直线段，上图中有 O
一边是曲线段.
y＝x2 1x
假想用极限逼近思想求上面图形的面积，
在该曲边梯形内作若干个小矩形.
具体操作：
y y＝x2
O
1x
将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作 n－1个矩形.
上述n－1个矩形，求出从左到右各矩形 的高分别为多少，宽为多少.如下：
2.求曲边梯形的面积的基本思路是： 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用 小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩 形的面积之和→求各小矩形面积之和的 极限.
3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定 的局限性，如果用一般方法不能求出各 小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形 的面积.
第一章 导数及其应用
1.5.1 曲边梯形的面积
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算 这个曲边梯形的面积呢？？
y y＝f(x)
Oa
bx
三角形面积的算法
设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h， 将CD分成n等分，过每个分点按如图所示 作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长 分别为多少？宽为多少？
第i个矩形的长为 ai 每个矩形的宽为 h
n
n .
ia
，
C
nA
DB
高中数学人教课标版选修2-2《曲边梯形的面积》课件
x 0 i 1 n i 1
n
n
1 1 f (i ) n 3
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
例1.求直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积. 解析:令f(x)＝x2
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为: 2 4 x0＝0,x1＝ , x2＝ ,…,xn－1＝ n n 2i 2 2i 第i个区间为 , (i＝1,2,…,n),
a1n a0 ak b1n b0 bk
检测下预习效果:
点击“随堂训练” 选择“《曲边梯形的面积》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
曲边梯形的概念
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线
x a , x b (a b) , y 0 和曲线y=f(x)所围成的图形称曲边梯形.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
活动6:在求小矩形的面积时,我们提到了可以取 f ( x) x 2在区间
i 1 i [ , ] 上任意一点 i 处的值 f ( i ) 作为小矩形的高,会有怎样 n n
的结果?
S lim f (i )x lim
n n
n
2
4 3 1 8 S S 2 (3)取极限 , lim n lim 3 2 n n 3 n n 8 即所求曲边梯形的面积为 3 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
n
n
1 1 f (i ) n 3
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
例1.求直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积. 解析:令f(x)＝x2
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为: 2 4 x0＝0,x1＝ , x2＝ ,…,xn－1＝ n n 2i 2 2i 第i个区间为 , (i＝1,2,…,n),
a1n a0 ak b1n b0 bk
检测下预习效果:
点击“随堂训练” 选择“《曲边梯形的面积》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
曲边梯形的概念
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线
x a , x b (a b) , y 0 和曲线y=f(x)所围成的图形称曲边梯形.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
活动6:在求小矩形的面积时,我们提到了可以取 f ( x) x 2在区间
i 1 i [ , ] 上任意一点 i 处的值 f ( i ) 作为小矩形的高,会有怎样 n n
的结果?
S lim f (i )x lim
n n
n
2
4 3 1 8 S S 2 (3)取极限 , lim n lim 3 2 n n 3 n n 8 即所求曲边梯形的面积为 3 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
最新人教版高中数学选修1.5.1曲边梯形的面积(优秀课件)ppt课件
y
y=x²
方案1
方案2
方案3
方案4
o
i 1 i n n
1
x
采用哪一种方案计算比较简便呢？
思考：怎样求出小矩形的面积？
y
y=x²
o
i 1 i n n
1
x
i 1 n
i n
思考：怎样求出n个小矩形的面积之和？
y
y=x²
1 2 n 1
2 2
2
(n 1)n(2n 1) 6
曲边梯形的面积
观察下面的图形，如何求图形的面积？
观察下面的图形，如何求图形的面积？
观察下面的图形，如何求图形的面积？
第一章
第五节
连续函数
一般地，如果函数 y=f(x)在某个区间I上 的图象是一条连续不 断的曲线，那么我们 就把它称为区间I上的 连续函数。
曲边梯形
我们把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0和曲 线y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形。
1
x
i 1 n
Ti
'
i n
1 i 2 ( ) n n
1 i f( ) n n
1 n(n 1)(2n 1) 3 n 6
2 2 2 1 2 n ( n 1)(2n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 6n 6
y
y=x²
割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积， 并以此求取圆周率的方法。
„
圆内接正六边形
圆内接正十二边形
你能否总结出割圆术中的思想方法？
1.将圆等分成n个小扇形.
曲边梯形的面积 课件
n n
n
y
y f x
f b
f a
o
a
x
b
为了便于计算， i 一般用区间 x
，x 的左右端点
i 1 i
1 1
1
S n 1 1 趋向于S .
3 n 2n
n
1
S lim S n lim
n
n
i 1 n
o
y x2
i 1 i
n n
1
x
1 1
1 1
i 1
f
1 1 .
lim
n n 3 n 2n 3
Si S f
3
n
n
n
n
n
(i = 1，2，…， n)
2
'
i
2
（3）求和
y
阴影部分的面积 S n 为
2
n
n
n
i
1
(
i
1
)
1
'
S n Si f
i 1
i 1 n n i 1 n 3
1 2
2
o
3 1 2 2 n 1
1
n
2
n
i 1 i
n n
n
n
x
y
y x2
o
i 1 i
n n
1
x
方案1
方案2 方案3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”
n
y
y f x
f b
f a
o
a
x
b
为了便于计算， i 一般用区间 x
，x 的左右端点
i 1 i
1 1
1
S n 1 1 趋向于S .
