《高等数学1试题微积分》 (2)

大一《高等数学A 》
一、单项选择题）
1．设()1,
10,
1
x f x x ⎧≤⎪=⎨
>⎪⎩，则()()()f
f f x =（ ）
A. 0
B. 1
C. 1,10,
1
x x ⎧≤⎪⎨
>⎪⎩
D.0,11,
1
x x ⎧≤⎪⎨
>⎪⎩
2．设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（ ）
A.()f x 在(0,)δ内单调增加.
B.()f x 在(,0)δ-内单调减小.
C.对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >
D.对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.
3．设0x →时，tan sin e e x x -与n x 是同阶无穷小，则n 为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D.4
4．在(),-∞+∞内方程11
4
2
cos 0x x
x +-=（ ）
A.无实根
B.有且仅有一个实根
C.有且仅有两个实根
D.有无穷多个实根
5．设()f x 对任意x 均满足()()1f x af x +=，且()0f b '=，其中a b ≠为非0非1的常 数，则（ ） A.()f x 在1x =处不可导
B.()f x 在1x =处可导，且()1f a '=
C.()f x 在1x =处可导，且()1f b '=
D.()f x 在1x =处可导，且()1f ab '= 6．设(
)()f x f x =--，(),x ∈-∞+∞，且在()0,+∞内()()0,0f x f x '''><，则在(),0-∞
内（ ）
A.()()0,0f x f x '''>>
B.()()0,0f x f x '''><
C.()()0,0f x f x '''<>
D.()()0,0f x f x '''<<
二、填空题（每小题4分,共24分）
7．设函数()f x 可表示成()()()f x F x G x =+，其中()F x 为偶函数，()G x 为奇函数，则()F x = ,()G x = .
8．0
1lim
ln x
x a x a
→-= .
9．设(
)10,0
x f x x
a bx x ⎧-<⎪
=⎨⎪+≥⎩
，则当a = ，b = 时，()f x 处处可导。

10．设()y f x =由方程2e cos e 1x y xy +-=-所确定，则曲线()y f x =在()0,1处的法线方
程为 .
11．设()f u 可导，函数()y y x =由()22y x x y f x y +=+所确定，则d y = .
12．设()f x 有任意阶导数且()2
()f x f x '=，则()
()n f
x = .（n>2）
三、解答题（每小题9分，共27分）
13．求极限sin sin sin lim sin x
t x
t x t x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭
，记此极限为()f x ，求()f x 的间断点，并指出其类型.
14．设4211x y f x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭
，(
)ln
f x '=d d y x
.
15．已知()23e x
f x x =+在1x =处()16e f '=+，()f x 有反函数()x ϕ，求()3e ϕ'+.
四、证明题（每小题9分，共18分）
16．设()010,1sin 1n n x x x -==+-，1,2,n = ，证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞。

17．设()f x 在[]0,1上二次可微，且()()010f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使
()()20f f ξξξ'''+=.
五、应用题（本题7分）
18．溶液自深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。

已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速度为1cm/s ，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？
参考答案
一、单项选择题:
1. B
2. C,
3. C,
4. C,
5. D,
6. A. 二、填空题： 7．()()11[()()];[()()]2
2
F x f x f x
G x f x f x =+-=
--
8．1
9．11,2
8
a b =
=
,
10．220x y -+=,
11．()()
22221
1
2
2
22
2ln d d ln 2y x y x
x yf x y y x y x y
y x yx
x x y xy f x y ++'+-⋅-⋅⋅=
'+⋅-+;
12．()
()1!()n n f
x n f x +=
三、解答题：
13．解：()sin sin exp lim 1e sin sin sin x
x t x t x f x x
t x →⎧⎫⎛⎫
=-⋅=⎨⎬
⎪-⎝⎭⎩⎭， 间断点为()π0,1,2,x k k ==±± 。

因为()0
lim e x f x →=，所以0x =为第一类间断点，其余间断点属于第二类，无穷间断点。

14．解：令4
2
11
x u x +=
+，则
()
2
2
d 42d 1u x
x x
x
=-
+，所以
()()44
2
2
2222d d d 142121ln d d d 1111y
y u x x
x f x x x u x x x x x ⎧
⎫⎡
⎤⎛⎫++⎪⎪
⎢⎥'==-=-⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥++⎝⎭++⎪⎪⎩
⎭⎣
⎦。

15．解：因()13e f =+，所以，()3e 1ϕ+=，()()
1
13e 16e
f ϕ'+==
'+。

四、证明题：
16．证明：()101sin 010x x =+->=，01x ≤<。

假设1n n x x ->和01n x ≤<，则()()11sin 1sin 10n n n n x x x x +--=--->和
101n x +≤<，所以lim n n x →∞
存在。

设lim n n x c →∞
=，在()11s i n 1n n x x -=+-两边令n →∞，有()1s i n 1c c =+-，所以
10c -=，即1c =。

17．证明：令()()F x xf x =。

在[]0,1上，()()()F x f x xf x ''=+，()()010F F ==，由罗尔定理，存在()0,1c ∈，使()0F c '=。

又()()000F f '==，()()()2F x f x xf x '''''=+，[]0,1x ∈，再对()F x '应用罗尔定理，存在()()0,0,1c ξ∈⊂，使()0F ξ''=，即()()20f f ξξξ'''+=。

五、应用题：
18．解：设漏斗在时刻t 的水深为h （cm ），筒中的水深为H （cm ），则漏斗中水面半径满足
618
r h =，即13
r h =。

设盛满溶液时漏斗的体积为2
01π6183
V =
⋅⋅，则有
()2
2
01ππ53
V r h H t -
=⋅
上式两边对t 求导，得 2
d 1d 25d 9d H h h
t
t
=-。

代入
()d 1cm /s d h t
=-，12cm h =，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为
()()2
2
d 12
14
10.64c m /s d 9255
H t
⎛
⎫=-
⋅⋅-== ⎪⎝
⎭。