3 n 2n
n
1
S lim S n lim
n
n
i 1 n
o
y x2
i 1 i
n n
1
x
1 1
1 1
i 1
f
1 1 .
lim
n n 3 n 2n 3
Si S f
3
n
n
n
n
n
(i = 1，2，…， n)
2
'
i
2
（3）求和
y
阴影部分的面积 S n 为
2
n
n
n
i
1
(
i
1
)
1
'
S n Si f
i 1
i 1 n n i 1 n 3
1 2
2
o
3 1 2 2 n 1
1
n
2
n
i 1 i
n n
n
n
x
y
y x2
o
i 1 i
n n
1
x
方案1
方案2 方案3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”
《曲边梯形的面积》优秀课件
土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
高三数学曲边梯形的面积课件
晚上开车带爸妈在县城的街道上路过，街边有一帮票友在唱豫剧，说不上来唱的哪一出，但那唱腔亲切又熟悉，铿锵有力的唱腔打着旋便融进了回忆里，我不由自主地把车停在了路边。老爸问：怎 么不走了？我说：“听，豫剧，在河南地界上听豫剧，这味儿才又浓又正。”其实年少的时候是不喜欢听戏的，咿咿呀呀，慢慢吞吞，一句话拐了十八个弯还没完，对不谙人间世事又年少的人来说确实 是有点不耐烦。及至中年之后才会领会戏曲的精髓，也才会有耐心细细品咋戏曲的味道，也才会明白只有戏曲的那一腔一调、弯折反复才更能表达人生的跌宕起伏、生死无常。悬臂控制箱 /
在家停留一共只有三天的时间，我对亲人们说：“第三天一定要给我一天的时间，我必须回老宅看一看。”老宅许多年都不住人了，一直荒芜着。我一早起床，在秋风乍起的微光中踏着薄雾去向老 宅。途径一片宅ห้องสมุดไป่ตู้，想起小时候这里曾是一片野地，每到这个季节这里就会开满黄色的野菊花，我和小伙伴们放了学就会来这里玩耍，摘一捧一捧的野菊花，感觉怎么摘也摘不完……静思往事，如在眼 前，禁不住很怀念那个温馨单纯的从前，那时候，日子真长真慢啊！感觉那时的一年能抵现在的三年。
多少年来，我一直像看守着一件宝贝似的看守着记忆里那些过往的时光，一遍一遍地回忆，一遍一遍地擦拭，一遍一遍的，都是眷恋……记忆里，院子侧旁有一棵槐树，每到春天，那一串串嫩白的 花和着丝丝缕缕的香气，引得我们一遍遍地往树上爬，摘了白嫩的花儿洗净，和着面一起蒸了就是一顿美食。院里院外的泡桐也开花了，大团大团甜腻腻的香融在空气里，阳光穿过香气的空隙斑驳地撒 在地上，阳光是香的、风也是香的，连人的心都染了七分香。
《曲边梯形的面积》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.5.1课时)
如何解决这些实际问题呢？
有什么思路吗？
课前导入
能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变
速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——
.
新知探究
一般地，如果函数 y = f(x) 在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们 就把它称为区间 I上的连续函数.例如
积零为整 取极限
精确值——定积分
课堂练习
“求曲边梯形的面积”的思想方法有哪些？
开动脑筋想想吧！ “以直代取”、“以不变代变”、“逼近”、极限、分割、近似求值、化规……
课堂小结
求曲边梯形面积的方法： （1）分割
把区间[a,b]分成n个小区间 [xi-1 , xi ] ，长度为 Δxi = xi - xi-1
字词积累
冲
chōng
冲动
冲刺
激烈的比赛 中 ，选手们正在做最后的 冲 刺。
字词积累
议
yì
会议
议论
大家都认为班级会 议 开得很有意 义 。
字词积累
杆
gǎn
枪杆 笔杆
老师为了 赶 着帮我们批改作业，丝毫没有注意到笔 杆 上沾满了墨 水。
字词积累
官
guān
官员 官兵
古代皇宫 里保护皇上的 官 兵可多了。
其中
λ = max{Δx1, Δx2 ,Δxn }
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
语文 二年级 上册 配人教版
有什么思路吗？
课前导入
能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变
速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——
.
新知探究
一般地，如果函数 y = f(x) 在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们 就把它称为区间 I上的连续函数.例如
积零为整 取极限
精确值——定积分
课堂练习
“求曲边梯形的面积”的思想方法有哪些？
开动脑筋想想吧！ “以直代取”、“以不变代变”、“逼近”、极限、分割、近似求值、化规……
课堂小结
求曲边梯形面积的方法： （1）分割
把区间[a,b]分成n个小区间 [xi-1 , xi ] ，长度为 Δxi = xi - xi-1
字词积累
冲
chōng
冲动
冲刺
激烈的比赛 中 ，选手们正在做最后的 冲 刺。
字词积累
议
yì
会议
议论
大家都认为班级会 议 开得很有意 义 。
字词积累
杆
gǎn
枪杆 笔杆
老师为了 赶 着帮我们批改作业，丝毫没有注意到笔 杆 上沾满了墨 水。
字词积累
官
guān
官员 官兵
古代皇宫 里保护皇上的 官 兵可多了。
其中
λ = max{Δx1, Δx2 ,Δxn }
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
语文 二年级 上册 配人教版
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n
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
过剩
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
过剩
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为